Cvičení 7: Geometrická pravděpodobnost a empirický zákon velkých čísel
Úkol: Máme kruhový disk o průměru 2 dm a hodíme ho na podlahu se čtvercovými kachličkami
o straně 4 dm. Jaká je pravděpodobnost, že disk přistane uvnitř některé kachličky?
Řešení: Polohu disku na podlaze můžeme popsat souřadnicemi jeho středu [x, y]. Vzhledem
k tomu, že všechny polohy disku lze považovat za stejně nadějné, omezíme se na tu kachličku,
v níž se ocitl střed disku. Aby byl disk uvnitř kachličky, musí se jeho střed nacházet od
okrajů kachličky ve vzdálenosti aspoň poloměru disku.
[ ]{ }4y0,4x0;Ry,xG 2
≤≤≤≤∈=
[ ]{ }3y1,3x1;Gy,xB ≤≤≤≤∈=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
25,0
16
4
Gmes
Bmes
BQ,42Bmes,164Gmes 22
=======
Pro využití empirického zákona velkých čísel tedy stačí, abychom vygenerovali velký počet
dvojic čísel (x,y) z intervalu (0,4) a zjistili relativní četnost těch dvojic, kdy 3x1 ≤≤ a současně
3y1 ≤≤ .
Postup v systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor se třemi proměnnými a n případy, kde n budeme postupně
měnit, n = 100, 200, atd. až 1000. První dvě proměnné nazveme x a y a naplníme je náhodně
vygenerovanými čísly z intervalu (0,4), tj. do Dlouhého jména každé této proměnné napíšeme
=rnd(4). Třetí proměnnou nazveme úspěch. Nabude hodnoty 1, když 3x1 ≤≤ a současně
3y1 ≤≤ a hodnoty 0 jinak. Do Dlouhého jména proměnné úspěch napíšeme
=iif(x>=1 and x<3 and y>=1 and y<=3;1;0). Zajímá nás relativní četnost úspěchu, tedy průměr
proměnné úspěch.
Průměr lze spočítat např. tak, že 2x klikneme na název proměnné úspěch a v okně vlastností
vybereme tlačítko Hodn./Statist … a přečteme a zapíšeme hodnotu průměru.
Pro přidání počtu případů vybereme na liště tlačítko Případy – Přidat a zadáme čísla případů
od – do. Pak znovu vyplníme hodnoty našich tří proměnných pomocí cesty Data – Přepočítat
výrazy tabulky – Přepočítat všechny proměnné – OK.
Pro vytvoření grafu závislosti relativní četnosti úspěchu na počtu simulací zjištěné průměry
proměnné úspěch zapíšeme do nového datového souboru o třech proměnných a 10 případech.
Do proměnné v1 nazvané n uložíme počty simulací 100, 200 atd. až 1000. Do proměnné rel.
čet. zapíšeme zjištěné průměry proměnné úspěch a do pravděp. uložíme pravděpodobnost
úspěchu, tj. do Dlouhého jména proměnné pravděp. napíšeme =0,25.
Datový soubor:
1
n
2
rel. čet.
3
pravděp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100 0,22 0,25
200 0,24 0,25
300 0,24 0,25
400 0,275 0,25
500 0,268 0,25
600 0,233 0,25
700 0,26 0,25
800 0,24 0,25
900 0,252 0,25
1000 0,241 0,25
Vytvoření grafu: Grafy – Bodové grafy – vybereme Typ grafu Vícenásobný, odškrtneme Typ
proložení Lineární – Proměnné X: n, Y: rel. čet., pravděp. - OK. Poté 2x klikneme na pozadí
grafu, vybereme Spojnice – Obecné – u proměnné rel. čet. zaškrtneme Spojnice, u proměnné
pravděp. zaškrtneme Spojnice a odškrtneme Značky – OK.
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
Graf závislosti relativní četnosti úspěchu na počtu simulací
Z obrázku vidíme, že s rostoucím počtem simulací se relativní četnost úspěchu blíží pravděpodobnosti
úspěchu 0,25.