Cvičení 7 – Vytvořující funkce. HMŘ s oceněním přechodů
Příklad 1.: Nechť HMŘ má matici přechodu 





=
01
10
P . Pomocí vytvořujících funkcí
najděte tvar matice přechodu po n krocích.
Výsledek: ( ) 





−
−
−+





=
5,05,0
5,05,0
1
5,05,0
5,05,0 nn
P .
Příklad 2.: Výrobní linka se může nacházet v provozu (stav 1) nebo v opravě (stav 2). Pokud
se linka porouchá, pak již nemůže být opravena. Linka zůstává v 60 % případů v provozu.
Předpokládejme, že na počátku sledování je linka v provozu. Pomocí vytvořujících funkcí
najděte pravděpodobnost, že za n období bude linka v provozu.
Výsledek: Po n obdobích bude linka v provozu s pravděpodobností 0,6n
.
Příklad 3.: Řidič taxi dlouhodobým pozorováním zjistil, že když se v daném okamžiku
nachází ve městě A, pak s pravděpodobností 0,3 poveze příštího zákazníka do města B a
s pravděpodobností 0,7 bude zákazník žádat jízdu uvnitř A. Jestliže se řidič taxi nachází ve
městě B, pak se stejnou pravděpodobností buď poveze příštího zákazníka do A nebo bude
jezdit uvnitř B. Průměrná tržba za jízdu (v obou směrech) mezi A a B činí 1000 Kč a uvnitř
měst A a B 100 Kč. Vypočítejte střední hodnotu tržby za první dvě jízdy, vyjede-li řidič
z města A resp. B.
Výsledek: Vyjede-li řidič z města A, bude mít za první dvě jízdy v průměru tržbu 794 Kč.
Vyjede-li řidič z města B, bude mít za první dvě jízdy v průměru tržbu 1010 Kč.
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matice P, R a vektor v0:
P=[0.7 0.3;0.5 0.5]; R=[100 1000;1000 100];v0=[0 0]‘;
Vypočteme vektor q = diag(P*R’);
Vypočteme vektor v1=q+P*v0
Vypočteme vektor v2=q+P*v1
Upozornění: Je také možné použít funkci vynos.m, která pomocí rekurentní metody počítá:
- vektory středních hodnot celkových výnosů po jednom období až po n obdobích,
- znázorní průběhy vektorů středních hodnot pro jednotlivé stavy v závislosti na počtu období.
Zadáme matice P, R a počet období n:
P=[0.7 0.3;0.5 0.5]; R=[100 1000;1000 100]; n=2;
Zavoláme funkci vynos:
vynos(P,R,n)
Pro větší počet období lze požít funkci vynosaprx.m, která používá aproximační vzorec pro
výpočet středních hodnot celkových výnosů po n obdobích. V našem případě (n = 2)
dostaneme nevyhovující výsledky:






=
1,578
1,353
v1 , 





=
6,1015
6,796
v2
Příklad 4.: Výrobce limonád pravidelně sleduje prodejnost nového výrobku na domácím
trhu. Výrobek hodnotí v každém sledovaném období jako úspěšný (stav 0) nebo jako
neúspěšný (stav 1), přičemž lze předpokládat, že úspěšnost či neúspěšnost prodeje v daném
období je ovlivněna jen tím, jak se výrobek prodával v předchozím období. Dlouhodobým
sledováním prodeje byly zjištěny tyto poznatky: pokud byl výrobek v jednom období
úspěšný, pak v následujícím období bude úspěšný s pravděpodobností 0,8. Jestliže byl
výrobek v jednom období neúspěšný, tak v následujícím období zůstane neúspěšný
s pravděpodobností 0,7. Zůstává-li výrobek úspěšný, je výnos 10 jednotek. Změní-li se
z úspěšného na neúspěšný, klesne výnos na 5 jednotek. Při změně z neúspěšného na úspěšný
je výnos 10 jednotek a zůstává-li výrobek neúspěšný, dojde ke ztrátě 20 jednotek.
a) Modelujte proces pomocí homogenního markovského řetězce. Najděte matici přechodu a
matici výnosů.
b) Pomocí rekurentního vzorce v(n) = q + P v(n-1) vypočtěte pro oba stavy střední hodnotu
celkového výnosu, který se získá za n období, n = 1, 2, ..., 6.
c) Pomocí aproximačního vzorce v(n) ≈ (n-1)Aq + (I – (P – A))-1
q najděte přibližné vyjádření
pro vektor středních hodnot celkových výnosů v(n). Pro n = 1, 2, ..., 6 porovnejte výsledky
s přesným vyjádřením získaným v bodě (b).
Výsledek: ad a) Zavedeme HMŘ { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {0,1}, přičemž Xn = 0
(resp. 1), když v n-tém období je výrobek úspěšný (resp. neúspěšný). Matice






=





=
20-10
510
,
7,03,0
2,08,0
RP .
ad b) Výpočet pomocí rekurentního vzorce:
v(1) = 





−11
9
, v(2) = 





−16
14
, v(3) = 





−18
17
, v(4) = 





− 5,18
19
, v(5) = 





− 25,18
5,20
,
v(6) = 





− 625,17
75,21
ad c) Výpočet pomocí aproximačního vzorce:
v(1) = 





− 23
17
, v(2) = 





− 22
18
, v(3) = 





− 21
19
, v(4) = 





− 20
20
, v(5) = 





−19
21
, v(6) = 





−18
22
Je zřejmé, že aproximační vzorec je pro malá n nevhodný.
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matice P, R a a počet období n:
P=[0.8 0.2;0.3 0.7]; R=[10 5;10 -20];n=6;
ad b) Zavoláme funkci vynos:
vynos(P,R,n)
ad c) Zavoláme funkci vynosaprx:
V=vynosaprx(P,R,n)
Příklad 5.: Výrobce nealkoholických nápojů hodlá nabídnout síti potravinových obchodů
nápoj D s novou příchutí. Je si vědom konkurence tří současných oblíbených typů
nealkoholických nápojů A, B, C, ale věří, že zákazníci ocení příznivé složení a dobrou chuť
nápoje D a budou jej preferovat, jakmile ho ochutnají. Na základě zkušeností s obdobnými
produkty byla sestavena matice přechodu (časovým krokem je 1 týden):
P =














85,005,005,005,0
30,060,005,005,0
10,005,075,010,0
10,015,010,065,0
.
Výnos nebo ztráta, které plynou z jednotlivých přechodů, jsou uvedeny v matici výnosů:
R =














−−−
−−−
−−−
−−−
4333
3211
5121
5112
.
Diskontní faktor je 0,5. Pro prvních 10 týdnů vypočtěte vektor středních hodnot celkových
výnosů. Zjistěte také limitní hodnotu vektoru středních hodnot celkových výnosů.
Výsledek:
v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) … v(9) v(10)
A 0 -1,050 -1,331 -1,360 -1,331 … -1,255 -1,253
B 0 -1,150 -1,496 -1,574 -1,574 … -1,525 -1,523
C 0 -0,400 -0,133 0,110 0,255 … 0,402 0,405
D 0 2,950 4,139 4,635 4,849 … 5,023 5,025
Limitní vektoru v(n):
∞→n
lim v(n) = (-1,2506, -1,5216, 0,4069, 5,0276)
Návod na řešení v MATLABu:
Zadáme matice P, R, vektor v0 a diskontní faktor beta:
P=[0.65 0.1 0.15 0.1;0.1 0.75 0.05 0.1;0.05 0.05 0.6 0.3;0.05 0.05 0.05 0.85];
R=[-2 -1 -1 5;-1 -2 -1 5;-1 -1 -2 3;-3 -3 -3 4];
v0=[0 0 0 0]‘; beta=0.5;
Vypočteme vektor q = diag(P*R’);
vektor v1=q+beta*P*v0
vektor v2=q+beta*P*v1
atd. až
vektor v10=q+beta*P*v9
Výpočet limitního vektoru v(n):
Zadáme jednotkovou matici I = eye(4);
limitni_v=(I-beta*P)^(-1)*q
Je možné použít funkci diskont.m, která
- počítá vektory středních hodnot diskontovaných výnosů po jednom až po n obdobích;
- počítá limitní vektor středních hodnot diskontovaných výnosů;
- znázorní průběhy vektorů středních hodnot pro jednotlivé stavy v závislosti na počtu období.
Zadáme matice P, R, diskontní faktor beta a počet období n:
P=[0.65 0.1 0.15 0.1;0.1 0.75 0.05 0.1;0.05 0.05 0.6 0.3;0.05 0.05 0.05 0.85];
R=[-2 -1 -1 5;-1 -2 -1 5;-1 -1 -2 3;-3 -3 -3 4];
beta=0.5; n=10;
Zavoláme funkci diskont:
diskont(P,R,beta,n)