logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ČASOVÉ ŘADY
(SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY)
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VI. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI  MODELY VELIČIN
POKRAČOVÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þBINÁRNÍ OPERACE
þ› KONVOLUCE š
þFUNKCE SPOJITÉ V ČASE
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þKonvoluce je matematická operace mezi dvěma funkcemi x1(t) a x2(t) téhož argumentu definovaný
(v případě spojitých funkcí) integrálem
þ
þ
þ
þkde funkce x2(t) se často nazývá konvoluční jádro.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VLASTNOSTI
Důkaz:
Komutativní zákon:

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Distributivní zákon:
Asociativní zákon:
VLASTNOSTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Zákon o posunu v čase:
VLASTNOSTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ŠÍŘKOVÁ VLASTNOST KONVOLUCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfunkce s jednotkovým
þimpulsem
þdefinice:
þ
þ
þ
þkonvoluce:
KONVOLUCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
convolution_barking

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KONVOLUCE
GEOMETRICKÝ
VÝZNAM
KONVOLUCE_SPOJ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KONVOLUCE
GEOMETRICKÝ
VÝZNAM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
konv_2obd.bmp
KONVOLUCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLAD
þUrčete konvoluci c(t) funkcí x1(t) a x2(t) podle obrázku.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLAD

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLAD
þt < –1 – součin obou funkcí je v tomto případě nulový, tedy i plocha vymezená tímto součinem a
konvoluce je rovna nule (obr. a); þt Î á–1, 1ñ – plocha součinu je vymezena průběhem funkce x2(τ)
v intervalu od τ = 0 a polohou horní, tj. sestupné hrany funkce x1(–τ + t), určené hodnotou t + 1
(obr. b,c); hodnota konvolučního integrálu je
þ
þ
þt Î á1, 2ñ – v tomto intervalu je plocha součinu ohraničená opět funkcí x2(τ), tentokrát a v daném
konkrétním případu v intervalu od t – 1 do t + 1 (obr. c,d)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLAD
þt Î á2, 4ñ – plocha součinu je nenulová v intervalu od vzestupné hrany funkce x1(-τ+t), která je
na pozici t – 1, do sestupné hrany funkce x2(τ), tj. τ = 3 (obr.2.15e), tedy platí
þ
þ
þ
þt > 4 – součin obou funkcí je opět nulový, proto i konvoluční integrál.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KAUZALITA
þKauzální je takový systém, jehož výstup v každém časovém okamžiku t0 závisí pouze na průběhu
vstupního signálu x(t) pro t £ t0. Jinými slovy, hodnota výstupu systému v každém okamžiku závisí
pouze na vstupu v daném okamžiku a jeho průběhu v minulosti, nikoliv na budoucích hodnotách
vstupního signálu. Systém, který tento požadavek nesplňuje, nazýváme nekauzální, příp.
anticipativní.
Zprostředkovaně:
jako kauzální funkce označujeme takové funkce, pro které platí x(t) = 0 pro t < 0.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Konvoluce kauzálních funkcí:
Pro kauzální funkce platí s(t) = 0 pro t < 0
KAUZALITA + KONVOLUCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þBINÁRNÍ OPERACE
þ› KONVOLUCE š
þPOSLOUPNOSTI DISKRÉTNÍ V ČASE
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KONVOLUCE
þspojité funkce
þ
þ
þdiskrétní posloupnosti

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KONVOLUCE
þpro kauzální posloupnosti, tj. takové pro které platí x(n) = 0 pro n < 0 se konvoluční vztah mění
na
þ
þ
þ
þV reálných podmínkách při zpracování reálných dat samozřejmě nejsou posloupnosti x1(n) a x2(n)
nekonečné, nýbrž mají konečnou délku. Předpokládejme obecně N1 vzorků v případě posloupnosti x1(n)
a N2 vzorků v případě posloupnosti x2(n). Dále položme x1(n) = 0 pro n Ï á0, N1-1ñ a analogicky
x2(n) = 0 pro n Ï á0, N2-1ñ.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KONVOLUCE
SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KRUHOVÁ KONVOLUCE
SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KONVOLUCE
PŘÍKLAD
þVypočtěte konvoluci posloupností x1 = {x10, x11, … x13} a x2 = {x20, x21, x22}.
þ
þŘešení:
þPro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma:
þ{x10, x11, … x13} * {x20, x21, x22} =
þ= (x10. x20)(x10. x21)(x10. x22)
þ        (x11. x20)(x11. x21)(x11. x22)
þ           (x12. x20)(x12. x21)(x12. x22)
þ    (x13. x20)(x13. x21)(x13. x22)
þ
þ součet dílčích součinů v jednotlivých sloupcích
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KONVOLUCE
PŘÍKLAD
þVypočtěte konvoluci posloupností x1(n) = {1, 2, -2, -1} a x2(n) = {1, -1, 1} .
þ
þŘešení:
þPro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma:
þ{1, 2, -2, -1} * {1, -1, 1} =
þ= 1 -1 1
þ 2 -2 2
þ -2 2 -2
þ -1 1 -1
þ 1 1 -3 3 -1 -1
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þBINÁRNÍ OPERACE
þ› KORELACE š
þFUNKCE SPOJITÉ V ČASE
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þKorelace = vzájemný vztah, souvztažnost mezi znaky, veličinami, ději
þ
ABZ.cz: slovník cizích slov

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami.
þ
þlātiō - nesení, poskytování
þrelātiō – nesení zpět, odnášení, opakování; zpráva; vztah, poměr
þcorrelātiō – vzájemný vztah, souvislost

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ Pokud se jedna z
nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. þ Pokud se mezi dvěma procesy ukáže korelace, je
pravděpodobné, že na sobě závisejí, nelze z toho však ještě usoudit, že by jeden z nich musel být
příčinou a druhý následkem. To samotná korelace nedovoluje rozhodnout.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ Pokud se jedna z
nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. þKauzalita  - příčinná souvislost či závislost.
Jeden jev vyvolává druhý, popřípadě se oba vzájemně podporují (synergie)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité
míře životní prostředí. / Foto: sxc

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
http://www.deratin.cz/hmyz/Moucha_domaci.jpg Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak
málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní prostředí. / Foto: sxc

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité
míře životní prostředí. / Foto: sxc
JAKÁ MÁME DATA?
Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité
míře životní prostředí. / Foto: sxc
http://tbn3.google.com/images?q=tbn:6vDPt2WE-Wa4pM:http://www.hermanka.cz/moucha_ziva.jpg
http://www.iabc.cz/images/tistene_ABC/2008/15/web/11-moucha_~7942.jpg
http://www.deratin.cz/hmyz/Moucha_domaci.jpg
http://tbn3.google.com/images?q=tbn:yGT3XXiRyw6NpM:http://i18.tinypic.com/33a9wyt.jpg Moucha domácí
je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní
prostředí. / Foto: sxc

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
1.šířka hlavy
2.délka hlavy (dorsální strana)
3.délka hlavy(ventrální strana)
4.délka klavu
5.šířka klavu
6.délka předního křídla
7.basální šířka předního křídla
8.celková délka těla (vyjma tykadel a penisu)
9.šířka pronota
10.délka pronota
11.šířka oka
12.délka kladélka
13.šířka kladélka
14.délka tykadlového článku V
15.délka tykadlového článku VI
16.vzdálenost mezi zadním párem ocelli
17.vzdálenost mezi ¨přední a zadní ocellou
JAKÁ MÁME DATA?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
126,33
120,50
223,50
128,27
44,70
927,20
122,44
1702,40
255,87
196,83
61,02
255,87
127,94
28,18
60,25
29,15
14,58
2
136,43
130,75
221,70
142,12
47,37
933,66
113,69
1630,20
268,67
218,77
84,44
230,29
115,14
28,42
64,43
31,27
18,95
3
123,80
118,09
219,03
125,71
43,81
908,66
119,99
1668,35
250,76
192,89
59,49
250,76
125,38
27,62
59,04
28,57
14,28
4
138,96
132,55
245,85
141,10
49,17
1019,92
134,68
1872,64
281,46
216,51
67,12
281,46
140,73
31,00
66,27
32,07
16,03
5
128,85
117,48
217,91
125,06
43,58
941,11
119,38
1659,84
249,48
191,90
59,80
249,48
124,74
27,48
58,74
28,42
14,21
6
137,13
131,42
222,84
142,85
47,62
938,45
114,28
1638,56
270,04
219,89
84,87
231,47
115,73
28,57
64,76
31,43
19,05
7
127,59
121,70
225,74
129,55
45,15
936,47
123,66
1719,42
258,43
198,79
61,63
258,43
129,22
28,46
60,85
29,44
14,72
8
142,59
135,44
229,66
147,22
49,07
967,18
117,78
1688,72
278,31
226,62
87,47
238,55
119,28
29,44
66,74
32,39
19,63
9
128,22
122,30
226,86
130,20
45,37
904,02
124,28
1727,94
259,71
199,78
61,93
259,71
129,86
28,60
61,15
29,59
14,79
10
139,93
132,76
227,39
145,76
48,59
957,60
116,61
1672,00
275,56
224,38
87,90
236,19
118,10
29,15
66,08
32,07
19,44
11
125,06
119,29
221,27
126,99
44,25
917,93
121,22
1685,38
253,31
194,86
60,41
253,31
126,66
27,90
59,65
28,86
14,43
12
138,53
134,10
225,12
144,30
48,10
948,02
115,44
1655,28
272,80
222,14
85,74
233,83
116,91
28,86
65,42
31,75
19,24
13
128,73
122,79
227,75
130,71
45,55
944,82
124,77
1734,75
260,73
200,56
62,18
260,73
130,37
28,72
61,39
29,71
14,85
14
141,33
136,65
231,71
148,53
49,51
975,79
118,83
1703,77
280,79
228,64
88,25
240,68
120,34
29,71
67,33
32,68
19,80
15
142,03
136,11
230,80
147,95
49,32
971,96
118,36
1697,08
279,69
227,75
86,60
239,73
119,87
29,59
67,07
32,55
19,73
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
126,33
120,50
223,50
128,27
44,70
927,20
122,44
1702,40
255,87
196,83
61,02
255,87
127,94
28,18
60,25
29,15
14,58
2
136,43
130,75
221,70
142,12
47,37
933,66
113,69
1630,20
268,67
218,77
84,44
230,29
115,14
28,42
64,43
31,27
18,95
3
123,80
118,09
219,03
125,71
43,81
908,66
119,99
1668,35
250,76
192,89
59,49
250,76
125,38
27,62
59,04
28,57
14,28
4
138,96
132,55
245,85
141,10
49,17
1019,92
134,68
1872,64
281,46
216,51
67,12
281,46
140,73
31,00
66,27
32,07
16,03
5
128,85
117,48
217,91
125,06
43,58
941,11
119,38
1659,84
249,48
191,90
59,80
249,48
124,74
27,48
58,74
28,42
14,21
6
137,13
131,42
222,84
142,85
47,62
938,45
114,28
1638,56
270,04
219,89
84,87
231,47
115,73
28,57
64,76
31,43
19,05
7
127,59
121,70
225,74
129,55
45,15
936,47
123,66
1719,42
258,43
198,79
61,63
258,43
129,22
28,46
60,85
29,44
14,72
8
142,59
135,44
229,66
147,22
49,07
967,18
117,78
1688,72
278,31
226,62
87,47
238,55
119,28
29,44
66,74
32,39
19,63
9
128,22
122,30
226,86
130,20
45,37
904,02
124,28
1727,94
259,71
199,78
61,93
259,71
129,86
28,60
61,15
29,59
14,79
10
139,93
132,76
227,39
145,76
48,59
957,60
116,61
1672,00
275,56
224,38
87,90
236,19
118,10
29,15
66,08
32,07
19,44
11
125,06
119,29
221,27
126,99
44,25
917,93
121,22
1685,38
253,31
194,86
60,41
253,31
126,66
27,90
59,65
28,86
14,43
12
138,53
134,10
225,12
144,30
48,10
948,02
115,44
1655,28
272,80
222,14
85,74
233,83
116,91
28,86
65,42
31,75
19,24
13
128,73
122,79
227,75
130,71
45,55
944,82
124,77
1734,75
260,73
200,56
62,18
260,73
130,37
28,72
61,39
29,71
14,85
14
141,33
136,65
231,71
148,53
49,51
975,79
118,83
1703,77
280,79
228,64
88,25
240,68
120,34
29,71
67,33
32,68
19,80
15
142,03
136,11
230,80
147,95
49,32
971,96
118,36
1697,08
279,69
227,75
86,60
239,73
119,87
29,59
67,07
32,55
19,73
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
126,33
120,50
223,50
128,27
44,70
927,20
122,44
1702,40
255,87
196,83
61,02
255,87
127,94
28,18
60,25
29,15
14,58
2
136,43
130,75
221,70
142,12
47,37
933,66
113,69
1630,20
268,67
218,77
84,44
230,29
115,14
28,42
64,43
31,27
18,95
3
123,80
118,09
219,03
125,71
43,81
908,66
119,99
1668,35
250,76
192,89
59,49
250,76
125,38
27,62
59,04
28,57
14,28
4
138,96
132,55
245,85
141,10
49,17
1019,92
134,68
1872,64
281,46
216,51
67,12
281,46
140,73
31,00
66,27
32,07
16,03
5
128,85
117,48
217,91
125,06
43,58
941,11
119,38
1659,84
249,48
191,90
59,80
249,48
124,74
27,48
58,74
28,42
14,21
6
137,13
131,42
222,84
142,85
47,62
938,45
114,28
1638,56
270,04
219,89
84,87
231,47
115,73
28,57
64,76
31,43
19,05
7
127,59
121,70
225,74
129,55
45,15
936,47
123,66
1719,42
258,43
198,79
61,63
258,43
129,22
28,46
60,85
29,44
14,72
8
142,59
135,44
229,66
147,22
49,07
967,18
117,78
1688,72
278,31
226,62
87,47
238,55
119,28
29,44
66,74
32,39
19,63
9
128,22
122,30
226,86
130,20
45,37
904,02
124,28
1727,94
259,71
199,78
61,93
259,71
129,86
28,60
61,15
29,59
14,79
10
139,93
132,76
227,39
145,76
48,59
957,60
116,61
1672,00
275,56
224,38
87,90
236,19
118,10
29,15
66,08
32,07
19,44
11
125,06
119,29
221,27
126,99
44,25
917,93
121,22
1685,38
253,31
194,86
60,41
253,31
126,66
27,90
59,65
28,86
14,43
12
138,53
134,10
225,12
144,30
48,10
948,02
115,44
1655,28
272,80
222,14
85,74
233,83
116,91
28,86
65,42
31,75
19,24
13
128,73
122,79
227,75
130,71
45,55
944,82
124,77
1734,75
260,73
200,56
62,18
260,73
130,37
28,72
61,39
29,71
14,85
14
141,33
136,65
231,71
148,53
49,51
975,79
118,83
1703,77
280,79
228,64
88,25
240,68
120,34
29,71
67,33
32,68
19,80
15
142,03
136,11
230,80
147,95
49,32
971,96
118,36
1697,08
279,69
227,75
86,60
239,73
119,87
29,59
67,07
32,55
19,73
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
þdata jsou statická, nezávisí na čase, ani na žádné jiné veličině - nezávisejí na pořadí, nejsou
uspořádaná, …;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
9.99512 8.68195 7.35687 5.98145 4.88892 3.96118 3.14331 2.57416 2.0697 1.64459 1.37085 1.10779
0.895691 0.767517 0.596313 0.546875 0.689392 0.912476 1.52466 1.81915 2.88361 3.99567
4.08142 3.48328 2.7713 2.16492 1.68976 1.37268 1.0968 0.837708 0.635376 0.487366 0.379028 0.286255
0.238647 0.209656 0.171204 0.157166 0.145264 0.122375 0.121155 0.1297 0.128479 0.116577 0.101624
0.0704956 0.0476074 0.0439453 0.0259399 0.00793457 0.0131226 0.0228882 0.0244141 0.0265503
0.0476074 0.055542 0.0488281 0.0442505 … …

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JAKÁ MÁME DATA?
þdata jsou statická, nezávisí na čase, ani na žádné jiné veličině - nezávisejí na pořadí, nejsou
uspořádaná, …; þdata jsou dynamická, časově závislá nebo závislá na nějaké jiné veličině, např.
délkové míře, jsou uspořádaná, …;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁVISLOST
þfunkční, deterministická
þy = f(x)
þ (dané hodnotě x odpovídá jen určitá hodnota y)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁVISLOST
þstochastická, nedeterministická, volná
èzávisle proměnná, případně i nezávisle proměnná jsou náhodné veličiny (?) – jsou úplně náhodné?
èurčité hodnotě x přísluší možné hodnoty y vybrané z určitého rozdělení;
èstřední hodnota rozdělení y je funkcí x
è E(y)=f(x)
èstřední hodnota náhodné veličiny y je funkcí střední hodnoty náhodné veličiny x     E(y)=f[E(x)]

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁVISLOST
þnezávislost
þ střední hodnota y nezávisí na x E(y)≠f(x)
þ (přísně funkční závislost (úplná) v reálném světě neexistuje)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT
þprotože μX = E(X), σX2 = E[(X - E(X))2] = E(X2) − E2(X) a podobně i pro Y a protože E[(X − E(X))(Y
− E(Y))] = E(XY) − E(X)E(Y), je také
þ
\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over
\sigma_X\sigma_Y},

\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Correlation_examples.png/400px-Correlation
_examples.png

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þnabývá hodnot od –1 do +1, které značí perfektní lineární vztah (záporný nebo kladný)
èv případě kladné korelace hodnoty obou proměnných zároveň stoupají;
èv případě záporné korelace hodnota jedné proměnné stoupá a druhé klesá;
èv případě neexistence lineárního vztahu r = 0;
þje nezávislý na jednotkách původních proměnných, je bezrozměrný;
þpři změně pořadí proměnných se výše korelačního koeficientu nemění;
þkorelační koeficient je platný pouze v rozmezí daném použitými daty;
þkorelační koeficient výrazně odlišný od nuly není důkazem funkčního vztahu proměnných, jiného než
lineárního;
þmalá hodnota korelačního koeficientu není známkou nefunkčního vztahu proměnných.
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þSprávná interpretace Pearsonova korelačního koeficientu předpokládá, že obě proměnné jsou náhodné
veličiny a mají společné dvourozměrné normální rozdělení.
þPotom nulový korelační koeficient znamená, že veličiny jsou nezávislé.
þPokud není splněn předpoklad dvourozměrné normality, z nulové hodnoty korelačního koeficientu
nelze usuzovat na nic víc, než že veličiny jsou nekorelované.
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þmůže být nadhodnocen:
þvlivem třetí skryté proměnné
þpřítomností odlehlých hodnot
þdata jsou složena z různých podskupin (tříd)
PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JINÉ KORELAČNÍ KOEFICIENTY
þV případě ordinálních dat nebo odchylek od předpokladů rozložení dat (odlehlá pozorování, jiné než
normální rozložení proměnných, nelinearita vztahu) je vhodnější použít neparametrický koeficient
korelace
þ
þ Spearmanův koeficient
þ korelace,
þ kde Rxi a Ryi jsou pořadí hodnot xi a yi..
þ
þKromě Spearmanova korelačního koeficientu existují i další neparametrické korelační koeficienty
jako např. Kendelovo τ.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ KOEFICIENT
JAKO MÍRA PODOBNOSTI
þMetrický prostor je neprázdná množina X spolu s funkcí ρ: X × X ® R splňující:
è1. totožnost: ρ(x, y) = 0 Û x = y, "x,y Î X;
è2. symetrie: ρ(x, y) = ρ(y, x), "x,y Î X;
è3. trojúhelníková nerovnost:
èρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z), "x,y,z Î X.
þρ je nezáporná funkce.
þ(pozitivita, symetrie, Δ nerovnost)
þFunkci ρ nazýváme metrika na X.
þVzdálenost je hodnota určená podle metriky.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ KOEFICIENT
JAKO MÍRA PODOBNOSTI
þMíry podobnosti
è1. totožnost: σ(x, y) = max R Û x = y, "x,y Î X;
è2. symetrie: σ(x, y) = σ(y, x), "x,y Î X;
è3. D nerovnost
þσ je nezáporná funkce.
þFunkci σ nazýváme mírou podobnosti na X.
þPodobnost je hodnota určená podle míry podobnosti.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INTERPRETACE VELIKOSTI KORELACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELACE PŘI ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU EKG

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PRINCIP ZPRŮMĚROVÁNÍ
zprumerovani_princip

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELACE PŘI ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU EKG

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ
þkorelační funkce R(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t1 a
hodnotami náhodného procesu v okamžiku t2. Může být spočítána pomocí vztahu
þ
þ
þkovarianční funkce (covariance function) K(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného
procesu v okamžiku t1 od m(t1) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t2 od m(t2). Může být
spočítána pomocí vztahu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þtyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů
þß
þ
þstacionarita
þ
þergodicita
KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a
y(t) za čas T
þ
þ
þobecně pro T® ¥
þ
þ
þ
þ
KORELAČNÍ FUNKCE ERGODICKÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þautokorelační funkce ergodického procesu ξ(t) s realizací x(t) za čas T
þ
þ
þ
þ
AUTOKORELAČNÍ FUNKCE ERGODICKÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE PERIODICKÉ FUNKCE
þvzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických veličin
(funkcí) o téže periodě T je definována
þ
þ
þpopisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí
þje periodická s periodou T

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
001.jpg
þVypočtěte vzájemnou korelační funkci harmonických funkcí x1(t)=2cos2pt a x2(t)=sin2pt. þObě funkce
mají tutéž periodu T=1, takže
KORELAČNÍ FUNKCE PERIODICKÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þautokorelační funkce periodické funkce
þ
þ
þ
þautokorelační funkce veličiny x(t)=C.cos(ωt+φ)
AUTOKORELAČNÍ FUNKCE PERIODICKÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
autokorelační funkce je:
üsudá;
ü"tÎR: R(0) ³ R(t);
üR(0) je rovno výkonu signálu;
V případě, že je funkce periodická, je autokorelační funkce rovněž periodická se stejnou periodou.
VLASTNOSTI AUTOKORELAČNÍ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þBINÁRNÍ OPERACE
þ› KORELACE š
þPOSLOUPNOSTI DISKRÉTNÍ V ČASE
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE
þpro spojitý případ obecně platí
þ
þza předpokladu stacionarity a ergodicity pro funkce s definičním oborem tÎ(-¥, ¥)
þ
þ
þa abychom se vyhnuli limitním komplikacím i v podstatě nulovým hodnotám takto určené korelační
funkce využívá se pouze integrální části vztahu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE
þna konečném intervalu
þ
þ
þ
þpro diskrétní posloupnost

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkorelační funkce pro standardizovaná data
KORELAČNÍ FUNKCE
DISKRÉTNÍHO ERGODICKÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE
þodhad s konstantní vahou
þ
þkaždá hodnota korelační sumy se považuje za hodnotu autokorelační funkce se stejnou vahou, která
se rovná převrácené hodnotě celkového počtu vzorků vstupních posloupností x1(n) a x2(n), N je délka
posloupnosti. Střední hodnota tohoto odhadu je (bez důkazu)
þ
þ
þkde Rx1x2(m) je skutečná hodnota korelační funkce. To znamená, že střední hodnota odhadu se
nerovná správné hodnotě, ale blíží se jí, když N®¥ a |m| << N. Platí tedy, že
þ
þ
þodhad je asymptoticky nevychýlený.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE
þodhad s konstantní vahou
þ
þ
þOdhad rozptylu pro posloupnosti reálných čísel je přibližně
þ
þ
þProtože odhad rozptylu konverguje pro N ® ¥ k nule, je odhad korelační funkce konzistentním
odhadem Rx1x2(m). Z praktického hlediska to všechno znamená, že se snižujícím se počtem součinů
v korelační sumě se relativně zvyšuje váha, kterou je hodnota součtu násobena a tedy i v případě
periodických posloupností není průběh jejich korelační funkce periodický, nýbrž se její kmity
tlumí.
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE
þodhad s proměnnou vahou
þ
þ
þstřední hodnota tohoto odhadu je
þ
þ
þcož znamená, že je rovna, pro libovolné N a m, skutečné hodnotě korelační funkce. Rozptyl tohoto
odhadu
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KRUHOVÁ DISKRÉTNÍ KORELACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ KORELACE
PŘÍKLAD ZE ŽIVOTA