logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY (SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY) prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, A29 – RECETOX, dv.č.112 holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz V. MATEMATICKÉ MODELY VELIČIN levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MATEMATICKÉ MODELY VELIČIN SPOJITÝCH V ČASE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þharmonická funkce je dána vztahem þx(t) = A.cos(ωt + φ0), þkde þ A>0 je amplituda harmonické funkce þ ω >0 je úhlový kmitočet h.f., úhlová rychlost þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase t=0 þ ωt + φ0 je fáze harmonické funkce þPerioda harmonické funkce je dána vztahem þT = 2p/ω þkmitočet h.f. je definován þ f = 1/T = ω/2p HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). HARMONICKÁ FUNKCE • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). HARMONICKÁ FUNKCE • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). þ þtříparametrickou harmonickou funkci lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x (úhlový) kmitočet a þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet: þA = A(ω) a φ0 = φ0(ω); þ HARMONICKÁ FUNKCE • • •spektrum amplitud •spektrum počátečních fází levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz !!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!! þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. þ þ! ZAPAMATOVAT! ! NA VĚKY ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdalší definice þ þx(t) = Re{ (t)} = Re{A.exp[j(ωt + φ0)]} þ þ(vyplývá z Eulerových vztahů) HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkupodivu lze použít i vztah þ þx(t) = Re{A.exp[j(-ωt – φ0)]} = Re{ *(t)} þ þpozor !!! pozor þ- záporný kmitočet - ale funguje to HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þProtože platí þx(t) = Re{ (t)} = Re{ *(t)} a Im{ (t)} = -Im{ *(t)} þje i þx(t) = ½.{ (t) + *(t)} þx(t) = ½.{A.exp(jφ0).exp(jωt)} + þ+ ½.{Aexp(-jφ0).exp(-jωt)} þ þOznačíme-li þĊ1 = ½.A.exp(jφ0) a Ċ-1 = ½.Aexp(-jφ0) þje þx(t) = Ċ1.exp(jωt) + Ċ-1.exp[j(-ω)t] HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ FUNKCE • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ è è è è è þ þ þ spektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÁ FUNKCE • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þhttp://www.mysearch.org.uk/website1/html/222.Function.html þhttp://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/complex/complex.html þhttp://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic þhttp://www.khanacademy.org/science/physics/oscillatory-motion/harmonic-motion/v/introduction-to-ha rmonic-motion þhttp://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPERIODICKÉ FUNKCE þjednorázová deterministická veličina þ s(t) = 10.10-6 V pro tÎá-0,5 ms; 0,5 msñ s(t) = 0 V pro tÎ(0,5 ms; ¥ñ s(t) = 0 V pro tÎá-¥; -0,5 ms ) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah • •zjednodušeně: • jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNORÁZOVÉ FUNKCE • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah • •zjednodušeně: • jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNORÁZOVÉ FUNKCE • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah • JEDNORÁZOVÉ FUNKCE • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ FUNKCE þjednotkový skok (Heavisidova funkce) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ FUNKCE þpro obě uvedené jednorázové funkce platí: • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MATEMATICKÉ MODELY VELIČIN DISKRÉTNÍCH V ČASE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI þDiskrétní posloupnost x(nTvz) je periodická s periodou NTvz, právě když platí þx[(n+k.N)Tvz] = x(nTvz), pro n, k = 0, ±1, ±2, … , þ þve zkráceném tvaru argumentu þx[n+k.N] = x(n), pro n, k = 0, ±1, ±2, … . þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST þkdyž T = NTvz a tedy f = 1/NTvz nebo þ þ þ þ þKomplexní exponenciála samozřejmě rovněž reprezentuje periodickou veličinu, protože platí þ þ þkdy exp(2pj) = cos(2p) + j.sin(2p) = 1 + j0 = 1 • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ FUNKCE A VZORKOVÁNÍ harmD1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ POSLOUPNOSTI • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ POSLOUPNOSTI • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ POSLOUPNOSTI þdiskrétní jednotkový impulz (Kronekerovo delta) þdiskrétní jednotkový skok • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ POSLOUPNOSTI þPodobně jako pro spojitou nezávisle proměnou platí i pro diskrétní, že þ þ þresp. þ þ þA také þ þ þa þ • • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU þjsou odvozeny z primární představy signálu, reprezentovaného elektrickými veličinami, elektrickým napětím, příp. proudem. Na základě fyzikálních zákonitostí platí, že okamžitý výkon p(t) v čase t na reálném odporu R je roven součinu okamžitého napětí na odporu a proudu, jím protékajícím, tedy þp(t) = u(t).i(t) þPodle Ohmova zákona je þu(t) = R.i(t) þa po dosazení můžeme psát, že þp(t) = R.i(t).i(t) = R.i2(t) = u(t).u(t)/R = u2(t)/R. þKdyž je R = 1 Ω, se vztah zjednoduší na þpR=1(t) = i2(t) = u2(t) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU þcelková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je þ þ þNa základě této rozvahy definujeme obecně energii spojité funkce x(t) vztahem þ þa pro diskrétní posloupnost x(nTvz) þ þ • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU þVýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj. þ þa z toho a þ þNebo v normalizovaném diskrétním tvaru þ þ þPokud se energie kumuluje v nekonečně dlouhém časovém intervalu, pak se vztahy modifikují do tvaru þ a þpříp. þ • • • • • • • • • • logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VI. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI MODELY VELIČIN levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI MODELY VELIČIN SPOJITÝCH V ČASE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnásobení konstantou þ x(t) ~ A.x(t), þ OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) • •A=2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(t) ~ x(mt), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(t) ~ x(mt), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje • •a) originál; b) m=2; c) m=2/3 OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – ? OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – zpoždění • •a) originál x(t); b) funkce x(t-1); c) funkce x(t+1); OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobrácení (inverze) časové osy þ þx(t) ~ x(-t) , • •a) originál x(t); b) funkce x(-t); c) funkce x(-t+1) OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI MODELY VELIČIN DISKRÉTNÍCH V ČASE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JE TO TŘEBA? • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SHRNUTÍ þdefinice základních modelů veličin (jednotkový skok, impulz, periodická funkce/posloupnost); þrůzné formy vyjádření harmonické funkce/posloupnosti; þco je frekvenční spektrum? þzákladní unární operace s funkcemi/po-sloupnostmi. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZA TÝDEN NASHLEDANOU