8   Testování hypotéz
• Datový soubor = Náhodný výběr —> stanovíme předpoklady —> ověřujeme, zda platí;
— předpoklady
* o charakteristikách: /i, a2, a, ...
* o rozdělení: normální, poissonovo, exponenciální,...
* o nezávislosti dvou náh. výběrů...
• REÁLNÁ DATA —> jsou variabilní —> dva náhodné výběry zkoumající totéž —> výsledek nikdy nevyjde stejný
• zkoumáme, zda se vzorky liší pouze variabilitou, nebo je skutečně rozdíl v hodnotách parametru
Postup testování hypotéz:
1. Formulace problému ... přesná, jednoznačná
2. stanovení nulové hypotézy Hq
• hypotéza o níž test rozhodne, zda se zamítne, nebo ne
• 1 náhodný výběr a publikovaná hodnota c; Hq : fi = c
3. stanovení alternativní hypotézy H\
• alt. hypotézu přijímáme, pokud Hq zamítáme
4. volba hladiny významnosti a
• pst(riziko), že Hq zamítneme, když platí - snažíme se tuto hodnotu snížit na minimum
5. provedení měření
6. Testování Hq (tři různé způsoby):
• Kritický obor
• Interval spolehlivosti
• p-hodnot a
7. rozhodnutí o zamítnutí/nezamítnutí Hq
8. interpretace výsledků
H\ : fii 7^ c (oboustranná alt.); H\ : fi± < c (levostranná alt.); H\ : fii > c (pravostranná alt.).
1
8.1 Testování pomocí kritického oboru
• vybereme vhodnou testovací statistiku To
• vypočítáme hodnotu testovací statistiky íq
• stanovíme kritický obor W:
— oboustranná alt.: W = (Tmin;Ka/2) U (K1_a/2; Tmax)
— pravostranná alt.: W = (K\-a;Tmax)
— levostranná alt.: W = (Tmin\ K a)
• Pokud íq £ W, Hq zamítáme na hladině význ. a.
8.2 Testování pomocí IS:
• Testujeme hypotézu Hq : 6 = c oproti H\ : 0 7^ c {0 < c; 6 > c)
• Sestrojíme 100(1 - a)% IS:
— oboustranná alt. —> oboustranný IS
— levostranná alt. —> pravostranný IS
— pravostranná alt. —> levostranný IS
• pokud c G IS, Hq nezamítáme na hladině význ. a.
Testování pomocí p-hodnoty
• p-hodnota:
— pro oboustrannou alt.: p = 2min{P(To < to); P (To > to)}
— pro levostrannou alt.: p = P (To < to)
— pro pravostrannou alt.: p = P (To > to) = 1 — P (To < to)
• Je-li p < a, Hq zamítáme na hladině význ. a.
2
Příklad 8.1. Víme, že výška hochů ve věku 9.5 až 10 let má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou fi a známým rozptylem a2 = 39.112 cm2. Dětský lékař náhodně vybral 15 hochů uvedeného věku, změřil je a vypočítal realizaci výběrového průměru m = 139.13 cm. Podle jeho názoru by výška hochů v tomto věku neměla přesáhnout 142 cm s pravděpodobností 0.95. Lze tvrzení lékaře akceptovat?
Testujeme Hq : fi > 142 proti H\ : fi < 142 na hladině významnosti a = 0.05.
a) Test provedeme pomocí kritického oboru.
Pro úlohy o střední hodnotě normálního rozdělení při známém rozptylu používáme pivotovou statistiku
tf = ^~JV(0,l).
Testovací statistika bude mít tedy tvar
10 = ^^-^(0,1).
Vypočítáme realizaci testového kritéria:
139.13- 142 t0 =-;-— = -1.7773.
V39.112
15
sigma  <-  sqrt (39.112)
n  <- 15
m  <- 139.13
c  <- 142
alpha  <- 0.05
#  ad a)
tO  <-   (m-c)/(sigma/sqrt(n)) qnorm(alpha)
Stanovíme kritický obor: W £ (—oo,ua) = (—00,^0.05) = (—°°, — ^0.95} = (—00,—1.6449). Protože — 1.7773 £ W, nulovou hypotézu Hq zamítáme na hladině významnosti a = 0.05. Tvrzení lékaře lze tedy akceptovat s rizikem omylu 5 %.
b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti.
Meze 100(1 — a) % empirického pravostranného intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu fi při známém rozptylu a2 jsou
(—00, h) = (—00, m---=ua).
\/n
V našem případě dostáváme:
V39.112 V39.112 h = 139.13 - u0 05 = 139.13 +      ^_   1.645 = 141.79.
y/TE      ' y/TE
hh  <- m-(sigma/sqrt(n))*qnorm(alpha)
Protože 142 ^ (—00; 141.79), Hq zamítáme na hladině významnosti 0.05. c) Test provedeme pomocí p-hodnoty.
v = Pr(T0 < t0) = $(-1.7773) = 0.0378
pval  <- pnorm(tO)
Jelikož 0.0378 < 0.05, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0.05.
3
Testování normality
• Normalita = nepostradatelný předpoklad parametr, testů (jednovýběrových, párových, dvouvýběrových, •••)
• Testování normality
— Hq: Data pochází z normálního rozd.
— H\ : Data nepochází z normálního rozd.
• Testy normality
— Shairo-Wilkův test shapiro.test()
— Lillie-Forsův test lillie.test() [nortest]
— Anderson-Darlingův test ad.test() [nortest]
• výstup testů = p-hodnota: p > a —> Hq nezamítáme; p < a —> Hq zamítáme
• grafické ověření normality:
— Q-Q plot qqnorm a qqline.
Párový test:
• porovnání rozdílů párových součástí objektu, párových orgánů člověka
• porovnání délky uší, výšky/šířky nadočnicového oblouku, zkoumání podobných rysů dvojčat apod.
• Nechť (Xi, Yi)... (Xn, Yn) je náh. výběr z dvourozměrného norm. rozd., přičemž n > 2. Střední hodnota znaku X je pi, střední hodnota znaku Y je fi2-
• Hq : /xi = p,2     fJ-i ~ Aí2 = 0
• Hi : m / /i2     /íi - /í2 / 0
• utvoříme rozdíly Z\ = X\ — Y±,..., Zn = Xn — Yn.
• Zi,... Zn je náh. výběr z norm. rozdělení —> jednovýběrový test o /í, když a2 neznáme.
4