Cvičení 9: Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce
v systému STATISTICA, výpočet pravděpodobností pomocí distribučních
funkcí
Systém STATISTICA vytváří grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení,
umí stanovit hodnotu distribuční funkce či počítat 1 - hodnota distribuční funkce. Slouží
k tomu Pravděpodobnostní kalkulátor v menu Statistiky. Hodnoty pravděpodobnostních
funkcí, hustot a distribučních funkcí lze počítat též pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“ proměnné.
Zaměříme se na binomické rozložení, Poissonovo rozložení, exponenciální rozložení a
normální rozložení.
Binomické rozložení Bi(n, ϑ )
Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů,
přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu ϑ . Píšeme X ~ Bi(n, ϑ ).
( ) ( ) ∑=
−
−
ϑ−ϑ





=Φ





=ϑ−ϑ





=π
x
0t
tnt
xnx
)1(
t
n
x,
jinak0
n,0,xpro)1(
x
n
x
K
Kreslení grafů funkcí ( )xπ a ( )xΦ v systému STATISTICA
1. možnost: Ukážeme si, jak získat grafy pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné
veličiny X ~ ( )3,0;12Bi . Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 13 případech.
První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0, 1, ..., 12 (do Dlouhého jména
napíšeme =v0-1). Druhou proměnnou nazveme PF a uložíme do ní hodnoty
pravděpodobnostní funkce (do Dlouhého jména napíšeme příkaz =Binom(x;0,3;12)). Třetí
proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Dlouhého jména
napíšeme příkaz =IBinom(x;0,3;12)).
Graf pravděpodobnostní funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, PF – OK – vypneme
Lineární proložení – OK.
Graf distribuční funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, DF – OK – vypneme Lineární
proložení – OK – 2x klikneme na pozadí grafu – Graf:Obecné – zaškrtneme Spojnice – Typ
spojnice: Schod – OK. (Svislé čáry do grafu nepatří.)
Graf funkce ( )xπ rozložení ( )3,0;12Bi Graf funkce ( )xΦ rozložení ( )3,0;12Bi
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
X
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
PF
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
X
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
DF
Analogickým způsobem můžeme získat grafy pravděpodobnostních distribučních funkcí
binomického rozložení pro různá n a ϑ a sledovat vliv těchto parametrů na vzhled grafů.
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Binomické. Vyplníme X: 0, N: 12, p:
0,3, zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
y=Binom(x;,3;12)
0 2 4 6 8 10 12 14
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p=iBinom(x;,3;12)
0 2 4 6 8 10 12 14
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Graf pravděpodobnostní funkce není z formálního hlediska správný, protože
pravděpodobnostní funkce je kladná pouze v bodech 0, 1, …, n (=12) všude jinde je nulová.
Do grafu distribuční funkce nepatří svislé čáry.
Poissonovo rozložení Po(λ)
Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu
(resp. v jednotkové oblasti), přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně
nezávisle. Parametr 0>λ je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ ( )λPo .
( ) ( ) ∑=
λ−
λ−
λ
=Φ





=
λ
=π
x
0t
t
x
e
!t
x,
jinak0
1,0,xproe
!xx
K
Kreslení grafů funkcí ( )xπ a ( )xΦ v systému STATISTICA
1. možnost: Při tvorbě grafů pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny
s Poissonovým rozložením, např. X ~ ( )5Po , postupujeme podobně jako u binomického
rozložení, ale v datovém souboru bude 16 případů a použijeme funkce Poisson(x;5) a
IPoisson(x;5).
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Poisson. Vyplníme X: 0, Lambda 5,
zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
Řešení: X – počet poruch během směny, X ~ Po(2), P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) =
= 1 - 2
0
e
!0
2 −
= 0,8647.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Do
Dlouhého jména této proměnné napíšeme =1-IPoisson(0;2). Dostaneme výsledek 0,8647.
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Poisson. Vyplníme X: 0, Lambda 2,
zaškrtneme Kum. Pravděpodobnost – Výpočet. Dostaneme 0,1353. Hledaná pravděpodobnost
je doplněk do 1, tedy 0,8647.
Exponenciální rozložení Ex(λ)
Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit
každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. (Jde o tzv. čekání
bez paměti.) Přitom
λ
1
vyjadřuje střední dobu čekání. Náhodná veličina X ~ Ex(λ) má hustotu
( )


 >λ
=ϕ
λ
jinak0
0xproe
x
x-
.
Kreslení grafů funkcí ( )xϕ a ( )xΦ exponenciálního rozložení v systému STATISTICA
1. možnost: Ukážeme si, jak získat grafy hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce
náhodné veličiny X ~ ( )2Ex . Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 30
případech. První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0,001,1, 0,2, ..., 3 (do
Dlouhého jména napíšeme =v0/10). Před 1. případ vložíme jeden případ a do proměnné X
napíšeme 0,001. Druhou proměnnou nazveme HP a uložíme do ní hodnoty hustoty
pravděpodobnosti. (do Dlouhého jména napíšeme příkaz =Expon(x;2)). Třetí proměnnou
nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Dlouhého jména napíšeme příkaz
=IExpon(x;2)).
Graf hustoty: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, HP – OK – vypneme Lineární proložení –
OK. Vymažeme značky, zapneme spojnici a na vodorovné ose upravíme měřítko od 0 do 3.
Graf distribuční funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, DF – OK – vypneme Lineární
proložení – OK. Vymažeme značky, zapneme spojnici a na vodorovné ose upravíme měřítko
od 0 do 3.
Graf funkce ( )xϕ rozložení ( )2Ex Graf funkce ( )xΦ rozložení ( )2Ex
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
HP
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
DF
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Exponenciální. Vyplníme lambda: 2,
zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Příklad 2.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední dobou opravy 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že
oprava bude ukončena do dvou dnů?
Řešení: X ~ Ex(1/3), ( ) 4866,0e1edxe
3
1
2XP 3
22
0
3
x2
0
3
x
=−=





−==≤
−−−
∫
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =IExpon(2;1/3). Dostaneme 0,4866.
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Exponenciální - do okénka lambda
napíšeme 0,3333, do okénka exp. napíšeme 2 a po kliknutí na Výpočet se v okénku p objeví
0,4866.
Normální rozložení N(µ, σ2
)
Náhodná veličina X ~ N(µ, σ2
) má hustotu ( ) 2
2
2
)-x(
e
2
1
x σ
µ
−
πσ
=ϕ . Pro µ = 0, σ2
= 1 se jedná o
standardizované normální rozložení, píšeme U ~ N(0, 1). Hustota pravděpodobnosti má
v tomto případě tvar φ(u) = 2
u2
e
2
1 −
π
.
Kreslení grafů funkcí ( )xϕ a ( )xΦ normálního rozložení v systému STATISTICA
1. možnost: Ukážeme si, jak získat grafy hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce
náhodné veličiny X ~ ( )4,1N − . Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 101
případech. První proměnnou nazveme x a uložíme do ní hodnoty -6, -5,9, -5,8, ..., 4 (do
Dlouhého jména napíšeme =(v0-1)/10-6). Druhou proměnnou nazveme HP a uložíme do ní
hodnoty hustoty pravděpodobnosti. (do Dlouhého jména napíšeme příkaz =Normal(x;-1;2)).
Třetí proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Dlouhého
jména napíšeme příkaz = INormal(x;-1;2)).
Graf hustoty: Grafy – Bodové grafy – Proměnné x, HP – OK – vypneme Lineární proložení –
OK. Vymažeme značky, zapneme spojnici a na vodorovné ose upravíme měřítko od -6 do 4.
Graf distribuční funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné x, DF – OK – vypneme Lineární
proložení – OK. Vymažeme značky, zapneme spojnici a na vodorovné ose upravíme měřítko
od -6 do 4.
Graf funkce ( )xϕ rozložení ( )4,1N − Graf funkce ( )xΦ rozložení ( )4,1N −
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
HP
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
DF2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Z (normální). Vyplníme průměr: -1,
SmOdch: 2, zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Příklad 3: Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozložení se
střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraná baterie bude mít životnost aspoň 320 hodin?
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =1-INormal(320;300;35). Dostaneme 0,2839.
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Z(normální) - do okénka průměr
napíšeme 300, do okénka SmOdch napíšeme 35, zaškrtneme 1-kumul. p a po kliknutí na
Výpočet se v okénku p objeví 0,2839.
Příklad k samostatnému řešení.: Na výrobní lince jsou automaticky baleny balíčky rýže o
deklarované hmotnosti 1000 g. Působením náhodných vlivů hmotnost balíčků kolísá. Lze ji
považovat za náhodnou veličinu, která se řídí normálním rozložením se střední hodnotou 996
g a směrodatnou odchylkou 18 g. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný balíček rýže
neprojde výstupní kontrolou, jestliže je povolená tolerance 30± g od deklarované hmotnosti
1000 g?
Výsledek:
( ) 104,0)1030X970(P11030,970XP =<<−=∉