Zadání příkladů — Statistická inference I — 2016
Příklad 20 (standardizované normální rozdělení). Vypočítejte kritické hodnoty u{a) rozdělení ÍV(0,1), kde a = 0.1, 0.05, 0.01, 0.025 a 0.005.
Na výpočet pravděpodobnosti pod kvantilem se používá funkce pnorm(Q). Na výpočet pravděpodobnosti nad kritickou hodnotou se používá funkce l-pnorm(Q). Jelikož je standardizované normální rozdělení symetrické okolo nuly, u{a) = m(1 — a).
Příklad 21 (Studentovo t-rozdělení). Vypočítejte kritické hodnoty Studentova t-rozdělení se stupni volnosti df = 10, tj. tdf(a), kde a = 0.1, 0.05, 0.01, 0.025 a 0.005.
Na výpočet pravděpodobnosti pod kvantilem se využívá funkce pt(Q,df). Na výpočet pravděpodobnosti nad kritickou hodnotou se využívá funkce l-pt(Q.df). Jelikož Studentovo í-rozdělení je symetrické okolo nuly, í<j/(") = íd/(l — a). Nějaký kvantil standardizovaného normálního rozdělení je přibližně rovný kvantilu í-rozdělení (resp. pravděpodobnosti nad kritickými hodnotami jsou přibližně stejné) až pro velmi vysoké stupně volnosti. Např. 1-pnorm(l.644869) « l-pt(l.644869, 100 000)=0.05. Avšak např. l-pt(l.644869, 100)= 0.052.
Příklad 22 (\2 rozdělení). Vypočítejte kritické hodnoty x2-rozdělení se stupni volnosti df = 10, tj. x|f (a)i kde a = 0.1, 0.05, 0.01, 0.025 a 0.005.
Na výpočet pravděpodobnosti pod kvantilem anebo nad kritickou hodnotou se používá funkce pchisq(Q,df). Jelikož X2-rozdělení není symetrické, Xdf(a) ~~ a)-
Příklad 23 (F-rozdělení). Vypočítejte kritické hodnoty F-rozdělení se stupni volnosti dfi = 20 a dfi = 20, tj. Fdh,df2(a), kde a = 0.1, 0.05, 0.01, 0.025 a 0.005.
Na výpočet pravděpodobnosti pod kvantilem se používá funkce pf(Q, dfl, df2). Na výpočet pravděpodobnosti nad kritickou hodnotou se používá funkce l-pt(Q, dfl, df2). Jelikož F-rozdělení není symetrické, Fdfi,df2(&) 7^ Fdfi,df2(í ~ a).
Příklad 24 (binomické rozdělení, binomický experiment). Experiment sestávající z fixního počtu Bernoulliho experimentů (ozn. N) se nazývá binomický experiment. Pravděpodobnost úspěchu označme p, pravděpodobnost neúspěchu q = 1 —p. Náhodná proměnná X je počet pozorovaných úspěchů po dobu experimentu. Pravděpodobnost X = x za podmínky, že X pochází z binomického rozdělení Bin(N,p), píšeme jako
(Ugarte a kol. 2008). Střední hodnota E[X] = Np a rozptyl Far[X] = Np(l —p). Naprogramujte a zobrazte v R pravděpodobnostní funkci a (kumulativní) distribuční funkci pro Bin(5, 0.5).
(1)
1
Pravdepodobnosti funkce rozděleni Bin(5, 0.5)
Distribuční funkce rozděleni Bin(5, 0.5)
00
ó
to o
ó
CM Ó
2 3
Příklad 25 (podíl chlapců a dívek v rodinách). Nechť X představuje početnost chlapců mezi dětmi v rodinách. Zde můžeme předpokládat, že X oo Bin(N,p), tj. rodina může mít vychýlený poměr pohlaví dětí ve směru k chlapcům nebo k dívkám. V realitě tedy můžeme mít velmi mnoho rodin jen s chlapci nebo jen s děvčaty a nemáme dostatek rodin s poměrem pohlaví blízkým 51 : 49 (poměr chlapců ku dívkám). Z toho nám vyplývá, že rozptyl početnosti chlapců bude ve skutečnosti větší než rozptyl předpokládaný binomickým rozdělením Bin(n, P).
Příklad 26 (overdispersion v binomickém modelu). V klasické studii poměru pohlaví u lidí z roku 1889 na základě záznamů z nemocnic v Sasku (více informací viz Lindsey a Altham, (1998)) zaznamenal Geissler (1889) rozdělení počtu chlapců v rodinách. Mezi M = 6115 rodinami s TV = 12 dětmi pozoroval následující početnosti chlapců (n jsou početnosti chlapců a mn početnosti rodin s n chlapci).
n    I 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
mn || 3	24	104	286	670	1033	1343	1112	829	478	181	45	7
Vypočítejte mn za předpokladu, že početnosti chlapců X v rodinách mají binomické rozdělení s parametry
NM
a TV = 12, ozn. X ~ Bin(N, tt).
## 0   1     2     3     4       5       6       7     8     9   10 11 12
## pozorované 3 24 104 286 670 1033 1343 1112 829 478 181 45 7 ## očekávané    1 12   72 258 628 1085 1367 1266 854 410 133 26 2
^"=°        = 0.5192 (2)
2
Pozorované a očekávané poc. chlapců v rodine s 12 dětmi
očekávané pozorované
. . !
~I
10
-r
12
## [1] 3.489269 ## [1] 2.993832
Příklad 27 (Poissonovo rozdělení; počet havárií za týden). Pokud každý z 50 milionů lidí řídí v Itálii řídí auto následující týden nezávisle, potom pravděpodobnost smrti při autonehodě bude 0.000002, kde počet úmrtí má binomické rozdělení Bin(50rmZ, 0.000002) anebo limitní Poissonovo rozdělení s parametrem A = 50mil x 0.000002 = 100.
Srovnáni binomického a poissonova rozděleni
- X~Bin(N,p)
- X~Po(Np)
ÍTtt*.....
~~I—
100
120
140
Příklad 28 (Poissonovo rozdělení; pruské armádní jednotky). Nechť početnosti úmrtí X jako následek kopnutí koněm v Pruských armádních jednotkách (Bortkiewicz, 1898) mají Poissonovo rozdělení s parametrem A, tj. X ~ Poiss(X). Pravděpodobnost, že někdo bude smrtelně zraněný v daném dni, je extrémně malá. Mějme
3
10 vojenských jednotek za 20-letou periodu s rozsahem M = 200 (200 = 10 x 20), kde, při početnostech úmrtí n = 1,2,3,4,5+ v dané jednotce a v daném roce, zaznamenáváme také početnosti vojenských jednotek mn pri daném n, kde M = (viz tabulka). Vypočítejte očekávané početnosti, za předpokladu X ~ Poiss(X), kde
(3)
n	1 0	1	2	3	4	5+
	| 109	65	22	3	1	0
## [1] 0.61
## 0   12 3 4 5+
## pozorované 109 65 22 3 1 0
## očekávané 109 66 20 4 1 0
Pozorované a ocek. poc. umrti v pruských arm. jednotkách
očekávané pozorované
Příklad 29 (overdispersion v Poissonově modelu). Mějme početnosti úrazů n mezi dělníky v továrně, kde početnosti dělníků mn při daném n (viz tabulka) (Greenwood a Yule (1920)).
n    || 0	1	2	3	4	>5
mn || 447	132	42	21	3	2
Vypočítejte očekávané početnosti dělníků za předpokladu, že početnosti úrazů na dělníka X mají Poissonovo rozdělení s parametrem
J2„ nmn
X
J2n m"
0.47.
(4)
Ozn. X ~ Poiss(X).
## 0     12   3 4 5+
## pozorované 447 132 42 21 3 2 ## očekávané   406 189 44   7 1 0
4
Pozorované a očekávané poc. úrazu mezi delniky v továrne
očekávané pozorované
## [1] 0.6908308 ## [1] 0.4683702
Příklad 30 (binomické rozdělení, simulační studie). Vygenerujte pseudonáhodná čísla X (početnosti úspěchů) opakovaná M-krát (M = 1000) z Bin(N,p), kde N = 5 a p = 0.5. Vytvořte tabulku vygenerovaných (simulovaných) i teoretických relativních početností (pro n = 0,1,..., 5). Superponujte histogram vygenerovaných pseu-donáhodných čísel s teoretickou pravděpodobnostní funkcí.
## 0        1        2        3        4 5
## simulovane 0.036 0.155 0.329 0.288 0.160 0.032 ## teoretické 0.031 0.156 0.312 0.312 0.156 0.031
Pseudonah. cisla X~Bin(5,0.5)
_ CM
X
úspechy X
5
Příklad 31 (normální rozdělení, simulační studie). Na základě simulační studie prověřte, že pokud X ~ iV(150, 6.25), potom Xn ~ JV(150, ^p). Použijte n = 30. Pro každou simulaci X vypočítejte aritmetické průměry xm, m = 1,2,..., M, kde M = 500 000. Superponujte je histogramem v relativní škále s teoretickou křivkou hustoty pro Xn. Vypočítejte Pr(X„ > 151) ze simulovaných dat a porovnejte tento výsledek s teoretickou (očekávanou) pravděpodobností. Řešení viz obrázek ??.
## [1] "teoretická:" "0.1855"
## [1] "simulovaná:" "0.18616"
## [1] "teoretická:" "0.0142"
## [1] "simulovaná:" "0.01374"
## [1] "teoretická:" "0"
## [1] "simulovaná:" "2e-05"
i-1-1-1-1
146 148 150 152 154
149.0 149.5 150.0 150.5 151.0
Příklad 32 (normální rozdělení, simulační studie). Nechť X ~ N(/j,\, a'f) a Y ~ N(/j,2, o^)- Potom Xni —Yn,
2 2
N(fii — /i2,     + ^|). Generujte pseudonáhodná čásla X a Y rozdělení N(fij, a'^), j = 1, 2, kde /ii = 100, <j\ = 10 /i2 = 50, (T2 = 9 při (a) ni = 4, xm - ym, m = 1,2,... M, kde M = křivkou hustoty rozdílu Xni — Yn2. Pro případ (a) i (b) vypočítejte ~Pr(Xni — Yn2 < 52) na základě empirického (vygenerovaného) a teoretického rozdělení Xni — Yn2.
= 5, (b) ni = 100, Ti2 = 81. Pro každou simulaci X a Y vypočítejte rozdíl 1000. Superponujte histogram těchto rozdílů v relativní škále s teoretickou
## [1] "teoretické" "0.622"
## [1] "simulovane" "0.618"
## [1] "teoretické" "0.921"
## [1] "simulovane" "0.936"
6
o
CO —.
o
30 40 50 60 70 46 48 50 52 54
rozdil průměru rozdil průměru
n-i = 4, n2 = 5 n1 - 100, n2 = 81
Příklad 33 (statistika). Mějme náhodný výběr (Xi, X^ ..., Xn)T, kde I2 Gl,i= l,2,...,n, potom příklady statistik jsou:
• 7\ = Eľ=i *i e R-
• t2 = Eľ=i xf e k+ u {0},
• r3 = (Eľ=i^i>Eľ=i^ľ)eK2.
Příklad 34 (testovací statistika, simulační studie). Na základě simulační studie prověřte, že pokud náhodná proměnná X má asymptoticky binomické rozdělení Bin(N, p), potom testovací statistika
X/N-p
— —.
y/p(í-p)/N
má asymptoticky normální rozdělení ÍV(0,1). Použijte p = 0.1, 0.5, 0.9 a 1, a iV = 5, 10, 30, 50 a 100. Okomentujte výsledky ve spojitosti s Haldovou podmínkou Np(l — p) > 9. Pro každou simulaci X vypočítejte zyy,m, m = 1,2,..., M, kde M = 1000. Superponujte histogram vygenerovaných testovacích statistik v relativní škále s teoretickou křivkou hustoty Zyy-
-1    0     1     2    3    4    5    6 -3    -2    -1     0      1      2      3 -6   -5   -4   -3   -2   -1    0 1
realizace statistiky Zw realizace statistiky Zw realizace statistiky Zw
N=5 , p= 0.1 , Hp=0.45 N=5 , p= 0.5 , Hp= 1.25 N= 5 , p= 0.9 , Hp= 0.45
7
-3   -2   -1    0     1     2    3    4 -3   -2   -1    0     1     2    3    4 -4   -3   -2   -1    0     1     2 3
realizace statistiky Zw realizace statistiky Zw realizace statistiky Zw
N=50 , p= 0.1 , Hp=4.5 N=50,p=0.5,Hp=12.5 N= 50 , p= 0.9 , Hp= 4.5
8
-3   -2   -1    0     1     2    3    4 -4       -2        0 2 4 -4   -3   -2   -1    0     1     2 3
realizace statistiky Zw realizace statistiky Zw realizace statistiky Zw
N= 100 , p= 0.1 , Hp=9 N= 100 , p=0.5 , Hp= 25 N= 100 , p= 0.9 , Hp= 9
Příklad 34 mluví o použití jednovýběrové testovací statistiky pro parametr binomického rozdělení (pravděpodobnost) pro různé pravděpodobnosti a různé početnosti. Pokud není Haldova odmínka splněná,není možné testovací statistiku použít.
Příklad 35 (testovací statistika, simulační studie). Na základě simulační studie prověřte, že pokud
a) X ~ N(n, cr2), kde fi = 0, cr2 = 1;
b) X ~ [(1 - p)N(fJ,, cr2) + PN(fl, cr2)], kde fj, = 0, cr2 = 1, p = 0.05, cr2 = 2,
potom testovací statistika F = í-n~12^s má asymptoticky Xn-i rozdělení o n — 1 stupních volnosti. Použijte rozsahy náhodných výběrů n = 15 a n = 100. Pro každou simulaci X vypočítejte Fpozm, m = 1,2,..., M, kde M = 1000. Superponujte histogram vygenerovaných testovacích statistik v relativní škále s teoretickou křivkou hustoty F.
9
X~(1-p)N(0,1)+p*N(0,2)
X~(1-p)N(0,1)+p*N(0,2)
o
03
CO
o —,
C3
CD O
O
CM O
O O
T
~i-1-r~
10     20     30     40 50 realizace testovací statistiky F n=15
—I
60
o co
o
O -
o
03
O O
o o o
50
T
100 150 realizace testovací statistiky F n=100
200
Příklad 36 (hypergeometrické rozdělení). Koupili jsme 10 cibulek červených tulipánů a 5 cibulek žlutých tulipánů. Zasadili jsme 8 náhodně vybraných cibulek.
a) Jaká je pravděpodobnost, že žádná nebude cibulka žlutých tulipánů?
b) Jaká je pravděpodobnost, že jsme zasadili všech 5 cibulek žlutých tulipánů?
c) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň dvě budou cibulky žlutých tulipánů?
Příklad 37 (hypergeometrické rozdělení). Dítě dostalo sáček, v němž bylo 5 červených a 5 žlutých bonbónů. Dítě náhodně vybralo ze sáčku 6 bonbónů. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými bonbóny budou právě 2
Příklad 38 (multinomické rozdělení — definice). Nechť TV je počet nezávislých identických pokusů a v každém z nich může nastat J > 2 navzájem disjunktních událostí s možnými odpověďmi X^ = 1 (událost nastala) nebo Xíj = 0 (událost nenastala), kde i = 1,2,..., N a j j-té události v i-tém pokuse Pr(Xij = 1) = pj
1,2,..., J. Potom X} = J2?=i X,,
j — ^i=1 slij - Pravděpodobnost nastání j=\t>3 — 1- Náhodná proměnná X = (X\,... ,Xj)T má (J-rozměrné) multinomické rozdělení s parametry Nap, t.j. X ~ Multj(7V, p). Pravděpodobnost, že Xj je rovné nějakému číslu rij zapisujeme jako
Pr(X1=x1,...,Xj = xJ)
NI
NI
ne
n j jsou realizace Xj. Potom n = (n\, ri2, ■ ■ ■, nj)T. Pro marginální rozdělení
Npj, rozptyl Var[Xj
kde N = J2j=i Xj, X,■ > 0 a x j píšeme Xj ~ Bin(A^, pj), kde střední hodnota E[Xj
—NpiPj, korelační koeficient Cor[X{, Xj] = (— PíPj)/\/pí(Í —pi)pj(l ~Pj)- Střední hodnota E[K rianční matice Var[X] = -/V(DP — ppT), kde Dp = diag(p) a
Npj(1—pj), kovariance Cov[Xi,Xj] = Np a kova-
(Dp - ppT)a
Pi(l-Pi)   pokud i=j -PíPj        pokud i ^ j.
10
Příklad 39 (multinomické rozdělení). Mějme proměnnou barva vlasů (blond - B1H, hnědá - BrH, zrzavá -RH) a proměnnou barva očí (modrá - B1E, hnědá - BrE, zelená - GE). Jejich interakce jsou uspořádané v tabulce jako Xi (B1H-B1E), X2 (BlH-BrE), Xa (B1H-GE), X4 (BrH-BlE), X5 (BrH-BrE), X6 (BrH-GE), X7 (RH-B1E), X8 (RH-BrE), Xg (RH-GE). Předpokládejme, že máme náhodný výběr s rozsahem N = 100. Pravděpodobnosti pj, j = 1,..., 9 viz následující tabulka.
Barva vlasů / barva očí	modrá (B1E)	hnědá (BrE)	zelená (GE)
blond (B1H)	0.12	0.15	0.03
hnědá (BrH)	0.22	0.34	0.04
zrzavá (RH)	0.06	0.01	0.03
Vypočítejte E[X2], E[X$], Var[X2], Var[X8], Cov[X2,X8] a Cor[X2,X8].
Příklad 40 (součinové multinomické rozdělení — definice). Nechť Nk je počet nezávislých identických pokusů a v každém z nich může nastat J > 2 navzájem disjunktních událostí s možnými odpověďmi Xkji = 1 (událost nastala) anebo Xkji = 0 (událost nenastala), kde i = 1,2,..., Nk, k = 1, 2,..., K a j = 1, 2,..., J. Nechť Xkj = Yli^i Xkji a ~ž2k=i = N. Pravděpodobnost nastání (j)-té události v i-tém pokuse fc-té skupinyje Vi(Xkji = 1) = Pkj = Pj\k, 12j=i Pkj = 1- Náhodná proměnná X^ = (Xki, Xk2, ■ ■ ■, Xkj)T má (J-rozměrné) multinomické rozdělení s parametry Nk a = (pki, ■ ■ ■ ,Pkj)T, t.j. X^ ~ Multj(iVfc, p^).Realizace náhodné proměnné X^ označujeme jako Xfc. Potom Xkj = rikj a navíc n^ = (riki, rik2, ■ ■ ■, nkj)T■ Nechť X^ jsou nezávislé, potom X = (Xi, X2,..., X^-)T má součinové multinomické rozdělení s parametry Ok = Pk, k = 1,2,... ,K.
Příklad 41 (součinové multinomické rozdělení). 1. Mějme data z příkladu 39 a náhodný výběr s rozsahy iVi = 30 pro blond barvu vlasů, 7V2 = 60 pro hnědou barvu vlasů a N$ = 10 pro zrzavou barvu vlasů. Označme interakce proměnných následovně: X\\ = X^i (B1H-B1E), Xi2 = X2\i (BlH-BrE), X13 = X^i (B1H-GE), X2i = X1]2 (BrH-BlE), X22 = X2|2 (BrH-BrE), X23 = X3]2 (BrH-GE), X31 = X1]3 (RH-B1E), X32 = X2la (RH-BrE), X33 = X3|3 (RH-GE), kde Xi = (Xn,X12,X13)T, X2 = (X21,X22,X230)T a X3 = (X3i, X32, X33)T. Potom X = (Xi,X2,X3)T má součinové multinomické rozdělení s K = 3, iVi = 30, J\ = 3, N2 = 60, J2 = 3 a 7V3 = 10, J3 = 3. Zápis s Xj\k, kde j = 1, 2, 3 a k = 1, 2, 3 zvýrazňuje fakt, že rozdělení je podmíněno barvou vlasů, t.j. rozdělení ve sloupcích tabulky je podmíněné jejím řádkem. Realizace Xj\k značíme jako nj\k, pravděpodobnosti ekvivalentní Xj\k = Xj\k značíme jako pj\k = pkj. Vypočítejte podmíněné pravděpodobnosti Pj\k, očekávané početnosti Nkpkj, Var[X22], Var[X32], Var[X23], Cov[X22, X32], Cov[X22,X32] aCor[X22,X32], Cor[X22, X23].
2. Celý postup zopakujte pro JVi = 20, N2 = 30 a N3 = 50.
Příklad 42 (součinové multinomické rozdělení). Mějme proměnnou barva vlasů (blond - B1H, hnědá - BrH, zrzavá - RH) a proměnnou barva očí (modrá - B1E, hnědá - BrE, zelená - GE). Jejich interakce jsou uspořádané v tabulce jako Xx (B1H-B1E), X2 (BlH-BrE), X3 (B1H-GE), XA (BrH-BlE), X5 (BrH-BrE), X6 (BrH-GE), X7 (RH-B1E), X8 (RH-BrE), X9 (RH-GE). Jim odpovídají pravděpodobnosti p3, j = 1,..., 9
Barva vlasů / barva očí	modrá (B1E)	hnědá (BrE)	zelená (GE)
blond (B1H)	0.12	0.15	0.03
hnědá (BrH)	0.22	0.34	0.04
zrzavá (RH)	0.06	0.01	0.03
X = (Xi, X2,..., Xg)T ~ Multg(7V, p). Transformujte multinomický model na součinový multinomický model následovně:
1. vypočítejte řádkově marginální pravděpodobnosti pj/,
2. vypočítejte sloupcově marginální pravděpodobnosti p,k;
11
3. podmíněné pravděpodobnosti pj\k = pkj', Jakému číslu jsou rovné sumy Yl^=iPj\k Pro každé fc?
12