5   Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce, výpočet pravděpodobností pomocí distribučních funkcí
5.1   Binomické rozdělení Bin(n, 6)
Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je vyjádřena pomocí parametru 9. Píšeme X ~ Bin(n, 9).
Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení má tvar
' (nx)9x(l-9)n-x   piox = 0,...,n;
p(x)
0 jinak Distribuční funkce binomického rozdělení má tvar
F(x) = Yj(n\9\l-9r-\
t=o ^ '
Příklad 5.1. Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Bin(6, 0.5)
X~Bin(6,0.5) X~Bin(6,0.5)
(2)
Analogickým způsobem můžeme získat grafy pravděpodobnostních distribučních funkcí binomického rozdělení pro různá n a 9 a sledovat vliv těchto parametrů na vzhled grafů.
5.2   Poissonovo rozdělení Po (A)
Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu (resp. v jednotkové oblasti), přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ Po(A).
Pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení má tvar
p(x) = < x\
pro x=0,l, jinak.
Distribuční funkce Poissonova rozdělení má tvar
(3)
(4)
t=o
1
Příklad 5.2. Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Po(5).
X~Po(5) X~Po(5)
0 5 10 15 0 5 10 15
x x
Příklad 5.3. Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozdělením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k alespoň jedné poruše?
## [1] 0.8646647
5.3   Exponenciální rozdělení Exp(A)
Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. (Jde o tzv. čekání bez paměti.) Přitom -^vyjadřuje střední dobu čekání. Náhodná veličina X ~ Exp(A) má hustotu
cA   pro x > 0; jinak.
Příklad 5.4. Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Exp(2).
Ae" 0
(5)
X~Exp(2)
X~Exp(2)
2
Příklad 5.5. Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí exponenciálním rozdělením se střední dobou opravy 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava bude ukončena do dvou dnů?
## [1] 0.4865829
Příklad 5.6. Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední dobou čekání 2 h. Jaká je pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu?
## [1] 0.082085
5.4 Normální rozdělení N(fi, a2) Náhodná veličina X ~ (/i, a2) má hustotu
i
CrV27T
(6)
Pro /i = 0 a a'1 = 1 se jedná o standardizované normální rozdělení, píšeme U ~ N(0,1). Hustota pravděpodobnosti má v tomto případě tvar
/(a:) = -J=e-^. (7)
/2tt
Příklad 5.7. Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ JV( —1, 2).
X ~ N( n=-1,o =2)
X~N(n=-1,c =2)
Příklad 5.8. Výsledky u přijímacích zkoušek na jistou VŠ jsou normálně rozloženy s parametry jj, = 550 bodů, a = 100 bodů. S jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný uchazeč alespoň 600 bodů?
## [1] 0.3085375 ## [1] 0.3085375
3
Příklad 5.9. Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozdělení se střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost
a) alespoň 320 hodin?
b) nejvýše 310 hodin?
a) ## [1] 0.2838546
b) ## [1] 0.6124515
Příklad 5.10. Na výrobní lince jsou automaticky baleny balíčky rýže o deklarované hmotnosti 1000 g. Působením náhodných vlivů hmotnost balíčků kolísá. Lze ji považovat za náhodnou veličinu, která se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 996 g a směrodatnou odchylkou 18 g. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný balíček rýže neprojde výstupní kontrolou, jestliže je povolená tolerance ±30 g od deklarované hmotnosti 1000 g?
## [1] 0.1037604
Příklad 5.11. Nakreslete graf hustoty dvourozměrného standardizovaného normálního rozložení.