2   Výpočet číselných charakteristik - OSNOVA
• Minulá hodina —y bodové/intervalové rozložení četností.
— důvod: pilotní analýza; seznámení s daty
• Nová látka: Motivace
— Karolína s Markétou se domluví na výzkumu. Půjdou na dvě různé školy —y 20 žáků —y u každého zjistí známku z matiky a anginy —y výsledky roztřídí do variační tabulky —y 2 variační řady —y porovnávání absolutních četností pro každou dvojici známek? ... nepřehledné a neefektivní.
• Potřebujeme jednodušší charakteristiky, které nám řeknou o datech ty nej důležitější informace a budou dostatečně jednoduché na to, aby se dali snadno vypočítat a interpretovat.
• Různá data —y různé charakteristiky:
• Typy dat:
— Nomiální
— Ordinální
— Intervalová
• Tři základní typy charakteristik:
— polohy
— variability
— závislosti
— + nesymetrie (intervalové znaky) Nominální znaky
Příklad 2.1. U 100 náhodně vybraných domácností byl zjišťován způsob zásobování bramborami (znak X, varianty 1 = vlastní sklep, 2 = jinde, 3 = nákup) a bydliště (znak Y, varianty 1 = velké město, 2 = malé město, 3 = vesnice).
• = jednotlivé varianty znaku jsou neporovnatelné:
— zvíře u veterináře: kočka, pes, papoušek, želva
— oblast výzkumu: dolní Věstonice, pohansko, klášterec
— barva očí: modrá, zelená, hnědá
• Charakteristika polohy
— varianty jsou navzájem neporovnatelné —y můžeme vybrat pouze nej četnější variantu ... modus.
1
(data <-  data.frame(velké.město = c(13,11 , 19) ,   male.mesto = c(15,7,9) , vesnice=c(14,2,10),
row.names = c('sklep' , 'j inde' , 'nakup')))
apply(data,1,sum) apply(data,2,sum)
• Charakteristika závislosti
— Cramérův koeficient rc - slouží k určení těsnosti závislosti u nominálních veličin
- rcE (0;1).
library(lsr)
round(cramersV(data), digits=3) [1] 0.179
Ordinální znaky
Příklad 2.2. Otevřeme datový soubor znamky.txt.
a) Pro známky z matematiky a angličtiny vypočteme medián, dolní a horní kvartil, kvartilovou odchylku a vytvoříme krabicový diagram.
b) Vypočteme Spearmanův korelační koeficient známek z matematiky a angličtiny pro všechny studenty.
• Získaná data můžeme porovnávat, ale nemůžeme říci, jaký je mezi nimi rozdíl.
— 10 pacientů ... pořadí podle závažnosti onemocnění
— Známky studentů - výborně, chvalitebně, dobře, dostatečně a nedostatečně. Mezi výborně a chvalitebně je jiný rozdíl než mezi dostatečně a nedostatečně.
• Charakteristika polohy
— a-kvantil ... xa
* medián rr0.5
* dolní kvartil rro.25
* horní kvartil rco.75
— na = celé číslo c —y xn
X(c) + X(c+1)
2
— na = necelé číslo —y zaokrouhlíme nahoru na nejbližší celé číslo c —y xa = Charakteristika variability:
— kvartilové rozpětí
— q = X0.75 — Xo.25
— v intervalu leží 50 % dat.
2
data  <-  read.delim('známky.txt',   sep='\t',   dec='.',header=F) sourče('AS-funkce.R') head(data)
names(data)   <-  c('matematika ' ,   'angličtina', 'pohlavi')
f3 <-  factor(data$pohlavi,   levels=c(0,1),   labels=c('zena','muz'))
data[,3]   <- f3
head(data)
matematika <- data$matematika angličtina <- data$anglictina pohlavi <- data$pohlavi
q.M  <-  quantile(matematika,   probs=c(0.5,0.25,0.75),   type=2) #type=5 iqr.M  <-  q. M [3]-q. M [2]
(tabulka<-data.frame(median = q.M[1] ,   kvl = q.M [2] ,   kv3 = q.M[3],
IQR=iqr.M, row.names='matematika'))
boxplot(matematika,   angličtina,   main='Krabicovyugrafudvouupromennych', names=c('matematika','angličtina'),   ylab='známka', ylim=c(0,5), border='darkgreen',   col='darkolivegreenl')
• Charakteristika závislosti:
— Spearmanův koeficient pořadové korelace r$
— máme dva znaky: X - známka z matematiky, Y známka z angličtiny
— existuje mezi znaky X a Y závislost a když, jak silná? -rse(-l;l>.
* r s > 0 ... přímá závislost (s rostoucí hodnotou znaku X roste i hodnota znaku Y)
* r,s < 0 ... nepřímá závislost (s rostoucí hodnotou znaku X hodnota znaku Y klesá)
* r,s = 0 ... nezávislost
Prima závislost Neprima závislost
cor(matematika,   angličtina,   method='spearman')
cor(matematika[pohlavi=='zena'],   angličtina[pohlavi=='zena'], method=' spearman')
3
Nakreslete tečkový graf
dotplot(matematika[pohlavi=='zena'],   angličtina[pohlavi=='zena'],
main='Teckovyugrafuznameku-uZeny',   xlab='matematika', ylab=' angli ct ina' ,
col='darkgreen',   bg='darkolivegreenl',   xlim=c(l,4), ylim=c(l,4)) abline(v=seq(1,4,by=0.5),   col='grey80', lty=2) abline(h=seq(1,4,by=0.5),   col='grey80', lty=2)
Intervalové znaky
Příklad 2.3. Otevřeme datový soubor lebky.txt.
a) Pro největší délku a největší šířku mozkovny mužů vypočteme aritmetický průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, koeficient variace, šikmost a špičatost.
b) Vypočítejte Pearsonův koeficient korelace největší délky a největší šířky mozkovny mužů. Dále vypočtěte kovarianci těchto dvou znaků a nakreslete dvourozměrný tečkový diagram.
• Hodnoty znaků můžeme nejen vzájemně porovnat, ale můžeme též říci, o kolik se liší:
• Výška/váha dětí, věk pacienta, hodnota glukózy v krvi, množství vyplaveného testosteronu, šířka lebky mužů/žen/neandrtálců, ...
• Charakteristika polohy:
— aritmetický průměr: m = ^ Y^t=i xí
— součet podprůměrných hodnot je stejný, jako součet nadprůměrných hodnot
— silně ovlivněn vybočujícími hodnotami —y vhodný máme-li symetrická data
• Charakteristika polohy:
1. rozptyl:
• Charakteristika nesymetrie:
1. šikmost «3
— «3 = 0 —>• rozložení dat je symetrické
— «3 < 0 —y záporně zešikmené rozložení —y prosloužený levý
— «3 > 0 —y kladně zešikmené rozložení —y prosloužený pravý konec
— průměrná kvadratická odchylka hodnot od jejich aritmetického průměru.
— s2 > 0
— je ovlivněn vybočujícími hodnotami —y je vhodný, máme-li symetrická data
— oproti jednotkám původních dat tato data jsou v jednotkách na druhou.
2
směrodatná odchylka
převádí rozptyl do původních jednotek
4
2. špičatost «4
— «4 = 0 —>• normální rozložení dat
— a4 > 0 —> strmé rozložení dat
— «4 < 0 —> ploché rozložení dat (Říp)
library(el07l)
data <-  read.delim('lebky.txt' ,   sep='\t',   dec='.', header=F)
names(data)   <-  c('delka',   'sirka', 'pohlavi') head(data)
délka.M      <-  data$délka[data$pohlavi=='muz'] n <-  length(délka.M)
prumer.D <- mean(délka.M)
rozptyl.D      <-  l/n*sum((délka.M-prumer.D)~2) sm.odch.D      <-  sqrt(rozptyl.D) koef.var.D    <-  srn.odch.D/mean(délka.M)* 100 sikmost.D      <-   skewness(délka.M, type=2) spicatost.D  <-  kurtosis(délka.M, type=2)
(tab.D <-  round(data.frame(n=n,   prumer=prumer.D,   rozptyl=rozptyl.D,
odch=sm.odch.D,
koef.var=koef.var.D,   sikmost=sikmost.D, spicatost= spicatost.D), digits=4))
• Charakteristika těsnosti závislosti:
— máme dva intervalové znaky - existuje mezi nimi nějaká závislost a když, tak jak silná?
1. Pearsonův koeficient korelace
* r   = — xi-'mi yi-'m2
12       n Z-ři=l     sl S2
* nabývá hodnot mezi -1 a 1
* r 12 > 0 ... přímá závislost
* ri2 < 0 ... nepřímá závislost
* r 12 = 0 ... nezávislost
2. kovariance
cor(delka.M,   sirka.M,   method='pearson')
kovariance   <-  sum((délka.M-prumer.D)*(sirka.M-prumer.S))/n round(kovariance, 4)
plot(délka.M,   sirka.M,   main='Teckovyugrafudelkyuausirkyulebkyumuzu',   pch=21, xlab='delkaulebky',   ylab='sirkaulebky',   col='darkgreen', bg=' darkolivegreenl') abline(v=seq(160,200,by=5),   col='grey80', lty=2) abline(h=seq(120,145,by=5),   col='grey80', lty=2)
5