Téma 2: Výpočet číselných charakteristik jednorozměrného
a dvourozměrného datového souboru
Úkol 1.: U 100 náhodně vybraných domácností byl zjišťován způsob zásobování
bramborami (znak X, varianty 1 = vlastní sklep, 2 = jinde, 3 = nákup) a bydliště (znak Y,
varianty 1 = velké město, 2 = malé město, 3 = vesnice).
bydlištězpůsob
zásobování velké město malé město vesnice
vlastní sklep 13 15 14
jinde 11 7 2
nákup 19 9 10
a) Pro oba znaky určíme modus.
b) Vypočteme Cramérův koeficient znaků X, Y.
Návod: Otevřeme nový datový soubor se třemi proměnnými X, Y, četnost a devíti případy.
Do proměnné X napíšeme 3 jedničky, 3 dvojky a 3 trojky, do proměnné Y napíšeme 3 krát
pod sebe 1, 2, 3 a do proměnné četnost napíšeme odpovídající simultánní absolutní četnosti
dvojic variant (X, Y), tj. 13, 15, 14, 11, 7, 2, 19, 9, 10. Proměnným vytvoříme návěští a
popíšeme význam jednotlivých variant.
ad a) Výpočet modu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK –
klikneme na tlačítko se závažím – zaškrtneme Stav zapnuto, vybereme proměnnou vah
četnost – OK - Proměnné X, Y – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Modus.
Popisné statistiky (brambory)
Proměnná
Modus Četnost
modu
X
Y
1,000000 42
1,000000 43
Proměnná X má modus 1, tj. nejvíce domácností skladuje brambory ve vlastním sklepě a
proměnná Y má také modus 1, tj. nejvíce domácností bydlí ve velkém městě.
ad b) Výpočet Cramérova koeficientu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční
tabulky – OK – Specif. tabulky - List 1 X, List 2 Y - OK – na záložce Možnosti ve
Statistikách 2 rozměrných tabulek zaškrtneme Fí (tabulky 2x2) & Cramérovo V & C –
přejdeme na záložku Detailní výsledky – Detailní 2-rozm. tabulky.
Statist. : X(3) x Y(3) (brambory)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
6,420286 df=4 p=,16989
7,075760 df=4 p=,13195
,2533828
,2456207
,1791687
Na posledním řádku najdeme, že Cramérův koeficient nabývá hodnoty 0,179, tedy mezi
způsobem zásobování bramborami a bydlištěm domácnosti exisuje jen slabá závislost – viz
následující tabulka:
Cramérův koeficient interpretace
mezi 0 až 0,1 zanedbatelná závislost
mezi 0,1 až 0,3 slabá závislost
mezi 0,3 až 0,7 střední závislost
mezi 0,7 až 1 silná závislost
Úkol 2.: Otevřeme datový soubor znamky.sta.
a) Pro známky z matematiky a angličtiny vypočteme medián, dolní a horní kvartil,
kvartilovou odchylku a vytvoříme krabicový diagram.
b) Vypočteme Spearmanův koeficient korelace známek z matematiky a angličtiny pro
všechny studenty, pak zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Získané výsledky budeme
interpretovat.
Návod:
ad a) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X, Y –
OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Medián, Dolní & horní kvartily, Kvartil. rozpětí –
Výpočet.
Popisné statistiky (znamky)
Proměnná
Medián Spodní
kvartil
Horní
kvartil
Kvartilové
rozpětí
X
Y
2,500000 1,000000 4,000000 3,000000
3,000000 2,000000 3,500000 1,500000
Vytvoření krabicového diagramu: Grafy – 2D Grafy – Krabicové grafy – vybereme
Vícenásobný – Proměnné X, Y – OK.
Krabicový graf z více proměnných
znamky 3v*20c
Medián; Krabice: 25%-75%; Svorka: Rozsah neodleh.
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémy
X Y
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
ad b) Statistiky – Neparametrická statistika – Korelace – OK – Proměnné X, Y – OK –
Spearman R.
Pro všechny:
Spearmanovy korelace (znamky)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,688442
0,688442 1,000000
Počítáme-li Spearmanův korelační koeficient pro ženy (resp. pro muže), použijeme filtr:
tlačítko Select Cases – Zapnout filtr – včetně případů – některé, vybrané pomocí výrazu Z=0
(resp. Z=1).
Pro ženy:
Spearmanovy korelace (znamky)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Zhrnout podmínku: Z=0
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,860314
0,860314 1,000000
Pro muže:
Spearmanovy korelace (znamky)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Zhrnout podmínku: Z=1
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,373544
0,373544 1,000000
Vidíme, že nejsilnější přímá pořadová závislost mezi známkami z matematiky a angličtiny je
u žen, rS = 0,86. U mužů je tato závislost mnohem slabší, rS = 0,37. U žen tedy dochází
k tomu, že se sdružují podobné známky z obou předmětů, zatímco u mužů se projevuje spíše
tendence k různým známkám. Je to zřetelně vidět na dvourozměrných tečkových diagramech.
Tečkový diagram pro ženy
Bodový graf z Y proti X
Tabulka23 2v*10c
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
X
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Y
Tečkový diagram pro muže
Bodový graf z Y proti X
Tabulka22 2v*10c
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
X
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Y
Význam hodnot Spearmanova (i Pearsonova) koeficientu korelace je popsán v tabulce:
Absolutní hodnota korelačního koeficientu Interpretace hodnoty
0 lineární nezávislost
(0, 0,1) velmi nízký stupeň závislosti
[0,1, 0,3) nízký stupeň závislosti
[0,30, 0,50) mírný stupeň závislosti
[0,50, 0,70) význačný stupeň závislosti
[0,70, 0,90) vysoký stupeň závislosti
[0,90, 1) velmi vysoký stupeň závislosti
1 úplná lineární závislost
Úkol 3.: Otevřeme datový soubor ocel.sta.
a) Pro mez plasticity a mez pevnosti vypočteme aritmetický průměr, směrodatnou odchylku,
rozptyl, koeficient variace, šikmost a špičatost. Výsledky porovnáme s údaji ve skriptech
Popisná statistika (viz str. 30).
b) Vypočteme Pearsonův koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Dále
vypočteme také kovarianci a výsledek porovnáme s výsledkem ve skriptech Popisná statistika
(str. 30).
Návod:
ad a) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X, Y –
OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Průměr, Směrodat. odchylka, Rozptyl, Variační
koeficient, Šikmost, Špičatost – Výsledky.
Popisné statistiky (ocel)
Proměnná Průměr Rozptyl Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
X
Y
95,8833 1070,240 32,71453 34,11910 -0,046758 -0,605826
114,4000 1075,125 32,78911 28,66181 0,297889 -0,592621
Vysvětlení: Rozptyl a směrodatná odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak než ve skriptech,
protože STATISTICA ve vzorci pro výpočet rozptylu nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1). Koeficient
variace (v tabulce označený jako Koef. Prom.) je udán v procentech.
ad b) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam
proměnných – X, Y – OK, na záložce Možnosti zrušíme volbu Včetně průměrů a sm. odch. –
Výpočet.
Korelace (ocel)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná X Y
X
Y
1,00 0,93
0,93 1,00
Vidíme, že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost.
Kovariance se počítá složitěji. Statistiky – Vícenásobná regrese - Proměnné Nezávislá X,
Závislá Y – OK – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Další
statistiky - Kovariance.
Kovariance (ocel)
Proměnná X Y
X
Y
1070,240 1002,471
1002,471 1075,125
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je
kovariance. Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak než ve skriptech, protože ve
STATISTICE se ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1).
Úkol k samostatnému řešení
Máme k dispozici údaje o rozměrech lebek staroegyptské populace. Jedná se o 216 mužů a
109 žen.
Proměnná X … největší délka mozkovny v mm (tj. přímá vzdálenost kraniometrických bodů
glabella a opisthocranion)
Proměnná Y … největší šířka mozkovny v mm (tj. přímá vzdálenost kraniometrických bodů
euryon dx a euryon sin)
Proměnná Z … pohlaví osoby (1 … muž, 0 … žena)
(Data jsou uložena v souboru lebky.sta.)
a) Pro největší délku a největší šířku mozkovny mužů vypočtěte aritmetický průměr,
směrodatnou odchylku, rozptyl, koeficient variace, šikmost a špičatost.
b) Vypočtěte Pearsonův koeficient korelace největší délky a největší šířky mozkovny mužů.
Dále vypočtěte také kovarianci těchto dvou znaků a nakreslete dvourozměrný tečkový
diagram.
Výsledky pro bod (a):
Popisné statistiky (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
Proměnná Průměr Rozptyl Sm.odch. Var.koef. Šikmost Špičatost
X
Y
182,0324 40,76639 6,384856 3,507538 -0,055067 -0,451137
137,1852 23,27717 4,824642 3,516883 0,085290 -0,248534
Výsledky pro bod (b), koeficient korelace:
Korelace (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,168157
0,168157 1,000000
Vidíme, že mezi X a Y existuje nízký stupeň přímé lineární závislosti.
Výsledky pro bod (b), kovariance:
Kovariance (lebky.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
Proměnná X Y
X
Y
40,76639 5,18002
5,18002 23,27717
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je
kovariance.
Dvourozměrný tečkový diagram pro největší délku a největší šířku mozkovny mužů:
Bodový graf z Y proti X
lebky.sta 3v*325c
Zahrnout jestliže: z=1
160 165 170 175 180 185 190 195 200 205
X
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
Y
Ze vzhledu diagramu je patrné, že mezi oběma znaky existuje slabá přímá lineární závislost.