Číselné charakteristiky náhodných veličin
Motivace
Doposud jsme poznali funkcionální charakteristiky náhodných veličin (např. distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce,
hustota pravděpodobnosti), které plně popisují pravděpodobnostní chování náhodné veličiny. Číselné charakteristiky vystihují
pouze některé rysy tohoto chování, např. popisují polohu realizací náhodné veličiny na číselné ose či jejich proměnlivost
(variabilitu). Jsou jednodušší než funkcionální charakteristiky, ale nesou jen částečnou informaci.
Podobně jako v popisné statistice volíme vhodnou číselnou charakteristiku podle toho, jakého typu je daná náhodná veličina
- zda je ordinální nebo intervalová či poměrová. Číselné charakteristiky znaků mají své teoretické protějšky v číselných charakteristikách
náhodných veličin.
Číselné charakteristiky spojité náhodné veličiny aspoň ordinálního typu
Charakteristika polohy : α-kvantil
Nechť X je spojitá náhodná veličina aspoň ordinálního typu s distribuční funkcí Φ(x) a hustotou pravděpodobnosti φ(x).
Nechť α ∈(0, 1).
Číslo Kα(X), které splňuje podmínku
α = Φ(Kα(X)) = ∫
α
∞−
ϕ
)X(K
dx)x( ,
se nazývá α-kvantil náhodné veličiny X.
K0,50(X) - medián,
K0,25(X) - dolní kvartil,
K0,75(X) - horní kvartil,
K0,10(X), ..., K0,90(X) - 1. až 9. decil,
K0,01(X), ..., K0,99(X) - 1. až 99. percentil.
Kterýkoliv α-kvantil je charakteristikou polohy číselných realizací náhodné veličiny na číselné ose.
Charakteristika variability: kvartilová odchylka q = K0,75(X) - K0,25(X).
Ilustrace
Označení pro kvantily speciálních rozložení
X ~ N(0, 1) ⇒ Kα(X) = uα,
X ~ χ2
(n) ⇒ Kα(X) = χ2
α(n),
X ~ t(n) ⇒ Kα(X) = tα(n),
X ~ F(n1, n2) ⇒ Kα(X) = Fα(n1, n2).
Tyto kvantily najdeme ve statistických tabulkách.
Používáme vztahy:
uα = - u1-α,
tα(n) = - t1-α(n),
Fα(n1, n2) =
)n,n(F
1
121 α−
.
Význam kvantilu u0,25 = -0,6745
Význam kvantilu χ2
0,95(8) = 15,5073
Význam kvantilu t0,90(5) = 1,4759
Význam kvantilu F0,05(3,7) =
( )
1125,0
8867,8
1
3,7F
1
95,0
==
Příklad: Nechť U ~ N(0, 1). Pomocí systému STATISTICA najděte 2. decil a první a poslední percentil.
První možnost: Použijeme Pravděpodobnostní kalkulátor. Do okénka průměr napíšeme 0, do okénka Sm.
Odch. napíšeme 1, do okénka p napíšeme pro 2. decil 0,2, pro první percentil 0,01 a pro poslední percentil
0,99. V okénku X se objeví -0,841621 pro 2. decil, -2,326348 pro první percentil a 2,326348 pro poslední
percentil.
Ilustrace pro poslední percentil:
Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,99 a hodnota distribuční funkce v bodě 2,326348 je 0,99
(značeno šrafovaně).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o třech proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména první proměnné napíšeme =VNormal(0,2;0;1). Dostaneme -0,841621.
Do dlouhého jména druhé proměnné napíšeme =VNormal(0,01;0;1). Dostaneme -2,326348.
Do dlouhého jména třetí proměnné napíšeme =VNormal(0,99;0;1). Dostaneme 2,326348.
Příklad: Nechť X ~ N(-1, 4). Pomocí systému STATISTICA najděte horní kvartil.
První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení Normální. Do okénka průměr
napíšeme -1, do okénka Sm. Odch. napíšeme 2, do okénka p napíšeme 0,75 a v okénku X se objeví 0,34898.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VNormal(0,75;-1;2). Dostaneme 0,34898.
Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete χ2
0,05(5).
První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení Chi 2. Do okénka sv.
napíšeme 5 a do okénka p napíšeme 0,05. V okénku Chi 2 se objeví 1,145476.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VChi2(0,05;5). Dostaneme 1,145476.
Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete t0,975(18) a t0,01(4).
První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení t (Studentovo). Do okénka sv.
napíšeme 18 (resp. 4) a do okénka p napíšeme 0,975 (resp. 0,01). V okénku t se objeví 2,100922 (resp.
-3,746947).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme =VStudent(0,975;18) (resp. VStudent(0,01;4)). Dostaneme
2,100922 (resp. -3,746947).
Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete F0,975(3, 12) a F0,05(18, 20).
První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení F (Fisherovo). Do okénka sv1
napíšeme 3 (resp. 18), do okénka sv2 napíšeme 12 (resp. 20) a do okénka p napíšeme 0,975 (resp. 0,05).
V okénku F se objeví 4,474185 (resp. 0,456486).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a dvou případech
Do Dlouhého jména první proměnné napíšeme =VF(0,975;3;12), do Dlouhého jména druhé proměnné
napíšeme =VF(0,05;18;20).Dostaneme 4,474185 (resp. 0,456486).
Číselné charakteristiky diskrétních a spojitých náhodných veličin aspoň intervalového typu
Charakteristika polohy: střední hodnota E(X) – číslo, které charakterizuje polohu realizací náhodné veličiny na číselné ose s
přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem.
Diskrétní případ: náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci π(x).
Střední hodnota ( ) ( )∑
∞
−∞=
π=
x
xxXE , pokud je suma vpravo konečná.
Fyzikální význam: střední hodnota je těžiště soustavy hmotných bodů, jejichž celková hmotnost je 1 a bod o souřadnici x má
hmotnost π(x).
Spojitý případ: náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti φ(x).
Střední hodnota ( ) ( )∫
∞
∞−
ϕ= dxxxXE , pokud je integrál vpravo konečný.
Fyzikální význam: střední hodnota je těžiště hmotné přímky, jejíž celková hmotnost je 1 a hmota je na přímce rozprostřena
podle předpisu φ (x).
Centrovaná náhodná veličina: Y = X - E(X).
(Pro náhodnou veličinu Y platí: E(Y) = 0.)
Střední hodnota transformované náhodné veličiny Y = g(X)
( )
( ) ( )
( ) ( )∫
∑
∞
∞
∞
−∞=
ϕ
π
=
-
x
dxxxg
xxg
YE
Střední hodnota transformované náhodné veličiny Y = g(X1, X2)
( )
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫
∑ ∑
∞
∞−
∞
∞−
∞
−∞=
∞
−∞=
ϕ
π
=
212121
x x
2121
dxdxx,xx,xg
x,xx,xg
YE
1 2
Charakteristika variability: rozptyl D(X) - číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodné veličiny kolem její
střední hodnoty s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem.
Definiční vzorec: ( ) ( )[ ]( )2
XEXEXD −= (rozptyl je střední hodnota kvadrátu centrované náhodné veličiny).
Výpočetní vzorec: ( ) ( ) ( )[ ]22
XEXEXD −= (rozptyl je střední hodnota kvadrátu mínus kvadrát středních hodnot).
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
--
2
2
xx
2
dxxxdxxx
xx-xx
XD






ϕ−ϕ






ππ
=
∫∫
∑∑
∞
∞
∞
∞
∞
−∞=
∞
−∞=
Směrodatná odchylka ( )XD - vyjadřuje průměrnou variabilitu realizací náhodné veličiny X kolem její střední hodnoty.
Standardizovaná náhodná veličina:
( )
( )XD
XEX
Z
−
=
(Pro náhodnou veličinu Z platí: E(Z) = 0, D(Z) = 1.)
Příklad na výpočet střední hodnoty a rozptylu diskrétní náhodné veličiny: Střelec střílí do terče až do
prvního zásahu. Má v zásobě 4 náboje. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu 0,6. Náhodná
veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.
Řešení:
X nabývá hodnot 0, 1, 2, 3 a její pravděpodobnostní funkce je
π(0) = P(X=0) = 0,44
+ 0,43
*0,6 = 0,064,
π(1) = P(X=1) = 0,42
*0,6 = 0,096,
π(2) = P(X=2) = 0,4*0,6 = 0,24,
π(3) = P(X=3) = 0,6,
π(x) = 0 jinak
E(X) = 0*0,064 + 1*0,096 + 2*0,24 + 3*0,6 = 2,376
D(X) = 02
*0,064 + 12
*0,096 + 22
*0,24 + 32
*0,6 – 2,3762
= 0,8106
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných X a cetnost a čtyřech případech. Do proměnné X
napíšeme 0, 1, 2, 3, do proměnné cetnost napíšeme 64, 96, 240, 600.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – zavedeme proměnnou vah cetnost – OK Proměnné
X – OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Průměr, Rozptyl – Výpočet.
Popisné statistiky (Tabulka10)
Proměnná N platných Průměr Rozptyl
X 1000 2,376000 0,811435
Rozptyl však musíme upravit, musíme ho přenásobit číslem 999/1000. Do výstupní tabulky tedy přidáme za
proměnnou Rozptyl novou proměnnou a do jejího Dlouhého jména napíšeme
=v3*999/1000
Popisné statistiky (Tabulka10)
Proměnná N platných Průměr Rozptyl NProm
X 1000 2,376000 0,811435 0,810624
Střední hodnoty a rozptyly vybraných diskrétních a spojitých rozložení
X ~ Dg(µ) ⇒ E(X) = µ, D(X) = 0
X ~ A(ϑ) ⇒ E(X) = ϑ, D(X) = ϑ (1-ϑ)
X ~ Bi(n, ϑ ) ⇒ E(X) = nϑ , D(X) = nϑ (1-ϑ )
X ~ ( )ϑGe ⇒ ( )
ϑ
ϑ−
=
1
XE , ( ) 2
1
XD
ϑ
ϑ−
=
X ~ ( )n,M,NHg ⇒ ( ) n
N
M
XE = , ( )
1N
nN
N
M
1
N
Mn
XD
−
−






−=
X ~ ( )λPo ⇒ ( ) λ=XE , ( ) λ=XD
X ~ ( )GRd ⇒ ( )
2
1n
XE
+
= , ( )
12
1n
XD
2
−
=
X ~ Rs(a, b) ⇒ E(X) =
2
ba +
, D(X) =
( )
12
ab
2
−
X ~ ( )λEx ⇒ ( )
λ
=
1
XE , ( ) 2
1
XD
λ
=
X ~ N(µ, σ2
) ⇒ E(X) = µ, D(X) = σ2
X ~ ( )n2
χ ⇒ ( ) nXE = , ( ) n2XD =
X ~ ( )nt ⇒ ( ) 0XE = pro 2n ≥ (pro 1n = střední hodnota neexistuje) , ( )
2n
n
XD
−
= pro 3n ≥ (pro 2,1n = rozptyl neexistuje).
X ~ ( )21 n,nF ⇒ ( )
2n
n
XE
2
2
−
= pro 3n2 ≥ (pro 2,1n2 = střední hodnota neexistuje) , ( ) ( )
( ) ( )4n2nn
2nnn2
XD
2
2
21
21
2
2
−−
−+
= pro 5n2 ≥ (pro
4,3,2,1n2 = rozptyl neexistuje).
Čebyševova nerovnost:
Jestliže náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X), pak
( ) ( )( ) 2
t
1
XDtXEXP:0t ≤>−>∀ .
(Význam: pokud neznáme rozložení náhodné veličiny, ale známe její střední hodnotu a rozptyl, pak můžeme odhadnout
pravděpodobnost, s jakou se od své střední hodnoty odchýlí o více než t-násobek své směrodatné odchylky.)
Ilustrace:
Příklad: Nechť E(X) = µ, D(X) = σ2
.
a) Odhadněte P( )σ>µ− 3X .
b) Jestliže X ~ N(µ, σ2
), vypočtěte P( )σ>µ− 3X .
Řešení:
ad a) P( )σ>µ− 3X ≤ 1,0
9
1
3
1
2
== . (Tento výsledek je znám jako pravidlo 3σ a říká, že nejvýše 11,1% realizací
náhodné veličiny leží vně intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ).)
ad b) P( )σ>µ− 3X = 1 – P(-3σ ≤ X – µ ≤ 3σ) = 1 – P(-3 ≤
σ
µ−X
≤ 3) = 1 – Φ(3) + Φ(-3) = 2[1 - Φ(3)] =
= 2(1 – 0,99865) = 0,0027. (Má-li náhodná veličina normální rozložení, pak pouze 0,27% realizací leží vně
intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ).)
Charakteristika společné variability: kovariance C(X1, X2) – číslo, které charakterizuje variabilitu realizací dvou náhodných
veličin X1, X2 kolem jejich středních hodnot s přihlédnutím k pravděpodobnostem těchto realizací.
Definiční vzorec: ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )221121 XEXXEXEX,XC −−= (kovariance je střední hodnota součinu centrovaných
náhodných veličin).
Výpočetní vzorec: ( ) ( ) ( ) ( )212121 XEXEXXEX,XC −= (kovariance je střední hodnota součinu mínus součin
středních hodnot).
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫
∑∑∑ ∑
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
ϕϕ−ϕ
πππ
=
22221111212121
x
222
x
111
x x
2121
21
dxxxdxxxdxdxx,xxx
xxxx-x,xxx
X,XC
211 2
Význam kovariance: Je-li kovariance kladná (záporná), pak to svědčí o existenci jistého stupně přímé (nepřímé) lineární
závislosti mezi realizacemi náhodných veličin X1, X2. Je-li kovariance nulová, pak říkáme, že náhodné veličiny X1, X2 jsou
nekorelované a znamená to, že mezi jejich realizacemi není žádný lineární vztah. Pozor – z nekorelovanosti nevyplývá
stochastická nezávislost, zatímco ze stochastické nezávislosti plyne nekorelovanost.
Charakteristika těsnosti lineárního vztahu: koeficient korelace R(X1, X2) - číslo, které charakterizuje těsnost lineární závislosti
realizací náhodných veličin X1, X2. Čím bližší je 1, tím těsnější je přímá lineární závislost, čím bližší je -1, tím těsnější
je nepřímá lineární závislost.
Definiční vzorec:
( ) ( )
( )
( )
( ) 






 −
⋅
−
=
2
22
1
11
21
XD
XEX
XD
XEX
EX,XR pro kladné směrodatné odchylky, jinak klademe
R(X1, X2) = 0 (koeficient korelace je střední hodnota součinu standardizovaných náhodných veličin).
Výpočetní vzorec:
( ) ( )
( ) ( )21
21
21
XDXD
X,XC
X,XR = (koeficient korelace je podíl kovariance a součinu směrodatných
odchylek).
Příklad na výpočet koeficientu korelace diskrétního náhodného vektoru: Náhodná veličina X udává počet skleniček
tvrdého alkoholu, které během jedné hodiny pobytu v restauraci vypije náhodně vybraný host a náhodná veličina Y udává
počet vykouřených cigaret za 1 h u téhož hosta. Hodnoty simultánní pravděpodobnostní funkce ( )y,xπ jsou dány
v kontingenční tabulce:
Y
X
0 1 2 ( )x1π
1 0,02 0,08 0,05 0,15
2 0,02 0,28 0,25 0,55
3 0,01 0,13 0,16 0,30
( )y2π 0,05 0,49 0,46 1
Vypočtěte koeficient korelace náhodných veličin X, Y.
Řešení:
E(X) = 1.0,15 + 2.0,55 + 3.0,30 = 2,15
E(Y) = 0.0,05 + 1.0,49 + 2.0,46 = 1,41
D(X) = 12
.0,15 + 22
.0,55 + 32
.0,30 – 2,152
= 0,4275
D(Y) = 02
.0,05 + 12
.0,49 + 22
.0,46 – 1,412
= 0,3419
C(X,Y) = 1.0.0,02 + 1.1.0,08 + … + 3.2.0,16 – 2,15.1,41 = 0,0585,
R(X,Y) = 0,0585/√0,4275√0,3419 = 0,153.
Vidíme, že lineární závislost mezi počtem vypitých skleniček tvrdého alkoholu a počtem vykouřených
cigaret za 1 h pobytu v restauraci je jenom slabá.
Postup ve STATISTICE:
Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných X, Y, cetnost a 16 případech. Do proměnné X napíšeme
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, do proměnné Y 3x pod sebe 0, 1, 2 a do proměnné cetnost 2, 8, 5, 2, 28, 25, 1, 13, 16.
Statistiky - Základní statistiky/tabulky – zavedeme proměnnou vah cetnost – OK - Korelační matice – OK –
1 seznam proměnných – X, Y – OK.
Korelace (alkohol_cigarety.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=100 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná X Y
X
Y
1,00 0,15
0,15 1,00
Vlastnosti střední hodnoty
a) E(a) = a
b) E(a + bX) = a + bE(X)
c) E(X – E(X)) = 0
d) E 





∑
=
n
1i
iX = ∑
=
n
1i
i )X(E
e) Jsou-li náhodné veličiny X1, ..., Xn stochasticky nezávislé, pak E 







∏
=
n
1i
iX = ∏
=
n
1i
i )X(E
Vlastnosti kovariance
a) C(a1, X2) = C(X1, a2) = C(a1, a2) = 0
b) C(a1 + b1X1, a2 + b2X2) = b1b2C(X1, X2)
c) C(X, X) = D(X)
d) C(X1, X2) = C(X2, X1)
e) C(X1, X2) = E(X1X2) – E(X1)E(X2)
f) C 







∑ ∑
= =
n
1i
m
1j
ji Y,X = ∑∑
= =
n
1i
m
1j
ji )Y,X(C
Vlastnosti rozptylu
a) D(a) = 0
b) D(a + bX) = b2
D(X)
c) D(X) = E(X2
) - [ ]2
)X(E
d) D 





∑
=
n
1i
iX = ∑ ∑∑
−
= +==
+
1n
1i
n
1ij
ji
n
1i
i )X,X(C2)X(D (jsou-li náhodné veličiny X1, ..., Xn nekorelované, pak D 





∑
=
n
1i
iX =
∑
=
n
1i
i )X(D )
Vlastnosti koeficientu korelace
a) R(a1, X2) = R(X1, a2) = R(a1, a2) = 0
b) R(a1 + b1X1, a2 + b2X2) = sgn(b1b2) R(X1, X2)
c) R(X, X) = 1 pro D(X) ≠ 0, R(X, X) = 0 jinak
d) R(X1, X2) = R(X2, X1)
e) R(X1, X2) =
( )





>
jinak0
0)X(D)X(Dpro
)X(D)X(D
X,XC
21
21
21
f) 1)X,X(R 21 ≤ a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, když mezi veličinami X1, X2 existuje
s pravděpodobností 1 úplná lineární závislost, tj. existují konstanty a1, a2 tak, že P(X2 = a1 + a2X1) = 1.
(Uvedená nerovnost se nazývá Cauchyova – Schwarzova – Buňakovského nerovnost.)
Příklad na využití vlastností číselných charakteristik: Náhodné veličiny X, Y jsou náhodné chyby, které
vznikají na vstupním zařízení. Mají střední hodnoty E(X) = -2, E(Y) = 4 a rozptyly D(X) = 4, D(Y) = 9.
Koeficient korelace těchto chyb je R(X,Y) = -0,5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu
funkční závislostí Z = 3X2
– 2XY + Y2
- 3. Najděte střední hodnotu chyby na výstupu.
Řešení:
E(Z) = E(3X2
– 2XY + Y2
– 3) = 3E(X2
) – 2E(XY) + E(Y2
) – E(3) =
= 3{D(X) + [E(X)]2
} – 2[C(X,Y) + E(X)E(Y)] + D(Y) + [E(Y)]2
– 3 =
= 3[D(X) + [E(X)]2
] – 2[R(X,Y) )Y(D)X(D + E(X)E(Y)] + D(Y) + [E(Y)]2
- 3 =
3(4 + 4) -2[-0,5×2×3 + (-2) ×4] + 9 + 16 – 3 = 24 + 22 + 25 – 3 = 68
Centrální limitní věta:
Jsou-li náhodné veličiny X1, …, Xn stochasticky nezávislé a všechny mají stejné rozložení se střední hodnotou µ a rozptylem
σ2
, pak pro velká n (n ≥ 30) lze rozložení součtu ∑=
n
1i
iX aproximovat normálním rozložením N(nµ, nσ2
). Zkráceně píšeme
( )2
n
1i
i n,nNX σµ≈∑=
.
Pokud součet ∑=
n
1i
iX standardizujeme, tj. vytvoříme náhodnou veličinu
n
nX
U
n
1i
i
n
σ
µ−
=
∑=
, pak rozložení této náhodné veličiny
lze aproximovat standardizovaným normálním rozložením. Zkráceně píšeme Un ≈ N(0,1)
Normální rozložení je tedy rozložením limitním, k němuž se blíží všechna rozložení, proto hraje velmi důležitou roli v počtu
pravděpodobnosti a matematické statistice.
Ilustrace centrální limitní věty:
Uvažme n stochasticky nezávislých náhodných veličin X1, …, Xn, přičemž
každá z nich má rovnoměrné spojité rozložení na intervalu (0,1), tj. Xi ~ Rs(0,1),
i = 1, …, n. Protože ( )
2
1
XE i = a ( )
12
1
XD i = , podle centrální limitní věty
náhodná veličina
( )1,0N
12
n
2
n
X
n
nX
U
n
1i
i
n
1i
i
n ≈
−
=
σ
µ−
=
∑∑ ==
.
Položíme-li n = 12, pak ( )1,0N6XU
12
1i
i12 ≈−= ∑=
.
Při ilustraci působení centrální limitní věty na počítači postupujeme tak, že pro
každou z 12 veličin Xi ~ Rs(0,1), i = 1, …, 12 vygenerujeme dostatečně velký
počet realizací , např. 1000 a uložíme je do proměnných v1 až v12. Do proměnné
v13 uložíme součet proměnných v1 až v12 zmenšený o 6. Histogram kterékoliv
proměnné v1 až v12 se svým tvarem bude blížit obdélníku, zatímco histogram
proměnné v13 se svým tvarem bude blížit Gaussově křivce.
Důsledkem centrální limitní věty je Moivreova – Laplaceova věta:
Nechť X1, …, Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, všechny se řídí alternativním rozložením A(ϑ ). Pak jejich
součet ∑=
=
n
1i
in XY má binomické rozložení Bi(n, ϑ). Střední hodnota veličiny Yn je E(Yn) = nϑ, rozptyl je D(Yn) = nϑ(1-ϑ).
Podle centrální limitní věty se standardizovaná náhodná veličina
( )ϑ−ϑ
ϑ−
1n
nYn
asymptoticky řídí standardizovaným normálním
rozložením N(0,1).
Aproximace se považuje za vyhovující, když jsou splněny podmínky: 9.)-(1na
1n
n
1n
1
>ϑϑ
+
<ϑ<
+
Na základě Moivreovy – Laplaceovy věty se používá aproximativní vzorec, který složitý výpočet distribuční funkce
binomického rozložení nahrazuje jednoduchým hledáním v tabulkách hodnot distribuční funkce standardizovaného
normálního rozložení.
Máme náhodnou veličinu Yn ~ Bi(n, ϑ). Pak
pravděpodobnostní funkce ( ) ( ) yny
n 1
y
n
yYP
−
ϑ−ϑ





== pro y = 0, 1, …, n,
distribuční funkce ( ) ( ) ( )∑∑ =
−
=
ϑ−ϑ





===≤
y
0t
tnt
y
0t
1
t
n
tYPyYP - složitý výpočet
Aproximativní vzorec: 







ϑ−ϑ
ϑ−
Φ≈≤
)1(n
ny
)yY(P n .
Příklad na aplikaci Moivreovy – Laplaceovy věty: 100 x nezávisle na sobě hodíme hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost,
že šestka padne aspoň 20 x?
Řešení:
Y100 – počet šestek ve 100 hodech, Y100 ~ Bi(100,
6
1
).
Ověření podmínek dobré aproximace: 9)-(1na
1n
n
1n
1
>ϑϑ
+
<ϑ<
+
9.8,13
6
1
-1
6
1
100a
101
100
6
1
101
1
>=





⋅⋅<<
Aproximativní výpočet:
( ) ( ) ( )
( ) 26435,073565,01626,01
626,0UP1
6
5
6
1
100
6
100
19
6
5
6
1
100
6
100
Y
P119YP120YP 100
100
100100
=−=Φ−≈
≈≤−=












⋅⋅
−
≤
⋅⋅
−
−=≤−=≥
Přesný výpočet:
( ) ( ) 219751,0
6
5
6
1100
119120
19
0
100
100100 =

















−=≤−=≥ ∑=
−
t
tt
t
YPYP
Příklad na aplikaci Moivreovy – Laplaceovy věty: Osobě prohlašující, že má proutkařské schopnosti, předložíme 100
dvojic zakrytých nádob. V každé dvojici je jedna nádoba prázdná a druhá naplněná vodou. Výsledky proutkaře srovnáme
s výsledky hypotetické osoby, která pracuje zcela náhodně. Nechť náhodná veličina Y100 udává počet úspěšně
identifikovaných dvojic nádob. Jaká je pravděpodobnost, že Y100 překročí přirozené číslo y, y = 0, 1, …, 100?
Řešení: Je zřejmé, že 100Y ~ 





2
1
,100Bi .
( ) ( )
( ) ( )





 −
Φ−≈




 −
≤
−
−=








−⋅⋅
⋅−
≤
−⋅⋅
⋅−
−=≤−=>
5
50y
1
5
50y
5
50Y
P1
5,015,0100
5,0100y
5,015,0100
5,0100Y
P1yYP1yYP 100100
100100
y = 50: ( ) ( ) 5,05,010150YP 100 =−=Φ−≈>
y = 55: ( ) ( ) 15866,084134,011155YP 100 =−=Φ−≈>
y = 60: ( ) ( ) 02275,097725,012160YP 100 =−=Φ−≈>
y = 65: ( ) ( ) 00135,099865,013165YP 100 =−=Φ−≈>
Ilustrace: závislost ( )yYP 100 > na y
-20 0 20 40 60 80 100 120
y
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
p