Cvičení 4 – Statistické úlohy v HMŘ
Příklad: Máme k dispozici kategorizované údaje o míře nezaměstnanosti ve 196 náhodně
vybraných obcích jistého kraje ve dvou po sobě následujících letech. V roce 2008 mělo 101
obcí nízkou nezaměstnanost (do 4 %), 42 střední (mezi 4 % a 6 %) a 53 vysokou (nad 8 %).
V následujícím roce s ukázalo, že ze 101 obcí s nízkou nezaměstnaností jich 36 zůstalo v téže
kategorii, 43 přešlo do kategorie střední nezaměstnanost a 22 do kategorie vysoká
nezaměstnanost. Ze 42 obcí se střední nezaměstnaností jich 18 zůstalo ve stejné kategorii, 12
přešlo do kategorie nízká nezaměstnanost a 12 do kategorie vysoká nezaměstnanost. Z 53
obcí s vysokou nezaměstnaností jich 40 zůstalo v téže kategorii, 5 přešlo do kategorie nízká
nezaměstnanost a 8 přešlo do kategorie střední nezaměstnanost.
a) Modelujte situaci pomocí HMŘ.
b) Metodou maximální věrohodnosti odhadněte vektor počátečních pravděpodobností a matici
přechodu.
c) Sestrojte 95% Waldův a skórový interval spolehlivosti pro počáteční pravděpodobnosti a
pravděpodobnosti přechodu.
d) V celostátním měřítku mělo v roce 2008 56 % obcí nízkou nezaměstnanost, 23 % střední a
21 % vysokou. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že v daném kraji se vektor
počátečních pravděpodobností shoduje s celostátním vektorem počátečních pravděpodobností.
Výsledky:
Ad a) Zavedeme HMŘ { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {1, 2, 3}, kde Xn = 1, když v n-tém
roce náhodně vybraná obec v daném regionu má nízkou nezaměstnanost, Xn = 2, když má
střední nezaměstnanost a Xn = 3, když má vysokou nezaměstnanost.
Ad b) Odhad vektoru počátečních pravděpodobností:
( ) ( )2704,02143,05153,0
196
53
196
42
196
101
0ˆ =





=p
Znamená to, že na počátku sledování 51,53 % obcí mělo nízkou nezaměstnanost, 21,43 %
obcí mělo střední nezaměstnanost a 27,04 % obcí mělo vysokou nezaměstnanost.
Odhad matice přechodu:










=
















=
7547,01509,00943,0
2857,04286,02857,0
2178,04257,03564,0
53
40
53
8
53
5
42
12
42
18
42
12
101
22
101
43
101
36
ˆP
Interpretace 1. řádku: Pokud v určitém roce měla náhodně vybraná obec nízkou
nezaměstnanost, tak v příštím roce bude mít s pravděpodobností 35,64 % opět nízkou
nezaměstnanost, s pravděpodobností 42,57 % střední nezaměstnanost a s pravděpodobností
21,78 % bude mít vysokou nezaměstnanost.
Ad c) Před konstrukcí 95% Waldových intervalů spolehlivosti pro p1(0), p2(0), p3(0): ověříme
splnění podmínek dobré aproximace ( ) ( )[ ] 9c0pˆ10pˆ ii >− , i = 1, 2, 3. Postupně dostaneme
48,9541 33,0000 38,6684 , tedy podmínky jsou splněny.
Meze 95% asymptotických Waldových intervalů spolehlivosti pro p1(0), p2(0), p3(0):
( ) ( )5853,0;4453,00p1 ∈ , ( ) ( )2717,0;1568,00p2 ∈ , ( ) ( )3326,0;2082,00p3 ∈ vždy
s pravděpodobností 95 %.
Meze 95% asymptotických skórových intervalů spolehlivosti pro p1(0), p2(0), p3(0):
( ) ( )5843,0;4457,00p1 ∈ , ( ) ( )2769,0;1626,00p2 ∈ , ( ) ( )3366,0;2131,00p3 ∈ vždy
s pravděpodobností 95 %.
Ověření podmínek dobré aproximace pro pravděpodobnosti přechodu:
23,1683 24,6931 17,2079
8,5714 10,2857 8,5714
4,5283 6,7925 9,8113
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny ve čtyřech případech.
Dolní a horní meze 95% Waldových intervalů spolehlivosti pro pravděpodobnosti přechodu:
dW =
0.2630 0.3293 0.1373
0.1491 0.2789 0.1491
0.0156 0.0546 0.6389
hW =
0.4498 0.5222 0.2983
0.4223 0.5782 0.4223
0.1730 0.2473 0.8706
Dolní a horní meze 95% skórových intervalů spolehlivosti pro pravděpodobnosti přechodu:
dS =
0.2699 0.3338 0.1485
0.1717 0.2912 0.1717
0.0410 0.0785 0.6243
hS =
0.4535 0.5231 0.3078
0.4357 0.5779 0.4357
0.2025 0.2705 0.8507
Ad d) Testujeme hypotézu H0: p1(0) = 0,56 ∧ p2(0) = 0,23 ∧ p3(0) = 0,21.
Ověříme podmínky dobré aproximace: cpi ≥ 5 pro i = 1, 2, 3.
i = 1: 196.0,56 = 109,76, i = 2: 196.0,23 = 45,08, i = 3: 196.0,21 = 41,16
Testová statistika Waldova testu: 4,3154
Kritický obor: ( ) ) )∞=∞χ= ;9915,5,2W 95,0
2
⇒∉ WT0 H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Testová statistika testu poměrem věrohodnosti: 4,0537
Kritický obor: ( ) ) )∞=∞χ= ;9915,5,2W 95,0
2
⇒∈ WT0 H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Návod na řešení pomocí MATLABu:
Ad b) a c) Bodové a intervalové odhady počátečních pravděpodobností a pravděpodobností
přechodu poskytne funkce odhady.m.
Ad d) Pro provedení testu dobré shody slouží funkce test_shody.m.