Cvičení 5: Simulování hodů kostkou
Úkol: Hodíme naráz šesti kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne
a) na každé kostce jiné číslo (jev A),
b) samé šestky (jev B),
c) právě pět šestek (jev C),
d) právě čtyři šestky (jev D),
e) aspoň čtyři šestky (jev E),
f) samá sudá čísla (jev F),
g) všechna čísla stejná (jev G)?
Řešení:
Při hodu šesti kostkami je základní prostor Ω tvořen všemi uspořádanými šesticemi z čísel 1,
2, …, 6, tedy m(Ω) = 66
= 46656.
Ad a) Pro první kostku máme 6 možností, pro druhou 5 možností atd. až pro šestou kostku
máme jedinou možnost, tedy
( ) 01543,0
46656
720
6
!6
AP 6
=== &
Ad b) Pro padnutí šesti šestek existuje jediná možnost, proto
( ) 00002143,0
46656
1
6
1
BP 6
=== &
Ad c) Kostku, na které nepadne šestka, lze vybrat šesti způsoby a může na ní padnout
kterékoliv z čísel 1, 2, …, 5, tedy
( ) 000643,0
46656
30
6
56
CP 6
==
⋅
= &
Ad d) Dvě kostky, na kterých nepadne šestka, lze vybrat 





2
6
způsoby a na každé z nich může
padnout kterékoliv z čísel 1, 2, …, 5, tedy
( ) 008038,0
46656
375
6
5
2
6
DP 6
2
==
⋅





= &
Ad e) Mají-li padnout aspoň čtyři šestky, tak to znamená, že padnou buď samé šestky
(nastane jev B) nebo právě pět šestek (jev C) nebo právě čtyři šestky (jev D). Protože jevy B,
C, D jsou neslučitelné, platí, že
( ) ( ) ( ) ( ) 008702,0
46656
406
46656
375301
DPCPBPEP ==
++
=++=
Ad f) Pro každou kostku lze vybrat sudé číslo třemi způsoby, tedy
( ) 015625,0
46656
729
6
3
FP 6
6
=== &
Ad g) Mají-li na všech šesti kostkách padnout stejná čísla, pak to lze uskutečnit právě šesti
způsoby, tedy ( ) 0001286,0
46656
6
6
6
GP 6
=== &
Na počítači budeme simulovat nezávislé hody šesti kostkami a budeme zjišťovat relativní
četnosti jevů A až G.
Postup v systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor s 13 proměnnými, počet případů zvolíme 46656. Prvních šest
proměnných, které nazveme I, II, III, IV, V, VI, naplníme náhodně vygenerovanými čísly od
1 do 6, tj. do Dlouhého jména každé této proměnné napíšeme =floor(rnd(6))+1.
Do proměnné v7, kterou nazveme jev A, se uloží číslo 1, když na příslušném řádku budou
různá čísla a číslo 0 jinak, tzn., že do Dlouhého jména této proměnné napíšeme
=iif((v1<>v2 and v1<>v3 and v1<>v4 and v1<>v5 and v1<>v6 and v2<>v3 and v2<>v4 and
v2<>v5 and v2<>v6 and v3<>v4 and v3<>v5 and v3<>v6 and v4<>v5 and v4<>v6 and
v5<>v6);1;0)
Do proměnné v8, kterou nazveme jev B, se uloží číslo 1, když na příslušném řádku budou
samé šestky a číslo 0 jinak, tzn., že do Dlouhého jména této proměnné napíšeme
=iif((v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6);1;0)
Analogicky postupujeme při vyplňování proměnných v9 až v13, které postupně nazveme jev
C až jev G.
Uvedeme podmínky, kterými vyplníme Dlouhá jména těchto proměnných.
Jev C:
=iif((v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6
and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and v4=6 and
v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and v3=6 and
v4=6 and v5=6 and v6=6);1;0)
Jev D:
=iif((v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6
and v3=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and v3=6 and v4=6 and v6=6) or (v2=6 and v3=6 and
v4=6 and v5=6) or (v1=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v5=6 and
v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v4=6 and v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6) or
(v1=6 and v2=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and v4=6 and v6=6) or (v1=6 and
v2=6 and v4=6 and v5=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and
v3=6 and v5=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6);1;0)
Jev E:
=iif((v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6
and v4=6 and v5=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and
v3=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and
v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or
(v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and
v3=6 and v5=6 and v6=6) or (v2=6 and v3=6 and v4=6 and v6=6) or (v2=6 and v3=6 and
v4=6 and v5=6) or (v1=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v5=6 and
v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v4=6 and v6=6) or (v1=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6) or
(v1=6 and v2=6 and v5=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and v4=6 and v6=6) or (v1=6 and
v2=6 and v4=6 and v5=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v6=6) or (v1=6 and v2=6 and
v3=6 and v5=6) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6);1;0)
Jev F:
=iif((v1=2 or v1=4 or v1=6) and (v2=2 or v2=4 or v2=6) and (v3=2 or v3=4 or v3=6) and
(v4=2 or v4=4 or v4=6) and (v5=2 or v5=4 or v5=6) and (v6=2 or v6=4 or v6=6);1;0)
Jev G:
=iif((v1=1 and v2=1 and v3=1 and v4=1 and v5=1 and v6=1) or (v1=2 and v2=2 and v3=2
and v4=2 and v5=2 and v6=2) or (v1=3 and v2=3 and v3=3 and v4=3 and v5=3 and v6=3) or
(v1=4 and v2=4 and v3=4 and v4=4 and v5=4 and v6=4) or (v1=5 and v2=5 and v3=5 and
v4=5 and v5=5 and v6=5) or (v1=6 and v2=6 and v3=6 and v4=6 and v5=6 and v6=6);1;0)
Pro zjištění absolutních a relativních četností jevů A až G vypočteme součty a průměry
proměnných jev A až jev G pomocí cesty:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné 7-13 – OK – na
záložce Detailní výsledky ponecháme jen Průměr a Součet – Výpočet.
Výslednou výstupní tabulku rozšíříme o proměnné Počet příznivých případů a
Pravděpodobnost, do nichž zapíšeme počty příznivých případů a pravděpodobnosti
jednotlivých jevů. Proměnnou Průměr přejmenujeme na Relativní četnost a proměnnou
Součet na Absolutní četnost.
absolutní
četnost
relativní
četnost
počet
příznivých případů
pravděpodobnost
Jev A 688 0,014746 720 0,01543
Jev B 2 0,000043 1 0,00002143
Jev C 29 0,000622 30 0,000643
Jev D 361 0,007737 375 0,008037
Jev E 361 0,007737 406 0,0087
Jev F 703 0,015068 729 0,015625
Jev G 4 0,000086 6 0,0001286
Tabulka 3: Absolutní a relativní četnosti a pravděpodobnosti jevů A až G
Při této konkrétní simulaci pozorujeme nejvyšší odchylku relativní četnosti od
pravděpodobnosti u jevu E. Simulace lze mnohonásobně nezávisle opakovat a sledovat, jak se
mění výsledky v závislosti na počtu opakování.