© Institut biostatistiky a analýz
RNDr. Eva Koriťáková, Ph.D.
Podzim 2017
Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Cvičení 2
Vícerozměrné normální rozdělení 
a vícerozměrný t‐test
2Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Vícerozměrné normální 
rozdělení
3Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Motivace
4
Frequency
0102030
60 65 70 75 80 85 90 95
Diastolický tlak μ
σ
Histogram Hustota jednorozměrného 
normálního rozdělení
Motivace – pokračování  
5
Dvourozměrný 
histogram
Hustota dvourozměrného 
normálního rozdělení
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Vícerozměrné normální rozdělení
6
x , … , x
1
2 Σ
· exp
1
2
	
Hustota vícerozměrného normálního rozdělení:
	 ‐ vektor středních hodnot ‐ kovarianční matice
Hustota dvourozměrného normálního rozdělení:
ρ	 ‐ korelace mezi X a Y;    
σ – směrodatná odchylka
x
1
2
· exp
x μ 	
2
Hustota jednozměrného normálního rozdělení:
μ	 ‐ střední hodnota σ2 – rozptyl
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Hustota u nekorelovaných a korelovaných proměnných
7Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
x1
x2
x1
x2f(x1,x2)
A)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
x1
x2
x1
x2f(x1,x2)
B)
Nekorelované proměnné 
(μ1 = μ2 = 0, σ1 = σ2 =1, 
ρ= 0)
Korelované proměnné 
(μ1 = μ2 = 0, σ1 = σ2 =1, 
ρ= 0,5)
Vícerozměrný průměr a kovarianční matice
• vícerozměrný průměr (např. pro datový soubor se 2 proměnnými):
• výběrová kovarianční matice (např. pro datový soubor se 2 proměnnými):
8Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
1
x
1
x
s s
s s , kde s ∑ x x
Výpočet rozptylu a směrodatné odchylky ‐ opakování
9Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
• Příklad čtverců odchylek od průměru pro n = 3.
• Rozptyl je možno značně ovlivnit odlehlými pozorováními.




n
i
i xx
n
s
1
22
)(
1
1
0,269 0,547 0,638 0,733
x1 x2 x3x
Rozptyl:
Směrodatná odchylka:




n
i
i xx
n
s
1
2
)(
1
1
Úkol 1 
• Spočtěte vícerozměrný průměr a výběrovou kovarianční matici pro soubor
3 subjektů, u nichž byly naměřeny hodnoty objemu hipokampu a
mozkových komor, přičemž naměřené hodnoty byly zaznamenány do
následující datové matice:
10Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
2 12
4 10
3 8
Úkol 1 ‐ řešení 
11
Vícerozměrný průměr:
1
x
1
x
1
3
2 4 3
1
3
12 10 8 3 10
s ∑ x x 2 3 4 3 3 3 1 1 0 1
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objem mozkových komor
Kovarianční matice:
→ 
1 1
1 4
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
s ∑ x x 12 10 10 10 8 10 	4
s s ∑ x x x x 2 3 12 10
4 3 10 10 3 3 8 10 ‐1
s s
s s , kde:
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
12
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
13
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
14
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Vícerozměrná odlehlá 
hodnota (outlier)
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Ověření dvourozměrné normality
15
Bagplot = „bivariate boxplot“ (tzn. „dvourozměrný krabicový graf“)
v softwaru Statistica: Graphs – 2D Graphs – Bag Plots
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Ověření dvourozměrné normality
16
Vykreslení regulační elipsy („control“ elipse):
v softwaru Statistica: Graphs – Scatterplots – na záložce Advanced zvolit Elipse Normal
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Normalizace dat
• Převod na normální rozdělení (normalita je předpokladem řady
statistických testů).
• Např. logaritmická transformace: X = ln(Y) nebo X = ln(Y+1), pokud data
obsahují hodnotu 0
• Další příklady:
– odmocninová transf. (pro proměnné s Poissonovým rozložením nebo
obecně data typu počet jedinců, buněk apod.: nebo
– arcsin transfomace (pro proměnné s binomickým rozložením)
– Box‐Coxova tranformace
f(y)
y
f(x)
ln (y)
X = ln(Y)
Asymetrické rozdělení Normální rozdělení
Medián Průměr
Medián PrůměrGeometrický průměr
YX  1 YX
17Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Vícerozměrný t‐test
18Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Jednorozměrný dvouvýběrový t‐test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Příklady: srovnání objem hipokampu u mužů a u žen, srovnání kognitivního
výkonu podle dvou kategorií věku,...
19
̅ ̅
21
11
*
21
nns
cxx
t



0
1
2
3
Pacienti Kontroly
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
• Předpoklad: normalita dat v OBOU skupinách, shodnost (homogenita) 
rozptylů v obou skupinách
• Testová statistika:                               , kde  ∗ je vážená směrodatná odchylka, 
c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou rovna 0) 
Vícerozměrný t‐test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Na rozdíl od jednorozměrného dvouvýběrového t‐testu jsou dvě skupiny
dat popsány více proměnnými.
20
0
1
2
3
4
5
6
7
4
6
8
10
12
14
0
0.05
x1x2
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Vícerozměrný t‐test
Jednorozměrný dvouvýběrový t‐test:
• testová statistika:
̅ ̅
∗
, kde ~ 2
• ∗ je vážený rozptyl vypočtený jako ∗
• c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou c 0)
• nulová hypotéza zamítnuta, pokud ⁄ 2
21
Studentovo rozdělení
Vícerozměrný t‐test:
• Hotellingova T2 testová statistika:  S∗
• kde S∗ je vážená kovarianční matice: S∗
S S
• T2 ~ T2(p,n‐p‐1) ; pro malé nD a nH je lepší použít: 
	
, kde n=nD+nH
• nulová hypotéza zamítnuta, když , 1
Je ekvivalentní testu:
̅ ̅
∗
̅ ̅ ∗ ̅ ̅ , kde T2 ~ F (1, nD+nH ‐2)
F rozdělení
F rozdělení
Hotellingovo rozdělení
Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Úkol 2
• Zjistěte, zda se liší skupina pacientů se schizofrenií od zdravých subjektů na
základě parametrů popisujících objem mozkových struktur subjektů.
22Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
pacienti
kontroly
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objem mozkových komor
2 12
4 10
3 8
,	
5 7
3 9
4 5
Úkol 2
• Zjistěte, zda se liší skupina pacientů se schizofrenií od zdravých subjektů na
základě parametrů popisujících objem mozkových struktur subjektů.
23Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
2 12
4 10
3 8
,	
5 7
3 9
4 5
Úkol 2 ‐ řešení
24Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Vícerozměrné průměry: 
∑ x ∑ x 3 10
∑ x ∑ x 4 7
Výběrové kovarianční matice: 
s s
s s
1 1
1 4
s s
s s
1 1
1 4
Vážená kovarianční matice: 
∗
1 1
1 4
S∗
1 1
Úkol 2 ‐ řešení
25Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
Vícerozměrné průměry: 
∑ x ∑ x 3 10
∑ x ∑ x 4 7
Výběrové kovarianční matice: 
s s
s s
1 1
1 4
s s
s s
1 1
1 4
Vícerozměrný t‐test:
n 6
p 2
T2 3,5
F 1,31
df1 = p 2
df2 = n‐p‐1 3
α 0,05
F‐crit 9,55
p‐hodnota 0,389
Vážená kovarianční matice: 
∗
1 1
1 4
S∗
1 1
Úkol 2 – řešení v softwaru R
26Koriťáková: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
install.packages("ICSNP")
library("ICSNP")
Xd=matrix(c(2,4,3,12,10,8),3,2)
Xh=matrix(c(5,3,4,7,9,5),3,2)
HotellingsT2(Xd, Xh)
Použití softwaru R jako kalkulačky:
S=solve(2/3*matrix(c(1,‐1,‐1,4),2,2))  # výpočet inverzní matice
b=matrix(c(‐1,3),1,2)                              # vektor s hodnotami rozdílu souřadnic centroidů
t2=b%*%S%*%t(b)                                 # výpočet testové statistiky T2
F=(3/2)*(t2/4)                                         # výpočet testové statistiky F
qf(0.95,2,3)                                              # 95% kvantil F rozdělení pro stupně volnosti 2 a 3
1‐pf(F,2,3)                                                 # p‐hodnota