Príklady z cvičení predmetu F3060 Kmity, vlny, optika
Juraj Rusnačko Ústav fyziky kondenzovaných látek, MU
26. 12.2017
1 Cvičenie 1
1.1 Teleso o hmotnosti m kmitá na pružine o tuhosti k. Zostavte a vyriešte pohybovú rovnicu pre teleso, gravitáciu neuvažujte.
1.2 Určte časovú závislosť výchylky telesa z príkladu 1.1 v prípade, že poznáte počiatočné podmienky x(0) = x0, v{0) = v0.
1.3 Teleso o hmotnosti m je zavesené na pružine o tuhosti k. Berúc do úvahy gravitačné pôsobenie Zeme, vypočítajte rovnovážnu polohu telesa a popíšte, ako gravitácia ovplyvní kmity oscilátoru.
1.4 Vypočítajte časovú strednú hodnotu kinetickej a potenciálnej energie lineárneho harmonického oscilátoru.
2 Cvičenie 2
2.1 Uvažujte štandardný tlmený RLC obvod. Určte časovú závislosť náboja na kondenzátore Q (ŕ).
2.2 Uvažujte štandardný tlmený RLC obvod, ktorý je budený striedavým napätím U {t) = U0cos{(ot). Určte časovú závislosť náboja na kondenzátore Q (ř), a to jednak ustálené riešenie, ako aj prechodový jav.
2.3 Dve matematické kyvadla o totožných dĺžkach závesu Z a hmotnostiach závaží m sú zavesené vedľa seba. Závažia sú spojené horizontálnou pružinou o tuhosti k tak, že pre nevychýlené závažia je pružina nenatiahnutá. Popíšte kmity sústavy-predpokladajte, že pružina ostáva celý čas v horizontálnej polohe a že platí aproximácia malých kmitov sústavy sin<p « tarup « (p.
1
3  Cvičenie 3
3.1 Uvažujte sústavu dvoch viazaných lineárnych oscilátorov vo forme závaží, každé o hmotnosti m, navzájom spojené pružinou o tuhosti k. Z druhej strany sú obe závažia spojené s nehybnou stenou ďalšou pružinou o tuhosti k. Určte vlastné frekvencie tzv. normálnych módov sústavy (obe telesá kmitajú s rovnakou frekvenciou) a kvalitatívne ich popíšte.
3.2 Uvažujte tlmený a budený harmonický oscilátor s obecnou periodickou budia-cou silou F(ŕ). Napíšte rozklad F(ŕ) pomocou Fourierovho radu a využite linearitu pohybovej rovnice - ukážte, že riešením pohybovej rovnice je
x(t) = Yjajyj(t) + bjZj(t), j
kde y j {t) a z j {t) sú riešenia pohybových rovníc s pravou stranou rovnou cos(o) j t), resp. sin(a>j(ŕ)).
3.3 Odvoďte vlnovú rovnicu pre elektromagnetické vlnenie v obecnom prostredí (použite Maxwellove rovnice).
(a) Ukážte, že E (r, t) = E0 cos(fc(u • r - c t) + (p) je riešením vákuovej vlnovej rovnice.
(b) Ukážte, že vlnoplocha vlny zadanej v časti (a) je rovina.
(c) Akým smerom sa pohybujú vlnoplochy vín cos (k • r - oj t + <p) a cos(k-r + a>ŕ+ (/>)?
(d) Akou rýchlosťou sa pohybujú vlnoplochy vlny zadanej v časti (a)?
(e) Aká je vlnová dĺžka vlnenia zadaného v časti (a)?
4  Cvičenie 4
4.1 Určte tvar vlny, ktorá vznikne súčtom dvoch postupných vín s rovnakou amplitúdou, frekvenciou a vlnovou dĺžkou cestujúcich proti sebe.
4.2 Vyšetrite vplyv okrajových podmienok na možné frekvencie a vlnové dĺžky stojatých vín, menovite uvažujte prípady: oba konce pevné, jeden koniec pevný a jeden voľný, oba konce voľné. Pevný koniec v xo znamená u(xo, t) = 0 a voľný koniec v xo zas du(xo, t)/dx = 0. Za obecnú stojatú vlnu považujte nasledujúcu funkciu:
u(x,t) =  acos(kx) cos(oiŕ) + bsin(kx) cos(a>ŕ) + c cos (kx) sin(o) t) + d sin(fcx) sin(o) t).
4.3 Uvažujte strunu dĺžky L upevnenú na oboch koncoch. Strunu chytíme v strede a vychýlime o vzdialenosť L/2, takže jej tvarom je rovno ramenný trojuholník (viď obrázok 1).
2
L
Obr. 1: Vychýlená struna.
(a) Vypočítajte možné frekvencie módov struny. Napätie v strune je T = 1000 N, hmotnosť struny je m = 0.02 kg a dĺžka struny je L = 2 m.
(b) V čase t = 0 strunu pustíme tak, že každý bod struny má nulovú počiatočnú rýchlosť. Určte časovú a priestorovú závislosť výchylky struny A {x, t). Nápověda: predpokladajte výchylku v tvare
A{x, t) = C + Y.n  ancos{knx) cos{íont) + bnsm{knx) cos{ojnt) + cn cos (kn x) sin {oj n t) + dn sin (kn x) sin {oj n ť).
Ktoré z koeficientov an,bn,cn,dnsúv tomto prípade obecne nenulové a ktoré vždy nulové? Pre určenie nenulových koeficientov uvažujte periodické predĺženie funkcie znázorňujúcej počiatočný tvar struny.
5  Cvičenie 5
5.1 Búrka spôsobila vlny v hlbokej vode, ktoré sa šíria k pobrežiu vzdialenému 100 km. Vlnová dĺžka vín je 10 m. Vypočítajte čas, za ktorý dorazia vlny na pobrežie a čas medzi príchodom dvoch nasledujúcich hrebeňov vín. Disperzná závislosť pre vlny v hlbokej vode je oj = \fgk~, g je tiažové zrýchlenie.
5.2 Určte disperznú závislosť pre svetlo šíriace sa v izotropnom dielektriku. Ako sa zmení fázová rýchlosť a vlnová dĺžka oproti vlnám vo vákuu?
5.3 Určte (komplexný) index lomu izotropného dielektrika použitím Lorentzovho modelu dielektrika (atómy sú zhodné, N elektrónov v objemovej jednotke pružne viazaných k jadru).
5.4 Ukážte, že pre grupovú rýchlosť vlnenia platí vg = —
c
5.5 Použitím disperzného vzťahu
3
ukážte, že grupová rýchlosť pre vysokofrekvenčné elektromagnetické vlny (napr. rôntgenové žiarenie) je
c
1 + Nqi/e0mea)22
Keďže f j sú váhové faktory platí £ j f j = 1- Aký tvar má fázová rýchlosť? Ukážte, zevvP~ c.
6  Cvičenie 6
6.1 Vypočítajte Poyntingov vektor S a hustotu energie S pre rovinnú vlnu vo vákuu E = £bx0cos (ä;z -ojt). Ukážte, že S a S vyhovujú Poyntingovmu teorému.
6.2 Žiarovkou o účinnosti rj = 1% preteká prúd J = 0.25 A pri napätí U = 3 V. Predpokladajte, že žiarovka vyžaruje monochromatický zväzok svetla o priereze S = 10 cm2 a vlnovej dĺžke X = 550 nm. Určte:
(a) počet fotónov vyžiarených za 1 sekundu,
(b) počet fotónov v objemovej jednotke,
(c) intenzitu svetla a hustotu objemovú hustotu energie.
6.3 " Pentaprism" (viď obrázok 2) je optický element, ktorý sa mimo iné používa vo fotoaparátoch a iných optických prístrojoch. Svetlo je po prechode hranolom kolmé na smer dopadu a obraz je neprevrátený. Zistite uhol /3 z geometrie hranolu. Ak má sklo index lomu 1.5, určte aká časť intenzity svetla prejde hranolom a aká časť sa "stratľ'pri odrazoch (viacnásobné odrazy zanedbajte).
...•--•'č7
Obr. 2: Geometria hranolu. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics)
7  Cvičenie 7
7.1 Uvažujte rozhranie vzduch/voda (index lomu 1.33). Svetlo dopadá na rozhranie pod uhlom 30° a je:
(a) lineárne polarizované pod uhlom 50° voči rovine dopadu,
(b) nepolarizované.
Určte odrazivosť rozhrania. Aký musí byť uhol dopadu, aby bolo odrazené svetlo polarizované lineárne v rovine kolmej na rovinu dopadu? Aký musí byť uhol dopadu, aby došlo k úplnému odrazu?
7.2 V prípade úplného odrazu 0t > #Crit je možné zapísať Fresnelove koeficienty v tvare
r s = e s, r p = -e Vypočítajte uhly 5S,5P a ukážte, že pre fázový rozdiel medzi s- a p-polarizovanou vlnou A = ôp-ôs platí:
A
tan —
2
{ni - nt)\ Asm19i - 1
cos0;
l + riitit
í „2
-4rsm20i-l\/cos20i
7.3 V prípade úplného odrazu 6i > 6CIlt vzniká za rozhraním tzv. evanescentná vlna. Odvoďte jej tvar a vypočítajte, na akej vzdialenosti d od rozhrania poklesne amplitúda vlny ^-krát.
8  Cvičenie 8
8.1 Optické vlákno (viď obrázok 3) pozostáva z jadra o indexe lomu n\ a obalu o indexe lomu riz- Ukážte, že numerická apertura je NA = sm9max = \ n\ ~ nl.
	
	
ri2	
Obr. 3: Optické vlákno.
8.2 P-polarizované svetlo dopadá na tzv. Brewsterovo okno pod Brewsterovým uhlom (viď obrázok 4). Ukážte, že v takomto usporiadaní je odrazivosť oboch rozhraní nulová.
8.3 Uvažujte rovinnú vlnu:
E = x°iíox cos{kz-íot + <px)+ y°E0y cos{kz-cot + <py). Stanovte Jonesov polarizačný vektor J pre prípady:
5
No reflection if light is polarized as shown
Brewster angle
A A A A /t-iyt- A A A     . '
' •;       ' V V V V ^ V 'i' 4 V
Obr. 4: Brewsterovo okno. (G. Fowles: Introduction to modern optics)
(a) E0y = Q,(px = (py = 0,
(b) E0x = 0, (f)x = (py = 0,
(c) E0x = E0 cos a, E0y = E0 sin a, <px = <py = 0,
(d) E0x = E0y = EQ, (px = n 12, <py = 0,
(e) E0x = E0y = EQ, (px = 0,(f)y = n 12,
(f) lineárne polarizované svetlo pod 45° uhlom od osi x.
8.4 Ukážte, že kruhovo polarizované svetlo sa dá dosiahnuť pomocou štvrťvlnnej doštičky a lineárneho polarizátoru s osou pod uhlom 45° voči ose x. Záleží na poradí umiestnenia optických prvkov?
8.5 Uvažujte sústavu troch polarizátorov: lineárneho polarizátoru s osou v smere x, lineárneho polarizátoru s osou pod uhlom 45° od osi x a lineárneho polarizátoru s osou v smere y. Aký je výsledný polarizačný stav? Aký je pomer medzi intenzitou přešlého a dopadajúceho zväzku?
8.6 Kruhovo polarizované svetlo dopadá kolmo na rozhranie vzduch-sklo (index lomu skla je 1.5). Určte Jonesov vektor odrazeného svetla. Aký je pomer medzi intenzitou odrazeného a dopadajúceho zväzku?
9  Cvičenie 9
9.1 Na obrázku 5 je 'beam-splitteť navrhnutý pre s-polarizované svetlo dopadajúce pod uhlom 45°. Na prednú stranu skla je nanesená tenká vrstva ZnS {n = 2.32), ktorá spôsobí zvýšenú odrazivosť prvého rozhrania - približne 0.5. Na druhú stranu skla je nanesená vrstva MgF (n = 1.38), ktorá minimalizuje odrazivosť druhého rozhrania. Vlnová dĺžka žiarenia je 633 nm. Vypočítajte hrúbky rozhraní d a ď tak, aby odrazivosť prvého rozhrania bola čo najväčšia a odrazivosť druhého rozhrania čo najmenšia.
6
Partial
Anti-reflection coating
d
d
Obr. 5: Beam-splitter. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics)
9.2 Svetlo z nekonečne vzdialeného zdroja dopadá na zrkadlo a po odraze je fokusované do jediného bodu (ohniska). Pomocou Fermatovho princípu najmenšieho času zistite, aký tvar má takéto zrkadlo.
9.3 Index lomu vzduchu závisí na teplote, čoho dôsledkom je napr. fata morgana. Pomocou Fermatovho princípu zistite, aký tvar majú trajektorie paprskov v prostredí, kde index lomu závisí na vertikálnej vzdialenosti od povrchu podľa vzťahu n{x) = n0{\ +kx).
9.4 Optická sústava sa skladá z dvoch dotýkajúcich sa šošoviek (obrázok 6). Prvá šošovka je plankonvexná (ploskovypuklá) z flintového skla {nf = 1.627) a druhá šošovka bikonvexná (dvojvypuklá) z korunového skla [n^ = 1.517). Polomery krivosti druhej šošovky sú R = 0.12 m. Nájdite ohniskovú vzdialenosť sústavy.
9.5 Vzdialený predmet sa približuje smerom k ohnisku spojnej šošovky rovnomerne rýchlosťou v. Popíšte pohyb obrazu.
9.6 Dutina je „stabilná", ak aj po mnohých odrazoch ostáva svetlo vovnútri dutiny a neopustí ju-viď obrázok 7. Odvoďte podmienku stability pre vzdialenosť dvoch zrkadiel L, ak poznáte ich polomery krivosti R.
Obr. 6: Schéma optickej sústavy.
7
R L R
Obr. 7: Laserová dutina - rezonátor. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics)
10  Cvičenie 10
10.1 Vypočítajte intenzitu difrakčného obrazca obdĺžnikovej štrbiny vo Fraunhofero-vej aproximácii.
10.2 Vypočítajte intenzitu difrakčného obrazca N zhodných, ekvidištantných obdĺžnikových štrbín vo Fraunhoferovej aproximácii. Ďalej odvoďte rovnicu popisujúcu uhlové polohy difrakčných maxím tohto obrazca.
10.3 Difrakčná mriežka má 300 vrypov na milimeter a je osvietená monochromatickým svetlom o vlnovej dĺžke 633 nm. Koľko interferenčných maxím je možné pozorovať na tienidle? Ako sa odpoveď zmení, ak sa celá optická sústava ponorí do vody o indexe lomu 1.33?
8