Cvičení 6 – Absorpční HMŘ
Příklad 1.: (Soustruh v kovoobráběčské firmě)
Jistá malá kovoobráběčská firma vlastní soustruh. Soustruh se může nacházet v následujících
stavech, které jsou sledovány s časovým krokem jeden týden: stav 1 – bude v provozu, stav 2
– bude v opravě, stav 3 – dá se k prodeji, stav 4 – dá se do šrotu.
Situace je vyjádřena pomocí homogenního markovského řetězce { }0n Nn;X ∈ s množinou
stavů { }4,3,2,1J = , přičemž ,jXn = je–li soustruh v n-tém týdnu ve stavu j.
Máme dánu matici přechodu:














=
1000
0100
05,005,02,07,0
005,01,085,0
P
a) Nakreslete přechodový diagram.
b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu.
Výsledek:
Trvalé stavy jsou 3 a 4, oba jsou absorpční, řetězec je tedy absorpční. Stavy 1 a 2 jsou
neabsorpční.
Kanonický tvar matice přechodu:
3 4 1 2














=
2,07,005,005,0
1,085,0005,0
0010
0001
2
1
4
3
P
c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky.
Výsledek:
1 2
( ) 





=−=
−
314
216
2
11
QIM .
d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky.
Výsledek:
3 4






==
15,085,0
1,09,0
2
1
MRB
e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.
Výsledek:






=











==
17
18
2
1
1
1
314
216
2
1
Met
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matici přechodu:
P= [0.85 0.1 0.05 0;0.7 0.2 0.05 0.05;0 0 1 0;0 0 0 1];
Zavoláme funkci absorb.m:
[P0,M,B,t,rt]=absorb(P)
Příklad 2.: (Pracovníci ve firmě)
Jistá firma provedla dlouhodobý průzkum pohybu pracovníků v jednom odboru společnosti.
V průzkumu byly specifikovány 4 stavy, a to stav 1 - propuštění ze zaměstnání, stav 2 odchod
z osobních důvodů, stav 3 - práce ve funkci referenta a stav 4 - práce v řídicí funkci.
Jednotkovým časovým obdobím bylo jedno čtvrtletí. Známe matici přechodu:














=
88,003,001,008,0
1,08,007,003,0
0010
0001
P
Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.
Fundamentální matice:






=
52,943,1
76,471,5
M
Matice přechodu do absorpčních stavů:






=
2,08,0
45,055,0
B
Vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí:






=
95,10
48,10
4
3
t
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matici přechodu:
P=[1 0 0 0;0 1 0 0;0.03 0.07 0.8 0.1;0.08 0.01 0.03 0.88];
Zavoláme funkci absorb.m:
[P0,M,B,t,rt]=absorb(P)
Příklad 3.: (Myš v bludišti)
Myš je vložena do bludiště tvaru:
V každém okamžiku si myš vybere náhodně jedny z dveří přihrádky, v níž se právě nachází a
přejde do příslušné přihrádky. Předpokládáme, že v přihrádce 3 je potrava a myš tuto
přihrádku neopustí, jakmile do ní jednou vstoupí. Pohyb myši v bludišti lze modelovat
pomocí HMŘ { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {0,1, 2, 3}, přičemž Xn = j, když
v okamžiku n je myš v j-té přihrádce.
Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.
Matice přechodu v kanonickém tvaru:
3 0 1 2














=
02/102/1
3/103/13/1
0100
0001
2
1
0
3
P
Fundamentální matice:










=
33,1133,0
67,0267,0
67,0267,1
M
Matice přechodu do absorpčních stavů:










=
1
1
1
B
Vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí:










=
67,2
33,3
33,4
2
1
0
t
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matici přechodu:
P=[0 1 0 0;1/3 0 1/3 1/3;0 1/2 0 1/2;0 0 0 1];
Zavoláme funkci absorb.m:
[P0,M,B,t,rt]=absorb(P)
Příklad 4.: (Opilý námořník na mole)
Sledujeme opilého námořníka pohybujícího se po mole. Pokud je ve středu mola,
s pravděpodobností 1/3 po dalším kroku zůstane ve středu mola, s pravděpodobností 1/3 se
přiblíží k pravému okraji mola a s pravděpodobností 1/3 se přiblíží k levému okraji mola.
Pokud je námořník na pravém okraji mola, s pravděpodobností 1/3 zůstane po dalším kroku
na pravém okraji mola, s pravděpodobností 1/3 se vrátí do středu mola a s pravděpodobností
1/3 spadne do moře. Když je námořník na levém okraji mola, po dalším kroku na něm zůstane
s pravděpodobností 1/3, do středu mola se vrátí s pravděpodobností 1/3 a s pravděpodobností
1/3 spadne do moře. Pokud spadne námořník do moře, už se zpět na molo nedostane.
Předpokládejme, že molo je nekonečně dlouhé, námořník tedy nemůže dojít na jeho konec.
Pohyb opilého námořníka po mole lze modelovat homogenním markovským řetězcem
{ }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {0,1,2,3}, kde Xn = 0, pokud je námořník v n-tém kroku
ve středu mola, Xn = 1, pokud je námořník v n-tém kroku na levém okraji mola, Xn = 2,
pokud je námořník v n-tém kroku na pravém okraji mola, a Xn = 3, pokud se námořník v ntém
kroku topí (plave) v moři.
Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.
3 0 1 2
ad a) Matice přechodu v kanonickém tvaru:














=
3103131
0313131
3131310
0001
2
1
0
3
P .
ad b) Řetězec má 3 přechodné stavy JP= {0,1,2}, tedy: střed mola, pravý okraj mola a levý
okraj mola a 1 trvalý stav JT = {3}, moře.
ad c) Řetězec má jediný trvalý stav 3 (moře), který je absorpční, proto je řetězec absorpční.
ad d) Fundamentální matice:










=
25,275,05,1
75,025,25,1
5,15,13
M .
ad e) Matice přechodu do absorpčních stavů:










==
1
1
1
MRB .
ad f) Vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí:










==
5,4
5,4
6
Met .
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matici přechodu:
P=[0 1 0 0;1/3 0 1/3 1/3;0 1/2 0 1/2;0 0 0 1];
Zavoláme funkci absorb.m:
[P0,M,B,t,rt]=absorb(P)