Cvičení 2 – Úlohy na HMŘ, využití zákona evoluce
Příklad 1.: Model dvoustavového systému
Nechť { }0n Nn;X ∈ je homogenní markovský řetězec s množinou stavů J = {0,1}. Pravděpodobnosti
přechodu 1. řádu jsou dány maticí 





β−β
αα−
=
1
1
P , vektor počátečních pravděpodobností
p(0) = (γ, 1- γ). Najděte simultánní pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru
(X0, X1, X2).
Výsledek:
x0 x1 x2 π(x0, x1, x2)
0 0 0 γ(1-α)2
0 0 1 γ (1-α) α
0 1 0 γαβ
1 0 0 (1-γ)β(1-α)
0 1 1 γα(1-β)
1 0 1 (1-γ)βα
1 1 0 (1-γ) (1-β)β
1 1 1 (1-γ) (1-β)2
Příklad 2.: Nechť { }0n Nn;X ∈ je HMŘ s množinou stavů J = {0,1}. Pravděpodobnosti přechodu
1. řádu jsou dány maticí










=
2
1
2
1
3
2
3
1
P . Jaká je pravděpodobnost, že po jednom kroku
bude řetězec ve stavu 0 (resp. 1), jestliže jeho počáteční stav zvolíme
a) podle výsledku hodu mincí
b) podle výsledku náhodného pokusu, v němž je stavu 0 dosaženo s pravděpodobností 1/3 a
stavu 1 s pravděpodobností 2/3.
Výsledek:
ad a) p(1) = ( )5833,04167,0
12
7
,
12
5
=





, ad b) p(1) = ( )5556,04444,0
9
5
,
9
4
=





Návod na řešení v MATLABu:
Ad a) p0=[0.5 0.5]; P=[1/3 2/3;1/2 1/2]; p1=p0*P
Ad b) p0=[1/3 2/3];p1=p0*P
Příklad 3.: (Model mužských zaměstnání) Předpokládáme rozdělení mužských zaměstnání
do tří tříd: vědečtí pracovníci, kvalifikovaní pracovníci, nekvalifikovaní pracovníci. Je známo,
že 80 % synů vědeckých pracovníků se stane vědeckými pracovníky, 10 % kvalifikovanými a
10 % nekvalifikovanými pracovníky. Ze synů kvalifikovaných pracovníků 60 % bude kvalifikovanými
pracovníky, 20 % vědeckými a 20 % nekvalifikovanými pracovníky. Konečně
v případě nekvalifikovaných pracovníků 50 % synů bude nekvalifikovanými pracovníky, 25
% kvalifikovanými a 25 % vědeckými pracovníky. Předpokládejme, že každý muž má syna.
Jaká je pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracov-
níkem?
Výsledek: 0,375.
Návod na řešení v MATLABu:
p0=[0 0 1]; P=[0.8 0.1 0.1;0.2 0.6 0.2;0.25 0.25 0.5];p2=p0*P^2
Zajímá nás 1. složka vektoru p2.
Příklad 4.: V příkladu 3 nyní předpokládejme, že muž má syna jen s pravděpodobností 0,8.
Zaveďte nyní homogenní markovský řetězec se čtyřmi stavy – první tři jsou stejné jako
v předešlé úloze a čtvrtý odpovídá případu, kdy muž nemá syna a proces končí. Jaká je pravděpodobnost,
že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?
Výsledek: 0,24
Návod na řešení v MATLABu:
p0=[0 0 1 0]; P=[0.64 0.08 0.08 0.2;0.16 0.48 0.16 0.2;0.2 0.2 0.4 0.2;0 0 0 1];p2=p0*P^2.
Zajímá nás 1. složka vektoru p2.
Příklad 5.: Uvažme podnik, v němž jsou tři oddělené provozy – provoz 1, provoz 2 a provoz
3. V těchto provozech pracují dělníci vykonávající jednostranné úkony. Aby nedocházelo
k otupění zaměstnanců, tak se dělníci na konci měsíce v jednotlivých provozech náhodně střídají.
Existuje samozřejmě i jistá šance, že si dělník najde jiné zaměstnání a podnik opustí.
Předpokládáme, že v takovém případě už se do podniku nevrátí. Dlouhodobým pozorováním
pohybu zaměstnanců v tomto podniku byly zjištěny následující skutečnosti:
Dělníci z provozu 1 na konci měsíce s pravděpodobností 1/4 zůstávají v provozu 1,
s pravděpodobností 1/4 přecházejí do provozu 2 a s pravděpodobností 1/2 přecházejí do provozu
3.
Dělníci v provozu 2 na konci měsíce s pravděpodobností 1/4 zůstávají v provozu 2,
s pravděpodobností 1/4 přecházejí do provozu 1 a s pravděpodobností 1/2 přecházejí do provozu
3.
Jelikož práce v provozu 3 je velmi namáhavá, tak po měsíci dělníci z tohoto provozu odcházejí
se stejnou pravděpodobností buď do provozu 1 nebo do provozu 2.
Dále bylo zjištěno, že zaměstnanci z tohoto podniku odcházejí pouze z provozu 3, a to
s pravděpodobností 1/9.
a) Modelujte tuto situaci pomocí HMŘ, najděte matici přechodu a nakreslete přechodový dia-
gram.
b) Vypočtěte pravděpodobnost, že zaměstnanec, který na počátku sledování pracoval
v provozu 1, ve čtvrtém měsíci sledování již v podniku pracovat nebude.
Výsledek: 0,0833.
Návod na řešení v MATLABu:
p0=[1 0 0 0]; P=[1/4 1/4 1/2 0;01/4 1/4 1/2 0;4/9 4/9 0 1/9;0 0 0 1];p3=p0*P^3
Zajímá nás 4. složka vektoru p3.
Příklad 6.: (Klasifikace roků podle úrody jablek) V severní Nové Anglii můžeme klasifikovat
roky podle úrody jablek jako úrodné, průměrné a neúrodné. Pravděpodobnost, že po úrodném
roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,4; 0,4; 0,2. Pravděpodobnost,
že po průměrném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně
0,2; 0,6; 0,2. Pravděpodobnost, že po neúrodném roce bude následovat rok úrodný, průměrný,
neúrodný, je postupně 0,2; 0,4; 0,4. Rok 1965 byl úrodný. Vypočtěte vektor absolutních pravděpodobností
pro rok 1967.
Výsledek: p(2) = (0,28, 0,48, 0,24).
Návod na řešení v MATLABu:
p0=[1 0 0]; P=[0.4 0.4 0.2;0.2 0.6 0.2;0.2 0.4 0.4];p2=p0*P^2
Příklad 6.: V příkladu 5 předpokládejme, že pravděpodobnost, že rok bude úrodný, je 1/4
průměrný 1/2 a neúrodný 1/4. Jaký je vektor absolutních pravděpodobností pro příští rok?
Výsledek: p(1) = (0,25, 0,5, 0,25)
Návod na řešení v MATLABu:
p0=[1/4 1/2 1/4]; P=[0.4 0.4 0.2;0.2 0.6 0.2;0.2 0.4 0.4];p1=p0*P