3   Opakované pokusy
3.1    Základy pst i
• každý experiment je založen na náhodném pokusu
— výzkum: výška člověka: náhodný pokus ... změříme 1 člověka;
— výzkum: oblíbená značka auta .. .zeptáme se jednoho náhodného muže;
— výzkum: které číslo padne na kostce ... hodíme kostkou;
• základni prostor Q ... množina všech možných výsledků
— výška člověka ... 0 — oo; 0 — 4m;
— auta ... škoda, bmw, mercedes, mazda, VW, hyundai, jiné;
— kostka ... 1-6;
• možné výsledky uj ... prvky základního prostoru
— náhodný pokus - hodím kostkou - základní prostor = 6 možností : Q = {1,2,3,4,5,6} -možné výsledky: {uji = 1; uj2 = 2;... Uq = 6}
• hodila jsem kostkou: nastal jev:
— padla 1, padla 2, ... padla 6
— padlo liché číslo
— jev jistý: padne buď 1,2,3,4,5,nebo 6
— jev opačný: K jevu A:(padne 1-3) je opačný jev A':(padne 4-6)
— jevy neslučitelné: padne 1 a padne sudé číslo
• pravděpodobnost (pst) = jak velká je naděje, že nějaký jev nastane
— Pr(Á) = Pr(nastaljevA)
— Pr(A) E (0; 1); resp. (0% - 100%)
— příklad: hodím kostkou:
* Pr(padne 1) = 1/6; 16.7%
* Pr(liché číslo) = 1/2; 50%
* Pr(padne 1,2,3,4,5 nebo 6) = 1; 100%
— Vlastnosti psti:
* Pr(Á) > 0 (nezáporná).
* Pr(jistý jev) = 1;
* Ai,..., y4nneslučitelné —y pst, že nastane alespoň 1 z těchto jevů je rovna součtu pstí těchto jevů;
• Pr(Ai U • • • U An) = Pr(Ai) + • • • + Pr(An) ■ Pr(liché číslo) = Pr(l U 3 U 5) = 0.5
• Pr(padne 1) + Pr(padne 3) + Pr(padne 5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0.5
1
* Ax a A2 neslučitelné ->• Pr(Ai U A2) = Pr(A1) + Pr(A2)
* Pr(padne 1) = l/6;Pr(padne 2) = l/6;Pr(l U 2) = 2/6
* Je-li jev A' opačný k jevu A, pak součet pstí těchto dvou jevů je 1
* Pľ(A) + Pľ(A') = 1
• Jev A ... padne sudé číslo Pr(Á) = 0.5
• Jev A' .. .padne liché číslo Pr(A') = 0.5
• Jev: buď padne sudé číslo nebo padne liché číslo: Pľ(A U A') = 1
Náhodné veličiny
• náhodná veličina X = pravidlo, které zobrazuje základní prostor možných výsledků do množiny reálních čísel
• 2-tá realizace náh. veličiny se značí x,i
(a) X ... počet pacientů v ordinaci za den x\ = 12, x2 = 8 ...
(b) Y ... počet puntíků na vrchní straně kostky: y\ = 4, y2 = 1 ...
(c) X... výška člověka v cm; X\ = 165 cm, x2 = 173 cm ...
(d) Y ... váha člověka v kg; y\ = 63 kg, y2 = 77 kg ...
• Různá data —y různé typy náhodných veličin
• 2 základní typy n.v.
— diskrétní a), b)
— spojité c), d)
3.2   Diskrétní náhodné veličiny
• nabývají konkrétních (převážně celých) hodnot
— hod kostkou: padne 1,2,3,4,5,6. Nemůže padnout 3.5
— Pr(X = 1) = 1/6; P(X = 1 V X = 2) = 1/3
• pstní fce p(x):
— p(x) = Pr(X = x)
— p(x) .. .pst, že náh.veličina X se realizuje v hodnotě x
— p(x) > o, YZ=ip(xí) = 1
— pstní fce pro případ hod kostkou:
• distribuční funkce F(x)
2
F (x) = Pr(X < x)
F (x) ... pst že realizace náh.veličiny X nepřekročí hodnotu x příklad: distribuční fce hodu kostkou:
Pr(X > x) = 1 - Pr(X < x) = 1 - F(x) ... DULEZITEEEE
shrnutí:
* p (x) = P (X = x)
* F(x) = Pr(X<x) = Zt=-ooP(t)
• diskrétni náhodné veličiny se řídí nějakým diskrétním rozdělením:
1. Alternativní A(ů);
2. Binomické Bi(n, ů);
3. Geometrické Geom(ů);
4. Hypergeometrické Hyper(N, M, k);
5. Poissonovo Po(A)
K2/     2!(5-2)!     21321 2
choose(5,2) ## 10
Binomické rozdělení
• X popisuje počet úspěchů v posloupnosti n opakovaných nezávislých pokusů, přičemž pst úspěchu je v každém pokusu 9.
• pstní fce:
Kombinační číslo
pro x = 0,...
n
• 9 e (0; 1), E(X) = n9; rozptyl: D(X)
710(1 - 9)
• p{x) ...dbinom(x, N, 9)
• F(x) ... pbinom(x, N, 9)
3
Příklad 3.1. Pojišťovna zjistila, že 12% pojistných událostí je způsobeno vloupáním. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 30 náhodně vybranými pojistnými událostmi bude způsobeno vloupáním
a) nejvýše 6;
b) aspoň 6;
c) právě 6;
d) od dvou do pěti?
ad a) sum(dbinom(0:6, size=30, prob=0.12)) pbinom(6, size=30, prob=0.12) ## [1] 0.9393926
ad b) l-sum(dbinom(0:5, size=30, prob=0.12)) l-pbinom(5, size=30, prob=0.12) ## [1] 0.1430769
ad c) dbinom(6, size=30, prob=0.12) ## [1] 0.08246953
ad d) pbinom(5, size=30, prob=0.12) - pbinom(l, 30, 0.12) sum(dbinom(2:5, size=30, prob=0.12)) ## [1] 0.7469528
Geometrické rozdělení
• X ... popisuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů.
• pstní fce:
p(x) = (i - eye (i)
• p{x) ... dgeom(x, 9)
• F(x) ... pgeom(x, 9)
Příklad 3.2. Jaká je pravděpodobnost, že při hře Člověče, nezlob se! nasadíme figurku nejpozději při třetím hodu?
Počet neúspěchů: x = 0,1,2; pravděpodobnost úspěchu: 9 = |;
sum(dgeom(0:2, prob=l/6)) pgeom(2, prob=l/6) ## [1] 0.4212963
4
Hypergeometrické rozdělení
• Máme N objektů, mezi nimi je M objektů majících sledovanou vlastnost, 0 < M < N. Náhodně bez vracení vybereme k objektů (0 < k < N).
• X popisuje, kolik z k vybraných objektů má sledovanou vlastnost.
• pstní fce
• p(x) .. .dhyper(x, M, N-M, k)
• F(x) ... phyper(x, M, N-M, k)
Příklad 3.3. Koupili jsme 10 cibulek červených tulipánů a 5 cibulek žlutých tulipánů. Zasadili jsme 8 náhodně vybraných cibulek.
a) Jaká je pravděpodobnost, že žádná nebude cibulka žlutých tulipánů?
b) Jaká je pravděpodobnost, že jsme zasadili všech 5 cibulek žlutých tulipánů?
c) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň dvě budou cibulky žlutých tulipánů?
Počet objektů: N = 15, počet označených objektů: M = 5, počet vybraných objektů: n = 8
ad a) dhyper(0, m=5, n=10, k=8) ## [1] 0.006993007
ad b) dhyper(5, m=5, n=10, k=8) ## [1] 0.01864802
ad c) sum(dhyper(2:5, m=5, n=10, k=8))
phyper(5, m=5, n=10, k=8)-phyper(l, m=5, n=10, k=8) ## [1] 0.8997669
(2)
5