Příklad

Bylo provedeno měření výšky  (v cm) a váhy  (v kg) u pěti dětí. Naměřené hodnoty byly zaznamenány
do matice :

U tohoto datového souboru proveďte analýzu hlavních komponent.


Řešení:

U analýzy hlavních komponent potřebujeme nejprve spočítat kovarianční matici . Pro výpočet
kovarianční matice potřebujeme znát průměrnou výšku a váhu u   dětí:

Jednotlivé prvky kovarianční matice poté spočítáme následujícím způsobem:

Rozptyl výšky:

Rozptyl váhy:

Kovariance výšky a váhy:

Kovarianční matice je tedy: .


Nyní spočítáme vlastní čísla a vlastní vektory kovarianční matice – tzn., spočítáme následující
determinant:

Vypočteme charakteristický polynom:

A jeho kořeny, které odpovídají vlastním číslům:




Následně spočítáme vlastní vektor  odpovídající prvnímu vlastnímu číslu :


;  → ; např. pro  pak dostáváme: , který je po normalizaci roven . Kontrola, že vektor má
jednotkovou délku: .


Spočítáme vlastní vektor  odpovídající druhému vlastnímu číslu :


;  → ; např. pro  pak dostáváme: , který je po normalizaci roven . Kontrola, že vektor má
jednotkovou délku: .

Vlastní vektory můžeme uspořádat do matice , přičemž pořadí vlastních vektorů odpovídá pořadí
vlastních čísel seřazených od největšího k nejmenšímu.


Nyní vyjádříme hlavní komponenty odpovídající vlastním číslům seřazeným od největšího k nejmenšímu
– hlavní komponenty jsou lineární kombinace původních proměnných, přičemž koeficienty jsou
souřadnice příslušného vlastního vektoru:
 1. hlavní komponenta:  (pro )
 2. hlavní komponenta:  (pro )

Výpočet procent vyčerpané variability:
 1. hlavní komponenta vyčerpává:  (tzn., 92,93% variability v datech)
 2. hlavní komponenta vyčerpává:  (tzn., 7,07% variability v datech)


Vyčerpanou variabilitu můžeme znázornit i pomocí sutinového grafu:


Dále spočítáme korelace hlavních komponent s původními proměnnými:





První hlavní je vysoce korelována s váhou a středně korelována s výškou. Druhá hlavní komponenta je
středně záporně korelována s výškou.


Na závěr vypočítáme nové souřadnice původních bodů po transformaci pomocí obou hlavních komponent
spočítaných pomocí PCA:


Souřadnice subjektů můžeme přímo získat i z hlavních komponent – např. pro první subjekt:




Původní data i data po transformaci pomocí PCA si znázorníme:


Pokud bychom k transformaci použili pouze první vlastní vektor, získáváme data v prostoru první
hlavní komponenty: