Ústav fyzikální elektroniky PřF MU F3100 Kmity, vlny, optika příklady do cvičení Jana Jurmanová, Zdeněk Navrátil, Luboš Poláček Brno 2017 2 Obsah 1 Kmity 5 1.1 Vlastní netlumené kmity................................ 5 1.2 Skládání kmitů, Fourierova analýza .......................... 14 1.3 Tlumené kmity..................................... IV 1.4 Vynucené kmity..................................... 20 1.5 Spřažené oscilátory, struny, tyče............................ 22 2 Vlnění, akustika 27 2.1 Vlnění.......................................... 27 2.2 Fázová a grupová rychlost............................... 29 2.3 Vlnění a energie..................................... 31 2.4 Dopplerův princip.................................... 32 2.5 Hladina zvuku B .................................... 33 2.6 Elektromagnetické vlny................................. 34 3 Optika 39 3.1 Základní zákony šíření světla.............................. 39 3.2 Optické zobrazování .................................. 45 3.3 Interference....................................... 50 3.4 Ohyb .......................................... 55 3.5 Šíření světla na rozhraní ................................ 59 4 Matematický dodatek 61 4.1 Goniometrické funkce ................................. 61 4.2 Věty určující vztahy mezi rozměry stran a úhlů v trojúhelníku ............ 62 4.3 Komplexní čísla..................................... 63 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce.......................... 63 4.5 Hyperbolické funkce.................................. 64 4.6 Rozvoj funkcí v řadu.................................. 64 4.7 Diferenciál funkce jedné proměnné........................... 65 4.8 Základy vektorového počtu - gradient, divergence, rotace, Laplaceův operátor .... 65 4.9 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty (a případnou pravou stranou)......................................... 66 Literatura 67 V textu označuje symbol /povinné příklady pro studenty kombinovaného studia, symbol ©příklady vhodné k doplňkovému procvičení. 3 4 Kapitola 1 Kmity 1.1 Vlastní netlumené kmity Obecný případ harmonického pohybu Pohybová rovnice je d2r m—ir = —kr, (1.1) dtL kde m je hmotnost oscilátoru, F = — kr je elastická (harmonická, vratná) síla, k > 0 tuhost elastické vazby. Oscilátor (hmotný bod) opisuje obecně eliptickou dráhu v prostom. Harmonický pohyb po přímce Pohybuje-li se oscilátor, na který působí vratná síla, pouze v přímce, nazýváme jej lineární harmonický oscilátor. Pohybová rovnice lineárního harmonického oscilátoru, kmitajícího podél osy x, je d2x k — + -x = 0. (1.2) atL m Řešením této rovnice je časová závislost výchylky x kmitajícího hmotného bodu z rovnovážné polohy x(t) = Asm(a>ot + osin(ftbí + r| + ^—. (1.7) m\OT\ 1. Napište pohybovou rovnici tělesa o hmotnosti m, na které působí síla pružnosti F = (—fac, 0,0). Obecné řešení rovnice hledejte ve formě (a) e^r, kde X je řešení charakteristické rovnice, (b) lineární kombinace funkcí sinus a kosinus, (c) funkce sinus s obecnou počáteční fází or + ot + (p) vznikne pohyb s trajektorií ve tvaru elipsy (viz obr. 16) (1.12) (1.13) Rozklad periodických kmitů na harmonické složky (Fourierova analýza) Každý periodický pohyb popsaný po částech spojitou periodickou funkcí f(t) o periodě T lze rozložit do Fourierovy řady Aq 00 f(t) = — [Amcos(mcot)+Bmsm(mwt)], (1-14) m=l 15 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x(t)=Asin(o)0t) y(t)=Bsin(cj0t+(p) A=1 B=2w0=2n ■0,5 0 0,5 1 1,5 2 -(p=0 — (p=n/3 —(p=3n/4 ■(p=n/6 — (p=n/2 —(p=5n/6 .(p=n/4 (p=2n/3 —(p=n Obrázek 16: Skládání kolmých kmitů ve které co = 2%jT je základní úhlová frekvence. Její celistvé násobky mco nazýváme vyšší harmonické frekvence. Koeficienty řady Am a Bm lze stanovit ze vzorců B„ 2 Ť 2 Ť J f(t)cos(m(Qt)dt, m = 0,1,2,... o T J f(t)sía.(m(Ot)dt, m =1,2,3,... (1.15) (1.16) /27. Odvoďte obecný vztah pro výslednou amplitudu a fázový posuv kmitaní, které vznikne složením dvou stejnosměrných kmitů o stejné frekvenci, amplitudách A i a A2 a počátečních fázích 2 = 60°. Řešení: Harmonický, x(t) = Asm(a>ot + ot + 2), jsou-li jejich počáteční fáze ir2 (b) 2 ± n (C) (pi = 2 ± f Řešení: (a) Rovnice výsledné dráhy je rovnice elipsy &+ ©2 -2 © (I) -*> = sin2C' - (b) Harmonický pohyb po přímce y = jx anebo y = —jx. (c) Pro A=B harmonický pohyb po kružnici o poloměru A : x2 +y2 = A2, pro A^ B harmonický pohyb po elipse (f)2 + (g)2 = 1. ©32. Najděte dráhu výsledného pohybu, který vznikne složením dvou navzájem kolmých kmitavých pohybů se stejnými amplitudami 5 cm a se stejnými periodami, jestliže jejich fázový rozdíl je t£. Dráhou výsledného pohybu je kružnice o poloměru 5 cm se středem S [0,0]. /33. Pomocí Fourierovy analýzy rozložte funkce f(t) &g(t) znázorněné na obr. 17. V případě funkce f(t) je znázorněna pouze jedna perioda. Obrázek 17: Trojúhelníkové a pilové kmity Řešení: /(ř) = 5-Ž(cosř + 5cos3ř + Ícos5ř + -) =l-£ £ 72^1)2 cos [(2w-l)ř] oo *(0 = 3-S % lnÚ<2nt) n=l 1.3 Tlumené kmity Je-li tlumící síla realizována odporem prostředí závislým na první mocnině rychlosti dx F0 = -2my— (1.17) dt lze pohybovou rovnici tlumených kmitů vyjádřit ve tvaru d x _ dx o „ ^ ^ rt _+2r_+^=0, (L18) 17 Konstanta 7 > 0 se nazývá koeficient útlumu, (Qq je úhlová frekvence vlastních netlumených kmitů. Řešení této pohybové rovnice je v případě slabého útlumu x(t)=A0e ^sin(coř + r + r + Fq . Z-l _|_ 2y^l + ooZx = — sin £lt. dt2 dt m (1.24) Obecným řešením této nehomogenní diferenciální rovnice je superpozice vlastních tlumených kmitů a kmitů vynucených x(t) = A0e~^sin(ff>f+ p)+Avsin(í2f+ i/a). (1-25) Amplituda vynucených kmitů Av je dána vztahem Fq/m (co2-a2)2 + 4y2a2 (1.26) ve kterém con a co = y g>q — Y2 jsou opět úhlové frekvence vlastních netlumených a tlumených kmitů. Po utlumení vlastních kmitů se výchylka oscilátoru ustálí ve tvaru (viz obr. 21) x(t) =Avsin(ílř + i/a). (1.27) vlastní tlumené kmity nucené t kmity úplný t pohyb Obrázek 21: Výsledný pohyb jako superpozice vlastních tlumených a vynucených kmitů. Amplitudová rezonance Závislost Av(£l) daná rovnicí (1.26) představuje rezonanční křivku (viz obr. 22). Křivka nabývá maxima Ar pro rezonanční úhlovou frekvenci Í2r ar = Jco2-2y2 Ar Fq/m (1.28) 2r\/<-r 20 /39. Odvoďte rovnice nuceného kmitání pro kuličku zavěšenou na pružině. Kulička je ponořena do kapaliny, a je tedy tlumena. Předpokládejte, že odporová sílaje tvaru F0(jp = — 6nr\rv (Stokesův vztah) a vynucující sílaje harmonická, Fv = F únClt. Určete frekvenci a amplitudu vlastních i vynucených kmitů, odvoďte vztah (1.26). Pro jaké hodnoty parametrů soustavy dochází k rezonanci? Řešení: #| + 2y§ + (ůo2x = g(l- ^) + - sinfíř, kde 7 = 2™Ľ ^ = JI frekvence vlast- dtz 1 dt u a V p£u/ J m ' ' m ' u y m' nich kmitů je co = a/(Uq2 — 72, jejich amplituda Ae~^, frekvence vynucených kmitů je Cl, jejich amplituda je Av = , F^"2 , k rezonanci dojde pro frekvenci vynucující síly 40. Vlivem vnější vertikální síly F = FqcosCIí koná těleso zavěšené na pružině stacionární vynucené kmity podle vztahu x = xocos(Clt — <ř»). Určete práci síly F, vykonanou během jedné periody. A = Tpro-ŕbsinO 41. Jaká je rezonanční amplituda a rezonanční frekvence hmotného bodu, který koná vynucené kmity, je-li hmotnost bodu m = 0,1 kg, kruhová frekvence vlastních kmitů a>o = 20 s-1, koeficient útlumu 7=3 s-1 a amplituda vynucující síly Fq = ION? Ar = 84,3cm, (Or = 19,54s_1 42. Těleso o hmotnosti m = 0,2kg koná vynucené harmonické kmity působením sinusově proměnné síly, jejíž amplituda je Fq = 2N. Určete rezonanční kruhovou frekvenci (Or a rezonanční amplitudu AT, je-li doba vlastního kmitání tělesa Tq = -| a koeficient útlumu 7= 4s_1. Ar = 0,18m, cor = 5,7s"1 21 1.5 Spřažené oscilátory, struny, tyče Spřažené oscilátory. Nejméně dva oscilátory jsou spojeny vazbou, která může sloužit k vzájemnému předávání energie. Normální kmity. Libovolný kmitavý pohyb soustavy spřažených oscilátorů lze vyjádřit jako superpozici normálních kmitů. Pro ./V spřažených oscilátorů existuje při lineárních kmitech ./V normálních frekvencí (modů). Při kmitání na jednom normálním módu nedochází k předávání energie mezi jednotlivými oscilátory. Kmity tyčí a strun. Výchylka u(x,t) libovolného bodu x tyče (struny) délky L musí splňovat rovnici d2u(x,t) 1 d2u(x,t) 0, dx2 v2 dt2 kde v je rychlost šíření zvuku v tyči (struně). Řešení je tvaru u(x, t) =A sin ^—x + (p^j sin (cot + i/a) (1.29) (1.30) kde co je vlastní frekvence kmitů,

(1-32) kde F je síla, napínající strunu, a /i je hmotnost její jednotkové délky. Podélné kmity tyče. Rychlost šíření je dána vztahem (1.33) kde E je Youngův modul tyče a p její hustota. /43. Kmitající systém dvou těles o hmotnostech m je uspořádán podle obrázku 24. Předpokládejte, že pro tuhost pružin platí k <^k. Nechť x\ (ř), X2(t) jsou výchylky těles z jejich rovnovážných poloh. Lyv-0 k Obrázek 24: Dvě tělesa na pružinách spojená slabou vazbou. (a) Napište pohybové rovnice pro obě tělesa. (b) Ukažte, že zavedením normálních souřadnic ^ = Xl~^X2, r\ = Xl 2*2 lze systém separovat na dvě nezávislé rovnice. (c) Najděte obecné řešení obou normálních módů Č, (t) a r\ (t). (d) Najděte obecné řešení pohybu těles x\(t) a X2(t) a ukažte, že pro slabou vazbu dochází k výraznému přelévání energie. 44. Dvě stejná tělesa o hmotnosti m leží na hladkém stole a jsou navzájem spojena pružinou s tuhostí K. Obě tělesa rozkmitáme ve vodorovném směru. Jak se změní frekvence vlastních kmitů soustavy, připevníme-li jedno z těles ke stolu - viz obr. 25. Frekvence se zmenší \fl krát. K m KAM m m Obrázek 25: Dvě tělesa na pružině /45. Napište pohybové rovnice pro kmity soustavy dvou spřažených kyvadel (viz obr. 26), určete kmitové módy soustavy. 23 Obrázek 26: Spřažená kyvadla Řešení: d xA mg m~ďT2~ = —TXA ~k(XA~XB> d2xB mg m~ďi2~ = —TXB ~ ~ kde xa (xb) značí výchylku kuličky A (B) z její rovnovážné polohy. Vlastní kmitové módy jsou «*> = >/f> »W(f)2 + 2(|)2 46. Odvoďte vztah pro okamžitou výchylku p-té kuličky systému na obr. 27, určete vlastní frekvence systému ./V kuliček a počet těchto kmitových módů (kmity se konají podél osy x). Okrajová podmínka: nultá a ./V + 1 kulička mají v libovolném čase nulovou výchylku. k k k k ••• VVV^>V\M5>vVv-(5>VvV - -► xp-1 xp xp+1 x Obrázek 27: Kuličky vázané pružinami Řešení: Pohybová rovnice m^-^- = k(xp-i + 1 ~~ 2jcp), její řešení je tvaru xp = A ún(p& + í») sin(coŕ + (p), po aplikaci okrajových podmínek dostaneme pro výchylku xp = A sin(p^j-) sin(úV + 9) a Pro vlastní frekvence vztahy con = 2ĺ0q sin 2(n+i) ■> 0)0 = \pt-> těchto frekvencí je nejvýše N. 24 /47. Homogenní struna délky 2,5 m a hmotnosti 0,01 kg je napjata silou 10 N. (a) Najděte frekvenci jejího nej nižšího módu. (b) Jestliže strunu vychýlíme příčně a v místě vzdáleném 0,5 m od jednoho konce se jí dotkneme, jaká frekvence zní v tomto případě? ml' Řešení: Pro výchylku struny platí y(x,t) = A sin (^r) sin(conř), kde con = ncoi, (ů\ = Tty tedy (a) f\ = 10Hz, (b) s = 5n, tedy jsou povoleny frekvence 50Hz, 100Hz, 150Hz ... 48. Homogenní tyč je upevněna ve středu a oba její konce jsou volné. (a) Najděte frekvence volných podélných kmitů tyče. (b) Určete vlnovou délku pro n-tý mod těchto kmitů. (c) Kde se nacházejí uzly pro n-tý mod těchto kmitů? Tyč má délku L, je zhotovena z materiálu, jehož Youngův modul je £ a hustota je p. Řešení: (a) con = ^Jl (b) K = (c) xn = 2(2^1) (2w- l±2k), fc = 0,l,2,...,n-l 49. Homogenní tyč není upevněna a volně leží na drsném stole. Je rozezněna úderem kladiva ve směru délky tyče. (a) Najděte frekvence volných podélných kmitů tyče. (b) Určete vlnovou délku pro n-tý mod těchto kmitů. Tyč má délku L, je zhotovena z materiálu, jehož Youngův modul je £ a hustota je p. Řešení: Taková tyč má volné okraje, okrajové podmínky tedy jsou w(0, t) = ±A a w(L, t) = ±A. (a) CQn = nZ^± (b) Xn = 2^. Frekvence je stejná jako u tyče (struny) uchycené na obou koncích, ale rozložení uzlů je jiné - viz obr 28. ▲ i i i | i i i | i i i | i i i | i | i | i i u | i i i | i i i | i i i | i i i | i | i | i i i | 0 0,25L 0,5L 0,75L f 0 ---- ~ ---- 0,25L 0,5L 0,75L L Obrázek 28: Vlastní frekvence tyče upnuté na koncích a volné na obou koncích ©50. Dvě stejné struny napjaté identickým napětím kmitají na základní frekvenci 100 Hz. Jak se musí změnit napětí jedné struny, aby vznikly 4 rázy za sekundu? Při změně napětí se délka struny nezmění. klesne 0,9216 krát 25 26 Kapitola 2 Vlnění, akustika 2.1 Vlnení Vlněním v látce nebo poli se nazývá šíření kmitavého rozruchu prostorem (látkou nebo polem). Vlnová rovnice popisuje šíření netlumených vln s výchylkou u(r, t) v prostoru: AS(?,í)--LÍ|^ = 0, (2.1) kde A je Laplaceuv operátor a v rychlost, jakou se vlny šíří. Veličina u(r,t) může být i skalární. Pokud se vlnění šíří rychlostí v ve směru osy x, má vlnová rovnice tvar d2u(xj) 1 d2u(xj) =Q dx2 v2 dt2 Řešení vlnové rovnice (2.2) je superpozicí vlny u+ (x, t) postupující v kladném směru osy x a vlny u-(x,t) postupující v záporném směru osy x : u(x,t) = c+u+(x,t) +c-u-(x,t) = c+Uq+ sin(coř — kx) +c-Uq- sin(ct)ř + kx), (2.3) kde v je tzv. fázová rychlost vlnění, £/o+, Uq- jsou amplitudy a co je úhlová frekvence vlnění. Symbol k v rovnici značí vlnové číslo 2% * = T- (2'4) Vlnová délka X vlnění o periodě T a frekvenci / je X=vT = j. (2.5) /51. Ukažte, že rovnice vlny u(x,t) = Uosin(kx— cot) je ekvivalentní kterémukoliv z následujících tvarů: (a) u(x,t) = UQsmk(x — vt) (b) u(x,t) = U0sm27c(%-f-t) (c) u(x,t) = Uq sinco(f -t) (d) u(x,t) = Uoún27t(f-y) Symboly ve vztazích mají standardní význam. 27 /52. Je zadána rovnice mechanické vlny u(x,t) = 1 • 10~3sin(8 • 103ř — 3x) [m]. Údaje délkových veličin jsou v metrech, čas je v sekundách. Porovnáním s obecným tvarem vlny typu u(x,t) = Uq sin(coř — kx) určete: (a) amplitudu (b) kruhovou frekvenci (c) frekvenci (d) fázovou rychlost (e) vlnovou délku (f) vlnové číslo. Řešení: (a) U0 = 1 • l(T3m, (b) co = 8 • 103s_1, (c) / = 1,27 kHz, (d) v = 2667ms-1, (e) X =2,lm, (f)k = 3mr1. 53. Napište rovnici mechanické vlny šířící v záporném směru osy z, mající amplitudu 50 nm, frekvenci 10Hz a rychlost šíření 500m.s_1. Může být uvedená vlna vlnou zvukovou? u(z,t) = 50sin(20^ř + 0.04^z)[nm], ano 54. Dokažte, že interferencí dvou vln postupujících podél osy x v opačném směru vznikne stojatá vlna daná vztahem u(x,t) =A únkx ■ sin cot. 55. S pomocí reproduktoru vytvoříte v místnosti stojatou zvukovou vlnu frekvence 440 Hz. Jaká je vzdálenost sousedního uzlu a kmitný? ^ = \~&ôm = 0,19 m pro c = 330m s-1. /56. Dokažte, že funkce typu u(x,t) = u(t ± ^) vyhovuje vlnové rovnici, tj. diferenciální rovnici /57. Ukažte, že výraz u(x,t) = Ael(m~kx^ vyhovuje vlnové rovnici za podmínky, že veličiny co a k jsou vázány vztahem co = vk. 58. Ukažte, že vlnové rovnici vyhovuje (a) rovnice postupné vlny u(x, t) = Uq sin co(t — ^) (b) rovnice stojaté vlny u(x7t) = ř/osin i^f-x) sincoř. /59. Najděte rovnici vlnoplochy (a) postupné rovinné vlny šířící se v kladném směru osy x rychlostí v, (b) postupné kulové vlny šířící se z bodového zdroje rychlostí v, (c) postupné válcové vlny šířící se z lineárního zdroje rychlostí v. Jakým způsobem se mění amplituda vlnění se vzdáleností? Návod: najděte řešení vlnové rovnice zapsané ve vhodných souřadnicích. Řešení: (a) u(xj) =Asin(coř — kx), co = kv, vlnoplocha x = konst + j-t, (rovina kolmá k ose x) (b) w(r, t) = j sin(coř — kr)7 co = kv7 vlnoplocha r = konst + j-t (koule) (c) u(r7t) = 4^ sin(coř — kr), co = kv7 vlnoplocha r = konst + j-t (válec). 28 2.2 Fázová a grupová rychlost Fázová rychlost Vf udává, jakou rychlostí se pohybuje fáze vlnění (cot ±kx) prostorem: CO (2.6) Grupová rychlost vgr je rychlost, kterou se v prostoru šřří obálka vlnového balíku dco (2.7) v, gr — (2.8) Normální a anomální disperze: Úhlová frekvence co je obecně funkcí vlnového čísla: co = co(k). Tento vztah udává disperzi, čili jak se mění úhlová frekvence a rychlosti z ní určené podle vztahů (2.6) a (2.7) s rostoucím vlnovým číslem (vlnovou délkou). Podle Rayleigho vztahu (2.8) je v případě, kdy fázová rychlost Vf roste s rostoucí vlnovou délkou X (tedy klesá s vlnovým číslem k), grupová rychlost menší než fázová. Říkáme, že vlnění má normální disperzi. Pokud fázová rychlost s rostoucí vlnovou délkou klesá, je grupová rychlost větší než fázová, a říkáme, že vlnění má anomální disperzi. Příklady jsou zakresleny na obrázku 29. Pokud prostředí nemá disperzi (fázová rychlost není funkcí vlnového čísla), jsou grupové a fázové rychlosti šíření vlnění shodné. Obrázek 29: Vlevo: Protože tato disperzní křivka co = co(k) (závislost úhlové frekvence co na vlnovém čísle k) je vypouklá směrem vzhůru, je grupová rychlost vgr, která je gradientem této křivky, v každém bodě menší než fázová rychlost Vf. Vlnění má normální disperzi. Vpravo: Je-li disperzní křivka co = co(k) vypouklá směrem dolů, je grupová rychlost vgr, která je gradientem této křivky, v každém bodě větší než fázová rychlost Vf. Vlnění má anomální disperzi. 60. Disperzní vztah pro úhlovou frekvenci vlnění v plazmatu je dán rovnicí co2 = u2 + c2k2, kde JT2 = je konstanta (ne je koncentrace elektronů). k k normální disperze anomální disperze 29 (a) Určete fázovou a grupovou rychlost šíření vlnění v plazmatu. (b) Určete typ disperze. Řešení: (a) vf = CA/l + ^>c,vgr=^ = 7^=r kde Bk, Q jsou konstanty (Sellmeierův vzorec), k (b) n2 = A + j2 + kde A, 6, C jsou konstanty (Cauchyho vzorec), Řešte následující úlohy: (a) Dokažte, že vzorec (b) lze získat ze vzorce (a) rozvojem podle A~2. (b) Dokažte, že disperze plynů a skel je normální, protože konstanty Bk, Q jsou pro ně kladná reálná čísla. Řešení: (a) A = l+£Bk, B = £BkCk, C = ^BkC2. (b) viz 30. n 1,55 1,54 1,53 1,52 1,51 Sellmeierův vzorec Cauchyho vzorec 400 600 800 Á[nm] v/c 0,665 0,66 0,655 0,65 0,645- 1000 1200 -_ / — Sellmeierův vzorec Cauchyho vzorec 400 600 800 1000 1200 Á[nm] Obrázek 30: Vlevo: Sellmeierův a Cauchyho vzorec pro vlnové délky z viditelné oblasti pro korunové sklo BK7. Pro oba vzorce klesá index lomu s vlnovou délkou. Vpravo: Rychlost světla v prostředí určená ze Sellmeierova a Cauchyho vzorce (vf = ^). Zřejmě je > 0, fázová rychlost s rostoucí vlnovou délkou roste, tedy grupová je menší než fázová, disperze je normální. 2.3 Vlnění a energie Střední hodnota intenzity vlnění / je energie, která projde za jednu sekundu jednotkou plochy kolmou na směr šíření vlnění - 1 2,2 -pvco A 2pv (2.9) kde P je tlaková amplituda při šíření zvuku. /66. Ze zákona zachování energie odvoďte vztah pro závislost intenzity / a amplitudy A vlnění šířícího se v neabsorbujícím prostředí na vzdálenosti r od (a) bodového zdroje (b) nekonečně dlouhého lineárního zdroje (c) nekonečně velkého plošného zdroje. 31 Výsledky porovnejte s výsledky příkladu 59. Řešení: P označme zářivý výkon zdroje, / jednotkovou délku zdroje, pak (a) / = -IX ~ X a ~ 1 v / Aur1 r1' r (b) '=2Šl~M~7? T) >~\ (c) I = j? = konstanta , A = konstanta. ©67. Lineární zdroj emituje rozpínající se válcové vlnoplochy. Určete, jak závisí intenzita a amplituda vlnění na vzdálenosti od zdroje, šíři-li se vlnění v neabsorbujícím prostředí. / ~ - A ~ -4= 68. Střední vyzařovací výkon mobilního telefonu je 0,25 W. Jaká je intenzita ve vzdálenosti (a) 10 cm od antény (b) 1 km od antény V obou případech pro jednoduchost předpokládejte, že anténa je bodový zdroj, který vyzařuje izotropně. / = (a) / = 2W.m~2, (b) / = 2 • 10~8 W.m~2. 2.4 Dopplerův princip Pohybuje-li se zdroj o frekvenci / rychlostí vz a pozorovatel rychlostí vp (rychlosti počítáme kladně ve směru od zdroje k pozorovateli), pak pro frekvenci fp signálu, přijímaného pozorovatelem, platí tzv. Dopplerův vztah fP = Ez^Lf, (2-10) c-vz kde c je rychlost šíření vlnění v klidném prostředí. /69. Píšťala lokomotivy vydává tón o frekvenci / = 450Hz. Jede-li lokomotiva kolem pozorovatele rychlostí v = 20ms_1, jaký tón slyší (a) při přijíždění (b) při odjíždění lokomotivy? Rychlost zvuku za daných podmínek je c = 340ms_1. Řešení: (a) fi = ^-vf = 478 Hz (b) h = žrJ = 425 Hz 70. Vlak jede v klidném vzduchu rychlostí v = 30ms_1 po přímé dvoukolejné trati. Frekvence zvuku, kterou vydává píšťala lokomotivy, je f q = 500 Hz. Jaká je délka zvukové vlny (a) před lokomotivou (b) za lokomotivou? Jakou frekvenci má zvuk, který slyší pozorovatel stojící u trati (c) před lokomotivou, 32 (d) za lokomotívou? Jaká bude frekvence zvuku, který uslyší cestující ve druhém vlaku, který jede po druhé koleji rychlostí u = 15 ms-1, jestliže (e) druhý vlak se blíží k prvnímu, (f) druhý vlak se od prvního vzdaluje? (g) Jak se změní každá z předcházejících odpovědí, jestliže vane vítr rychlostí V = 9ms~1 stejným směrem, jako jede první lokomotiva? Rychlost zvuku počítejte c = 340ms~1. Řešení: (a) A1 = ^ = 0,62m (b) A2 = ^ = 0,74m (c) /i = -é-/0 = 548 Hz c—VJ (d) /2 = ^/o = 459 Hz (e) f3 = ^f0 = 439 Hz (f) /4 = ^/o = 573Hz (g) k[ = = 0,64m, X'2 = ^ = 0,72m, f[ = c±)Ĺ = 548Hz, f2 = ^ = 459Hz, ň = iSS/o = 574Hz> ň = C^T$fo = 439,19Hz. /71. Netopýr letí ke stěně rychlostí 6ms_1 a vysílá ultrazvukové vlnění frekvence 45 000 Hz. Jaká je frekvence zvuku /', který se odráží od zdi? Jakou frekvenci rázů Áf slyší netopýr? Rychlost zvuku počítejte c = 340ms"1. /' = = 45 808 Hz, Af = 0,5(/' - /o) = fo^ = 808 Hz 2.5 Hladina zvuku B v decibelech je fí=101og^-, (2.11) 'o kde Iq = 10~12 Wm~2 je prahová intenzita referenčního tónu o frekvenci fo= l 000 s_1. /72. Intenzita zvuku příslušná několika nezávislým zdrojům zvuku je rovna součtu intenzit jednotlivých zdrojů. (a) Jak vzroste hladina intenzity proti hladině intenzity zvuku vydávaného jedněmi houslemi, začnou-li hrát současně dvoje housle? (b) Je-li hladina intenzity jedněch houslí 40 dB, kolika houslí je zapotřebí, aby hladina intenzity vzrostla na 60 dB? B2-Bi =3,01dB «=100 73. Hladinu intenzity tónu počítáme podle vztahu B = lOlog^, kde Iq je prahová intenzita tónu 1000 Hz a má hodnotu 10 12 Wm 2. Kolikrát bude větší intenzita tónu, jemuž odpovídá hladina intenzity 60 decibelů? ^ = 106 33 74. Okno, jehož plocha je S = lm2, je otevřeno na ulici. Pouliční hluk má v rovině okna hladinu intenzity 80 dB. Jak veliký akustický výkon vstupuje zvukovými vlnami do pokoje? p= 10 4W 2.6 Elektromagnetické vlny Soustava Maxwellových rovnic: - db dB VOtE =--r— dt div Ď = p (2.12) divfí = 0 Ď = £Ě B = pH, kde E - vektor intenzity elektrického pole elektromagnetické vlny, H - vektor intenzity magnetického pole elektromagnetické vlny, D - vektor elektrické indukce, B - vektor magnetické indukce, j - vektor proudové hustoty, p - hustota prostorového náboje, e, /i - permitivita a permeabilita prostředí, ve kterém se elektromagnetická vlna šíří. Relativní permitivita er a relativní permeabilita \xr jsou zavedeny vztahy: e u er = - Hr = —, (2.13) kde £o a /io jsou příslušné veličiny vakua: £o = 8,859- 10_12m_3kg_1s4A2, jIq = An- 10_7mkgs_2A2. Elektromagnetické vlny v dielektriku. Nejčastěji studujeme šíření světla v homogenním izotropním a neabsorbujícím prostředí - v dielektriku. Pro toto prostředí je hustota prostorového náboje p = 0 a vektor proudové hustoty j = 0. Řešením soustavy rovnic (2.12) s omezeními p = 0 a j = 0 získáme vlnové rovnice pro vektory intenzity elektrického a magnetického pole v elektromagnetické vlně. d2Ě - d2H AE = H£^r- ÁH = H£^r. (2.14) Fázová rychlost šíření vlnění v prostředí je ie\i ve vakuu (2.15) -== =2,998.108ms_1. (2.16) VCoMo 34 Index lomu je poměr rychlosti c šíření elektromagnetických vln ve vakuu k rychlosti v šíření v daném prostředí c _ n = - = JerUr = v £/-• (2.17) v Je zřejmé, že n > 1, n = 1 pouze pro vakuum. Energie elektromagnetického vlnění Vektory E a H jsou navzájem kolmé a kmitají kolmo na normálu vlnoplochy, tj. kolmo na paprsek určující směr šíření (viz obr. 31). i Obrázek 31: Šíření elektromagnetické vlny Přenesenou energii charakterizuje Poyntingův vektor S S = ĚxH. (2.18) Střední hodnota Poyintingova vektoru v průběhu jedné periody je dána vztahem (Ěq a Hq jsou amplitudy elektrické a magnetické intenzity) T (S) = - / Sdt = -Ěq XH0= -CEQE^ňQ (2.19) o a je to tzv. hustota zářivého toku. Polarizované světlo Nepolarizované světlo: vektor elektrické intenzity E elektromagnetické vlny kmitá v rovině kolmé na směr šíření, mění nepravidelně fázi i směr. Elipticky polarizované světlo: koncový bod vektoru E opisuje v rovině kolmé na směr šíření elipsu, v prostoru se pohybuje po eliptické šroubovici. Kruhově (lineárně) polarizované světlo: koncový bod vektoru E opisuje kružnici (přímku). Točivost (helicita, smysl polarizace) elipticky polarizované vlny: • pravotočivá (R) - vektor se otáčí ve směru hodinových ručiček • levotočivá (L) - vektor se otáčí proti směru hodinových ručiček Pozorovatel se dívá směrem ke zdroji (viz obr. 32). /75. Dokažte, že pro elektromagnetickou vlnu lze poměr amplitudy elektrického a magnetického vektoru vyjádřit vztahem Ep = 1 Bq V/íoCo 35 Obrázek 32: Pravotočivá a levotočivá polarizace /76. Harmonická rovinná elektromagnetická vlna má elektrický vektor vertikální a šíří se ve směru osy x . Její frekvence je / = 5 • 106Hz a amplituda Eq = 0,04 Vm-1. Napište výrazy pro elektrický vektor E, magnetický vektor H a Poyntingův vektor S této vlny. Vypočítejte rovněž střední hodnotu Poyntingova vektoru (S). Řešení: Ey (x,t) =0,04 sin O Hz(x,t) = 1,06 • 10 4 sinO Sx(x,t) = 4,24- 10~6sin2 <ř = 3,14-107r-0,105;t =2,12-10-6Wm-2 77. Vypočítejte Poyntingův vektor a jeho střední hodnotu pro rovinnou elektromagnetickou vlnu, která se šíří ve vakuu ve směru osy x. Řešení: Š(x,t) = tff felcos2 Wř ~ f) + e se světelný paprsek neláme do druhého prostředí, nastává úplný (totální) odraz. /90. Ve Fizeauově pokusu měření rychlosti světla bylo použito ozubeného kola se 720 zuby, rovinné zrcadlo bylo od tohoto kola vzdáleno o 8 630 m. Při jaké minimální úhlové rychlosti otáčení ozubeného kola vymizelo poprvé světlo pro pozorovatele? comín = 75,8 s_1 91. Ve Fizeauových měřeních rychlosti světla pokračoval Cornu, který užil Fizeauova zařízení, avšak vzdálenost mezi zrcadly zvětšil na 22,9 km. Jeho ozubené kolo mělo 180 zubů při průměru 40 mm. Najděte úhlovou rychlost, se kterou by se muselo ozubené kolo otáčet, aby světlo propuštěné jednou mezerou se vrátilo mezerou následující. co = 228,6 s_1 92. Při Foucaltově pokusu měření rychlosti světla konalo zrcadlo 48 000 otáček za minutu. Vzdálenost otočného zrcadla od pevného kulového zrcadla byla d = 4m (obr. 35) a úhel a, o který se pootočilo zrcadlo v době, za kterou vykonal paprsek dráhu 2d, byl roven 1,324 • 10~3rad. Určete z těchto hodnot rychlost šíření světla ve vakuu. c = 3,037 • 108 ms_1 40 Obrázek 35: Foucaltovo uspořádání experimentu pro měření rychlosti světla 93. Dírková komora o hloubce b = 0,3 m zobrazuje předměty vzdálené více než a = 2,7 m (obr. 36). Jaký může být maximální průměr vstupního otvoru d, aby zobrazení bodového předmětu odpo- Obrázek 36: Dírková komora vídala kruhová ploška, jejíž průměr nepřesáhne velikost t = 1 mm? (Při řešení problému nepři- a+b hlížejte k ohybovému jevu.) d = -j-rt = 0,9mm /94. Paprsek světla se postupně odrazí na třech navzájem kolmých zrcadlech. Jaký je směr odraženého paprsku? opačný než směr dopadajícího S95. Jak vysoké musí být svislé rovinné zrcadlo a v jaké výšce nad podlahou má být umístěna jeho horní hrana, aby se v něm vzpřímený člověk výšky h viděl právě celý? výška zrcadla 0.5 h, horní hrana ve výšce h 96. Jakou minimální výšku musí mít rovinné zrcadlo, které je nakloněno dopředu tak, že s horizontální rovinou svírá úhel a, aby se v něm vzpřímený člověk výšky h, jehož oko je v kolmé vzdálenosti a od zrcadla, viděl celý? x = ^cosa+ia 97. Ukažte, že při rovnoběžném posunutí rovinného zrcadla o vzdálenost x podél normály se obraz posune o vzdálenost 2x. 41 98. Dokažte, že paprsek světla odražený od rovinného zrcadla se otočí o úhel 2ů, jestliže se zrcadlo otočí o úhel ů kolem osy kolmé k rovině dopadu. ©99. V jaké výšce H nad povrchem Země se nachází upoutaný balón, vidíme-li z místa pozorování jeho odraz ve vodě pod depresním úhlem a a balón sám pod elevačním úhlem /3? Pozorovací místo je ve výšce h nad hladinou vody. Výšku H určete nejprve obecně, pak pro hodnoty a = 39°48', J3 = 33°4ť,/z = 10m. H = hf^tp] = 90,23m 100. Vypočtěte příčné posunutí paprsku prošlého skrz planparalelní destičku tloušťky d o indexu lomu n (obr 37). Paprsek dopadá pod úhlem dopadu a. x = d sin a ( 1 cos a y/ n2—sin2 a Obrázek 37: Příčné posunutí paprsku v planparalelní desce 101. Na skleněnou destičku s indexem lomu n = 1,5 dopadá světelný paprsek. Pod jakým úhlem dopadl, jestliže lomený paprsek svírá s paprskem odraženým na rozhraní úhel y = 60°? a = 79,1° 102. Pod jakým úhlem musí paprsek dopadnout na rozhraní vakuum - sklo, aby odražený a lomený paprsek svíraly úhel 90°? Index lomu skla je n. a = arctgřz 103. Svislá tyč je ponořena 2 metry ve vodě uprostřed bazénu, dotýká se dna a ještě půl metru vyčnívá nad vodu. Slunce je právě 45° nad obzorem. Jak dlouhý je stín tyče na dně bazénu? x = l,75m 104. Korková zátka plave na klidné hladině rybníka hlubokého 1,6 m. Kde se nachází stín zátky na dně rybníka, když Slunce právě zapadá? Ve vzdálenosti 1,81 m od paty kolmice vedené od středu zátky ke dnu rybníka. 105. Pozorovatel stojí na okraji vodního bazénu s hloubkou vody h = 2,81 m a sleduje předmět ležící na jeho dně. V jaké hloubce h' se vytvoří obraz pozorovaného předmětu, je-li směr, ve kterém pozorovatel vidí obraz, odchýlen od kolmice k vodní hladině o úhel 60°? h' = 1,38 m 106. Vrstva éteru tloušťky d = 20mm (n = 1,36) plave na vrstvě vody tloušťky ď = 40mm (rl = 1,33). Jaká je zdánlivá vzdálenost hladiny éteru ode dna nádoby, díváme-li se do nádoby kolmo? h' = 44,8 mm 42 /107. Malý předmět je na dně jezera v hloubce 2 metrů. Pozorovatel na člunu přímo nad ním jej pozoruje. Za předpokladu paraxiálních paprsků vypočtěte, v jaké hloubce pod hladinou jej vidí. h = l,5m 108. Na stolku mikroskopu je skleněná destička 3 mm tlustá. Nejprve zaostříme mikroskop na horní povrch destičky, potom snížíme tubus mikroskopu a zaostříme na její spodní povrch. Abychom snadno zaostřili, jsou na horním i spodním povrchu destičky vyryté značky. Tubus přitom snížíme o 2 mm. Vypočtěte index lomu destičky. « = 1,5 109. Světelný paprsek dopadá na rovinné rozhraní dvou průhledných prostředí o indexech lomu 1,60 a 1,40. Paprsek přechází z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího. Uhel dopadu je a = 30°. Vypočtěte: (a) úhel lomu, (b) deviaci paprsku. Řešení: (a) £ =34,85°, (b) 5 = 4,85°. 110. Hranol ze skla má index lomu 1,5 a vrcholový úhel 60°. Určete (a) deviaci paprsku dopadajícího pod úhlem 40°, (b) minimální deviaci a odpovídající úhel dopadu. Řešení: (a) 5 = 38,5°, (b) 8min = 37,2° pro úhel dopadu amín = 48,6° 111. Světelný paprsek dopadá ze vzduchu na vodní kapku kulovitého tvaru, láme se do ní a po odrazu v kapce část paprsků z ní vystupuje ven. Vypočítejte úhel, pod kterým musí paprsek dopadnout, aby odchylka vystupujícího červeného paprsku byla vzhledem k dopadajícímu paprsku minimální. Jak velká bude tato odchylka, je-li index lomu vodní kapky pro červenou barvu nc = 1,331? Řešení: amín = arcsin y = 59°32;, <5C = 4/3c — 2amín, kde /3C je úhel lomu 112. Paprsek dopadá na horní stěnu krychle pod úhlem 60° a přitom se na boční stěně právě odráží pod mezním úhlem. Jaký je index lomu hranolu? = 1,32 /113. Na dně nádoby naplněné vodou do výšky h = 10cm je bodový zdroj světla. Na hladině plave neprůhledná destička kruhového tvaru tak, že její střed je přesně nad zdrojem světla (obr. 38). Jak velký musí mít destička poloměr, aby nad hladinu nepronikl žádný paprsek? R = ^= = ll,3cm v« —1 114. Potápěč je ponořen v čisté vodě a dívá se směrem vzhůru. Jeho oči jsou v hloubce h pod povrchem vody. (a) Jak se jeví potápěči prostor nad povrchem vody? (b) Jak velká část vodního prostoru je pro něj průhledná? 43 Obrázek 38: Zdroj na dně nádoby Řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty h = 1,5 m a index lomu vody n = 1,33. Řešení: (a) Vidí prostor uvnitř rotačního kužele s vrchlovým úhlem 97,5°. (b) Poloměr průhledné části povrchu je R = = 1,7 m 115. Světlo dopadá na horní hranu skleněné krychle pod úhlem a = 45° (obr. 39). Index lomu skla je n = 1,414. Bude paprsek na svislé stěně krychle totálně odražen? Ano Obrázek 39: Lom světla v skleněné krychli /116. Na obr. 40 je tenké skleněné vlákno (index lomu ns) s ochranným povlakem z umělé hmoty (index lomu np < ns). Existuje jistý maximální úhel dopadu a na vybroušenou čelní plošku, kolmou k ose vlákna, takový, že veškeré světlo dopadající pod úhly dopadu a\ < a se totálně odráží na stěnách vlákna a prakticky se beze ztrát šíří vláknem v libovolném směru (na tom je založena tzv. vláknová optika). Dokažte, že platí sin a = 44 Obrázek 40: Optické vlákno 117. Optické vlákno má válcové jádro z flintového skla (index lomu n\ = 1,66) a je obaleno tenkou vrstvou ze skla korunového (index lomu n2 = 1,52). Pod jakým maximálním úhlem musí dopadnou světlo na čelní kolmo vybroušenou plochu vlákna, aby se uvnitř vlákna šířilo totálním odrazem? 41,85° ©118. S jakým nej menším poloměrem může být svinuto optické vlákno, jehož jádro má průměr 0,05 mm, aniž by docházelo k podstatnějším světelným ztrátám? Index lomu jádra je 1,66 a index lomu pláště 1,52. 0,54 mm 3.2 Optické zobrazování Pracovat budeme výhradně s centrovanou optickou soustavou, kdy středy křivosti všech lámavých ploch leží na jedné ose. Omezíme se přitom na paraxiální prostor, tj. na takovou oblast v blízkosti optické osy, ve které můžeme s dobrým přiblížením nahradit všechny funkce tan a a sin a velikostí úhlu a, vyjádřenou v radiánech (prakticky pro a < 2°). Znaménková konvence bude uvedena u konkrétních příkladů. Příčné (m) a úhlové (g) zvětšení optického systému je definováno vztahy / ť m=— g = —, (3.5) y * kde y je příčná velikost předmětu a T jí příslušející zorný úhel, y' příčná velikost obrazu a %' jí příslušející zorný úhel. Odraz na kulových zrcadlech Pro zobrazení v paraxiálním prostoru kulového zrcadla platí vztah ± + i = ?4 (3-6) a b r j přitom vzdálenosti předmětu a a jeho obrazu b od vrcholu zrcadla měříme před zrcadlem kladně a za zrcadlem záporně. U konkávního (dutého) zrcadla je poloměr křivosti r a ohnisková vzdálenost / kladná, u konvexního (vypuklého) zrcadla jsou rif záporné. Vlastnosti obrazů vytvořených zrcadly jsou na obr. 41. Tenká čočka Pro zobrazení v paraxiálním prostoru tenké čočky platí vztah 1 1 1 ~ + h = 7- (3-7) a b f 45 Obrázek 41: Zobrazení dutým (nahoře) a vypuklým (dole) zrcadlem Vzdálenost předmětu a od optického středu čočky před čočkou a vzdálenost obrazu b od optického středu čočky za čočkou považujeme za kladnou, v opačném případě za zápornou. U spojky je ohnisková vzdálenost / kladná, u rozptylky záporná. Vlastnosti obrazů vytvořených čočkami jsou na obr. 42. Grafická konstrukce obrazu Při grafické konstrukci obrazu postupujeme tzv. třípaprskovou metodou zobrazení mimoosového předmětu v paraxiálním prostoru (obr. 43) • paprsek spojující zobrazovaný bod s optickým středem čočky nemění po průchodu čočkou svůj směr - (1), • paprsek vedený zobrazovaným bodem rovnoběžně s optickou osou se po průchodu čočkou láme do obrazového ohniska - (2), • paprsek, spojující zobrazovaný bod s předmětovým ohniskem, jde po průchodu čočkou rovnoběžně s optickou osou v obrazovém prostoru - (3). Jestliže konstrukcí získáme v obrazovém prostoru rozbíhavý (divergentní) svazek paprsků, znamená to, že vznikl zdánlivý obraz. Tento vytvoříme protažením paprsků proti směru jejich šíření až do společného průsečíku. Optické přístroje Lupa (viz obr. 44) Předmět umístíme mezi lupu a předmětové ohnisko do takové polohy, aby obraz vznikl v konvenční zrakové vzdálenosti L od oka. Pro zvětšení lupy dostáváme pomocí ohniskové vzdálenosti / Z=j + l = j (/«L) (3.8) Mikroskop (viz obr. 45) 46 Obrázek 42: Zobrazení spojkou (nahoře) a rozptylkou (dole) Obrázek 43: Zobrazovací paprsky pro čočku Okulárem pozorujeme obraz, vytvořený objektivem. Zvětšení mikroskopu je dáno vztahem A L f ob j f ok (3.9) kde A je tzv. optický interval (vzdálenost ohniska objektivu od ohniska okuláru) a fabj {f0k) Jsou ohniskové vzdálenosti objektivu (okuláru). Dalekohled (viz obr. 46) Ohnisko objektivu splývá s ohniskem okuláru, tzn. že optický interval A = 0. Zvětšení dalekohledu určíme pomocí ohniskové vzdálenosti objektivu f^j a ohniskové vzdálenosti okuláru f^, resp. užitím průměru d vstupní pupily (průměr objímky objektivu) a průměru ď výstupní pupily J ok ď AI Obrázek 44: Lupa 119. Svíčka stojí 60cm před dutým zrcadlem. Když ji přiblížíme k zrcadlu o lOcm, zvětší se vzdálenost obrazu od zrcadla o 80cm. Jaká je ohnisková vzdálenost zrcadla? / = 40cm nebo 85,7cm 120. Jestliže se předmět, který byl původně ve vzdálenosti 60cm od konkávního zrcadla, posune o lOcm blíže k němu, pak vzdálenost předmětu a jeho obrazu vzroste 2,5 krát. Určete ohniskovou vzdálenost zrcadla. / = 40 cm nebo 37,5 cm /121. Konkávni zrcadlo vytváří reálný převrácený obraz, který je třikrát větší než předmět a nachází se ve vzdálenosti 28 cm od předmětu. Najděte ohniskovou vzdálenost zrcadla. / = 10,5 cm /122. Konkávni zrcadlo na holení má ohniskovou vzdálenost rovnou 15 cm. Najděte optimální vzdálenost osoby od zrcadla, je-li pro pozorování okem nejvhodnější vzdálenost 25 cm od pozorovaného objektu. Jaké bude v tomto případě zvětšení? a = 8 cm, m = 2,125 123. Předmět leží 30cm vlevo od konvexního kulového zrcadla o poloměru křivosti 20 cm. Najděte polohu obrazu (a) výpočtem (b) graficky, (a) —7,5 cm (b) viz obr. 41, vypuklé zrcadlo, tmavozelený předmět /124. Zdroj je zafixován ve vzdálenosti L od stínítka. Vypočtěte, do jaké vzdálenosti od zdroje je třeba umístit tenkou spojku s ohniskovou vzdáleností /, aby se na stínítku vytvořil reálný obraz zdroje. Najděte podmínku, kdy je úloha řešitelná. 125. Dokažte, že nejmenší vzdálenost mezi předmětem a jemu příslušejícím obrazem, vytvořeným spojkou o ohniskové vzdálenosti /, je rovna Af. 126. Jaká je ohnisková vzdálenost tenké spojky a jaké zvětšení poskytuje, když předmět vzdálený 127. Spojka o ohniskové vzdálenosti 42cm dává třikrát zvětšený zdánlivý obraz předmětu. Najděte tato poloha existuje, jen když L>4f od ní 20 cm se zobrazí za čočkou ve vzdálenosti 35 cm? 12,73 cm; 1,75 polohu předmětu a jeho obrazu. 28 cm 84 cm 48 Obrázek 45: Mikroskop A Obrázek 46: Keplerův dalekohled 128. Tenká dvojvypuklá čočka optické mohutnosti D vytvoří obraz se zvětšením m. Vypočtěte, v jaké vzdálenosti od ní má být předmět a kde se vytvoří jeho obraz, a = b = ^-jp- /129. Spojka vytvoří obraz svítícího zdroje na stínítku ve vzdálenosti lm od zdroje. Když čočku posuneme o 20cm blíže ke stínítku (při zafixované poloze zdroje a stínítka), vznikne na stínítku znovu obraz zdroje. Jaká je ohnisková vzdálenost čočky? 24 cm /130. Spojka zobrazí předmět na stínítku tak, že výška obrazu je 9 cm. Když pohybujeme čočkou ke stínítku, aniž bychom měnili polohu předmětu a stínítka, vznikne znovu ostrý obraz předmětu tak, že jeho výskaje 4 cm. Vypočtěte skutečnou výšku předmětu. 6 cm 131. Spojka má ohniskovou vzdálenost 0,60 m. Najděte polohu předmětu, jehož obraz je (a) skutečný a třikrát zvětšený (b) skutečný a třikrát zmenšený (c) zdánlivý a třikrát zvětšený. Konstrukci ve všech třech případech zakreslete. Řešení: (a) 0,8 m (b) 2,4 m (c) 0,4m, konstrukce viz obr. 47 132. Ohnisková vzdálenost lupy je 125 mm. 49 (a) a=0,8 m, b=2,4 m f=0,6 m (b) a=2,4m, b=0,8 m (c) a=0,4m, b=-1,2m f=0,6 m f=0,6 m Obrázek 47: Zobrazení spojkou: (a) obraz skutečný a třikrát zvětšený, (b) obraz skutečný a třikrát zmenšený, (c) obraz zdánlivý a třikrát zvětšený. (a) Jaké je její zvětšení, jestliže obraz vznikne v nekonečnu? (b) Jaké je zvětšení lupy, jestliže obraz vznikne 25 cm před okem? (a) 2 (b) 3 3.3 Interference Při skládání dvou světelných vln je výsledná intenzita v určitém bodě prostoru dána vztahem / = /l+/2+2VV2COS d), vlevo chod paprsků interferujících na odraz (1,2) a na průchod (3,4). V místech označených fialovými kroužky dochází při odrazu na skle ke změně fáze o %. 148. Plankonvexní čočka má poloměr křivosti kulové plochy R = 4m. Tuto čočku položíme konvexní plochou na rovinnou skleněnou desku a systém osvětlíme monochromatickým světlem. Poloměr prvního jasného Newtonova interferenčního kroužku v prošlém světle je pi = 1 mm. (a) Jaká je vlnová délka použitého monochromatického světla? (b) Jaký bude poloměr prvního světlého kroužku, vyplníme-li prostor mezi čočkou a deskou vodou (nv = 1,33)? (a)250nm (b) 0,86 mm ©149. Vyjádřete vztah 3.17 pro koherenční délku vlny pomocí šířky spektrální čáry AX odpovídající její frekvenční šířce Av. / = ^ ©150. Vypočítejte koherenční délku odpovídající světlu výbojky s koherenční dobou To = 10~9 s. Vypočítejte spektrální šířku AX tohoto světla, je-li X = 600nm. / = 0,3m AA = 1,2 •10~12m ©151. Klínová vrstva je osvětlena bílým světlem z bodového zdroje. Odhadněte interval její tloušťky, pro který je na vrstvě možné okem pozorovat interferenční obrazec. Jak se výsledek změní, použijeme-li monochromatický zdroj čáry (X = 488 nm, pološířka čáry (celá šířka v polovině výšky) 0.02 nm)? polovina z hodnot 1,8 jim, 12mm 54 3.4 Ohyb Při pozorování chování světla v blízkosti neprůhledných překážek zjišťujeme, že se světlo šíří i do oblasti geometrického stínu - dochází k ohybu světelných paprsků. Z metodických důvodů rozlišujeme ohyb rovinných světelných vln (Frauenhoferova difrakce) a ohyb kulových vln (Fresnelova difrakce), my se budeme zabývat Frauenhoferovým ohybem. Ohyb na obdélníkové štěrbině Dopadá-li na obdélníkovou, velmi dlouhou štěrbinu šířky b rovinná monochromatická vlna vlnové délky X, jejíž vlnový vektor k je kolmý k rovině štěrbiny, pak intenzita světla po průchodu štěrbinou v místě, určeném směrem odklonu a, je dána vztahem kde x = kb sm(a)/2 a Iq je intenzita světla uprostřed středního světlého proužku, tj. pro a = 0. Grafické znázornění závislosti intenzity / na směru odklonu a je ukázáno na obr. 54 vlevo. Poloha tmavých proužků (ohybových minim) je určena podmínkou búna = mX m = ±1, ±2, ±3,... (3.20) rozložení intenzity při difrakci na štěrbině rozložení intenzity při difrakci na kruhovém otvoru Obrázek 51: Difrakce na obdélníkové štěrbině (vlevo) a na kruhovém otvoru (vpravo). 55 I(x) -4n ! -3n ; -2n ; -n -3.46n -2.46n -1.43n 2n 3n 4n Obrázek 52: Polohy maxim a minim pro ohyb na štěrbině (červeně) a kruhovém otvoru (modře). Křivky jsou vykresleny tak, že intenzity prvních ohybových maxim jsou stejné. Ohyb na obdélníkovém otvoru Intenzita / při ohybu na obdélníkovém otvoru, jehož rozměry jsou b a c, je dána vztahem 2 / • \ 2 / sinjc \ / siny I = Io - * ' v x y (3.21) kde x = kbún{a)/2 a y = fccsin(/3)/2. Ohyb na kruhovém otvoru Intenzita světla / při ohybu na kruhovém otvoru průměru D ve směru, který svírá s osou otvoru úhel a, je dána vztahem I = I0 2Ji(x) x (3.22) kde x = kDún(oc)/2 a výraz Ji(x) reprezentuje Besselovu funkci prvního druhu řádu jedna. Pro ohybový obrazec (obr. 54 vpravo) dostáváme, že jeho středová světlá ploška má úhlový poloměr dán vztahem X sinao = l,22-, (3.23) který pro D 3> X přechází ve tvar D a0 = 1,22-. (3.24) Rayleighovo rozlišovací kritérium Dva objekty jsou na hranici rozlišení, jestliže centrální difrakční maximum jednoho padne do prvního minima druhého - viz obr. 53. Rayleighova mez Obrázek 53: Rozlišení 56 Difrakční mřížka je soustava ./V štěrbin stejné šířky b. Vzdálenost mezi středy sousedních štěrbin d se nazývá mřížková konstanta. Intenzita difrakčního obrazce je při kolmém dopadu světla dána vztahem I(a)=I sin2[^sin(«)/2] sin2[AíMsin(oQ/2] 1 ' 0 [H>sin(a)/2]2 sin2[Msin(a)/2] ' kde první zlomek je tzv. difrakční (otvorový) faktor a druhý zlomek tzv. interferenční (mřížkový) faktor. Pro kolmý dopad světelného záření vlnové délky X je poloha tzv. hlavních maxim dána vztahem dúna = mX, m = 0,±1,±2, ... (3.26) Hlavní maxima, která padnou do minim otvorového faktoru, nejsou pozorována. -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 násobky ksin(a/2l násobky ksin(a/2l jd=0.4 mm 7b=0.2 mm 5 i. jd=0.4 mm 1 b=0.2 mm fľi i i i násobky ksin(a/2] násobky ksin(a/2] Obrázek 54: Difrakce na mřížkách s různým počtem štěrbin N, s různou šířkou štěrbiny b a různými vzdálenostmi středů štěrbin d. Vždy zeleně: „čistá" interference daná druhým členem součinu v 3.25, modře: „čistá" difrakce daná prvním členem součinu v 3.25 vynásobená N2, červeně: výsledný obrazec daný 3.25. Intenzita v posledním obrázku je 4x větší než v předchozích, což je způsobeno zvětšením počtu štěrbin. Důležitým parametrem mřížek používaných pro spektrální analýzu je úhlová disperze da m (3.27) dX Jcosa' kde m je řád difrakčního maxima a d je mřížková konstanta. Rozlišovací schopnost mřížky s celkovým počtem vrypů ./V pro řád maxima m je definována X & = — = mN, (3.28) ÁX kde AX je vzdálenost vlnových délek, které mřížka právě ještě rozliší. 152. Rovnoběžný svazek monochromatického světla o vlnové délce 450 nm dopadá kolmo na štěrbinu šířky 1 mm. Těsně za štěrbinou je umístěna čočka s ohniskovou vzdáleností 1 m. Na stínítku, umístěném v ohniskové rovině čočky, se vytvoří ohybový obraz. Určete vzdálenost minima prvního, druhého a třetího řádu od hlavního maxima. jci=0,45mm jC2 = 0,9mm X3 = l,35mm 57 153. Obdélníková štěrbina je osvětlena světlem vlnové délky 500 nm. Rozměry štěrbiny jsou 1 mm x 3 mm. Jaké jsou rozměry hlavního maxima v difrakčním obrazci vytvořeném na stínítku rovnoběžném s rovinou štěrbiny a vzdáleném od ní 50 m? Světlo dopadá na štěrbinu kolmo. 50 x 17 mm /154. Fraunhoferova difrakce vzniká na štěrbině šířky 0,4 mm a je zviditelněna na stínítku v ohniskové rovině čočky. Ohnisková vzdálenost použité čočky je 1 m a štěrbina je osvětlena dvěma vlnovými délkami X\, %2- Bylo zjištěno, že čtvrté minimum pro vlnovou délku X\ splývá s pátým minimem pro vlnovou délku X2 a je přesně 5 mm od hlavního maxima. Určete obě vlnové délky. Ai =500 nm, X2= 400 nm 155. Rovnoběžný svazek monochromatického světla o vlnové délce X = 600nm prochází štěrbinou, jejíž šířka je 0,2 mm, a je zaostřen čočkou na stínítko. První minimum leží 3 mm od hlavního maxima. Určete ohniskovou vzdálenost použité čočky. /' = 1,0m 156. Najděte poloviční úhlovou šířku středního světlého pruhu při Fraunhoferově ohybu na štěrbině šířky a = 1,4 • 10~3mm, je-li osvětlena monochromatickým světlem vlnové délky (a) 400 nm, (b)700nm. (a) 16,6° (b) 30° ©157. Dokažte, že maxima při difrakci na obdélníkovém otvoru nejsou ekvidistantně vzdálena. Maxima leží pod úhly a splňujícími rovnici tga = a. /158. Oční pupila má průměr 3 mm. Za použití Rayleighova kritéria určete: (a) Na jakou vzdálenost rozliší oko dvě rovnoběžné čáry narýsované na listě papíru ve vzdálenosti 50 cm. (b) Na jakou vzdálenost může oko za ideálních podmínek rozlišit přední světla automobilu, jehož reflektory jsou 180 cm od sebe? Pro výpočty berte vlnovou délku viditelného světla rovnu 550 nm. (a) 2,23 km, (b) 8,05 km 159. Astronaut je v kosmické lodi na oběžné dráze kolem Země ve výšce 160 km. Jak velké musí být předměty na zemském povrchu, aby je pouhým okem rozlišil? Předpokládejte, že oční pupila má průměr 4 mm a oko je nejcitlivější na vlnovou délku 550nm. Asi 27 m ©160. V dírkové komoře (camera obscura) je fotografická deska vzdálena od čelní stěny o 10 cm. Jak veliký musí být otvor, abychom získali ve viditelném světle (X = 500 nm) snímek Slunce s nejlepším rozlišením? D = 0,13 mm /161. Při ohybu laserového světla na difrakční mřížce bylo zjištěno, že v difrakčním obrazci chybí sudá interferenční maxima. Určete šířku a vzdálenost štěrbin. b = d/2 162. Při difrakci na mřížce detekujeme intenzivní spektrální čáru ve směru, odpovídající vlnové délce 506 nm. Je možné, že záření má ve skutečnosti jinou vlnovou délku? ano /163. Difrakční mřížka má hustotu vrypů 50 vr/mm. Určete, pod j akým úhlem bude ležet první hlavní maximum pro vlnovou délku 10/im a s jakým řádem maxima vlnové délky 500nm se bude překrývat. a = 30 °, m = 20 164. Určete nejvyšší řád spektra, ve kterém můžeme ještě pozorovat červenou čáru 700 nm pomocí optické mřížky, která má na 1 mm 300 vrypů. m = 4 165. Jakou mřížkou (tj. s jakým počtem vrypů na mm) musíme vybavit spektrometr, požadujeme-li, aby rozlišil jednotlivé komponenty sodíkového dubletu 588,9950 nm a 589,5924 nm? Spektrometr používá mřížky 72 x 72 mm. Rozliší je standardně rozšířená mřížka 1200 gr/mm? 14gr/mm, ano 58 166. Mřížka obsahující 400 vrypů/mm je 4 cm dlouhá. Vypočtěte její rozlišovací schopnost ve spektru prvního řádu. Rozliší tato mřížka obě čáry sodíkového dubletu (589,0 a 589,6 nm)? AXmin = 0,037 nm M=l 6000 rozliší /167. Navrhněte difrakční mřížku, pro kterou by leželo maximum třetího řádu vlnové délky 600 nm ve směru odchýleném o 30° od přímého směru. Rozlišovací schopnost mřížky musí být taková, že dokáže rozlišit dvě blízké vlnové délky, lišící se o 0,05 nm. Vypočtěte: (a) vzdálenost vrypů mřížky, (b) její rozlišovací schopnost, (c) minimální počet vrypů, (d) minimální rozměr mřížky, (a) 3,6-10~4cm (b) 12000 (c) 4000 (d) l,4cm ©168. Odvoďte teoretickou rozlišovací schopnost optické mřížky s ./V vrypy. Použijte Raylei-ghovo kritérium, pro jednoduchost uvažujte mřížku na průchod a kolmý dopad paprsků. & = mN, m - difrakční řád 3.5 Šíření světla na rozhraní Na rozhraní dvou optických prostředí s indexy lomu n\ a n2 se světlo částečně odráží, částečně láme do druhého prostředí. Paprsky dopadající, odražený a lomený leží spolu s dopadovou normálou v tzv. rovině dopadu (směr p). Rovina kolmá k rovině dopadu je tzv. polarizační rovina (směr s). Fresnelovy amplitudy Pro amplitudy odražené a lomené vlny na rozhraní dvou dielektrik platí «2cos a — řzicos/3 tg(a — j5) «2cos a + n\ cos/3 tg(a + /3)' n\cos a — n2cosj5 sin(a — j5) n\cos a + n2cos j5 sin(a + /3) 2«icos a «2 cos a + n\ cos j5' 2«icos a n\cos a + n2 cos j5 ' (3.29) kde r jsou amplitudy vlny odražené, t amplitudy vlny lomené, indexy p (s) značí složku příslušných amplitud v rovině dopadu (v polarizační rovině) (viz 55). Závislost velikosti Fresnelových amplitud odraženého i lomeného světla na úhlu dopadu a pro případ dopadu světla z vakua do skla (n2 = 1,50) je ukázán na obr. 55. Je zřejmé, že existuje úhel dopadu «3, pro který je rp = 0. Znamená to, že světlo dopadající na rozhraní pod úhlem «3 je po odrazu dokonale lineárně polarizováno tak, že elektrický vektor odražené vlny kmitá v rovině kolmé k rovině dopadu. Uhlu «3 říkáme Brewsterův úhel a platí pro něj vztah tg as = —. (3.30) 169. Určete úhel dopadu a lomu světelného paprsku, je-li paprsek odražený od skleněné destičky (n = 1,50) zcela polarizován. a = 56,3° /3 = 33,7° 170. Vypočtěte Brewsterův úhel pro následující případy: (a) světlo dopadá ze vzduchu na sklo s indexem lomu 1,6. (b) světlo vychází ze skla s indexem lomu 1,6 do vzduchu. 59 Obrázek 55: Polarizace odrazem při dopadu pod Brewsterovým úhlem pro rozhraní vzduch a sklo (index lomu 1,5) - chod paprsků a závislost průběhu Fresnelových koeficientů na úhlu dopadu a. (c) rozhlasová vlna dopadá na hladinu vody, jejíž index lomu pro uvažovaný kmitočet je roven 9. (a) 58° (b)32° (c)83,7° 171. Mezní úhel pro světelný paprsek na rozhraní vzduch - jisté prostředí je 45°. Najděte Brewsterův úhel pro dopad ze vzduchu. 35,3° 60 Kapitola 4 Matematický dodatek 4.1 Goniometrické funkce Zavedení funkcí pomocí jednotkové kružnice: y n sin (a) sin (a) < 0 cos (a) <0 sin (a+2kn) = sin (a) cos (a+2kn) = cos (a), k je celé číslo Základní hodnoty goniometrických funkcí: a 0 71 6 71 4 71 3 71 2 % ■Í7l 2 2tí sin(a) 0 1 2 V2 2. V3 2 1 0 -1 0 cos(a) 1 V3 2 V2 2 1 2 0 -1 0 1 tg(«) 0 V3 3 1 V3 oo 0 —co 0 cotg(a) oo V3 1 V3 3 0 —oo 0 oo Grafy goniometrických funkcí: tg (a) J , J 0 í ' cofg (aj "sn Základní vlastnosti goniometrických funkcí: 61 tg(a) = tg(a + k7t) cotg(a) = cotg(a + fc7ť) cos(—a) = cos(a) periodicita: sin(a) = sin(a + 2fc7z;) cos(a) = cos(a + 2fc7r) fcez lichost a sudost: sin(—a) = — sin(a) tg(-a) = -tg(a) cotg(-a) = —cotg(a) vzájemné posunutí: sin(a) = cos(a—|) tg(a) = —cotg(a — f) cos(a) = sin(a+|) cotg(a) = tg(| - a) goniometrická jednička sin2 (a) + cos2 (a) = 1 dvojnásobný argument sin(2a) = 2sin(a) cos(a) cos(2a) = cos2(a) — sin2(a) poloviční argument |sin(f)| = 1—cos(a) 2 l+cos(a) 2 součtové vzorce sin(a + /3) = sin(a)cos(/3) + cos(a) sin(/5) sin (a — J3) = sin(a)cos(/3) — cos(a) sin(/5) cos (a + J3) = cos(a) cos(/5) — sin(a) sin(j8) cos (a — J3) = cos(a) cos(/5) + sin(a) sin(j8) \ ' <*-B\ 1 cos \ 2 ) \ . 'a-B\ Isin , 2 ) COS a-j: 2 vzorce pro součet funkcí sin(a) + sin(j8) = 2sin sin(a)-sin(/3)=2cos(^±£ cos(a) +cos(/3) = 2cos cos(a) -cos(/5) = -2sin sin derivace: (sin(a))' = cos(a) (cos(a))' = — sin(a) (arcsin(a))' = , 1 (arccos(a))' =--, 1 integrály: / sin(a)l ,0-1 -2 -) Logaritmické funkce: x = logay<$ax =y {p, q jsou reálná čísla, m,n,aj^l jsou čísla celá kladná) • I0& (/>■?) = logflP + logflg • loga f =l0gflJP-l0gfl^ • loga (p") = nlogfl p logfl = i logfl p • p = alos^ p = \ogaaP ' l0gfla= 1 loga 1 = 0 • loga 0 = —00 loga 00 = 00 a > 1 p = 4-10±n, 1 < log1oP=±«+log1o<7=±'V■■ (log105n ''nairad'l TJ -n y cotgh (a) V -ň -0,5tt ......ľ 1 1 1 -,7Tajradj -TJ Základní vlastnosti hyperbolických funkcí: • periodicita: sinh(a) = sinh(a + ilkíc) tgh (a) = tgh (a + ikíc) cosh(a) = cosh(a + ilkiť) cotgh (a) = cotgh (a + ikíc) kez i2 = -i • lichost a sudost: sinh(—a) = — sinh(a) cosh(—a) = cosh(a) tgh(-a) = -tgh(a) cotgh (—a) = —cotgh (a) • základní vztah cosh2(a) — sinh2(a) = 1 • souvislost s goniometrickými funkcemi (i2 = —1): sinh(a) = — isin(ia) cosh(a) = cos(/a) tgh (a) = —ítg(ía) cotgh (a) = ícotg(ía) • derivace: (sinh(a))' = cosh(a) (cosh(a))' = sinh(a) • integrály: J sinh(a)da = cosh(a) J cosh(a)da = sinh(a) 4.6 Rozvoj funkcí v řadu Taylorův rozvoj funkce f (x) kolem hodnoty a: Konkrétně: • (1 + xf = 1 + p+^^x2 + "("~1](3"~2)x3 - f(x) = f{a) + l^±(x-a) + Q^(x-ay+ . . ^ 2 \ L4 I I \ Cí f I -v" -1 1! 2! V ' * eX=l-, j] i 2! 1 3! ■111/ (x — á)+... • sin(x)=x- Ji rS J 2| v ") ' ■■■ ""l"; — 3! 1 5! 7! 64 cos(x) = l- fr + iT-fT + ^! ^ -7 sinh(x) cosh(x) = l + |r + tT + |T + - tgh(x)=x-^ + ^-^- 4.7 Diferenciál funkce jedné proměnné Diferenciál funkce y = f (x) je součin z derivace a diferen- Pro diferencování platí tedy stejná pravidla jako pro derivo-ciálu nezávisle proměnné vání. df(x) = f'(x)dx dy = y'dx. 4.8 Základy vektorového počtu - gradient, divergence, rotace, Laplaceův operátor Vektorové identity: rot gradw = 0 rot rot v = grad div v — A v div (v x w) = wrotv — vrotw Kartézské souřadnice (x,y,z) • Hamiltonův operátor nabla: V = i: + j + ^ • gradient skalární funkce u = f (x, y, z) du^ du^ du^ gradw = Vm = -Z7-Í+ ~z-k dx dy dz • divergence vektorového pole v(x,y,z) {vx{x,y, z), vy (x, y, z), vz (x, y,z)): dlV V = V • V = + -7r± + -z— dx dy dz • rotace vektorového pole v(x,y,z) : rot v = V x v = i j k d_ d_ d_ dx dy dz \dy dz \dz dx ■2 _ _d_ dx2 • Laplaceův operátor delta: A = V • V = V d _|_ d dy2 dz2 Cylindrické souřadnice (r, Vz delta: A = V ■ V rdr x dr) + r2 d2 + dz2 Sférické souřadnice (r, 0,0) (x = rsmOco&(p,y rsin0 sin0,z = rcos 0): • Hamiltonův operátor nabla: V = jfcer + -j^e$ • gradient skalární funkce u = f(r, 0,0) : _ du^ gradw = Vm = — e, 1 du _ du _ dr rsin0 d(j) rdO • divergence vektorového pole v(r, 0,0) = (vr(r, 0, 0), v^ (r, 0, 0), vz(r, 0, 0)) : div v = V • v = 1 d(r2vr) 1 dv$ 1 <9(sin0vz) r2 dr rsin0 <90 rsin0 dO rotace vektorového pole v(r, 0,0): rotv = V x v = er rsin0e^ reg a jL a. dr dip d9 v r rsin0V0 rvg Laplaceův operátor delta: A = V • V = V2 i d2 la. r2A r2 d r \ dr l ' rL sin tJ-j^j (sin0'? 2 sin 6 dti 65 4.9 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty (a případnou pravou stranou) Homogenní diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty rozumíme rovnici tvaru y" + aý + by = 0, (4.1) kde a, b jsou reálná čísla, čárky značí první a druhou derivaci reálné funkce y(x) podle proměnné x. Postupujeme tak, že napíšeme charakteristickou rovnici X2 + aX + b = 0, (4.2) z níž vypočteme kořeny X\, X2 . Podle druhu kořenů dostáváme řešení: Xi ^ X2 y(x) = Ae^x + Be^x Xi=X2=X y(x) = eix{A + Bx) Xh2 = a±ifí y(x) = e^Ae^ + Be-^), A, B jsou libovolné reálné (v případě třetím komplexně sdružené) konstanty. Ve třetím uvedeném řešení lze závorku nahradit jedním z tvarů (další použitá písmena jsou reálné konstanty) Aeiflx + Be-iflx = CcosQSx) +Dsin(/3x) = Y0(sm(px+