Cvičení 4: Číselné charakteristiky dvourozměrného souboru,
regresní přímka
Úkol 1.: Pro datový soubor ocel.sta vypočtěte kovarianci a koeficient korelace meze
plasticity a meze pevnosti. Výsledek porovnejte s výsledkem ve skriptech Popisná statistika
(str. 30).
Návod:
Výpočet kovariance: Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Hlavní
komponenty&klasifikační analýza – Proměnné – Proměnné pro analýzu X, Y – OK – na
záložce Detaily zaškrtneme Rozptyl počítat jako SČ/N – OK – na záložce Popisné statistiky
vybereme Kovarianční matice.
Kovariance (ocel.sta)
Proměnná X Y
X
Y
1052,403 985,763
985,763 1057,207
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je
kovariance.
Výpočet koeficientu korelace: Aktivujeme Výsledky hlavních komponent a klasifikační
analýzy – na záložce Popisné statistiky vybereme Korelační matice.
Korelace (ocel.sta)
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,934548
0,934548 1,000000
Vidíme, že výsledek 0,9345 svědčí o existenci silná přímé lineární závislosti mezi X a Y.
Úkol 2.: Pro údaje z datového souboru ocel.sta určete koeficienty regresní přímky meze
pevnosti na mez plasticity a stanovte index determinace. Určete regresní odhad meze
pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového
diagramu.
Návod: Statistiky – Vícenásobná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnná X - OK
– OK – Výpočet: Výsledky regrese.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (ocel.sta)
R= ,93454811 R2= ,87338017 Upravené R2= ,87119707
F(1,58)=400,06 p<0,0000 Směrod. chyba odhadu : 11,768
N=60
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(58) Úroveň p
Abs.člen
X
24,58814 4,740272 5,18707 0,000003
0,934548 0,046724 0,93668 0,046830 20,00160 0,000000
Ve výstupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na řádku označeném Abs. člen,
koeficient b1 ve sloupci B na řádku označeném X, index determinace pod označením R2.
Regresní přímka meze pevnosti na mez plasticity má rovnici:
Y = 24,58814 + 0,93668 X.
Index determinace nabývá hodnoty 0,8734, tedy variabilita meze pevnosti je z 87,34 %
vysvětlena regresní přímkou.
Pro výpočet regresního odhadu zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi - Předpověď
závisle proměnné X:110 - OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako
Předpověď.
Předpovězené hodnoty (ocel.sta)
proměnné: Y
Proměnná
B-váž. Hodnota B-váž.
* Hodnot
X
Abs. člen
Předpověď
-95,0%LS
+95,0%LS
0,936679 110,0000 103,0346
24,5881
127,6228
124,3063
130,9392
Je-li mez plasticity 110, je regresní odhad meze pevnosti roven 127,62.
Nakreslení regresní přímky: Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní
přímku tak, že v Bodovém grafu ponecháme Typ proložení Lineární, OK.
Bodový graf z Y proti X
ocel.sta 4v*60c
Y = 24,5881+0,9367*x
20 40 60 80 100 120 140 160 180
X
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Y
Na dvourozměrném tečkovém diagramu je vidět, že regresní přímka je vhodná pro
modelování závislosti meze pevnosti na mezi plasticity – tečky jsou rozmístěny vcelku
rovnoměrně kolem regresní přímky.
Úkol k samostatnému řešení
Máme k dispozici údaje o rozměrech lebek staroegyptské populace. Jedná se o 216 mužů a
109 žen.
Znak X … největší délka mozkovny v mm (tj. přímá vzdálenost kraniometrických bodů
glabella a opisthocranion)
Znak Y … největší šířka mozkovny v mm (tj. přímá vzdálenost kraniometrických bodů
euryon dx a euryon sin)
Znak Z … pohlaví osoby (1 … muž, 0 … žena)
Údaje jsou uloženy v souboru lebky.sta.
a) Určete koeficienty regresní přímky znaku Y na znak X, a to zvlášť pro muže a zvlášť pro
ženy a stanovte index determinace.
b) Určete regresní odhad znaku Y, nabývá-li znak X hodnoty 178 mm pro muže resp. 167 mm
pro ženy.
c) Nakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu.
Výsledky pro muže:
Ad a)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (lebky.sta)
R= ,16815700 R2= ,02827678 Upravené R2= ,02373602
F(1,214)=6,2273 p<,01333 Směrod. chyba odhadu : 4,7670
Zhrnout podmínku: z=1
N=216
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(214) p-hodn.
Abs.člen
X
114,0551 9,274551 12,29764 0,000000
0,168157 0,067385 0,1271 0,050919 2,49546 0,013335
Regresní přímka má rovnici Y = 114,0551 + 0,1271 X.
Index determinace nabývá hodnoty 0,0283, tedy variabilita největší šířky mozkovny mužů je
z 2,83 % vysvětlena regresní přímkou.
Ad b)
Je-li největší délka mozkovny 178 mm, je regresní odhad největší šířky mozkovny roven
136,673 mm.
Ad c)
Y vs. X
Y = 114,06 + ,12707 * X
Korelace : r = ,16816
Zhrnout podmínku: z=1
160 165 170 175 180 185 190 195 200 205
X
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
Y
Výsledky pro ženy:
Ad a)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (lebky.sta)
R= ,38092573 R2= ,14510442 Upravené R2= ,13711474
F(1,107)=18,161 p<,00004 Směrod. chyba odhadu : 4,3622
Zhrnout podmínku: z=0
N=109
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(107) p-hodn.
Abs.člen
X
83,94544 11,78726 7,121712 0,000000
0,380926 0,089385 0,28763 0,06749 4,261629 0,000044
Regresní přímka má rovnici Y = 83,9454 + 0,2873 X.
Index determinace nabývá hodnoty 0,1451, tedy variabilita největší šířky mozkovny žen je ze
14,51 % vysvětlena regresní přímkou.
Ad b)
Je-li největší délka mozkovny 167 mm, je regresní odhad největší šířky mozkovny roven
131,98 mm.
Ad c)
Y vs. X
Y = 83,945 + ,28763 * X
Korelace : r = ,38093
Zhrnout podmínku: z=0
155 160 165 170 175 180 185 190
X
115
120
125
130
135
140
145
150
Y
Úkol k samostatnému řešení: V hodině tělesné výchovy bylo u 15 chlapců zjišťováno, kolik
udělají shybů a kliků. Výsledky jsou uvedeny v tabulce.
číslo chlapce
X
počet shybů
Y
počet kliků
1 1 10
2 3 15
3 2 15
4 0 0
5 5 40
6 6 25
7 1 7
8 4 31
9 3 30
10 5 35
11 6 41
12 2 10
13 1 14
14 1 9
15 8 64
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram vyjadřující závislost počtu kliků na počtu shybů.
Vypočtěte koeficient korelace znaků X, Y.
Modelujte závislost počtu kliků na počtu shybů regresní přímkou a napište její rovnici.
Vypočtěte index determinace.
Jaký je regresní odhad počtu kliků pro počet shybů rovný 7?
Výsledek:
Dvourozměrný tečkový diagram:
Bodový graf z Y proti X
Tabulka1 2v*15c
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Y
Koeficient korelace nabývá hodnoty 0,9276.
Rovnice regresní přímky: Y = 1,6463 + 6,6939 X.
Index determinace = 0,8604.
Regresní odhad počtu kliků pro 7 shybů je 48,5.