Cvičení 6: Opakované nezávislé pokusy
Vzorový příklad na binomické rozložení pravděpodobností: Pravděpodobnost, že se
pacient uzdraví z určitého druhu rakoviny, je rovna 0,4. Jestliže byla tato choroba
diagnostikována u 15 pacientů, jaká je pravděpodobnost, že
a) se nejvýše 8 uzdraví,
b) se aspoň 10 uzdraví,
c) právě 5 se uzdraví,
d) počet uzdravených bude mezi třemi a osmi?
Řešení:
Počet pokusů: n = 15, pravděpodobnost úspěchu: ϑ = 0,4
ad a)
( ) ( ) ∑∑∑ =
−
==
=





==
8
0x
x15x
8
0x
15
x
0x
n 905,06,04,0
x
15
xPxP
1
S pravděpodobností 90,5 % se z 15 pacientů uzdraví nejvýše 8.
ad b) ( ) ( ) ( ) 0338,06,04,0
x
15
1xP1xPxP
9
0x
x15x
9
0x
15
15
10x
15
n
xx
n
0
=





−=−== ∑∑∑∑ =
−
===
S pravděpodobností 3,38 % se z 15 pacientů uzdraví aspoň 10.
ad c)
( ) ( ) 1859,06,04,0
5
15
5PxP 105
15n =





==
S pravděpodobností 18,59 % se z 15 pacientů uzdraví právě 5.
ad d)
( ) ( ) ( ) ( )
8778,0
6,04,0
x
15
6,04,0
x
15
xPxPxPxP
2
0x
x15x
8
0x
x15x
2
0x
15
8
0x
15
8
3x
15
x
xx
n
1
0
=
=





−





=−== ∑∑∑∑∑∑ =
−
=
−
====
S pravděpodobností 87,78 % bude mezi 15 pacienty uzdravených od 3 do 8.
Návod:
1. možnost: Použití funkcí Binom a IBinom
Otevřeme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými a o jednom případu.
Do Dlouhého jména 1. proměnné napíšeme =IBinom(8;0,4;15).
Do Dlouhého jména 2. proměnné napíšeme =1-IBinom(9;0,4;15).
Do Dlouhého jména 3. proměnné napíšeme =Binom(5;0,4;15).
Do Dlouhého jména 4. proměnné napíšeme =IBinom(8;0,4;15)-IBinom(2;0,4;15).
Prom1
=IBinom(8;0,4;15)
Prom2
=1-IBinom(9;0,4;15)
Prom3
=Binom(5;0,4;15)
Prom4
=IBinom(8;0,4;15)-IBinom(2;0,4;15)
1 0,904952592 0,0338333029 0,185937845 0,877838591
2. možnost: Použití pravděpodobnostního kalkulátoru
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Binomické – do okénka N napíšeme
15, do okénka P napíšeme 0,4.
Ad a) Do okénka X napíšeme 8, zaškrtneme Kum. Pravděpodobnost – Výpočet. V okénku p
se objeví 0,904953.
Ad b) Do okénka X napíšeme 9, zaškrtneme Kum. Pravděpodobnost – Výpočet. V okénku p
se objeví 0,966167. Hledaná pravděpodobnost je doplněk do 1, tedy 0,033833.
Ad c) Do okénka X napíšeme 5, zaškrtneme Pravdě. V okénku p se objeví 0,185938.
Ad d) Nejprve vypočteme pravděpodobnost, že se uzdraví nejvýše 8 pacientů (to bylo
spočítáno v bodě a) a poté od ní odečteme pravděpodobnost, že se uzdraví nejvýše 2 pacienti:
0,904953 – 0,027114 = 0,877839.
Příklady k samostatnému řešení (číslování podle skript Teorie pravděpodobnosti a
matematická statistika)
Příklad 4.10.: V rodině je 10 dětí. Za předpokladu, že chlapci i dívky se rodí
s pravděpodobností 0,5 a pohlaví se formuje nezávisle na sobě, určete pravděpodobnost, že
v této rodině je
a) právě 5 chlapců
b) nejméně 3 a nejvýše 8 chlapců.
Výsledek: ad a) 0,2461, ad b) 0,9346
Příklad 4.11.: Na dvoukolejném železničním mostě se potkají během 24 hodin nejvýše dva
vlaky, a to s pravděpodobností 0,2. Za předpokladu, že denní provozy jsou nezávislé, určete
pravděpodobnost, že během týdne se dva vlaky na mostě potkají
a) právě třikrát
b) nejvýše třikrát
c) alespoň třikrát.
Výsledek: ad a) 0,11468, ad b) 0,9667, ad c) 0,148
Příklad 4.12.: Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie ze čtyř nebo
pět partií z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky jsou nezávislé?
Výsledek: ad a) 0,250000, ad b) 0,218750
Příklad 4.13.: Dvacetkrát nezávisle na sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost,
že alespoň v jednom hodě padnou tři líce?
Výsledek: 0,930791
Příklad 4.14.: Pětkrát nezávisle na sobě házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že
právě dvakrát padnou tři jedničky?
Výsledek: 0,000211
Vzorový příklad na geometrické rozložení pravděpodobností: Jaká je pravděpodobnost, že
při hře „Člověče, nezlob se!“ nasadíme figurku
a) právě při třetím hodu,
b) nejpozději při třetím hodu?
Řešení:
Ad a) Počet neúspěchů: x = 2, pravděpodobnost úspěchu:
6
1
=ϑ
( ) ( ) ( ) 1157,06/1;2Geom
6
1
6
5
12P
2
2
==





=ϑϑ−=
Pravděpodobnost, že figurku nasadíme právě při třetím hodu, je 11,57 %.
Ad b) Počet neúspěchů: x = 0, 1, 2, pravděpodobnost úspěchu:
6
1
=ϑ
( ) ( ) ( ) 4213,06/1;2IGeom
6
1
6
5
1xP
2
0x
x2
0x
x
2
0x
==





=ϑϑ−= ∑∑∑ ===
Pravděpodobnost, že figurku nasadíme nejpozději při třetím hodu, je 42,13 %.
Příklad: V určitém výrobním procesu je známo, že jeden z deseti výrobků nevyhovuje
normám. Jaká je pravděpodobnost, že pátý náhodně vybraný výrobek je prvním, který
nevyhovuje?
Výsledek: 0,0656