Cvičení 9 – Markovské řetězce se spojitým časem- základní pojmy
Příklad 1.: Částice se pohybuje po třech drahách 1, 2, 3, které jsou umístěny mezi
odrážejícími stěnami. Na počátku sledování je částice na 2. dráze. Částice může změnit svoji
dráhu v libovolném okamžiku. Je známo, že během krátkého časového intervalu o délce h
(přitom 0 < h < 0,5) částice může buď zůstat na dráze, na níž se právě nachází nebo může
přeskočit na sousední dráhu s pravděpodobností 2h. Pravděpodobnosti přeskoků na další
dráhy jsou zanedbatelně malé.
a) Popište polohu částice na jednotlivých drahách pomocí HMŘ se spojitým časem.
b) Najděte matici intenzit přechodu a nakreslete přechodový diagram.
c) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce a interpretujte ho.
Výsledek: ad c) a = (1/3 1/3 1/3)
Návod na výpočet v MATLABu:
Zadáme matici intenzit přechodu:
Q=[-2 2 0;2 -4 2;0 2 -2]
Zavoláme funkci stacionarni_vektor.m:
a=stacionarni_vektor(Q)
Příklad 2.: Uvažme provoz malé půjčovny aut, která má 4 auta. Doba mezi dvěma požadavky
na zapůjčení auta je náhodná veličina, která má exponenciální rozložení se střední hodnotou
polovina dne a doba výpůjčky je náhodná veličina s exponenciálním rozložením se střední
hodnotou třetina dne.
a) Popište počet vypůjčených aut pomocí HMŘ se spojitým časem.
b) Najděte matici intenzit přechodu a nakreslete přechodový diagram.
c) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce a interpretujte ho.
Nápověda: Pravděpodobnost, že počet zapůjčených aut se během intervalu ( ht,t + zvětší o
1, je stále λh (λ = 2) a pravděpodobnost, že počet zapůjčených aut se v intervalu ( ht,t +
zmenší o 1, je úměrná počtu zapůjčených aut s koeficientem úměrnosti µ (µ = 3).
Výsledek: a = (0,5137 0,3425 0,1142 0,0254 0,0042)
Návod na výpočet v MATLABu:
Zadáme matici intenzit přechodu:
Q=[-2 2 0 0 0;3 -5 2 0 0;0 6 -8 2 0;0 0 9 -11 2;0 0 0 12 -12]
Zavoláme funkci stacionarni_vektor.m:
a=stacionarni_vektor(Q)
Příklad 3.: Máme černou a bílou urnu a pět koulí. Na počátku pokusu jsou všechny koule
v bílé urně. V okamžiku t náhodně vybereme jednu kouli (výběr každé koule je stejně
pravděpodobný) a přemístíme ji do druhé urny. Délky časových intervalů mezi jednotlivými
změnami počtu koulí v urnách jsou náhodné, nezávislé a nejsou ovlivněny změnami počtu
koulí v urnách. Pravděpodobnost změn v průběhu časového intervalu dané délky nezávisí na
poloze tohoto intervalu na časové ose.
Zavedeme homogenní markovský řetězec { }Tt;Xt ∈ se spojitým časem, kde náhodná
veličina Xt udává počet koulí v černé urně v okamžiku t. Předpokládáme, že intenzity
přechodu mezi bezprostředně dostupnými stavy tohoto řetězce jsou stejné (jsou rovny
konstantě λ > 0) a nezávisí na počtu koulí v urnách.
a) Sestavte matici intenzit přechodu Q a nakreslete přechodový diagram.
b) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce a interpretujte ho.
Výsledek: ad b) 





=
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
a
Příklad 4.: Nechť { }Tt;Xt ∈ je HMŘ se spojitým časem a množinou stavů
{ }m,,n,,1,0J KK= , kde pro čísla m a n platí mn1 ≤≤ . Intenzity přechodu jsou dány vztahy:



≤≤µ
<<µ
=−
mjnpron
nj0proj
q 1j,j , ( )λ−=+ jmq 1j,j pro 0 ≤ j ≤ m.
Vypočtěte stacionární rozložení tohoto řetězce pro n = 2, m = 5, λ = 4, µ = 12.
Výsledek: a = (0,2198 0,3664 0,2442 0,1221 0,0407 0,0068)
Návod na výpočet v MATLABu:
Zadáme matici intenzit přechodu:
Q=[-20 20 0 0 0 0;12 -28 16 0 0 0;0 24 -36 12 0 0;0 0 24 -32 8 0;0 0 0 24 -28 4;0 0 0 0 24 -
24]
Zavoláme funkci stacionarni_vektor.m:
a=stacionarni_vektor(Q)