Domácí úkol z 22. září 2016
Řešte úlohu 2.13 uvedenou v knize L. C. Washington: Elliptic Curves (2nd edition) na straně 73.
Poznámky k zadání:
Předpokládáme, že pracujeme nad tělesem K, jehož charakteristika není ani 2 ani 3 a uvažujeme jen A £ K různá od 0 a 1.
Část (a) je z hlediska počítání s polynomy poměrně náročná, možná bude vhodné si numerické výpočty kontrolovat pomocí nějakého vhodného softwaru (PARI-GP, Maple apod.). Nejprve je třeba substitucí x i—> x + c pro vhodné c £ K docílit toho, aby na pravé straně byl kubický polynom mající nulový koeficient ve druhé mocnině, abychom pro výpočet j-invariantu mohli použít definici na straně 46 a po úpravě získat uvedený vzorec.
V části (c), kterou je možná lepší provést dříve než (b), abychom věděli, co předpoklad j / 0, j / 1728 vlastně znamená pro A, je vhodné si vzpomenout, jak jsme vzorec v (a) odvodili.
V části (b) je třeba si rozmyslet pro dané j, jaký polynom šestého stupně má A za kořen a ukázat, že tento polynom nemá násobné kořeny a navíc s každým svým kořenem A má i kořen 1 — A a l/A.