Zadání příkladů - 4.10 2016 Příklad 13 (normální rozdělení). Model pro náhodný výběr X±, X2,..., Xn je z iV(p, čt2) a říkáme, že X1}X2,... ,Xn pochází z normálního rozdělení, t.j. X ~ iV(p, čt2). Parametr modelu iV(p, a2) je vektor 0 = (p, a2). Hustota tohoto rozdělení má tvar 1 (z-m)2 f(x) = -=e l^.xGl. Příklad 14 (standardizované normální rozdělení). Model pro náhodný výběr X1}X2, \dots,Xn pochází ze standardizovaného normálního rozdělení, t.j. X ~ iV(p, čt2), kde p = 0, a2 = 1. Parametr modelu iV(p, o"2) je vektor 0 = (0,1). Hustota tohoto rozdělení má tvar 1 ä£ 0(rr) = -^=e 2 x G R. v7^ Příklad 15 (dvojrozměrné normální rozdělení). Náhodný vektor (X, Y)T má dvojrozměrné normální rozdělení N2(», £), kde » = (p1; p2f a s = f J? ^f2 ) , s hustotou kde (x,y)T G IR2, p^ G IR, o2 > 0, j = 1,2, p G (—1,1) jsou parametry. Potom 6 = (/ii, p2, c2, a|, p). Výraz v exponentu můžeme zapsat jako _ 1 / x - pi \T / o-2 po-!^ \ 1 í x - pi 2 V Ž/ - / V Pa±ai °l ) V V ~ ^2 Marginální rozdělení1 jsou X ~ N (pi, o"2) aľ~iV (p2, a2), p je koeficient korelace2(Viz obrázek 1) Příklad 16 (dvojrozměrné normální rozdělení). (1) Nakreslete hustotu dvojrozměrného normálního rozdělení ÍV2(/j, e) pomocí funkce image() a superponujte ho s konturovým grafem hustoty toho stejného rozdělení pomocí funkce contour(). (2) Nakreslete hustotu dvojrozměrného normálního rozdělení N2(fi, s) pomocí funkce persp(). Hustotu rozsekejte na 12 intervalů, kde hodnoty v těchto intervalech budou odpovídat barvám terrain.colors(12). Použijte následující parametry: • = 0, p2 = 0, 01 = 1, o2 = 1, p = 0; • pi = 0, p2 = 0, o"i = 1, a2 = 1, p = 0.5; 1 Marginální rozdělení je rozdělení náhodné proměnné, zde X nezávisle na y a naopak Y nezávisle na X. 2Z tohoto příkladu je zřejmé, že na dostatečný popis dvojrozměrného normálního rozdělení potřebujeme pět parametrů, t.j. střední hodnotu a rozptyl pro marginální rozdělení náhodných proměnných X a Y a, korelační koeficient p = p(X,Y) popisující sílu lineárního vztahu laľ. 1 • //i = O, p2 = O, oi = 1.2, o2 = 1, p = 0.5. Vzorové řešení je uvedeno na obrázku 1. ~i-1-r~ i-1-1-1-1-1-1 i-1-1-r~ ^1 = 0, ^2 = 0, d] = 1, cr2 = 1, p = 0 ^1 = 0, ^2 = 0, d] = 1, cr2 = 1, p = 0.5 H! = 0, ^2 = 0, cr, = 1, cr2 = 1.2, p = 0.5 = 0, \í2 = 0, O, = 1 , 02 = 1 , p = 0 Hi = 0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0.5 H, = 0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1.2, p = 0.5 Obrázek 1: Hustoty dvojrozměrného normálního rozdělení při různých parametrech (první řádek -konturový graf; druhý řádek - perspektivní trojrozměrný graf v podobě plochy); čím je p odlišnější od nuly, tím více se kontury liší od kruhů (mění se na elipsy); se zvyšujícím se rozdílem mez oi a o2 se zvětšuje rozdíl rozptýlení koncentrických kruhů ve směru jednotlivých os (říkáme, že rozdíl variability proměnných X a Y se zvětšuje.) Příklad 17 (standardizované normální rozdělení). Náhodný vektor (X, Y)T má dvojrozměrné normální rozdělení N2 (0, s), kde 0 = (0, 0)T a s = ( 1 ? s hustotou 1 í x2 — 2pxy + y2 exp 27TV1-P2 ' l 2(1-P2) kde (x,y)T G IR2, p G (—1,1) jsou parametry, potom 0 = (0,0,1, l,p). Výraz v exponentu můžeme psát jako i. í x \ i 1 p \ lx y 2 \ y J V P 1 2 marginální rozdělení jsou obě N(0,1) a p je koeficient korelace. Příklad 18 (standardizované normální rozdělení). Nechť náhodnou proměnnou X ~ iV(p1; a\) je největší výška mozkovny (skuli.pH; v mm) a náhodnou proměnnou Y ~ iV(p2,(7|) Je morfologická výška tváře (face.H; v mm). Nechť X a Y mají dvojrozměrné normální rozdělení s parametry (p1; p2)T a dj, d22 a p jsou parametry kovarianční matice S. Když od náhodné proměnné X odpočítáme její střední hodnotu pi a tento rozdíl podělíme odmocninou z rozptylu (01), dostaneme náhodnou proměnnou Zx, která má asymptoticky normální rozdělení se střední hodnotou pi = 0 a rozptylem o\ = 1, což zapisujeme jako Zx ~ ^(0,1). Pokud od náhodné proměnné Y odečteme její střední hodnotu p2 a tento rozdíl podělíme odmocninou z rozptylu (o"2), dostaneme náhodnou proměnnou Zy, která má asymptoticky normální rozdělení se střední hodnotou p2 = 0 a rozptylem o\ = 1, což zapisujeme jako Zy ~ N(0,1). Potom (Zx,Zy)T má standardizované dvourozměrné normální rozdělení iV2(^, S) s parametry [i = (0,0)T a o\ = 1, o\ = 1 a p jsou parametry kovarianční matice S. Příklad 19 (dvourozměrné normální rozdělení). Simulaci pseudonáhodných čísel z iV2(^,E) můžeme v R vytvořit následujícími způsoby: 1. použitím funkce mvrnorm() z knihovny MASS; 2. použitím funkce rmvnorm() z knihovny mvtnorm 3. použitím funkce rnorm() a následujícího algoritmu: Nechť X1 ~ ÍV(0,1) a X2 ~ ÍV(0,1); potom (Y1, Y2)T ~ iV2(/x, S), kde ^ = (p1; p2)T je vektor středních hodnot a o"^ a a| a p jsou parametry kovarianční matice S, přičemž síla lineárního vztahu Y\ a F2 je daná velikostí a znaménkem p; Yí = o\X\ + pi a Y"2 = o"2(pXi + a/1 — p2^G) + p2. Nasimulujte pseudonáhodná čísla Yí a Y"2 z iV2(^, S). Vypočítejte dvourozměrný jádrový odhad hustoty (Yi, Y"2)T pomocí funkce kde2d(). Nakreslete jej také pomocí funkce image() a superponujte jej konturovým grafem hustoty dvourozměrného normálního rozdělení iV2(^,E) pomocí funkce contour(). Hustotu rozsekejte na 12 intervalů, kde hodnoty v těchto intervalech budou odpovídat barvám terrain.colors(12). Při simulaci použijte následující parametry: (a) pi = 0, 1^2 = 0, 01 = 1, 0-2 = 1, p = 0; (1) n = 50, (2) n = 500 (b) pi = 0, = 0, o"i = 1, 0-2 = 1, p = 0.5; (1) n = 50, (2) n = 500 (c) pi = 0, 1^2 = 0, O"! = 1, a2 = 1.2, p = 0.5; (1) n = 50, (2) n = 500 Vzorové řešení viz obrázek 2. 3 Simulace pseudonahodnych cisel z N2(m-, I) funkce mvrnorm; n = 300 Simulace pseudonahodnych cisel z N2(m-, I) funkce rmvnorm; n = 300 0 °o _A 0 0 V --^->- o n"^