Hodnocení sebeúcty
Popis situace:
28 náhodně vybraných plnoletých osob mladších 35 let české národnosti s trvalým bydlištěm
v Brně vyplnilo dotazník týkající se jejich sebeúcty.
Dotazník se skládá z 10 tvrzení, s nimiž může respondent:
- výrazně nesouhlasit (hodnota 1),
- mírně nesouhlasit (hodnota 2),
- mírně souhlasit (hodnota 3),
- výrazně souhlasit (hodnota 4).
Celkový rozsah hodnocení sebeúcty se tedy nachází v intervalu [10, 40]. Čím vyšší hodnota, tím
vyšší sebeúcta konkrétní osoby.
U zkoumaných osob se také zjišťovalo pohlaví a věk.
Datový soubor:
č. respondenta pohlaví sebeúcta věk
1 žena 22 24
2 žena 26 32
3 muž 24 24
4 žena 28 28
5 muž 36 33
6 muž 37 32
7 muž 36 28
8 žena 26 26
9 žena 21 30
10 žena 26 29
11 muž 29 26
12 žena 30 27
13 muž 38 30
14 muž 31 25
15 žena 36 20
16 žena 37 21
17 žena 30 24
18 muž 31 25
19 muž 26 32
20 muž 36 23
21 muž 29 21
22 žena 30 19
23 muž 34 21
24 muž 37 29
25 žena 28 21
26 žena 29 22
27 muž 31 26
28 muž 35 22
Nejprve popíšeme datový soubor pomocí tabulek, grafů a číselných charakteristik.
Tabulka četností proměnné pohlaví:
Kategorie Četnost Rel.četnost
muž
žena
15 53,6
13 46,4
Výsečový diagram proměnné pohlaví: Sloupkový diagram proměnné pohlaví:
žena; 13; 46%
muž; 15; 54%
žena; 13; 46%
muž; 15; 54%
54%
46%
muž žena
0
2
4
6
8
10
12
14
16
54%
46%
Číselné charakteristiky proměnných věk a sebeúcta:
Proměnná N platných Průměr Minimum Maximum Sm.odch.
věk
sebeúcta
28 25,7 19 33 4,10
28 30,7 21 38 4,88
Histogram proměnné věk: Histogram proměnné sebeúcta:
4%
29%
32%
21%
14%
15 19 23 27 31 35
věk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4%
29%
32%
21%
14%
11%
21%
32%
21%
14%
20 24 28 32 36 40
sebeúcta
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11%
21%
32%
21%
14%
Výzkumná otázka č. 1: Liší se muži a ženy z hlediska věku?
Základní soubor je tvořen všemi plnoletými osobami mladšími 35 let, které jsou české
národnosti a mají trvalé bydliště v Brně. Střední hodnotu věku těchto osob mužského pohlaví
označíme µ1 a ženského pohlaví µ2. Předpokládáme, že směrodatná odchylka σ1 věku mužů je
stejná jako směrodatná odchylka σ2 věku žen a rozložení věku v obou skupinách je normální.
Graf hustoty normálního rozložení s parametry µ a σ:
µ-sigma µ µ+sigma
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
Máme k dispozici nikoliv celý základní soubor, ale dva nezávislé výběrové soubory, první
obsahuje 15 mužů a druhý 13 žen.
Na základě vypočtených výběrových průměrů m1, m2 (považujeme je za odhady neznámých
středních hodnot µ1, µ2) a vypočtených výběrových směrodatných odchylek s1, s2 (považujeme
je za odhady neznámých výběrových odchylek σ1, σ2) budeme na dané hladině významnosti α
(zpravidla 0,05) usuzovat na existenci či neexistenci rozdílu mezi neznámými středními
hodnotami µ1, µ2.
Číselné charakteristiky věku pro muže a pro
ženy:
pohlaví věk
N
věk
průměr
věk
Sm.odch.
věk
Minimum
věk
Maximum
muž 15 26,5 4,03 21 33
žena 13 24,8 4,16 19 32
Vš.skup. 28 25,7 4,10 19 33
Krabicový diagram věku pro muže a pro
ženy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Min-Maxmuž žena
18
20
22
24
26
28
30
32
34
věk
Odpověď na výzkumnou otázku č. 1 budeme hledat pomocí dvouvýběrového t-testu.
Nulová hypotéza: Střední hodnota věku mužů je stejná jako střední hodnota věku žen.
Statistický zápis nulové hypotézy: H0: µ1 = µ2
Alternativní hypotéza: Střední hodnota věku mužů se liší od střední hodnoty věku žen.
Statistický zápis alternativní hypotézy: H1: µ1 ≠ µ2
Dvouvýběrový t-test je založen na porovnání výběrových průměrů v obou skupinách při
zohlednění vlivu odhadnuté společné směrodatné odchylky.
V našem případě nás tedy zajímá, zda rozdíl mezi průměrným věkem mužů 26,5 let a
průměrným věkem žen 24,8 let (s výběrovými směrodatnými odchylkami 4,03 let a 4,16 let a
rozsahy 15 a 13) je způsoben pouze náhodnými vlivy nebo je prokazatelný na hladině
významnosti 0,05.
Statistický software vypočte podle určitého vzorce tzv. p-hodnotu, kterou porovnáme s námi
zvolenou hladinou významnosti α.
Pokud p ≤ α, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme alternativní
hypotézu. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 100 α % jsme prokázali pravdivost
alternativní hypotézy.
V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme. Neznamená to však, že jsme prokázali její
pravdivost. Lze pouze říci, že naše data nejsou natolik průkazná, aby umožnila zamítnutí nulové
hypotézy.
Na vypočtenou p-hodnotu můžeme také pohlížet jako na pravděpodobnost, s jakou naše data
podporují nulovou hypotézu, je-li pravdivá.
Než provedeme samotný dvouvýběrový t-test, musíme ověřit jeho předpoklady.
1. Nezávislost výběrových souborů: splněno, plyne přímo ze způsobu získání dat.
2. Rozložení věku mužů a žen je normální.
Grafické ověření předpokladu normality – např. pomocí normálního pravděpodobnostního
grafu. Pokud se tečky v grafu řadí blízko ideální přímky, lze usuzovat na normalitu.
Normální p-graf z věk; kategorizovaný pohlaví
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
pohlaví: muž
18 20 22 24 26 28 30 32 34
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
pohlaví: žena
18 20 22 24 26 28 30 32 34
Grafická metoda je však subjektivní. Objektivní metodou jsou
testy normality. Ukážeme výsledek Shapirova – Wilkova
testu:
Proměnná N W p
věk - muž
věk - žena
15 0,937276 0,349355
13 0,953659 0,654608
V obou případech je p-hodnota větší než zvolená hladina
významnosti 0,05, tedy hypotézu o normalitě věku nezamítáme
ani pro muže, ani pro ženy.
3. Směrodatné odchylky (tedy i rozptyly) věku jsou v obou skupinách stejné.
Pro testování této hypotézy použijeme F-test.
Testujeme 1:H 2
2
2
1
0 =
σ
σ
proti 1:H 2
2
2
1
1 ≠
σ
σ
.
Výsledek F-testu:
Proměnná
Poč.plat
muž
Poč.plat.
žena
Sm.odch.
muž
Sm.odch.
žena
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
věk 15 13 4,033196 4,160251 1,063997 0,901422
Vidíme, že p-hodnota (0,9014) je větší než hladina významnosti 0,05, tudíž na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Nyní již přistoupíme k provedení dvouvýběrového t-testu:
Proměnná
Průměr
muž
Průměr
žena
t sv p Poč.plat
muž
Poč.plat.
žena
věk 26,46667 24,84615 1,045010 26 0,305637 15 13
Jelikož p-hodnota je 0,3056, nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že střední
hodnoty věku mužů a žen jsou shodné.
Výzkumná otázka č. 2: Liší se muži a ženy z hlediska sebeúcty?
Na tuto otázku opět odpovíme za pomoci dvouvýběrového t-testu.
Ověření předpokladů:
1. Nezávislost výběrových souborů: splněno, plyne přímo ze způsobu získání dat.
2. Rozložení hodnocení sebeúcty mužů a žen je normální.
Normální pravděpodobnostní graf společně se Shapirovým – Wilkovým testem normality:
Normální p-graf z sebeúcta; kategorizovaný pohlaví
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
pohlaví: muž
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
pohlaví: žena
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
pohlaví: muž sebeúcta: SW-W = 0,9132; p = 0,1518
pohlaví: žena sebeúcta: SW-W = 0,9336; p = 0,3799
Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu o normalitě hodnocení sebeúcty pro
muže a pro ženy.
3. Směrodatné odchylky (tedy i rozptyly) hodnocení sebeúcty jsou v obou skupinách stejné.
Proměnná
Poč.plat
muž
Poč.plat.
žena
Sm.odch.
muž
Sm.odch.
žena
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
sebeúcta 15 13 4,320494 4,592357 1,129808 0,818192
Na hladině významnosti 0,05 nezamítáme F-testem hypotézu o shodě rozptylů, neboť p-hodnota
F-testu je větší než hladina významnosti 0,05.
Výsledky dvouvýběrového t-testu:
Proměnná
Průměr
muž
Průměr
žena
t sv p
sebeúcta 32,66667 28,38462 2,540516 26 0,017382
Vidíme, že p-hodnota je 0,0174, což je menší než 0,05, tudíž na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o shodě středních hodnot sebeúcty u mužů a žen.
Průměrná hodnota pro muže je 32,7, pro ženy 28,4. Rozdíl mezi těmito hodnotami je průkazný
s rizikem omylu nejvýše 5 %.
Krabicový graf:
Průměr
Průměr±SmOdch
Min-Maxmuž žena
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
sebeúcta
Zajímá nás však, zda je tento rozdíl nejenom statisticky, ale i věcně významný. Pro hodnocení
věcné významnosti rozdílu dvou průměrů slouží Cohenův koeficient věcného účinku. Počítá se
podle vzorce
*
21
s
mm
d
−
= , kde m1, m2 jsou průměry a s* je odhad společné neznámé směrodatné
odchylky. Velikost účinku hodnotíme podle následující tabulky:
hodnota d účinek
aspoň 0,8 velký
mezi 0,5 až 0,8 střední
mezi 0,2 až 0,5 malý
pod 0,2 zanedbatelný
(Uvedené hodnoty nemají samozřejmě absolutní platnost, posouzení, jaký účinek považujeme za
velký či malý, závisí na kontextu.)
V našem případě d = 0,963, tedy z věcného hlediska je rozdíl v sebehodnocení mužů a žen
velký.
Výzkumná otázka č. 3: Existuje závislost mezi věkem respondenta a hodnocením sebeúcty?
Omezíme se pouze na lineární závislost. Budeme ji posuzovat pomocí korelačního
koeficientu. V základním souboru ho označíme ρ, ve výběrovém souboru ho budeme nazývat
výběrový koeficient korelace a označíme ho r.
Koeficient korelace nabývá hodnot od -1 do 1. Čím je jeho hodnota bližší 1, tím je silnější přímá
lineární závislost mezi sledovanými dvěma veličinami a čím je jeho hodnota bližší -1, tím je
silnější nepřímá lineární závislost mezi sledovanými dvěma veličinami. Hodnoty blízké nule
svědčí o neexistenci lineárního vztahu.
Význam absolutní hodnoty koeficientu korelace:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná lineární závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá lineární závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední lineární závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná lineární závislost.
Pomocí dvourozměrného tečkového diagramu orientačně posoudíme, zda mezi věkem a
sebeúctou je patrná nějaká lineární závislost.
18 20 22 24 26 28 30 32 34
věk
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
sebeúcta
Pokud by mezi danými dvěma proměnnými byla lineární závislost, tečky v diagramu by se
řadily podél přímky. V našem případě tomu tak není, lze tedy soudit, že výběrový koeficient
korelace bude blízký 0 a závislost mezi věkem a sebeúctou nebude prokazatelná na hladině
významnosti 0,05.
Nulová hypotéza: Mezi věkem respondenta a sebeúctou neexistuje žádná lineární závislost.
Statistický zápis nulové hypotézy: H0: ρ = 0.
Alternativní hypotéza: Mezi věkem respondenta a sebeúctou existuje lineární závislost .
Statistický zápis alternativní hypotézy: H1: ρ ≠ 0.
Provedeme tedy test nekorelovanosti (tj. lineární nezávislosti), který je založen na výběrovém
koeficientu korelace. Předpokládá se, že sledované proměnné mají dvourozměrné normální
rozložení, což orientačně ověříme tak, že do dvourozměrného tečkového diagramu zakreslíme
elipsu konstantní 95% hustoty pravděpodobnosti. Pokud uvnitř této elipsy leží aspoň 95 % teček,
můžeme data považovat za dvourozměrně normální:
10 15 20 25 30 35 40
věk
15
20
25
30
35
40
45
sebeúcta
Vypočteme výběrový koeficient korelace mezi věkem a sebeúctou:
Proměnná sebeúcta
věk -0,0548
Vidíme, že výběrový koeficient korelace nabývá hodnoty -0,0548, což svědčí o zanedbatelně
malé nepřímé lineární závislosti mezi věkem a sebeúctou.
Výsledek testu nekorelovanosti:
Proměnná sebeúcta
věk -,0548
p=,782
Jelikož p-hodnota je 0,782, což je větší než hladina významnosti 0,05, nulovou hypotézu nelze
zamítnout. Neprokázalo se tedy, že by mezi věkem respondenta a jeho sebeúctou existovala
lineární závislost.
Nyní provedeme podrobnější rozbor závislosti věku a sebeúcty, a to zvlášť pro muže a zvlášť
pro ženy.
Ověření předpokladu dvourozměrné normality:
věk
sebeúcta
pohlaví: muž
10 15 20 25 30 35 40
15
20
25
30
35
40
45
pohlaví: žena
10 15 20 25 30 35 40
Vidíme, že jak u mužů tak u žen lze data považovat za dvourozměrně normální.
Výběrové koeficienty korelace společně s p-hodnotami pro test nekorelovanosti:
Výsledky pro muže
muži sebeúcta
věk ,2596
p=,350
U mužů je výběrový koeficient korelace kladný a jeho hodnota svědčí o tom, že s rostoucím
věkem slabě narůstá sebeúcta. Závislost však není prokazatelná na hladině významnosti 0,05,
neboť p-hodnota je 0,35.
Výsledky pro ženy
ženy sebeúcta
věk -,6160
p=,025
U žen existuje mezi věkem a sebehodnocením statisticky prokazatelná středně silná nepřímá
lineární závislost. Čím starší žena, tím nižší sebehodnocení.