Cvičení 1 – Úlohy na stochastické procesy
Příklad 1.: Na přímce jsou vyznačeny body –1, 0, 1. V bodě 0 se nachází kulička. Náhodně
házíme mincí. Jestliže padne líc, posuneme kuličku do bodu 1, jestliže padne rub, posuneme ji
do bodu –1. Je-li kulička v bodě 1 a padne-li líc, ponecháme ji v bodě 1, padne-li rub,
posuneme ji do bodu 0. Je-li kulička v bodě –1 a padne-li rub, ponecháme ji v bodě –1, padneli
líc, posuneme ji do bodu 0.
Modelujte tuto situaci vhodným SP.
Pro posloupnost 10 hodů mincí {L, L, L, R, R, L, R, L, R, R} graficky znázorněte
odpovídající realizace SP.
Výsledek: Zavedeme SP { }Tt;Xt ∈ , kde { }K,3,2,1T = (t je pořadové číslo hodu mincí),
{ }1,0,1J −= .
Příklad 2.: Nechť náhodná veličina X ~ Ex(λ), tj.
hustota: ( )



≤
>λ
=ϕ
λ−
0xpro0
0xproe
x
x
, distribuční funkce: ( )



≤
>−
=Φ
λ−
0xpro0
0xproe1
x
x
. Zavedeme
SP { }Tt;Xt ∈ , kde Xt = tX, t > 0.
a) Najděte jednorozměrnou distribuční funkci Φt(x) tohoto SP.
b) K distribuční funkci Φt(x) najděte hustotu φt(x).
Výsledek:
ad a) ( )




≤
>−=Φ
λ
−
0xpro0
0xproe1x
t
x
t , ad b) ( )





≤
>
λ
=ϕ
λ
−
0xpro0
0xproe
tx
t
x
t .
Znamená to, že X ~ 




 λ
t
Ex .
Příklad 3.: Náhodná veličina X má distribuční funkci Φ(x). Nechť c, t∈R, t > 0. Zavedeme
SP { }Tt;Xt ∈ , kde Xt = tX + c.
a) Najděte jednorozměrnou distribuční funkci Φt(x) tohoto SP.
b) Najděte dvourozměrnou distribuční funkci ( )21tt x,x21
Φ .
Výsledek:
ad a) ( ) 




 −
Φ=Φ
t
cx
xt
ad b) ( ) 












 −−
Φ=Φ
2
2
1
1
21tt
t
cx
,
t
cx
minx,x21
Příklad 4.: Náhodná veličina X má distribuční funkci Φ(x). Nechť t > 0. Zavedeme SP
{ }Tt;Xt ∈ , kde Xt = tX2
. Určete jednorozměrnou distribuční funkci Φt(x) tohoto SP.
Výsledek:
( ) spojitá.Xli-je,0
t
x
XPkde,
t
x
XP
t
x
t
x
xt =







−=







−=+







−Φ−







Φ=Φ
Příklad 5.: Nechť X1, X2, X3, … jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou distribuční funkci Φ(x). Nechť { }K,3,2,1T = . Zavedeme SP { }Tt;Xt ∈ .
Určete pravděpodobnostní rozložení tohoto SP.
Výsledek:
( ) ( ) ( )n1n1tt xxx,,xn1
Φ⋅⋅Φ=Φ KKK
Příklad 6.: Nechť náhodná veličina X ~ Ex(λ), tj. E(X) = 1/ λ, D(X) = 1/ λ2
. Zavedeme SP
{ }Tt;Xt ∈ , kde Xt = tX. Najděte střední hodnotu, rozptyl, autokovarianční a autokorelační
funkci tohoto SP.
Výsledek:
( )
λ
=µ
t
t , ( ) 2
2
2 t
t
λ
=σ , ( ) ( ) 1t,t,
tt
t,t 212
21
21 =ρ
λ
=γ
Příklad 7.: Nechť Y, Z jsou standardizované náhodné veličiny, které jsou nekorelované.
Zavedeme SP { }Tt;Xt ∈ , kde Xt = t + Y.cos ωt + Z.sin ωt, ω > 0 konstanta. Zjistěte, zda
daný SP je slabě stacionární.
Výsledek:
Protože střední hodnota SP ( ) tt =µ závisí na čase, není daný SP slabě stacionární.
Příklad 8.: Uvažme SP z příkladu 7. Zavedeme standardizovaný SP { }Tt;Ut ∈ , kde
( )
( )t
tX
U t
t
σ
µ−
= . Zjistěte, zda tento standardizovaný SP je slabě stacionární.
Výsledek:
( ) tt =µ (viz př. 7), ( ) 1t2
=σ , ( ) 0tU =µ , ( ) 1tU
2
=σ , ( ) ( )1221U ttcost,t −ω=γ
Standardizovaný SP { }Tt;Ut ∈ je slabě stacionární.