Cvičení 10: Generování realizací spojité náhodné veličiny
Metoda inverzní transformace
Pro generování realizací některých spojitých náhodných veličin se používá metoda inverzní
transformace, která je založena na dvou následujících větách.
Věta 1.: Nechť spojitá náhodná veličina X má rostoucí distribuční funkci Φ(x) (tzn., že k ní
existuje inverzní funkce Φ-1
(y) – tzv. kvantilová funkce). Pak transformovaná náhodná
veličina Y = Φ(X) má rozložení Rs(0,1).
Důkaz: Označme Φ*(y) distribuční funkci náhodné veličiny Y.
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0,1yproyyyXPyXPyYPy 11
* ∈=ΦΦ=Φ≤=≤Φ=≤=Φ −−
,
( ) ( 0,-ypro0y* ∞∈=Φ , ( ) )∞∈=Φ ,1ypro1y*
Tedy Y ~ Rs(0,1).
Věta 2.: Nechť X ~ Rs(0,1) a nechť Φ je rostoucí spojitá distribuční funkce. Pak
transformovaná náhodná veličina Y = Φ-1
(X) má distribuční funkci Φ.
Důkaz: Označme Φ*(y) distribuční funkci náhodné veličiny Y.
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )yyXPyXPyYPy 1
* Φ=Φ≤=≤Φ=≤=Φ −
, protože X ~ Rs(0,1).
Postup:
1. krok: Z rozložení Rs(0,1) vygenerujeme číslo u.
2. krok: Číslo u transformujeme vztahem x = Φ-1
(u).
Kroky 1 a 2 se opakují n-krát.
Úkol 1.: Vygenerujte 1000 realizací náhodné veličiny z rozložení Rs(-2, 5), nakreslete
histogram a vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku.
Návod: Hustota: ( )




∈
=ϕ
inakjpro0
2,5-xpro
7
1
x , distribuční funkce: ( )







>
−∈
+
−<
=Φ
7xpro1
7,2prox
7
2x
2prox0
x ,
inverzní funkce k distribuční funkci (tzv.kvantilová funkce):
( ) u72u1
+−=Φ−
, kde 0 < u < 1.
Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných (nazveme je u a x) a 1000 případech. Do
proměnné u uložíme náhodná čísla z intervalu (0, 1), tj. do Dlouhého jména této proměnné
napíšeme =rnd(1). Proměnná x vznikne transformací proměnné u. Do Dlouhého jména
proměnné x napíšeme =-2+7*u.
Vykreslíme histogram proměnné x. Histogram by měl sestávat ze sedmi téměř stejně
vysokých obdélníků na intervalu 5,2− .
Průměr a směrodatnou odchylku proměnné x vypočteme pomocí cesty Statistiky – Základní
statistiky a tabulky – Popisné statistiky. Průměr by měl být blízký 1,5, směrodatná odchylka
2,02 (proč?).
Úkol 2.: Vygenerujte 1000 realizací náhodné veličiny z rozložení Ex(2) nakreslete histogram
a vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku.
Návod: Hustota: ( )



≤
>λ
=ϕ
λ−
0xpro0
0xproe
x
x
,
distribuční funkce: ( )



≤
>−
=Φ
λ−
0xpro0
0xproe1
x
x
,
inverzní funkce k distribuční funkci (tzv.kvantilová funkce):
( ) ( )u1ln
1
u1
−
λ
−=Φ−
, kde 0 < u < 1.
Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných (nazveme je u a x) a 1000 případech. Do
proměnné u uložíme náhodná čísla z intervalu (0, 1), tj. do Dlouhého jména této proměnné
napíšeme =rnd(1). Proměnná x vznikne transformací proměnné u. Do Dlouhého jména
proměnné x napíšeme =-0,5*log(1-u).
Vykreslíme histogramy proměnných u a x. První histogram by měl sestávat z 10 téměř stejně
vysokých obdélníků na intervalu 1,0 , tvar druhého histogramu by se měl blížit
exponenciále.
Průměr proměnné x by se měl blížit 0,5, směrodatná odchylka rovněž (proč?)
Upozornění: V systému STATISTICA lze realizace náhodné veličiny s exponenciálním
rozložením generovat též pomocí funkce RndExp(lambda).
Histogram z u
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
u
0
20
40
60
80
100
120
Početpozorování
Histogram z x
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
x
0
100
200
300
400
500
600
700
Početpozorování
Úkol k samostatnému řešení: Vygenerujte 1000 realizací náhodné veličiny s hustotou
( )


 ≤≤
=ϕ
jinak0
1x0prox4
x
3
a nakreslete histogram.
Boxova – Müllerova transformace pro generování realizací náhodné veličiny s
normálním rozložením:
Nechť x1, x2 jsou dvě nezávislá čísla z Rs(0,1). Pak transformovaná čísla
212211 x2sinxln2z,x2cosxln2z π−=π−=
lze považovat za realizace náhodné veličiny s rozložením N(0,1).
Úkol 3.: Pomocí B-M transformace vygenerujte 1000 realizací náhodné veličiny se
standardizovaným normálním rozložením a nakreslete histogram.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o 4 proměnných (nazveme je x1, x2, z1, z2) a 500
případech. Do Dlouhého jména proměnných x1 a x2 napíšeme =rnd(1), do Dlouhého jména
proměnné z1 napíšeme =sqrt(-2*log(x1))*cos(2*pi*x2) a do Dlouhého jména z2 napíšeme
=sqrt(-2*log(x1))*sin(2*pi*x2). Dále vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné
(nazveme ji z) a 1000 případech. Do případů 1 – 500 okopírujeme hodnoty proměnné z1 a do
případů 501 – 1000 okopírujeme hodnoty proměnné z2. Vykreslíme histogram proměnné
z s proloženou Gaussovou křivkou.
-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Prom1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Početpozorování
Úkol k samostatnému řešení: Proměnnou z vytvořenou v úkolu 2 transformujte na
proměnnou s rozložením N(1, 1,5)
Upozornění: V systému STATISTICA lze realizace náhodné veličiny s normálním
rozložením N(0, σ2
) generovat pomocí funkce RndNormal(σ).