A
1. (5 b.) Dokažte, že je-li součet 5™ +3™ +1 prvočíslo, pak je přirozené číslo n dělitelné dvanácti. (Nápověda: zkoumejte, jaké zbytky dává uvedený výraz modulo vhodná přirozená čísla).
2. (5 b.) Rozhodněte (a stručně zdůvodněte), které z následujících kongruencí (resp. soustav kongruencí) jsou řešitelné.
(a) x = -1 (mod 3) (d) x2 = 4 (mod 23) x =   8 (mod 9) x2 = 1 (mod 41)
(b) 4x = 6 (mod 12345678910)
(c) x = 3 (mod 21) (e) x2 = 11 (mod 7) x = 5 (mod 91) x2 = 7 (mod 11)
3. (4 b.)
(a) Zformulujte Bezoutovu větu a aplikujte ji na čísla 1234 a 9876.
(b) Určete počet řešení kongruence 1234x = 6 (mod 9876) a tuto kongruencí vyřešte.
4. (3 b.) Pro číslo n = 6300 určete počet a součet jeho kladných dělitelů a rovněž počet přirozených čísel x < n, pro která (x,n) = 1.
5. (3 b.) Dokažte, že jsou-li a, b nesoudělná celá čísla, pak jsou nesoudělná také čísla a2 + ab+b2, a2 — ab + b2 .
B
1. (5 b.) Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n je číslo
22      - 16
je dělitelné číslem 37.
2. (5 b.) Rozhodněte (a stručně zdůvodněte), které z následujících kongruencí (resp. soustav kongruencí) jsou řešitelné.
(a) x =   1 (mod 3) (d) x2 = 1 (mod 23) x = —1 (mod 9) x2 = 4 (mod 41)
(b) 4x = 1 (mod 1234567891011)
(c) x = 3 (mod 23) (e) x2 = 11 (mod 7)
x = 5 (mod 41) x2 = —7 (mod 11)
3. (4 b.)
(a) Zformulujte Bezoutovu větu a aplikujte ji na čísla 1234 a 8642.
(b) Určete počet řešení kongruence 1234x = 6 (mod 8642) a tuto kongruencí vyřešte.
4. (3 b.) Pro číslo n = 6750 určete počet a součet jeho kladných dělitelů a rovněž počet přirozených čísel x < n, pro která (x,n) = 1.
5. (3 b.) Dokažte, že jsou-li a, b nesoudělná celá čísla, pak jsou také čísla a3 + b3, a2 + ab + b2 nesoudělná.