1
Z1069 Statistické metody a zpracování dat
VI. Korelační a regresní počet
K čemu to je dobré?
• V řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých
vyšetřujeme ne jednu jejich vlastnost (znak), ale znaků
několik.
• Tyto znaky mohu být navzájem závislé.
• Cílem této části statistiky je vyšetřovat, do jaké míry spolu
dva či více statistických znaků souvisí.
• Do jaké míry změna hodnoty jednoho znaku podmiňuje
změnu hodnot znaku jiného.
Analýza závislostí
Př. Vztah mezi teplotou vzduchu a nadmořskou výškou,
mezi množstvím srážek a velikostí odtoku, mezi výnosy a
hodnotami několika meteorologických prvků, mezi počtem
dojíždějících a vzdáleností od centra dojížďky, …
Příklady použití
• Budeme tedy pracovat s dvourozměrnými soubory
• Korelační i regresní počet však lze využít i pro
studium vícerozměrných souborů, pro studium znaků
kvantitativních i kvalitativních.
• Předmětem statistické analýzy v tomto případě bude
stanovení síly závislosti a druhu závislosti
• Analýzou síly závislosti statistických znaků se zabývá
korelační počet
• Analýzou druhu závislosti statistických znaků se zabývá
regresní počet
Analýza závislostí
Druhy závislostí
• Vztahy jednostranné: Změna statistického znaku jednoho souboru
náhodné veličiny - tzv. nezávisle proměnné (x) podmiňuje změnu
statistického znaku souboru druhé náhodné veličiny - tzv. závisle
proměnné (y).
• V tomto případě jde o vztahy příčiny a následku
• Vztahy vzájemné: Nelze rozlišit mezi souborem závisle a nezávisle
proměnné (např. vztah hodnot teploty vzduchu na dvou sousedních
stanicích)
• závislost funkční
• závislost korelační
Druhy závislostí:
Závislost funkční
Každé hodnotě znaku nezávisle proměnné náhodné veličiny x odpovídá
vždy pouze jediná určitá hodnota závisle proměnné veličiny y
dráha
v
metre
ch
čas v sekundách
1000
2000
3000
4000
0 10 20 30
2
2
1
gts =
2
Se změnou hodnoty znaku nezávisle proměnné x se mění podmíněná
rozdělení relativních četností hodnoty znaku závisle proměnné y tak, že
změna x podmiňuje změnu průměru souborů hodnot y,
odpovídajících daným hodnotám x.
Závislost korelační
y
Charakteristiky korelační
závislosti
Máme dva výběrové soubory náhodných veličin X, Y. Proměnlivost
hodnot znaku obou výběrů můžeme vyjádřit odchylkami dxi a dyi prvků
od jejich průměrů:
xxd ixi −= yyd iyi −=
Vzájemnou proměnlivost obou výběrových souborů
charakterizuje součin odchylek :
)()( yyxx ii −⋅−
Suma součinů odchylek vydělaná rozsahem výběrů n určuje tzv.
kovarianci výběrových souborů sxy – tedy první společnou
charakteristiku proměnlivosti obou souborů:
1
)()(
−
−⋅−
=
∑
n
yyxx
s
ii
xy
Charakteristiky korelační závislosti
• Kovariance je obdobou rozptylu
• Omezenost - je mírou absolutní – nelze jí použít k porovnání těsnosti
vztahu dvou či více dvojic výběrových souborů.
Relativní míra – kovariance dělená součinem směrodatných odchylek
sx a sy obou výběrů - korelační koeficient rxy:
∑ ∑
∑
−
−
⋅−
−
−⋅−
−=
⋅
=
22
)(
1
1
)(
1
1
)()(
1
1
yy
n
xx
n
yyxx
n
ss
s
r
ii
ii
yx
xy
xy
Charakteristiky korelační závislosti
Úpravou výše uvedeného vztahu lze korelační koeficient rxy vypočítat
také podle následujícího vzorce:
( ) ( ) ][][
2222
∑∑∑∑
∑ ∑∑
−⋅−
−
=
yynxxn
yxxyn
rxy
(vzorec je uveden pouze pro názornost výpočtu
v následujícím příkladu)
Hodnota korelačního koeficientu kolísá v intervalu od -1 do 1
• rxy -> 0 nezávislost
• rxy -> -1 nepřímá závislost
• rxy -> 1 přímá závislost
Interpretace rxy
Příklad
Ze 13 různých lokalit na výsypkách máme k dispozici měření
pH půdy a údaje o počtu rostlinných druhů. Máme zjistit, zda
existuje závislost mezi pH a počtem rostlinných druhů?
( ) ( ) ][][
2222
∑∑∑∑
∑ ∑∑
−⋅−
−
=
yynxxn
yxxyn
rxy
x y x2 y2 xy
2.8 17 7.8 289 47.6
2.9 7 8.4 49 20.3
3.8 10 14.4 100 38.0
4.5 22 20.3 484 99.0
7.1 40 50.4 1600 284.0
6.5 25 42.3 625 162.5
3.0 5 9.0 25 15.0
4.7 5 22.1 25 23.5
5.2 22 27.0 484 114.4
4.0 7 16.0 49 28.0
4.8 6 23.0 36 28.8
6.3 43 39.7 1849 270.9
7.2 19 51.8 361 136.8
pH počet druhů
8,62=∑x
( ) 84,3943
2
=∑x
228=∑y
( ) 51984
2
=∑y
3,3322
=∑x 596762
=∑y
8,1268=∑xy ]519845976*13[]84,39433,332*13[
228*8,628,1268*13
−⋅−
−
=xyr
700,0=xyr
Příklad - pokračování
700,0=xyr
• Je zjištěný vztah statisticky významný?
• (H0: rxy se významně neliší od nuly – viz. dále)
Ze statistických tabulek zjistíme:
Hodnotě přísluší pro ν = n – 2 = 11
na hladině významnosti α = 0,05 kritická hodnota rkrit = 0,553
Závěr: prokázali jsme statisticky významný vztah mezi pH a
množstvím rostlinných druhů rostoucích na výsypkách.
3
Příklad
Řešení v programu Statistica:
Statistika – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice
korelační matice
Graf korelačního pole
doplněný regresní
přímkou a intervaly
spolehlivosti (viz. dále)
Příklad
Statistika – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice
Korelační matice – rxy mezi dvojicemi více proměnných
Příklad
Statistika – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – Matice bodových grafů Koeficient determinace
• Koeficient korelace se často ve výpočtech doplňuje hodnotou
koeficientu determinace (r2
xy).
• Jeho hodnota kolísá v intervalu 0 až 1
• Vynásoben 100 udává v procentech tu část rozptylu závisle
proměnné y, která je vysvětlena (podmíněna) změnami hodnot
nezávisle proměnné x.
V našem případě:
%4949,02
==xyr700,0=xyr
Interpretace: Změna počtu druhů rostlin na výsypkách je z 49 %
podmíněna změnami pH půdy na kterých tyto rostliny rostou.
Podmínky použitelnosti rxy
Výpočet rxy se opírá o rozptyl a směrodatnou odchylku
Jeho použití tedy předpokládá splnění tří následujících podmínek:
• normální rozdělení použitých výběrů
• dvojrozměrnost normálního rozdělení (každé hodnotě znaku
veličiny x odpovídá soubor hodnot znaku y, který má normální
rozdělení a naopak
• linearita vztahu hodnot x a y (regresní čára je přímka)
Dokonalá korelační závislost přímá rxy = 1
Dokonalá korelační závislost nepřímá rxy = -1
Hodnota rxy nás informuje o druhu a těsnosti závislosti
Graf korelačního pole pro různá rxy
4
Graf korelačního pole pro různá rxy ???
Důležitá role explorační (průzkumové) analýzy dat
Hodnocení
významnosti koeficientu korelace
• Při velkém rozsahu souboru (n) roste pravděpodobnost, že i relativně malá hodnota
korelačního koeficientu (rxy) nám vyjde jako statisticky významná – tedy zamítneme nulovou
hypotézu, že se rxy neliší od nuly.
• K vyhodnocení míry závislosti nelze přistupovat formálně
• malý rozsah souboru (n = 4)
• rxy = 0.95
• p = 0.0613
• velký rozsah souboru (n = 33)
• rxy = 0.52
• p = 0.0018
Hodnocení významnosti koeficientu korelace
• Významnost rxy závisí na povaze řešeného problému
• Jeho hodnota je mírou relativní a posouzení těsnosti
je do značné míry subjektivní.
Významnost rxy lze též zjistit objektivně – testováním
rxy – korelační koeficient mezi dvěma výběrovými soubory hodnot x a y
ρ – korelační koeficient mezi dvěma základními soubory hodnot x a y
Hodnota rxy je odhadem hodnoty ρ
Při testování rxy vycházíme z nulové hypotézy, která je ρ = 0 (tedy
mezi dvěma základními soubory nepředpokládáme žádný korelační
vztah).
Testovací kritérium se vypočte podle vztahu:
Hodnocení významnosti koeficientu korelace
2
1
2
−⋅
−
= n
r
r
t
xy
xy
Přísluší mu t-rozdělení s ν = n - 2 stupni volnosti.
S určitou pravděpodobností - tedy na určité hladině významnosti
předpokládáme, že hodnota t nepřekročí kritickou hodnotu tp (při
správnosti nulové hypotézy).
V opačném případě zamítáme nulovou hypotézu – mezi výběry
náhodných veličin vztah existuje.
Hodnocení významnosti koeficientu korelace - tabulky Koeficient pořadové korelace (Spearmanův) (rs)
Používá se k určení závislosti kvalitativních znaků.
)1(
6
1 2
2
−⋅
−= ∑
nn
D
r i
s
Každé hodnotě xi a yi přiřadíme pořadové číslo pxi a pyi podle
velikosti hodnot xi a yi.
Určíme rozdíly Di dvojic pořadových čísel odpovídajících si hodnot.
5
Koeficient pořadové korelace - příklad
Příklad: Kvantifikujte vztah mezi dobou, po kterou
jsou pole ponechána ladem a počtem rostlinných
druhů (na m2).
902,0
)149(7
5,56
1
)1(
6
1 2
2
=
−×
×
−=
−⋅
−=
∑
nn
D
r
i
s
V tabulkách vyhledáme pro n=7 a α=0,05 kritickou hodnotu:
rkrit=0,786
Závěr: Existuje statisticky významný vztah mezi dobou, po kterou jsou pole
ponechána ladem a počtem rostlinných druhů, které se na nich vyskytují.
Koeficient pořadové korelace
Řešení v programu Statistica:
Statistika – Neparametrická statistika – Korelace (Spearman, Kendallovo Tau, Gama)
Nelineární závislost
Prvky výběru závisle proměnné yi rozdělíme podle hodnot nezávisle
proměnné xi do skupin označených yj a pro každou skupinu vypočteme
průměr . Korelační poměr se vypočte podle vztahu:
V uvedeném vzorci je nj četnost v yj. Při výpočtu záleží na tom, kterou
proměnou zvolíme za závislou a kterou za nezávislou.
Porovnání hodnot korelačního koeficientu a korelačního poměru lze
použít jako kritéria linearity vztahu.
Pokud se hodnoty přibližně rovnají, jedná se o závislost lineární, pokud
je rxy výrazně větší, jde o závislost nelineární.
jy
V případě, kdy regresní čára není přímka, ale je
vyjádřena složitější matematickou funkcí, se jako
míry korelační závislosti používá tzv. korelační
poměr (ηyx).
∑
∑
∑
∑
−
−
=
−
⋅−
= 22
2
2
)(
)(
)(
yny
ynny
yy
nyy
i
jj
i
jj
yxη
Koeficient mnohonásobné korelace (rxyz)
Používá se pro hodnocení korelační závislosti tří nebo více výběrů
náhodných veličin.
Při jeho určení se vychází z jednotlivých korelačních koeficientů pro dva
výběry (rxy, rxz, ryz) a jejich hodnoty se dosazují do vzorce pro rxyz:
2
22
1
2
xy
yzxzxyyzxz
xyz
r
rrrrr
r
−
⋅⋅−+
=
Příklad – viz. vícerozměrná regrese
Vztah dvou proměnných je často ovlivněn dalšími proměnnými.
Dílčí (parciální) korelace:
Řeší otázku vlivu jedné nebo více nezávisle proměnných na závisle
proměnnou při vyloučení vlivu zbývajících nezávisle proměnných, u
nichž předpokládáme konstantní hodnotu.
Jedná se o zvláštní případ mnohonásobné korelace, kdy další
proměnné považujeme za „rušivé“ (např. věk, počet obyvatel sídla, …).
Hodnota koeficientu dílčí korelace rxy.z se vypočte podle vztahu:
Tečkou v indexu se označuje nezávisle proměnná, jejíž hodnotu
považujeme za konstantní.
22
)1()1( yzxz
yzxzxy
zxy
rr
rrr
r
−⋅−
⋅−
=⋅
Parciální korelace
Příklad (viz. Brázdil a kol., 1995,
str. 129, cvič. 8.3)
Způsob zadání proměnných (korelace
mezi y a z při vyloučení vlivu x)
6
Poznámky k aplikaci korelačního počtu:
Použití korelačního počtu je nevhodné např. v těchto případech:
• Korelace je způsobena formálními vztahy mezi veličinami
(hodnoty x a y se doplňují do 100%)
• Korelace je způsobena nehomogenitou studovaného materiálu
(obsahuje tzv. subpopulace – viz. obr. bodového grafu)
• Korelace je výsledkem působení třetí veličiny (korelace mezi
počtem lékařů a počtem nemocných, …)