Ústav fyzikální elektroniky PřF MU
F3100 Kmity, vlny, optika
příklady do cvičení
Jana Jurmanová, Zdeněk Navrátil, Luboš Poláček
Brno 2017
2
Obsah
1 Kmity 5
1.1 Vlastní netlumené kmity................................ 5
1.2 Skládání kmitů, Fourierova analýza .......................... 14
1.3 Tlumené kmity..................................... IV
1.4 Vynucené kmity..................................... 20
1.5 S pražené oscilátory, struny, tyče............................ 22
2 Vlnení, akustika 27
2.1 Vlnění.......................................... 27
2.2 Fázová a grupová rychlost............................... 29
2.3 Vlnění a energie..................................... 31
2.4 Dopplerův princip.................................... 32
2.5 Hladina zvuku B .................................... 33
2.6 Elektromagnetické vlny................................. 34
3 Optika 39
3.1 Základní zákony šíření světla.............................. 39
3.2 Interference....................................... 45
3.3 Ohyb .......................................... 49
3.4 Šíření světla na rozhraní ................................ 53
3.5 Optické zobrazování .................................. 54
4 Matematický dodatek 61
4.1 Goniometrické funkce ................................. 61
4.2 Věty určující vztahy mezi rozměry stran a úhlů v trojúhelníku ............ 62
4.3 Komplexní čísla..................................... 63
4.4 Exponenciální a logaritmické funkce.......................... 63
4.5 Hyperbolické funkce.................................. 64
4.6 Rozvoj funkcí v řadu.................................. 64
4.7 Diferenciál funkce jedné proměnné........................... 65
4.8 Základy vektorového počtu - gradient, divergence, rotace, Laplaceův operátor .... 65
4.9 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty (a případnou pravou stranou)......................................... 66
Literatura 67
3
4
Kapitola 1 Kmity
1.1   Vlastní netlumené kmity
Obecný případ harmonického pohybu
Pohybová rovnice je
d2r
m—ir = —kr, (1.1) dtL
kde m je hmotnost oscilátoru, F = — kr je elastická (harmonická, vratná) síla, k > 0 tuhost elastické vazby. Oscilátor (hmotný bod) opisuje obecně eliptickou dráhu v prostom.
Harmonický pohyb po přímce
Pohybuje-li se oscilátor, na který působí vratná síla, pouze v přímce, nazýváme jej lineární harmonický oscilátor. Pohybová rovnice lineárního harmonického oscilátoru, kmitajícího podél osy x, je
d2x k
— + -x = 0. (1.2)
atL m
Řešením této rovnice je časová závislost výchylky x kmitajícího hmotného bodu z rovnovážné polohy
x(t) = Asm(a>ot + <p), (1.3)
k
kde A je amplituda výchylky, t je čas, cúq = J ^ je úhlová frekvence a <p je počáteční fáze harmonického pohybu.
Energie kmitů
Celková mechanická energie netlumených harmonických kmitů (viz obr. 1), daná součtem potenciální pružné energie a kinetické energie, je rovna
E = ^kA2 = ^mco^A2. (1.4)
x(t)=Asin(u)0t+(p)
Obrázek 1: Kinetická (modře), potenciální (zeleně) a celková energie (červeně) netlumených harmonických kmitů x(t) = Asin(ci)Qr).
Fyzické kyvadlo
Fyzické kyvadlo lze řešit například pomocí druhé momentové věty Je = M, kde M je výsledný moment vnějších působících sil, / moment setrvačnosti k ose otáčení Oae =     je úhlové zrychlení.
Obrázek 2: Fyzické kyvadlo: zakreslena je gravitační síla, která jediná má nenulový moment, rameno této síly, směr tohoto momentu a směr úhlového výchylky.
Pohybová rovnice má pak tvar
d2(p mg\OT
d*+JT + m\OT\^ = ^ (1-5)
6
kde moment setrvačnosti k ose otáčení je podle Steinerovy věty J = Jj + m\OT\2, Jj je moment setrvačnosti vzhledem k těžišti.
V přiblížení malých kmitů (sin<p = <p) získáme pro úhlovou výchylku z rovnovážné polohy <p řešení
(p{t) =<l>osin(ftbí + <po), (1-6)
kde <ř»o je amplituda úhlové výchylky, t je čas, coq = y ^"^jori2 je úhlová frekvence a <po počáteční fáze harmonického pohybu.
Redukovaná délka fyzického kyvadla je délka matematického kyvadla (hmotný bod na nehmotném závěsu délky /*), které má stejnou periodu jako kyvadlo fyzické. Protože úhlová frekvence matematického kyvadla je rovna C0q = \Jj*-, platí pro redukovanou délku /*
r = |6>r| + ^—. (1.7)
m\OT\
1. Napište pohybovou rovnici tělesa o hmotnosti m, na které působí síla pružnosti F = (—fac, 0,0). Obecné řešení rovnice hledejte ve formě
(a) e^r, kde X je řešení charakteristické rovnice,
(b) lineární kombinace funkcí sinus a kosinus,
(c) funkce sinus s obecnou počáteční fází <p.
Ukažte, kdy jsou všechna řešení ekvivalentní. + kx = 0
2. Napište pohybovou rovnici tělesa o hmotnosti m připojeného k pružině o tuhosti k a nenulové délce / v nezatíženém stavu. Předpokládejte, že těleso koná harmonický kmitavý pohyb
(a) bez tření ve vodorovném směru,
(b) ve svislém směru v tíhovém poli g.
Řešte metodou nehomogenní rovnice. Určete úhlovou frekvenci a periodu vlastních kmitů.
f 3. Částice koná lineární harmonický pohyb kolem bodu x = 0 m. V čase t = 0 s má nulovou rychlost a její výchylka je 3,7-10~3 m. Je-li frekvence pohybu / = 0,25 s_1, najděte
(a) periodu T,
(b) úhlovou frekvenci co,
(c) amplitudu A,
(d) výchylku a rychlost v libovolném čase t,
(e) amplitudu rychlosti a amplitudu zrychlení.
Řešení: (a) T = 4s, (b) co = f s-1, (c) A = 3,7 • 1(T3 m, (d) x(t) = 3,7 • 1(T3 cos (f ř) m, v(ř) = -1,85^ • 1(T3 sin (f ř) m.s-1, (e) vm = 1,85tt • 1(T3 ms"1, am = 9,25k2 ■ l<r4ms-2.
/4. Určete amplitudu a počáteční fázi netlumeného harmonického pohybu po přímce. Hmotný bod měl v čase t = 0 s výchylku xq = 5 cm a rychlost vo = 20 cm s_1, jeho frekvence byla / = 1 s_1. A = 5,93 cm, <p = -32o30;
7
5. V čase t = Os je výchylka částice rovna xq = 4,3cm a rychlost částice vo = 3,2 m s . Hmotnost částice je m = 4 kg a celková energie částice je E = 79,5 J. Napište vztah pro závislost výchylky částice na čase a vypočtěte dráhu částice za dobu 0,4 s od začátku pohybu. jc = 0,05cos(l26,lr-f)m, s = l,6m
/6. Určete   periodu   malých   podélných   kmitů   tělesa   o   hmotnosti   m   v soustavách   znázorněných   na   obr.   3.   Tuhosti   nehmotných   pružin   jsou   k\   a &2-
(a) (b) (c)
Obrázek 3: Sériové (a,b) a paralelní (c) zapojení pružin
r = 2*vf. (a, b) * =   +   (c)í = £ + £-
7. Dvě kuličky o hmotnostech m\ a ni2 jsou navzájem spojeny pružinou s koeficientem tuhosti k. Určete periodu malých kmitů kuliček vzhledem k hmotnému středu soustavy.
T=2%M, \L =
y k   " m\+mi
/8. K nehmotné pružině o tuhosti k = 50Nm-1 je přivázána nit, na které visí závaží o hmotnosti 1 kg (obr. 4). O jakou vzdálenost lze posunout závaží směrem dolů, aby po jeho uvolnění vznikly kmity, v jejichž průběhu by bylo vlákno stále napjaté? x < t- = 19,6 cm
Obrázek 4: Těleso visící na niti
9. Těleso leží na desce vykonávající harmonický pohyb x(t) = A sin {2% f t + <p) s frekvencí /. Koeficient statického tření mezi tělesem a deskou je /i = 0,5. Určete:
(a) Jak veliká smí být nejvýše amplituda kmitů desky, aby těleso po desce neklouzalo, je-li frekvence kmitů / = 2 s-1 a deska koná kmitavý pohyb v horizontální rovině?
8
(b) Deska koná harmonický pohyb ve směru vertikálním s amplitudou A = 5 cm. Jaká může být nejvyšší frekvence /, při níž ještě těleso neodskočí od desky?
(c) Deska koná pohyb ve vertikálním směru s amplitudou A = 5 cm a frekvencí / = ^ s_1. Těleso je na desku položeno v její nejnižší poloze. Ve kterém bodě opustí těleso desku a jak vysoko těleso vyletí?
Řešení:
(a) A < H = 31 mm
(b) / <ÍVÍ = 2'23S_1
(c) x = -jjp = 24,52 mm pod rovnovážnou polohou, h = 2mm nad místo odpojení
/10. V U-trubici je homogenní kapalina. Pomocí pístu umístěného v jednom rameni U-trubice posuneme kapalinové těleso o vzdálenost x. Ukažte, že po uvolnění pístu začne kapalina vykonávat jednoduché harmonické kmity a určete jejich periodu. Celková délka kapalinového sloupce
v trubici je L. T = liz^Jj^
11. Dřevěný válcový kůl je na jednom konci zatížen olovem, takže může plavat ve svislé poloze (obr. 5). Kůl uvedeme do kmitavého pohybu ve svislém směru. Ukažte, že může konat jednoduché harmonické kmity a určete jejich periodu. Neberte v úvahu, že dochází ke tlumení kmitů.
T = 2n*fi
d
	-	n
1'		
Obrázek 5: Plovoucí kůl.
/12. V uzavřeném válci naplněném vzduchem je píst o hmotnosti m, který rozděluje válec na dvě stejné části délky d. Tlak vzduchu v obou částech je pq. Píst nepatrně vychýlíme z rovnovážné polohy o vzdálenost x a potom uvolníme (viz obr. 6). Píst začne vykonávat kmitavý pohyb. Vypočtěte periodu kmitů za předpokladu, že děj v plynu můžeme považovat za
(a) izotermický,
(b) adiabatický s konstantou k.
(a)r=2^V/Ä'(b)r=27rV«
13. Odvoďte vztah pro potenciální energii tělesa o hmotnosti m
9
m
d-x
d+x
Obrázek 6: Píst ve válci.
(a) v tíhovém poli popsaném konstantním zrychlením g,
(b) podrobeného síle pružnosti F = —kx,
(c) při současné splnění (a) a (b). Ukažte, že pro celkovou potenciální energii oscilátoru v tíhovém poli dostaneme stejný výsledek jako v (b), pokud x má význam výchylky z nové rovnovážné polohy v tíhovém poli.
(a) Ep-t = mgh, (b) Ep-p = \kx2
/14. Na misku o hmotnosti M zavěšenou na pružině s tuhostí k dopadne z výšky h kulička o hmotnosti m a zůstane na misce ležet (viz obr. 7). Tento systém začne vykonávat kmitavý pohyb.
Obrázek 7: Pružinové váhy
15. Kostka o hmotnosti M = 8kg je zavěšena na pružině o tuhosti k = 3 ■ 103Nm i. Do kostky je zespodu vstřelena rychlostí vo = 500ms_1 kulka o hmotnosti m = 10g. Kulka uvázne v kostce.
(a) Určete amplitudu jednoduchých harmonických kmitů, které začne soustava konat.
(b) Jakou část původní kinetické energie kulky přibližně tvoří celková energie kmitající soustavy?
&A =        + = °'032m' ^ f = Ä = °'125% » l)
16. Homogenní tyč o hmotnosti m a délce / (obr. 8) je na obou koncích podložena dvěma stejnými pružinami o tuhosti k. Tyč uvedeme do pohybu tak, že ji na jednom konci stlačíme o určitou vzdálenost a vzápětí uvolníme. Řešte pohyb tyče za předpokladu, že neexistuje tlumení.
10
Obrázek 8: Tyč na dvou pružinách
oji = J2k m= §k
1      y m '    z      y m
•/17. Napište pohybovou rovnici a určete úhlovou frekvenci fyzického kyvadla (těleso o hmotnosti m otáčející se kolem osy neprocházející těžištěm). Tutéž úlohu řešte
(a) pomocí momentové formulace druhého Newtonova zákona,
(b) derivováním zákona zachování mechanické energie,
(c) Lagrangeovými rovnicemi druhého druhu.
Použité postupy aplikujte i na pohyb matematického kyvadla (hmotný bod na nehmotném závěsu).
Řešení: Pro fyzické kyvadlo obdržíme rovnici J^r + mdg sin <p = 0, kde / je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení, d je vzdálenost těžiště od osy otáčení, g je tíhové zrychlení a <p je úhel určující výchylku z rovnovážné polohy. Uvažujeme-li malé kmity (sin <p = <p), je úhlová frekvence co = y/mgd/J. Uvažujeme-li o matematickém kyvadle jako o speciálním případu fyzického kyvadla s momentem setrvačnosti / = md2, je úhlová frekvence co = y/g/d.
18. V kabině letadla kmitá matematické kyvadlo délky / = 0,5 m. Určete periodu jeho kmitů, koná-li letadlo pohyb
(a) rovnoměrný přímočarý,
(b) vodorovný se zrychlením a = 2,5 ms~2,
(c) klouže-li pod úhlem a = 15° vzhledem k horizontální rovině.
Řešení:
(a) T = 27^=1,42 s
(b) r = 2t^/^=1,40s
W ^ = 2^^ = 1,448
19. Homogenní tenká tyč o hmotnosti M a délce L je připevněna ke stropu tak, že se může volně otáčet bez tření kolem osy O (viz obr. 9). Tyč je kromě toho připevněna ke stěně pomocí pružiny
o tuhosti k. Určete periodu kmitů tyče. T = 2k '2 ml
3 Mg+2kL 11
osa otáčeni
Obrázek 9: Kyvadlo s pružinou
Obrázek 10: Neprosmykující válec
20. Na vodorovné pružině zanedbatelné hmotnosti je připevněn tuhý válec o hmotnosti m, který se může valit bez klouzání po vodorovné rovině (viz obr. 10). Tuhost pružiny je k = 3,0Nm_1. Válec vychýlíme z rovnovážné polohy o d = 0,25 m a uvolníme jej.
(a) Vypočtěte kinetickou energii rotačního a translačního pohybu válce při průchodu rovnovážnou polohou.
(b) Ukažte, že střed hmotnosti válce koná jednoduchý harmonický pohyb s periodou
Í3m
r = 2íIV2F
(a) Etr(0) = \kd2 = 0,0625 J, Erot(0) = \kd2 = 0,0313 J
21. Homogenní tyč délky L kývá kolem vodorovné osy, kolmé k tyči. Určete, pro jakou vzdálenost d osy otáčení od hmotného středu tyče je perioda kmitů tohoto fyzického kyvadla minimální.
22. Kyvadlo metronomu je lehká tyčinka, na jejímž konci je ve vzdálenosti L od osy otáčení umístěno tělísko o hmotnosti M. Na druhém konci kyvadla je ve vzdálenosti x od osy umístěno posuvné tělísko o hmotnosti m, pomocí kterého lze měnit frekvenci kyvadla (viz obr. 11). Najděte vztah pro úhlovou frekvenci metronomu za předpokladu, že hmotnosti tělísek M a m jsou
bodové a hmotnost tyčinky je zanedbatelná.
co
g(ML—mx)
ML2^
©23. Homogenní válcový kotouč o poloměru podstavy R a o hmotnosti M je otáčivý kolem vodorovné osy, která prochází středem kotouče kolmo na rovinu podstavy. Na obvod kotouče při-
12
'i
M
Obrázek 11: Metronom
Obrázek 12: Drátěná kostra
pevníme tělísko o hmotnosti m, které považujeme za hmotný bod. Kotouč s tělískem vytvoří fyzické kyvadlo. Určete:
(a) dobu kmitu tohoto fyzického kyvadla,
(b) redukovanou délku kyvadla.
Řešení:
(a) T = 2kJ^
RM+2m g'
(b) ľ
M+2m 2m
R
©24. Drátěná kostra z homogenního tuhého drátu s lineární hustotou p má tvar polokružnice (obr. 12). Průřez drátu je ve všech bodech stejný. Kostra je složena z polokružnice ABC o poloměru R = 0,25 m a z přímé části AC. V polovině části AC je kostra zavěšena na ose O a může se kolem ní otáčet bez tření. Jak velká bude perioda kmitů tohoto tělesa?
2?Ti
T
-3kR 6 g
l,38s
©25. Homogenní tyč o hmotnosti m = 1,5kg, visící na dvou vláknech délky L = 90cm (obr. 13) byla pootočena o malý úhel kolem osy, procházející jejím středem C. Přitom se vlákna odklonila o úhel a = 5°. Po uvolnění začala tyč vykonávat malé kmity. Najděte:
(a) periodu kmitů tyče,
13
(b) energii kmitavého pohybu tyče.
(a) T = 27t^= 1,1 s       (b) E = §mgLaz = 0,15 J
©26. Vypočtěte periodu torzních kmitů tenkého disku hmotnosti m a poloměru R, který je zavěšen na třech rovnoběžných stejně dlouhých nitích délky L (obr. 14). T = 27t<J^
1.2   Skládám kmitů, Fourierova analýza
Skládání stejnosměrných harmonických kmitů
Složením n stejnosměrných izochronních harmonických kmitů (tj. kmitů se stejnou frekvencí coq, které probíhají po téže přímce)
xi(t)=Aism((O0t + (pi) (1.8) vznikne opět harmonický pohyb se stejnou frekvencí
jc(r) =Asin(íB0r + <p). (1.9)
Amplitudu A a počáteční fázi <p výsledného pohybu určíme ze vztahů
14
A^ostcoot+cp!)  A2cos(co0t+(p2) X Acos(co0t+(p)
Obrázek 15: Fázorový diagram
Y^Aiúncpi    +   ^ Ai cos cp,
2
1   I !
tg 9
n
£ Ai sin <pi
i=l_
n
£ Aicoscpi
i=l
(1.10)
(1.11)
Vztahy (1.10) a (1.11) lze snadno odvodit například z fázorového diagramu (obr. 15).
Skládání kolmých harmonických kmitů
Složením dvou izochronních harmonických kmitů v navzájech kolmých směrech
x(t) = Asin((0ot),   y(t) = Bsm(a>ot + (p) vznikne pohyb s trajektorií ve tvaru elipsy (viz obr. 16)
(1.12)
(1.13)
Rozklad periodických kmitů na harmonické složky (Fourierova analýza)
Každý periodický pohyb popsaný po částech spojitou periodickou funkcí f(t) o periodě T lze rozložit do Fourierovy řady
Aq 00
f(t) = —        [A-m cos {mm) +Bmsm(mwt)], (1-14)
m=l
15
-2     -1,5     -1      -0,5      0       0,5       1        1,5 2
x(t)=Asin(o)0t) y(t)=Bsin(cj0t+(p) A=1 B=2w0=2n
■0,5      0       0,5       1        1,5 2
-(p=0 — (p=n/3 —(p=3n/4 ■(p=n/6 — (p=n/2 —(p=5n/6 .(p=n/4        (p=2n/3   —(p=n
Obrázek 16: Skládání kolmých kmitů
ve které co = 2%jT je základní úhlová frekvence. Její celistvé násobky mco nazýváme vyšší harmonické frekvence. Koeficienty řady Am a Bm lze stanovit ze vzorců
B„
2 Ť
2 Ť
J f(t)cos(m(Qt)dt, m = 0,1,2,... o
T
J f(t)sía.(m(Ot)dt,      m =1,2,3,...
(1.15)
(1.16)
/27. Odvoďte obecný vztah pro výslednou amplitudu a fázový posuv kmitaní, které vznikne složením dvou stejnosměrných kmitů o stejné frekvenci, amplitudách A i a A2 a počátečních fázích
<Pia<P2. A = ^ + A1 + 2A1A2cos((p2 -      tgcp = ^g^^
28. Určete amplitudu výsledného harmonického pohybu, který vznikne složením dvou stejnosměrných kmitavých pohybů se stejnou periodou a amplitudami 3 a 5 cm. Rozdíl jejich fází je 60°. A =7 cm
29. Jaký pohyb vznikne superpozicí dvou stejnosměrných harmonických kmitů se stejnými úhlovými frekvencemi coq, jsou-li amplitudy jednotlivých kmitů Ai = 1 cm a A2 = lOcm? Příslušné počáteční fáze jsou <pi = 30° a (f>2 = 60°.
Řešení: Harmonický, x(t) = Asm(a>ot + <p), A = 10,9cm, tg<p = 1,56, <p = 57°36;.
30. Hmotný bod koná v jednom směru dva kmitavé pohyby, které mohou být popsány závislostmi x\ = A cos (coqí) , X2 = A cos (2oíoř). Určete maximální rychlost tohoto bodu.   vmcix = 2,7'Aoůq
16
/31. Najděte obecnou rovnici trajektorie pohybu, který vznikne superpozicí dvou navzájem kolmých izochronních harmonických kmitů x(t) = Aún(a>ot + <pi), y(t) = sin(cooř + <jt>2), jsou-li jejich počáteční fáze <pi, (fa'-
(a) q>ir<l>2
(b) <pi = (f>2 anebo <pi = (fo ± n
(C) <pi = <j!>2 ± f
Řešení:
(a) Rovnice výsledné dráhy je rovnice elipsy
&+ ©2 -2 © (I)    -*> = sin2C' -
(b) Harmonický pohyb po přímce y = jx anebo y = —jx.
(c) Pro A=B harmonický pohyb po kružnici o poloměru A : x2 +y2 = A2, pro A^ B harmonický pohyb po elipse (f)2 + (g)2 = 1.
©32. Najděte dráhu výsledného pohybu, který vznikne složením dvou navzájem kolmých kmitavých pohybů se stejnými amplitudami 5 cm a se stejnými periodami, jestliže jejich fázový rozdíl je t£. Dráhou výsledného pohybu je kružnice o poloměru 5 cm se středem S [0,0].
33. Pomocí Fourierovy analýzy rozložte funkce f(t) &g(t) znázorněné na obr. 17. V případě funkce f(t) je znázorněna pouze jedna perioda.
Obrázek 17: Trojúhelníkové a pilové kmity
Řešení:
/(ř) = 5-Ž(cosř + 5cos3ř + Ícos5ř + -) =l-£ £ 72^1)2 cos [(2w-l)ř]
oo
n=l
1.3   Tlumené kmity
Je-li tlumící síla realizována odporem prostředí závislým na první mocnině rychlosti
dx
Fo = -2my— (1.17) dt
lze pohybovou rovnici tlumených kmitů vyjádřit ve tvaru
d x   _ dx      o     „ ^ ^ rt
_+2r_+^=a (U8)
17
Konstanta 7 > 0 se nazývá koeficient útlumu, (Qq je úhlová frekvence vlastních netlumených kmitů. Řešení této pohybové rovnice je v případě slabého útlumu
x(t)=A0e ^sin(coř + <p),
(1.19)
ve kterém Aq je amplituda tlumených harmonických kmitů v čase to = 0 a co = 00q — y2 jejich úhlová frekvence.
X(t)' ^
x(t)=A0.e"ytsin(u)t+<p) (jú2=(jú02-y2
((t)=Ä0.sin(u)0t+(p)
A(t)=(±)Áo.e"YÍ
Obrázek 18: Časový vývoj výchylky kmitů tlumených silou lineárně závislou na rychlosti
Útlum A je dán poměrem dvou po sobě následujících výchylek na tutéž stranu
A = e*r.
Logaritmický dekrement útlumu ô je přirozený logaritmus útlumu
ô = ln A = yT.
Činitel jakosti Q tlumeného harmonického oscilátoru je bezrozměrnou veličinou
Q = -. 27
(1.20)
(1.21)
(1.22)
Mechanická energie tlumeného harmonického oscilátoru Et\ se s časem zmenšuje, přičemž v rámci periody je vlivem proměnné rychlosti oscilátoru disipace energie nerovnoměrná (viz obr. 19). Pro mechanickou energii kmitání popsaného rovnicí 1.19 lze odvodit vztah
Eň{t) =l-mCD2oAl^
1
00,
^2 ) cos(2(ft>r + <p)) - ( ^ ) sin(2(ft>r + <p))
co,
Zanedbáme-li kolísání ztrát mechanické energie v rámci periody, zmenšuje se mechanická energie podle vztahu
Ea(t) = Eoe-2* = X-mcolAl^. (1.23)
34. Kulička je zavěšena na pružině a ponořena do kapaliny. Nalezněte hodnotu tuhosti pružiny, pro kterou dochází ke kritickému tlumení kmitů.
k = —-ŕ—, kde r\ je viskozita kapaliny, r poloměr kuličky, m její hmotnost.
18
x(t)=A0e"Ytsin(cjt+(p) u)2=u)02-y2
Obrázek 19: Výchylka a mechanická energie tlumených kmitů.
35. Jaký je logaritmický dekrement útlumu tlumeného harmonického pohybu, který koná hmotný bod, jestliže za 10 s trvání pohybu ztratí hmotný bod 50% své mechanické energie? Jaký je činitel jakosti Q tohoto tlumeného oscilátoru? Perioda tlumeného pohybu je T = 2 s.
ô = 0,0693, g = 45,3
36. Při pozorování tlumeného harmonického pohybu bylo zjištěno, že po dvou po sobě následujících výchylkách na tutéž stranu se amplituda kmitů zmenšila tak, že její nová hodnota byla 0,6 násobkem hodnoty výchozí a že perioda tlumených kmitů je T = 0,5 s. Určete:
(a) konstantu útlumu a činitel jakosti tohoto oscilátoru,
(b) frekvenci netlumených kmitů, které by mohly probíhat za jinak stejných podmínek.
(a) r = 1,028-!, Q = 6,15, (b) f0 = 2,01 s"1
/37. Počáteční amplituda kmitavého pohybu kyvadla je Aq = 3 cm. Za dobu ři = lOs je amplituda již jen Ai = 1 cm. Za jak dlouho bude amplituda A2 = 0,3 cm?       t2 = h = 20,96 s
38. Kondenzátor o kapacitě C = 0,025/lF, který je nabit na potenciální rozdíl U = 20V, je vybíjen přes vodič o indukčnosti L = 4/iH. Odpor obvodu je R = Vypočtěte kruhovou frekvenci vlastních kmitů obvodu a jeho logaritmický dekrement útlumu (viz obr. 20).
R
Obrázek 20: RLC obvod
co
ľL-g=3,16-106s-1,ô = S = 0,249
19
1.4   Vynucené kmity
Působí-li na tlumený harmonický oscilátor vnější harmonická síla Fw = Fosinílř, kde Fq je její amplituda a £1 úhlová frekvence, bude oscilátor vykonávat tzv. vynucené kmity. Pohybová rovnice získá tvar
d2x   _ dx      ->     Fq .
Z-l _|_ 2y^l + cožx = — sin £lt. dt2       dt m
(1.24)
Obecným řešením této nehomogenní diferenciální rovnice je superpozice vlastních tlumených kmitů a kmitů vynucených
x(t) = A0e~^sin(ff>f+ p)+Avsin(í2f+ i/a). (1-25) Amplituda vynucených kmitů Av je dána vztahem
Fq/m
(co2-Q.2)2 + 4y2a2
(1.26)
ve kterém con a co = y g>q — Y2 jsou opět úhlové frekvence vlastních netlumených a tlumených kmitů. Po utlumení vlastních kmitů se výchylka oscilátoru ustálí ve tvaru (viz obr. 21)
x(t) = Avsin(£2r+ !//■).
(1.27)
vlastní
tlumené
kmity
nucené t kmity
úplný t pohyb
Obrázek 21: Výsledný pohyb jako superpozice vlastních tlumených a vynucených kmitů.
Amplitudová rezonance
Závislost Av(£l) daná rovnicí (1.26) představuje rezonanční křivku (viz obr. 22). Křivka nabývá maxima Ar pro rezonanční úhlovou frekvenci Í2r
ar = Jco2-2y2
Ar
Fq/m
(1.28)
2r\/<-r
20
/39. Odvoďte rovnice nuceného kmitání pro kuličku zavěšenou na pružině. Kulička je ponořena do kapaliny, a je tedy tlumena. Předpokládejte, že odporová sílaje tvaru F0(jp = — 6nr\rv (Stokesův vztah) a vynucující sílaje harmonická, Fv = F únClt. Určete frekvenci a amplitudu vlastních i vynucených kmitů, odvoďte vztah (1.26). Pro jaké hodnoty parametrů soustavy dochází k rezonanci?
Řešení: #| + 2y§ + cúq2x = g(l- ^) + - sinfíř, kde 7 = 2™Ľ ^ = JI frekvence vlast-
dtz       1 dt       u        a V        p£u/ J     m '        '        m   '    u      y m'
nich kmitů je co = a/(Uq2 — 72, jejich amplituda Ae~^, frekvence vynucených kmitů je Cl, jejich amplituda je Av =   ,      F^"2        , k rezonanci dojde pro frekvenci vynucující síly
ar= v/co02 - 272.
40. Vlivem vnější vertikální síly F = Fqcoscoí koná těleso zavěšené na pružině stacionární vynucené kmity podle vztahu x = xq cos(cot — <p). Určete práci síly F, vykonanou během jedné periody. A = tzxqFq sin <p
41. Jaká je rezonanční amplituda a rezonanční frekvence hmotného bodu, který koná vynucené kmity, je-li hmotnost bodu m = 0,1 kg, kruhová frekvence vlastních kmitů (Oq = 20 s-1, koeficient útlumu 7=3 s-1 a amplituda vynucující síly Fq = ION?   Ar = 84,3cm, C0r = 19,54s_1
42. Těleso o hmotnosti m = 0,2kg koná vynucené harmonické kmity působením sinusově proměnné síly, jejíž amplituda je Fq = 2N. Určete rezonanční kruhovou frekvenci (Or a rezonanční amplitudu AT, je-li doba vlastního kmitání tělesa Tq = -| a koeficient útlumu 7= 4s_1. Ar = 0,18m, cor = 5,7s"1
21
1.5   Spřažené oscilátory, struny, tyče
Spřažené oscilátory. Nejméně dva oscilátory jsou spojeny vazbou, která může sloužit k vzájemnému předávání energie.
Normální kmity. Libovolný kmitavý pohyb soustavy spřažených oscilátorů lze vyjádřit jako superpozici normálních kmitů. Pro ./V spřažených oscilátorů existuje při lineárních kmitech ./V normálních frekvencí (modů). Při kmitání na jednom normálním módu nedochází k předávání energie mezi jednotlivými oscilátory.
Kmity tyčí a strun. Výchylka u(x,t) libovolného bodu x tyče (struny) délky L musí splňovat rovnici
d2u(x,t)     1 d2u(x,t)
0,
dx2       v2 dt2 kde v je rychlost šíření zvuku v tyči (struně). Řešení je tvaru
u(x, t) =A sin ^—x + (p^j sin (cot + i/a)
(1.29)
(1.30)
kde co je vlastní frekvence kmitů, <p a \ff fázové konstanty, A je amplituda. Ze všech možných řešení (1.30) se vybírají takové kmitové módy, které splňují okrajové podmínky (zadaná výchylka a rychlost nejméně ve dvou bodech struny či tyče). Frekvence těchto módů con, n = 1,2,... jsou svázány s příslušnou vlnovou délkou vztahem
1ti
Án = vTn = v—.
con
Pro strunu (tyč) s různým uchycením jsou kmitové módy zakresleny na obrázku 23.
(1.31)
_w__2L
v n
i i | i | i | i i i | i i i | i | i | i i
0y25L 0y5L
0y25L        0y5L 0y75L
tyč uchycená na obou koncích
tyč uchycená uprostřed
tyč uchycená na levém konci
Obrázek 23: Kmitové módy tyče při různých způsobech uchycení.
22
Příčné kmity struny. Rychlost šíření je dána vztahem
v=W-> (1-32)
kde F je síla, napínající strunu, a /i je hmotnost její jednotkové délky. Podélné kmity tyče. Rychlost šíření je dána vztahem
(1.33)
kde E je Youngův modul tyče a p její hustota.
/43. Kmitající systém dvou těles o hmotnostech m je uspořádán podle obrázku 24. Předpokládejte, že pro tuhost pružin platí k <^k. Nechť x\ (ř), X2(t) jsou výchylky těles z jejich rovnovážných poloh.
K
Obrázek 24: Dvě tělesa na pružinách spojená slabou vazbou.
(a) Napište pohybové rovnice pro obě tělesa.
(b) Ukažte, že zavedením normálních souřadnic ^ = Xl~^X2, r\ = Xl 2*2 lze systém separovat na dvě nezávislé rovnice.
(c) Najděte obecné řešení obou normálních módů Č, (t) a r\ (t).
(d) Najděte obecné řešení pohybu těles x\(t) a X2(t) a ukažte, že pro slabou vazbu dochází k výraznému přelévání energie.
44. Dvě stejná tělesa o hmotnosti m leží na hladkém stole a jsou navzájem spojena pružinou s tuhostí K. Obě tělesa rozkmitáme ve vodorovném směru. Jak se změní frekvence vlastních kmitů soustavy, připevníme-li jedno z těles ke stolu - viz obr. 25.      Frekvence se zmenší \fl krát.
K
m
KAM
m
*VV\rl
m
Obrázek 25: Dvě tělesa na pružině
/45. Napište pohybové rovnice pro kmity soustavy dvou spřažených kyvadel (viz obr. 26), určete kmitové módy soustavy.
23
Obrázek 26: Spřažená kyvadla
Řešení:
d xA mg
m~ďT2~ = —TXA ~k(XA~XB>
d2xB mg
m~ďi2~ = —TXB ~ ~
kde xa (xb) značí výchylku kuličky A (B) z její rovnovážné polohy. Vlastní kmitové módy jsou «*> = >/f> »W(f)2 + 2(|)2
46. Odvoďte vztah pro okamžitou výchylku p-té kuličky systému na obr. 27, určete vlastní frekvence systému ./V kuliček a počet těchto kmitových módů (kmity se konají podél osy x). Okrajová podmínka: nultá a ./V + 1 kulička mají v libovolném čase nulovou výchylku.
k k k k
••• VVV^>V\M5>vVv-(5>VvV -
-►
xp-1 xp xp+1 x
Obrázek 27: Kuličky vázané pružinami
Řešení: Pohybová rovnice ^-^t = k(xp-i + xp+i ~ 2xp),její řešení je tvaru
xp = A ún(p& + í») sin(coŕ + (p), po aplikaci okrajových podmínek dostaneme pro výchylku
xp = A sin(p^j-) sin(úV + 9) a Pro vlastní frekvence vztahy con = 2(Qq sin 2(n+i) ■> 0)0 = \pt-> těchto frekvencí je nejvýše N.
24
47. Homogenní struna délky 2,5 m a hmotnosti 0,01 kg je napjata silou 10 N.
(a) Najděte frekvenci jejího nej nižšího módu.
(b) Jestliže strunu vychýlíme příčně a v místě vzdáleném 0,5 m od jednoho konce se jí dotkneme, jaká frekvence zní v tomto případě?
ml'
Řešení: Pro výchylku struny platí y(x,t) = A sin (^r) sin(conř), kde con = ncoi, (ů\ = Tty tedy (a) f\ = 10Hz, (b) s = 5n, tedy jsou povoleny frekvence 50Hz, 100Hz, 150Hz ...
48. Homogenní tyč je upevněna ve středu a oba její konce jsou volné.
(a) Najděte frekvence volných podélných kmitů tyče.
(b) Určete vlnovou délku pro n-tý mod těchto kmitů.
(c) Kde se nacházejí uzly pro n-tý mod těchto kmitů?
Tyč má délku L, je zhotovena z materiálu, jehož Youngův modul je £ a hustota je p. Řešení:
(a) con = ^Jl
(b) K =
(c) xn = 2(2^) (2w- l±2fc),   fc = 0,l,2,...,n-l
49. Homogenní tyč není upevněna a volně leží na drsném stole. Je rozezněna úderem kladiva ve směru délky tyče.
(a) Najděte frekvence volných podélných kmitů tyče.
(b) Určete vlnovou délku pro n-tý mod těchto kmitů.
Tyč má délku L, je zhotovena z materiálu, jehož Youngův modul je £ a hustota je p.
Řešení: Taková tyč má volné okraje, okrajové podmínky tedy jsou w(0, t) = ±A a w(L, t) = ±A.
(a) CQn = nZ^±
(b) Xn = 2^. Frekvence je stejná jako u tyče (struny) uchycené na obou koncích, ale rozložení uzlů je jiné - viz obr 28.
▲ i i i | i i i | i i i | i i i | i | i | i i u | i i i | i i i | i i i | i i i | i | i | i i i | 0        0,25L    0,5L     0,75L    f    0 ---- ~ ----
0,25L    0,5L     0,75L L
Obrázek 28: Vlastní frekvence tyče upnuté na koncích a volné na obou koncích
©50. Dvě stejné struny napjaté identickým napětím kmitají na základní frekvenci 100 Hz. Jak se musí změnit napětí jedné struny, aby vznikly 4 rázy za sekundu? Při změně napětí se délka struny nezmění. klesne 0,9216 krát
25
26
Kapitola 2 Vlnění, akustika
2.1 Vlnení
Vlněním v látce nebo poli se nazývá šíření kmitavého rozruchu prostorem (látkou nebo polem). Vlnová rovnice popisuje šíření netlumených vln s výchylkou u(r, t) v prostoru:
AS(?,í)--LÍ|^ = 0, (2.1)
kde A je Laplaceuv operátor a v rychlost, jakou se vlny šíří. Veličina u(r,t) může být i skalární. Pokud se vlnění šíří rychlostí v ve směru osy x, má vlnová rovnice tvar
d2u(xj)     1 d2u(xj) =Q dx2       v2 dt2
Řešení vlnové rovnice (2.2) je superpozicí vlny u+ (x, t) postupující v kladném směru osy x a vlny u-(x,t) postupující v záporném směru osy x :
u(x,t) = c+u+(x,t) +c-u-(x,t) = c+Uq+ sin(coř — kx) +c-Uq- sin(ct)ř + kx), (2.3)
kde v je tzv. fázová rychlost vlnění, £/o+, Uq- jsou amplitudy a co je úhlová frekvence vlnění. Symbol k v rovnici značí vlnové číslo
2%
* = T- (2'4)
Vlnová délka X vlnění o periodě T a frekvenci / je
X=vT = j. (2.5)
/51. Ukažte, že rovnice vlny u(x,t) = Uosin(kx— cot) je ekvivalentní kterémukoliv z následujících tvarů:
(a) u(x,t) = UQsmk(x — vt)
(b) u(x,t) = U0sm27c(%-f-t)
(c) u(x,t) = Uq sinco(f -t)
(d) u(x,t) = Uoún27t(f-y)
Symboly ve vztazích mají standardní význam.
27
/52. Je zadána rovnice mechanické vlny u(x,t) = 1 • 10~3sin(8 • 103ř — 3x) [m]. Údaje délkových veličin jsou v metrech, čas je v sekundách. Porovnáním s obecným tvarem vlny typu u(x,t) = Uq sin(cor — kx) určete:
(a) amplitudu
(b) kruhovou frekvenci
(c) frekvenci
(d) fázovou rychlost
(e) vlnovou délku
(f) vlnové číslo.
Řešení: (a) U0 = 1 • l(T3m, (b) co = 8 • 103s_1, (c) / = 1,27 kHz, (d) v = 2667ms-1, (e) X =2,lm, (f)k = 3mr1.
53. Napište rovnici mechanické vlny šířící v záporném směru osy z, mající amplitudu 50 nm, frekvenci 10Hz a rychlost šíření 500m.s_1. Může být uvedená vlna vlnou zvukovou?
u(z,t) = 50sin(20^ř + 0.04^z)[nm], ano
54. Dokažte, že interferencí dvou vln postupujících podél osy x v opačném směru vznikne stojatá vlna daná vztahem u(x,t) =A únkx ■ sin cot.
55. S pomocí reproduktoru vytvoříte v místnosti stojatou zvukovou vlnu frekvence 440 Hz. Jaká je vzdálenost sousedního uzlu a kmitný? j = jf^m = 0,17 m pro c = 330m.s_1.
/56. Dokažte, že funkce typu u(x,t) = u(t ±    vyhovuje vlnové rovnici, tj. diferenciální rovnici
/57. Ukažte, že výraz u(x,t) = Ael(m~kx^ vyhovuje vlnové rovnici za podmínky, že veličiny co a k jsou vázány vztahem co = vk.
58. Ukažte, že vlnové rovnici vyhovuje
(a) rovnice postupné vlny u(x, t) = Uq sin co(t — ^)
(b) rovnice stojaté vlny u(x,t) = ř/osin (j^-x) sin cot.
/59. [u:amplituda na vzdálenosti pro kulovou apod - pr.59] Najděte rovnici vlnoplochy
(a) postupné rovinné vlny šířící se v kladném směru osy x rychlostí v,
(b) postupné kulové vlny šířící se z bodového zdroje rychlostí v,
(c) postupné válcové vlny šířící se z lineárního zdroje rychlostí v.
Jakým způsobem se mění amplituda vlnění se vzdáleností? Návod: najděte řešení vlnové rovnice zapsané ve vhodných souřadnicích.
Řešení:
(a) u(xj) = A sin (cot — kx), co = kv, vlnoplocha x = konst + j t, (rovina kolmá k ose x)
(b) u(r, t) = j sin(coŕ — kr), k || r, CO = kv, vlnoplocha r = konst + j-t (koule)
(c) u(r,t) = Aj, sin(cot — kr), k \\r, co = kv, vlnoplocha r = konst + jt (válec).
28
2.2   Fázová a grupová rychlost
Fázová rychlost Vf udává, jakou rychlostí se pohybuje fáze vlnění (cot ±kx) prostorem:
CO
(2.6)
Grupová rychlost vgr je rychlost, kterou se v prostoru šřří obálka vlnového balíku
dco
(2.7)
v,
gr —
(2.8)
Normální a anomální disperze: Úhlová frekvence co je obecně funkcí vlnového čísla: co = co(k). Tento vztah udává disperzi, čili jak se mění úhlová frekvence a rychlosti z ní určené podle vztahů (2.6) a (2.7) s rostoucím vlnovým číslem (vlnovou délkou).
Podle Rayleigho vztahu (2.8) je v případě, kdy fázová rychlost Vf roste s rostoucí vlnovou délkou X (tedy klesá s vlnovým číslem k), grupová rychlost menší než fázová. Říkáme, že vlnění má normální disperzi. Pokud fázová rychlost s rostoucí vlnovou délkou klesá, je grupová rychlost větší než fázová, a říkáme, že vlnění má anomální disperzi. Příklady jsou zakresleny na obrázku 29. Pokud prostředí nemá disperzi (fázová rychlost není funkcí vlnového čísla), jsou grupové a fázové rychlosti šíření vlnění shodné.
Obrázek 29: Vlevo: Protože tato disperzní křivka co = co(k) (závislost úhlové frekvence co na vlnovém čísle k) je vypouklá směrem vzhůru, je grupová rychlost vgr, která je gradientem této křivky, v každém bodě menší než fázová rychlost Vf. Vlnění má normální disperzi.
Vpravo: Je-li disperzní křivka co = co(k) vypouklá směrem dolů, je grupová rychlost vgr, která je gradientem této křivky, v každém bodě větší než fázová rychlost Vf. Vlnění má anomální disperzi.
60. Disperzní vztah pro úhlovou frekvenci vlnění v plazmatu je dán rovnicí
co2 = U2 + c2k2, kde ľ!2 =      je konstanta (ne je koncentrace elektronů).
k
k
normální disperze
anomální disperze
29
(a) Určete fázovou a grupovou rychlost šíření vlnění v plazmatu.
(b) Určete typ disperze.
Řešení:
(a) Vf = c^l + 4|ľ>c,vgr=^ = 7^=r<c
(b) Jde o anomální disperzi (viz obr. 29 vpravo).
©61. Ve    studovaném    prostředí    je    grupová    rychlost    vgr    nepřímo    úměrná fázové   rychlosti   Vf.   Jak   závisí   fázová   rychlost   tohoto   vlnění   na frekvenci?
Vf = f^J j:2°_b2 a ' konstanta úměrnosti, b - integrační konstanta 62. Disperzní vztah pro úhlovou frekvenci vlnění na vodě je dán rovnicí
coz(k) = ^gk+^-^j tanh(M),
kde h je hloubka, g tíhové zrychlení, p hustota kapaliny a o její povrchové napětí. Určete fázovou a grupovou rychlost pro
(a) čistě kapilární vlny a hlubokou vodu,
(b) čistě kapilární vlny a mělkou vodu (první člen rozvoje funkce tanh),
(c) čistě gravitační vlny a hlubokou vodu,
(d) čistě gravitační vlny a mělkou vodu (první člen rozvoje funkce tanh). Určete, pro jakou hloubku můžeme použít uvedenou aproximaci.
Řešení: Nejprve se podívejme, kdy převládnou gravitační a kdy kapilární vlny - určeme k tak, aby si byly členy v závorce rovny. Dostaneme k2 = dosazením hodnot pro vodu (g = 10m.s~2, p = 1000kg.m~3, o = 0,073N.m_1) získáme vlnovou délku X = 17mm (k = 370m~1). Pro kratší vlnové délky převládají vlny kapilární (tzv. čeření hladiny), pro delší gravitační.
(a) tanh(fcÄ) = l,Vf= JVX, vgr = |v, aproximace platná s výjimkou nej mělčích louží (několik milimetrů),
(b) tanh(M) ~ kh, Vf = k^J^h, vgr = 2v, kapilární vlny jsou anomální bez ohledu na hloubku,
(c) tanh(M) = 1, Vf = J|, vgr = jv, normální disperze,
, vgr «
/63. Odvoďte Rayleighův vztah (2.8) z definičních vztahů (2.6), (2.7) a vztahu pro souvislost vlnového čísla a vlnové délky (2.4).
64. Disperze elektromagnetických vln v horních vrstvách zemské atmosféry (v ionosféře) je dána empirickým vztahem Vf = y-^fj2> kde a a b jsou konstanty. Najděte grupovou rychlost těchto
vln, určete typ disperze. vgr = v l^^2 anomální
30
(d) tanh(M)    kh7 Vf = \/gh7 vgr = v, v tomto přiblížení bezdisperzní, s dalším členem rozvoje slabá normální disperze (co ~ \fg~h [k — \h2k2^j, Vf ~ \fg~h (l — \h2k)
Vg~h{\-\h2k)).
65. V optice je index lomu n definován jako podíl rychlosti světla ve vakuu c a fázové rychlosti šíření vlnění v prostředí Vf. Pokud v materiálu nedochází k výrazné absorpci, lze závislost indexu lomu n na vlnové délce X popsat jedním z následujících vztahů:
(a) n = 1 + L a i_r •> kde Bk, Q jsou konstanty (Sellmeierův vzorec),
k
(b) n2 = A + j2 +     kde A, 6, C jsou konstanty (Cauchyho vzorec), Řešte následující úlohy:
(a) Dokažte, že vzorec (b) lze získat ze vzorce (a) rozvojem podle A~2.
(b) Dokažte, že disperze plynů a skel je normální, protože konstanty Bk, Q jsou pro ně kladná reálná čísla.
Řešení:
(a) A = l+£Bk, B = £BkCk, C = ^BkC2.
(b) viz 30.
n
1,55 1,54 1,53 1,52 1,51
Sellmeierův vzorec Cauchyho vzorec
400
600 800 Á[nm]
v/c 0,665
0,66
0,655
0,65
0,645-
1000 1200
			
-_ /	—		Sellmeierův vzorec Cauchyho vzorec
400	600	800	1000 1200
Á[nm]
Obrázek 30: Vlevo: Sellmeierův a Cauchyho vzorec pro vlnové délky z viditelné oblasti pro korunové sklo BK7. Pro oba vzorce klesá index lomu s vlnovou délkou.
Vpravo: Rychlost světla v prostředí určená ze Sellmeierova a Cauchyho vzorce (vf = ^). Zřejmě je > 0, fázová rychlost s rostoucí vlnovou délkou roste, tedy grupová je menší než fázová, disperze je normální.
2.3   Vlnění a energie
Střední hodnota intenzity vlnění / je energie, která projde za jednu sekundu jednotkou plochy kolmou na směr šíření vlnění
-      1 2,2
-pvco A
2pv
(2.9)
kde P je tlaková amplituda při šíření zvuku.
/66. Ze zákona zachování energie odvoďte vztah pro závislost intenzity / a amplitudy A vlnění šířícího se v neabsorbujícím prostředí na vzdálenosti r od
(a) bodového zdroje
(b) nekonečně dlouhého lineárního zdroje
(c) nekonečně velkého plošného zdroje.
31
Výsledky porovnejte s výsledky příkladu 2.1 [u:amplituda na vzdálenosti pro kulovou apod -pr.59].
Řešení: P označme zářivý výkon zdroje, / jednotkovou délku zdroje, pak
(a) / =      ~ x a ~ 1
(b) '=2Šl~M~7?
(c) / =    = konstanta2, A = konstanta.
©67. Lineární zdroj emituje rozpínající se válcové vlnoplochy. Určete, jak závisí intenzita a amplituda vlnění na vzdálenosti od zdroje, šíři-li se vlnění v neabsorbujícím prostředí. / ~ -      A ~ —7=
r y/?
68. Střední vyzařovací výkon mobilního telefonu je 0,25 W. Jaká je intenzita ve vzdálenosti
(a) 10 cm od antény
(b) 1 km od antény
V obou případech pro jednoduchost předpokládejte, že anténa je bodový zdroj, který vyzařuje izotropně. / =       (a) / = 2W.irT2, (b) / = 2 • 10~8 W.m~2.
69. [u:interference 3 zdroju - pr.69] Mějme dva zdroje stejné frekvence, do středu jejich spojnice lze umístit třetí, stejný zdroj.
(a) Kolikrát se zvětší intenzita vlnění ve směru osy spojnice obou zdrojů, bude-li přidaný zdroj také kmitat ve fázi s původními?
(b) Jaký bude poměr intenzit, jsou-li zdroje popsané v předchozím případě zcela nekohe-rentní? Intenzity vlnění způsobených jednotlivými zdroji zůstávají stejné.
n = 2,25 krát       n = \
2.4   Dopplerův princip
Pohybuje-li se zdroj o frekvenci / rychlostí vz a pozorovatel rychlostí vp (rychlosti počítáme kladně ve směru od zdroje k pozorovateli), pak pro frekvenci fp signálu, přijímaného pozorovatelem, platí tzv. Dopplerův vztah
fP = '—lLf, (2-10)
c-vz
kde c je rychlost šíření vlnění v klidném prostředí.
70. Píšťala lokomotivy vydává tón o frekvenci / = 450Hz. Jede-li lokomotiva kolem pozorovatele rychlostí v = 20ms~1, jaký tón slyší
(a) při přijíždění
(b) při odjíždění
lokomotivy? Rychlost zvuku za daných podmínek je c = 340ms~1. Řešení:
(a) fi = ^-vf = 478 Hz
c c+v
(b) /2 = ^=425Hz
32
71. Vlak jede v klidném vzduchu rychlostí v = 30ms    po přímé dvoukolejné trati. Frekvence zvuku, kterou vydává píšťala lokomotivy, je f q = 500 Hz. Jaká je délka zvukové vlny
(a) před lokomotivou
(b) za lokomotivou?
Jakou frekvenci má zvuk, který slyší pozorovatel stojící u trati
(c) před lokomotivou,
(d) za lokomotivou?
Jaká bude frekvence zvuku, který uslyší cestující ve druhém vlaku, který jede po druhé koleji rychlostí u = 15 ms-1, jestliže
(e) druhý vlak se blíží k prvnímu,
(f) druhý vlak se od prvního vzdaluje?
(g) Jak se změní každá z předcházejících odpovědí, jestliže vane vítr rychlostí V = 9ms~1 stejným směrem, jako jede první lokomotiva?
Rychlost zvuku počítejte c = 340ms~1. Řešení:
(a) A1 = ^ = 0,62m
(b) A2 = ^ = 0,74m
(c) /i = ^/o = 548 Hz
(d) /2 = ^/o = 459 Hz
(e) /3 = ^/o = 439 Hz
(f) /4 = ^/o = 573Hz
(g) k[ = = 0,64m, X'2 = ^ = 0,72m, f[ = ^ = 548Hz, Í2 = C-j[ = 459Hz,
ň = 3v5/o = 5V4Hz, fi = £Efe/b = 439,19Hz.
72. Netopýr letí ke stěně rychlostí 6ms_1 a vysílá ultrazvukové vlnění frekvence 45 000Hz. Jaká je frekvence zvuku /', který se odráží od zdi? Jakou frekvenci rázů Áf slyší netopýr? Rychlost zvuku počítejte c = 340mS-1. /' = = 45 808 Hz, Af = 0,5(/' - /o) = fo^u = 808 Hz
2.5   Hladina zvuku B
v decibelech je
fí=101og^-, (2.11) 'o
kde Iq = 10~12 Wm~2 je prahová intenzita referenčního tónu o frekvenci fo= l 000 s_1.
73. Intenzita zvuku příslušná několika nezávislým zdrojům zvuku je rovna součtu intenzit jednotlivých zdrojů.
33
(a) Jak vzroste hladina intenzity proti hladině intenzity zvuku vydávaného jedněmi houslemi, začnou-li hrát současně dvoje housle?
(b) Je-li hladina intenzity jedněch houslí 40 dB, kolika houslí je zapotřebí, aby hladina intenzity vzrostla na 60 dB?
B2-Bi =3,01dB «=100
74. Hladinu intenzity tónu počítáme podle vztahu B = lOlog^, kde Iq je prahová intenzita tónu
1000 Hz a má hodnotu 10 12 Wm 2. Kolikrát bude větší intenzita tónu, jemuž odpovídá hladina intenzity 60 decibelů? ^ = 106
75. Okno, jehož plocha jeS=lm2, je otevřeno na ulici. Pouliční hluk má v rovině okna hladinu intenzity 80 dB. Jak veliký akustický výkon vstupuje zvukovými vlnami do pokoje? p= 10 4W
2.6   Elektromagnetické vlny
Soustava Maxwellových rovnic:
- dĎ
rot//  =  j + -
_dÉ
~~di
div Ď = p (2.12) divfí  = 0
Ď   = £Ě
B  = pH,
rot/?
kde
Ě - vektor intenzity elektrického pole elektromagnetické vlny, H - vektor intenzity magnetického pole elektromagnetické vlny, D - vektor elektrické indukce, B - vektor magnetické indukce, j - vektor proudové hustoty, p - hustota prostorového náboje,
e, /i - permitivita a permeabilita prostředí, ve kterém se elektromagnetická vlna šíří.
Relativní permitivita er a relativní permeabilita \xr jsou zavedeny vztahy:
e u
er = -      Hr = —, (2.13)
kde £0 a /io jsou příslušné veličiny vakua: £0 = 8,859- 10_12m_3kg_1s4A2, Hq = 4tc- 10~7mkgs~2A2.
Elektromagnetické vlny v dielektriku. Nejčastěji studujeme šíření světla v homogenním izotropním a neabsorbujícím prostředí - v dielektriku. Pro toto prostředí je hustota prostorového náboje p = 0 a vektor proudové hustoty j = 0. Řešením soustavy rovnic (2.12) s omezeními p = 0 a j = 0
34
získáme vlnové rovnice pro vektory intenzity elektrického a magnetického pole v elektromagnetické vlně.
d2Ě - d2H
AE = fie^T      AH = fie^7r. (2.14)
dt2
dt2 '
Fázová rychlost šíření vlnění v prostředí je
ve vakuu
1
2,998.108ms
-i
(2.15)
(2.16)
Index lomu je poměr rychlosti c šíření elektromagnetických vln ve vakuu k rychlosti v šíření v daném prostředí
(2.17)
Yl —       — yj SffÁf — yj Sf.
v
Je zřejmé, že n > 1, n = 1 pouze pro vakuum.
Energie elektromagnetického vlnění Vektory E a H jsou navzájem kolmé a kmitají kolmo na normálu vlnoplochy, tj. kolmo na paprsek určující směr šíření (viz obr. 31).
smer siřeni
Obrázek 31: Šíření elektromagnetické vlny
Přenesenou energii charakterizuje Poyntingův vektor S
S = ĚxH. (2.18)
Střední hodnota Poyintingova vektoru (^SJ v průběhu jedné periody je dána vztahem (£o a #0 Jsou amplitudy elektrické a magnetické intenzity)
T
J Šdt = -Ě0 xH0 = -c£oE2n0 (2.19)
T
a je to tzv. hustota zářivého toku. Polarizované světlo
Nepolarizované světlo: vektor elektrické intenzity E elektromagnetické vlny kmitá v rovině kolmé na směr šíření, mění nepravidelně fázi i směr.
Elipticky polarizované světlo: koncový bod vektoru E opisuje v rovině kolmé na směr šíření elipsu, v prostoru se pohybuje po eliptické šroubovici.
Kruhově (lineárně) polarizované světlo: koncový bod vektoru E opisuje kružnici (přímku).
Točivost (helicita, smysl polarizace) elipticky polarizované vlny:
35
• pravotočivá (R) - vektor se otáčí ve směru hodinových ručiček
• levotočivá (L) - vektor se otáčí proti směru hodinových ručiček Pozorovatel se dívá směrem ke zdroji (viz obr. 32).
Obrázek 32: Pravotočivá a levotočivá polarizace
76. Dokažte, že pro elektromagnetickou vlnu lze poměr amplitudy elektrického a magnetického vektoru vyjádřit vztahem
Ep = 1
77. Harmonická rovinná elektromagnetická vlna má elektrický vektor vertikální a šíří se ve směru osy x . Její frekvence je / = 5 • 106Hz a amplituda E$ = 0,04 Vm_1. Napište výrazy pro elektrický vektor E, magnetický vektor H a Poyntingův vektor S této vlny. Vypočítejte rovněž
střední hodnotu Poyntingova vektoru {S) .
Řešení: Ey (x,t) =0,04 sin a Hz(x,t) = 1,06-10~4 sin a Sx(x,t) = 4,24 • 10~6sin2 a a = 3,14-107ř-0,105x      (s{x,t)\ = 2,12- l(T6Wm-2
78. Vypočítejte Poyntingův vektor a jeho střední hodnotu pro rovinnou elektromagnetickou vlnu, která se šíří ve vakuu ve směru osy x.
Řešení: S(x,t) = 7^fQ [č2,cos2 [co(t - f) + (py] +E2Zcos2 [co(t - f) + <pz]] (s(x,t)} = ^\fŠ>{E0y + E0z)
79. Dvě elektromagnetické vlny téže frekvence / a téže amplitudy Eq jsou lineárně polarizovány ve směru osy y, přičemž jedna vlna se šíří ve směru osy x, druhá ve směru osy z. Určete v závislosti na čase t a souřadnicích x, z výrazy pro následující veličiny:
(a) výsledné elektrické pole
(b) výsledné magnetické pole
(c) Poyntingův vektor S a jeho časovou střední hodnotu Řešení:
36
(a) Ey = Eq [cos(cot — kx) + cos(cot — kz)],   Ex = Ez = O
(b) Hz=E0x/Žfcos(G)t-kx),   Hx = -E0.fŽj-cos(cot-kz)7   Hy = 0
(c) Sx = EyHz,   Sy = 0,   Sz = —EyHx   (f) = ^gf [1 + cosk(x - z)] [1+k]
80. Elektrický vektor rovinné elektromagnetické vlny je ve vakuu dán vztahem Ex = 0,Ey = 0,5cos [2n ■ 108 (ř - f)], Ez = 0 .
(a) Určete vlnovou délku, stav polarizace a směr šíření této vlny.
(b) Vypočtěte magnetický vektor dané vlny.
Řešení:
(a) X = 3 m , vlna polarizovaná v rovině xy se šíří v kladném směru osy x
(b) B{x,t)=Bz{x,t) = ^
81. Určete podmínky, za kterých obecně elipticky polarizovaná vlna přechází
(a) v lineárně polarizovanou vlnu
(b) v kruhově polarizovanou vlnu.
Řešení:
(a) Při fázovém posuvu 0, ±7r, ±2n,...
(b) Při fázovém posuvu ±^ a při splnění podmínky Eqx = Eoy
82. Popište stav polarizace a orientaci vlny E(z,t) = iEoxcos(kz — cot) + jEoycos(kz — cot + <p). Elipticky polarizovaná levotočivá
83. Popište polarizaci těchto dvou vln:
(a) Ei = Eq icos(kz — cot) + jsin(fe — cot)
(b) £2 = £b isin(fe — cot) + jcos(kz — cot)
Řešení: Kruhově polarizované vlny:       (a) pravotočivá   (b) levotočivá
84. Popište co nejúplněji stav polarizace následujících elektromagnetických vln:
(a) E{z,t) = iEQCOs(kz— cot) — jEocos(kz — cot)
(b) Ě(z, t) = ÍE0 sin2^: (f - ft) - jE0 sin2fl; (f - ft)
(c) Ě(z, t) = ÍEq sin(ft>f - kz) + jE0 sin(ft>f - kz - f)
(d) Ě(z,t) =ÍEocos(cot-kz)+jEocos(cot-kz + ^).
Řešení:
(a) Lineárně polarizovaná vlna, azimut 315°
(b) Lineárně polarizovaná vlna, azimut 135°
(c) Levotočivá elipticky polarizovaná vlna
(d) Pravotočivá kruhově polarizovaná vlna.
37
85. Napište výraz pro lineárně polarizovanou vlnu s úhlovou frekvencí co, která se šíří v kladném směru osy z tak, že rovina jejích kmitů svírá s rovinou zx úhel a = 30°. Ě(z,t) = Eo(0,886?+0,5j) cos(kz-cot + a0)
86. Napište výraz pro pravotočivou kruhově polarizovanou vlnu, šířící se ve směru osy z tak, že v počátku souřadnic a v čase t = 0 má její elektrický vektor směr opačný než kladný smysl osy x. E = —EQÍcos(cot — kz) + Eqjsin(cot — kz)
87. Napište výrazy pro elektrické pole následujících vln:
(a) Lineárně polarizovaná vlna postupující ve směru osy x. Vektor intenzity elektrického pole svírá úhel 30° s osou y.
(b) Pravotočivá elipticky polarizovaná vlna postupující ve směru osy y. Hlavní osa elipsy leží ve směru osy z a je rovna dvojnásobku malé osy.
(c) Lineárně polarizovaná vlna postupující v rovině xy. Směr šíření vlny svírá úhel 45° s osou x a směr polarizace je totožný se směrem osy z.
Řešení:
(a) Eq(x7í) =0,5£o(v/3j+£)sin(ci)r — kx)
(b) Ěo(y,t) = Eq(Icos(cot — ky) — 2kún(cot — ky))
(c) Eo(x,y,t) = Eok(sm(cot — kx) + sin(ct)ř — ky))
88. Dokažte, že elipticky polarizovaná vlna může vzniknout superpozicí dvou kruhově polarizovaných vln - jedné pravotočivé a druhé levo točivé. Najděte výrazy pro dvě kruhově polarizované vlny, jejichž složením vznikne pravotočivá elipticky polarizovaná vlna, šířící se podél osy z tak, že hlavní poloosa elipsy leží v ose y.
89. Dokažte analyticky, že na elipticky polarizované světlo lze nahlížet jako na superpozici lineárně a kruhově polarizovaného světla.
90. Ukažte, že dvě lineárně polarizované vlny, jejichž kmitosměry jsou na sebe kolmé, nemohou interferovat (viz teorie k podkapitole 3.2 Interference).
38
Kapitola 3 Optika
3.1   Základní zákony šíření světla
Fermatův princip Světelný paprsek se šíří prostorem po minimální optické dráze. Optickou drahou L světelného paprsku (v homogenním prostředí) rozumíme součin délky jeho geometrické dráhy s a indexu lomu n:
L = ns. (3.1)
Zákon odrazu Při dopadu paprsku na rozhraní dvou optických prostředí se světelný paprsek odráží tak, že odražený paprsek leží v rovině dopadu (tj. v rovině určené dopadajícím paprskem a kolmicí dopadu k - obr. 33) a úhel dopadu a se rovná úhlu odrazu a':
a = a'. (3.2)
39
Zákon lomu Při dopadu paprsku na rozhraní dvou průhledných izotropních dielektrik se světelný paprsek láme tak, že lomený paprsek leží v rovině dopadu a platí Snelliův zákon
n\ sin a = «2smj8, (3.3)
kde a je úhel dopadu, j5 úhel lomu (obr. 33) a n\, n2 Jsou indexy lomů prostředí 1 a 2. Je-li n\ < n2, nazýváme prostředí 1 opticky řidším, prostředí 2 opticky hustším.
Totální odraz Při dopadu světelného paprsku z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího pro jistý úhel dopadu, tzv. mezní úhel e, je úhel lomu f, tj. paprsek lomený leží v rovině rozhraní obou optických prostředí (obr. 34). Pro mezní úhel e platí
k
Obrázek 34: Totální odraz světla (zeleně), mezní úhel červeně
n\
sine = —. (3.4)
n2
Pro všechny úhly dopadu a > e se světelný paprsek neláme do druhého prostředí, nastává úplný (totální) odraz.
91. Ve Fizeauově pokusu měření rychlosti světla bylo použito ozubeného kola se 720 zuby, rovinné zrcadlo bylo od tohoto kola vzdáleno o 8 630 m. Při jaké minimální úhlové rychlosti otáčení ozubeného kola vymizelo poprvé světlo pro pozorovatele? comín = 75,8 s_1
92. Ve Fizeauových měřeních rychlosti světla pokračoval Cornu, který užil Fizeauova zařízení, avšak vzdálenost mezi zrcadly zvětšil na 22,9 km. Jeho ozubené kolo mělo 180 zubů při průměru 40 mm. Najděte úhlovou rychlost, se kterou by se muselo ozubené kolo otáčet, aby světlo propuštěné jednou mezerou se vrátilo mezerou následující. co = 228,6 s_1
93. Při Foucaltově pokusu měření rychlosti světla konalo zrcadlo 48 000 otáček za minutu. Vzdálenost otočného zrcadla od pevného kulového zrcadla byla d = 4m (obr. 35) a úhel a, o který se pootočilo zrcadlo v době, za kterou vykonal paprsek dráhu 2d, byl roven 1,324 • 10~3rad. Určete z těchto hodnot rychlost šíření světla ve vakuu. c = 3,037 • 108 ms_1
40
Obrázek 35: Foucaltovo uspořádání experimentu pro měření rychlosti světla
94. Dírková komora o hloubce b = 0,3 m zobrazuje předměty vzdálené více než a = 2,7 m (obr. 36). Jaký může být maximální průměr vstupního otvoru d, aby zobrazení bodového předmětu odpo-
Obrázek 36: Dírková komora
vídala kruhová ploška, jejíž průměr nepřesáhne velikost t = 1 mm? (Při řešení problému nepři-
a+b
hlížejte k ohybovému jevu.) d = -j-rt = 0,9mm
95. Paprsek světla se postupně odrazí na třech navzájem kolmých zrcadlech. Jaký je směr odraženého paprsku? opačný než směr dopadajícího
96. Jak vysoké musí být svislé rovinné zrcadlo a v jaké výšce nad podlahou má být umístěna jeho horní hrana, aby se v něm vzpřímený člověk výšky h viděl právě celý? výška zrcadla 0.5/z, horní hrana ve výšce h
97. Jakou minimální výšku musí mít rovinné zrcadlo, které je nakloněno dopředu tak, že s horizontální rovinou svírá úhel a, aby se v něm vzpřímený člověk výšky h, jehož oko je v kolmé vzdálenosti a od zrcadla, viděl celý? x = ^cosa+ia
98. Ukažte, že při rovnoběžném posunutí rovinného zrcadla o vzdálenost x podél normály se obraz posune o vzdálenost 2x.
41
99. Dokažte, že paprsek světla odražený od rovinného zrcadla se otočí o úhel 2ů, jestliže se zrcadlo otočí o úhel ů kolem osy kolmé k rovině dopadu.
©100. V jaké výšce H nad povrchem Země se nachází upoutaný balón, vidíme-li z místa pozorování jeho odraz ve vodě pod depresním úhlem a a balón sám pod elevačním úhlem /3? Pozorovací místo je ve výšce h nad hladinou vody. Výšku H určete nejprve obecně, pak pro hodnoty a = 39°48', J3 = 33°4ť,/z = 10m. H = hf^tp] = 90,23m
101. Vypočtěte příčné posunutí paprsku prošlého skrz planparalelní destičku tloušťky d o indexu
lomu n (obr 37). Paprsek dopadá pod úhlem dopadu a. x = d sin a ( 1
cos a
y/ n2—sin2 a
Obrázek 37: Příčné posunutí paprsku v planparalelní desce
102. Na skleněnou destičku s indexem lomu n = 1,5 dopadá světelný paprsek. Pod jakým úhlem dopadl, jestliže lomený paprsek svírá s paprskem odraženým na rozhraní úhel y = 60°? a = 79,1°
103. Pod jakým úhlem musí paprsek dopadnout na rozhraní vakuum - sklo, aby odražený a lomený paprsek svíraly úhel 90°? Index lomu skla je n. a = arctgřz
104. Svislá tyč je ponořena 2 metry ve vodě uprostřed bazénu, dotýká se dna a ještě půl metru vyčnívá nad vodu. Slunce je právě 45° nad obzorem. Jak dlouhý je stín tyče na dně bazénu? x = l,75m
105. Korková   zátka   plave    na   klidné   hladině   rybníka   hlubokého    1,6    m. Kde se    nachází    stín    zátky    na    dně    rybníka,    když    Slunce    právě zapadá? Ve vzdálenosti 1,81 m od paty kolmice vedené od středu zátky ke dnu rybníka.
106. Pozorovatel stojí na okraji vodního bazénu s hloubkou vody h = 2,81 m a sleduje předmět ležící na jeho dně. V jaké hloubce h' se vytvoří obraz pozorovaného předmětu, je-li směr, ve kterém pozorovatel vidí obraz, odchýlen od kolmice k vodní hladině o úhel 60°? h' = 1,38 m
107. Vrstva éteru tloušťky d = 20mm (n = 1,36) plave na vrstvě vody tloušťky ď = 40mm (rl = 1,33). Jaká je zdánlivá vzdálenost hladiny éteru ode dna nádoby, díváme-li se do nádoby kolmo? h' = 44,8 mm
42
108. Malý předmět je na dně jezera v hloubce 2 metrů. Pozorovatel na člunu přímo nad ním jej pozoruje. Za předpokladu paraxiálních paprsků vypočtěte, v jaké hloubce pod hladinou jej vidí. h = l,5m
109. Na stolku mikroskopu je skleněná destička 3 mm tlustá. Nejprve zaostříme mikroskop na horní povrch destičky, potom snížíme tubus mikroskopu a zaostříme na její spodní povrch. Abychom snadno zaostřili, jsou na horním i spodním povrchu destičky vyryté značky. Tubus přitom snížíme o 2 mm. Vypočtěte index lomu destičky. « = 1,5
110. Světelný paprsek dopadá na rovinné rozhraní dvou průhledných prostředí o indexech lomu 1,60 a 1,40. Paprsek přechází z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího. Uhel dopadu je a = 30°. Vypočtěte:
(a) úhel lomu,
(b) deviaci paprsku.
Řešení:
(a) j8 =34,85°,
(b) 5 = 4,85°.
111. Hranol ze skla má index lomu 1,5 a vrcholový úhel 60°. Určete
(a) deviaci paprsku dopadajícího pod úhlem 40°,
(b) minimální deviaci a odpovídající úhel dopadu.
Řešení:
(a) 5 = 38,5°,
(b) 8min = 37,2° pro úhel dopadu amín = 48,6°
112. Světelný paprsek dopadá ze vzduchu na vodní kapku kulovitého tvaru, láme se do ní a po odrazu v kapce část paprsků z ní vystupuje ven. Vypočítejte úhel, pod kterým musí paprsek dopadnout, aby odchylka vystupujícího červeného paprsku byla vzhledem k dopadajícímu paprsku minimální. Jak velká bude tato odchylka, je-li index lomu vodní kapky pro červenou barvu nc = 1,331?
Řešení: amín = arcsin y       = 59°32;,   <5C = 4/3c — 2amín, kde /3C je úhel lomu
113. Paprsek dopadá na horní stěnu krychle pod úhlem 60° a přitom se na boční stěně právě odráží pod mezním úhlem. Jaký je index lomu hranolu? = 1,32
114. Na dně nádoby naplněné vodou do výšky h = 10 cm je bodový zdroj světla. Na hladině plave neprůhledná destička kruhového tvaru tak, že její střed je přesně nad zdrojem světla (obr. 38). Jak velký musí mít destička poloměr, aby nad hladinu nepronikl žádný paprsek?
R = ^= = ll,3cm
v« —1
115. Potápěč je ponořen v čisté vodě a dívá se směrem vzhůru. Jeho oči jsou v hloubce h pod povrchem vody.
(a) Jak se jeví potápěči prostor nad povrchem vody?
(b) Jak velká část vodního prostoru je pro něj průhledná?
43
Obrázek 38: Zdroj na dně nádoby
Řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty h = 1,5 m a index lomu vody n = 1,33. Řešení:
(a) Vidí prostor uvnitř rotačního kužele s vrchlovým úhlem 97,5°.
(b) Poloměr průhledné části povrchu je R = = 1,7 m
116. Světlo dopadá na horní hranu skleněné krychle pod úhlem a = 45° (obr. 39). Index lomu skla je n = 1,414. Bude paprsek na svislé stěně krychle totálně odražen? Ano
Obrázek 39: Lom světla v skleněné krychli
117. Na obr. 40 je tenké skleněné vlákno (index lomu ns) s ochranným povlakem z umělé hmoty (index lomu np < ns). Existuje jistý maximální úhel dopadu a na vybroušenou čelní plošku, kolmou k ose vlákna, takový, že veškeré světlo dopadající pod úhly dopadu a\ < a se totálně odráží na stěnách vlákna a prakticky se beze ztrát šíří vláknem v libovolném směru (na tom je založena tzv. vláknová optika). Dokažte, že platí
sin a =
44
Obrázek 40: Optické vlákno
118. Optické vlákno má válcové jádro z flintového skla (index lomu n\ = 1,66) a je obaleno tenkou vrstvou ze skla korunového (index lomu «2 = 1,52). Pod jakým maximálním úhlem musí dopadnou světlo na čelní kolmo vybroušenou plochu vlákna, aby se uvnitř vlákna šířilo totálním odrazem? 41,85°
©119. S jakým nej menším poloměrem může být svinuto optické vlákno, jehož jádro má průměr 0,05 mm, aniž by docházelo k podstatnějším světelným ztrátám? Index lomu jádra je 1,66 a index lomu pláště 1,52. 0,54 mm
3.2 Interference
Při skládání dvou světelných vln je výsledná intenzita v určitém bodě prostoru dána vztahem
I = h+h + 2Vhhcos(p, (3.5) kde <p je rozdíl fází obou vln (viz obr. 41).
-5n     -4tt    -3tt     -2tt     -tt       0      n      2n     3n     4n     5nq>    -5n     -4n    -3n     -2n     -n      0      n       2n     3n     4n 5nq>
Obrázek 41: Interference dvou koherentních zdrojů světla podle vztahu (3.5); červeně pro intenzity zdrojů I\ = I2 = 1, zeleně pro I\ = 1,12 = 0,01 (čárkovaná čára naznačuje součet I\ Viditelnost červené křivky je 1, zelené 0,2.
Nekoherentní zdroje Jedná-li se o vlnění ze dvou nezávislých zdrojů, pak fázový rozdíl se mění zcela nahodile a časová střední hodnota výrazu cos <p je rovna nule. Průměrná intenzita je součtem intenzit obou zdrojů
I = h+h (3.6)
45
a mluvíme o skládání nekoherentních vln.
Koherentní zdroje Pro koherentní vlnění je fázový rozdíl <p stálý a vede k jevům interference. Poslední člen v rovnici (3.5) se nazývá interferenční. V závislosti na něm se výsledná intenzita může měnit v rozmezí hodnot
I = h+I2±2Vhh. (3.7) Z rovnice (3.5) vyplývá, že pokud fázový rozdíl splňuje podmínku
(p = 2mn      (m = 0,±l,±2,...), (3.8) pak nastává interferenční maximum (konstruktivní interference), je-li
<p = (2m+l)7r      (m = 0,±l,±2,...), (3.9)
nastává interferenční minimum (destruktivní interference).
Pro charakteristiku interferenčního jevu zavádíme tzv. viditelnost V
,, _     Imax    Imin ,~ -. ^
lmax \ lmin
kde Imax jsme označili intenzitu maxima interferenčního jevu a 7mín intenzitu jeho minima. Viditelnost interferenčních proužků může sloužit jako míra koherence.
Částečná koherence Skutečné případy interference bývají pouze částečně koherentní. Dobou koherence To rozumíme čas, po který se ve vlně zachovává konstantní fáze. Dráha, kterou vlnění urazí za čas To, je tzv. koherenční délka /
/ = ct0. (3.11) Šířka frekvenčního intervalu Av daného zdroje je nepřímo úměrná době koherence
Av~—. (3.12)
Získávání koherentních paprsků
Klasické způsoby získávání koherentních paprsků, schopných trvalé interference, jsou:
• dělení vlnoplochy (pokusy Youngovy, Newtonovy, Fresnelovy atd.)
• dělení amplitudy (interferenční jevy na tenkých vrstvách).
120. Znovu si spočítejte příklad 2.3 [u:interference 3 zdroju - pr.69], tentokrát pomocí vztahu (3.5): Dva stejné světelné zdroje jsou umístěny velmi blízko u sebe. Kolikrát se zvětší intenzita ve směru osy spojnice obou zdrojů, přidáme-li k nim ještě jeden stejný zdroj? Řešte pro
a) koherentní zdroje kmitající ve fázi,
b) zcela nekoherentní zdroje.
(a) 2,25, (b) 1,5
121. Vyjádřete vztah pro koherenční délku vlny pomocí šířky spektrální čáry AX odpovídající její frekvenční šířce Av. / = ^
122. Vypočítejte koherenční délku  viz  /  odpovídající  světlu  výbojky  s koherenční dobou To = 10~9s. Vypočítejte spektrální šířku AX  tohoto světla, je-li X = 600nm. / = 0,3m   AX = 1,2- 10~12m
46
123. Klínová vrstva je osvětlena bílým světlem z bodového zdroje. Odhadněte interval její tloušťky, pro který je na vrstvě možné okem pozorovat interferenční obrazec. Jak se výsledek změní, použijeme-li monochromatický zdroj čáry (A = 488 nm, pološířka čáry (celá šířka v polovině výšky) 0.02 nm)? polovina z hodnot 1,8 /im, 12mm
124. Pro proměření interferenčního obrazce při Youngově pokusu byl použit CCD čip umístěný ve vzdálenosti 38,5 cm od dvoj štěrbiny. Bylo zjištěno, že první maximum je od hlavního (nultého) maxima vzdáleno o 63 pixelů. Jaká je vlnová délka použitého světla? Vzdálenost štěrbin je 0,47 mm a vzdálenost sousedních pixelů 9 /im. X = 692 nm
125. Vypočtěte vzdálenost prvého, druhého a třetího maxima od centrálního maxima při Youngově pokusu, a to pro fialové světlo vlnové délky 400 nm a pro červené světlo vlnové délky 700 nm. Vzdálenost středů štěrbin je 0,1 mm, kolmá vzdálenost stínítka od štěrbin je 0,5 m. Xf = 2; 4; 6; ...mm      xc = 3,5; 7,0; 10,5; ...mm
126. Při Youngově pokusu vznikly na stínítku umístěném ve vzdálenosti 1,2 m od štěrbin interferenční proužky, jejichž vzdálenost je 1,5 mm. Určete vlnovou délku použitého světla, je-li vzdálenost středů štěrbin 0,45 mm. X = 562 nm
127. Při Youngově pokusu je vzdálenost štěrbin d = 0,6mm. Na stínítku ve vzdálenosti 5 m jsou interferenční maxima vzdálena o x = 4 mm.
(a) Jaká je vlnová délka světla použitého světla?
(b) Jak se změní rozložení intenzity na stínítku, provedeme-li pokus ve stejném uspořádání pod vodou?
Řešení:
(a) X = 480 nm - modré světlo
(b) interferenční maxima budou vzdálena o x = 3 mm
128. Odvoďte hodnotu dráhového rozdílu mezi paprsky vystupujícími z planparalelní křemenné destičky tloušťky d, je-li index lomu destičky n = 1,46. Uhel dopadu paprsků je a. Řešte pro prošlé a odražené světlo. Jaký bude fázový rozdíl paprsků (destička je na vzduchu)? viz obr. 42, na odraz % = j^2ndcos /3 + TC, na průchod (pp = ^-2ndcosf5.
129. Tenká   vrstvička   vody    (nv  =  1,33)    má   tloušťku    320nm.    Jaké   bude její zbarvení    ve    vzduchu    (na    odraz),    je-li    osvětlena    kolmo    bílým světlem? Ve viditelné oblasti leží pouze maximum pro X = 567 nm - žlutá barva
130. Najděte tloušťku mýdlové blány (n = 1,33), na níž by se odráželo žluté světlo vlnové délky X = 600nm. Předpokládejte kolmý dopad a odraz prvého řádu. Jaká je vlnová délka tohoto světla v mýdlové vrstvě? d = 113 nm      X = 451 nm
131. Ukažte, že na skleněné destičce o indexu lomu n, pokryté tenkou vrstvou o indexu lomu nv = ^Jn tloušťky dochází při kolmém dopadu světla vlnové délky X k destruktivní interferenci paprsků odražených od horní a dolní plochy omezující tenkou vrstvu. (Tohoto způsobu se používá ke snížení odrazivosti čoček a desek optických přístrojů a taková vrstva se nazývá antireflexní vrstvou.)
132. Určete tloušťku dielektrické protiodrazové vrstvy na skleněném objektivu tak, aby minimum odrazivosti prvého řádu nastalo při vlnové délce 546 nm (zelená čára Hg). Předpokládejte přibližně kolmý dopad světla na povrch objektivu a stejnou odrazivost na obou rozhraních vrstvy. Index lomu vrstvy je 1,72. d = 159nm
47
Obrázek 42: Dráhový rozdíl paprsků 1 a 2 je roven A = n (\AB \ + \ BC |) — \AD \ = 2nd cos j5, pro odraz je k tomuto výrazu potřeba přičíst j.
133. Mýdlová blána má index lomu n = 1,35. Monochromatické světlo o vlnové délce X = 550nm dopadá kolmo na mýdlovou blánu, jejíž tloušťka se vlivem působení síly tíže klínovitě zvětšuje.
(a) Jaká tloušťka blány odpovídá prvnímu jasnému proužku v odraženém světle?
(b) Jaká tloušťka blány odpovídá druhému jasnému proužku?
(c) Je-li vzdálenost těchto dvou sousedních proužků právě 3 mm, jaký je vrcholový úhel této klínové vrstvy?
(a) 204nm      (b) 408nm      (c) 4 • 1(T3 rad (14")
134. Dvě vybroušené rovinné destičky jsou na sobě položeny tak, že se na jednom konci dotýkají a na druhém ve vzdálenosti a = 10 cm je vložen staniolový lístek tloušťky h =0,02 mm. Určete vzdálenost dvou sousedních interferenčních maxim, když kolmo na vrstvu dopadá monochromatický svazek světla o vlnové délce 589 nm. 2,95 mm
135. Dvě skleněné destičky dlouhé 0,10 m položíme na sebe. Na jedné straně mezi ně vložíme kovový proužek, jehož výskaje 0,1 mm, tak, že mezi oběma deskami se vytvoří tenký vzduchový klín. Sklo je osvětleno shora světlem vlnové délky 546 nm. Kolik tmavých interferenčních proužků budeme pozorovat v odraženém světle na 1 cm délky? 18,31 proužků/cm
136. Položíme-li plankonvexní čočku konvexní plochou na rovinnou skleněnou desku a systém osvětlíme shora monochromatickým světlem, vzniknou Newtonovy interferenční kroužky, které pozorujeme v odraženém světle (viz obr 43). Ukažte, že poloměr světlých Newtonových kroužků, vznikajících na plankonvexní čočce s poloměrem křivosti i?, se dá vyjádřit vztahem p2 = (2m+ l)^r, poloměr tmavých kroužků p2 = mXR, kde m = 0,1,2,... a X vlnová délka použitého světla.
48
Obrázek 43: Newtonova skla - vpravo zakreslena konstrukce a způsob, jak určit poloměr p interferenčního kroužku pomocí tloušťky vzduchové mezery d a poloměru křivosti čočky R (IR 3> d), vlevo chod paprsků interferujících na odraz (1,2) a na průchod (3,4). V místech označených fialovými kroužky dochází na vzduchové vrstvě mezi skly ke změně fáze o %.
137. Plankonvexní skleněná čočka o poloměru křivosti R je položena svou konvexní plochou na rovinnou skleněnou desku o tloušťce D = 1 cm. Celek je osvětlen shora monochromatickým světlem (o vlnové délce X). Stanovte poloměr světlých interferenčních proužků v prošlém světle. p2 = mXR7 m = 0,1,2,...
138. Plankonvexní čočka má poloměr křivosti kulové plochy R = 4m. Tuto čočku položíme konvexní plochou na rovinnou skleněnou desku a systém osvětlíme monochromatickým světlem. Poloměr prvního jasného Newtonova interferenčního kroužku v prošlém světle je pi = 1 mm.
(a) Jaká je vlnová délka použitého monochromatického světla?
(b) Jaký bude poloměr prvního světlého kroužku, vyplníme-li prostor mezi čočkou a deskou vodou (nv = 1,33)?
(a) 500nm   (b) 1,06 mm
3.3 Ohyb
Při pozorování chování světla v blízkosti neprůhledných překážek zjišťujeme, že se světlo šíří i do oblasti geometrického stínu - dochází k ohybu světelných paprsků. Z metodických důvodů rozlišujeme ohyb rovinných světelných vln (Frauenhoferova difrakce) a ohyb kulových vln (Fresnelova difrakce), my se budeme zabývat Frauenhoferovým ohybem. Ohyb na obdélníkové štěrbině
Dopadá-li na obdélníkovou, velmi dlouhou štěrbinu šířky b rovinná monochromatická vlna vlnové délky X, jejíž vlnový vektor k je kolmý k rovině štěrbiny, pak intenzita světla po průchodu štěrbinou v místě, určeném směrem odklonu a, je dána vztahem
49
/ siru
/=/» hr
(3.13)
kde x = jbsma a Iq je intenzita světla uprostřed středního světlého proužku, tj. pro a = 0. Grafické znázornění závislosti intenzity / na směru odklonu a je ukázáno na obr. 44 vlevo. Poloha tmavých proužků (ohybových minim) je určena podmínkou
bsma = ±mX      m =1,2,3,
(3.14)
rozložení intenzity při difrakci na štěrbině
,o x
rozložení intenzity při difrakci na kruhovém otvoru
Obrázek 44: Difrakce na obdélníkové štěrbině (vlevo) a na kruhovém otvoru (vpravo).
Ohyb na obdélníkovém otvoru
Intenzita / při ohybu na obdélníkovém otvoru, jehož rozměry jsou b a c , je dána vztahem
/ snu \   / sin v
/=n—) {y) {3A5)
kde x = jb sin a a y = j-c sin/3. Ohyb na kruhovém otvoru
Intenzita světla / při ohybu na kruhovém otvoru průměru D ve směru, který svírá s osou otvoru úhel a, je dána vztahem
/ = /„(Ä (3.16)
50
kde x = ^Dsin a a výraz J\ (x) reprezentuje Besselovu funkci prvního druhu řádu jedna. Pro ohybový obrazec (obr. 44 vpravo) dostáváme, že jeho středová světlá ploška má úhlový průměr dán vztahem
sinao = l,22^, (3.17)
který pro D 3> X přechází ve tvar
«0=1,22^. (3.18)
Rayleighovo rozlišovací kritérium Dva objekty jsou na hranici rozlišení, jestliže centrální difrakční maximum jednoho padne do prvního minima druhého - viz obr.45.
Rayleighova mez (y'= 0,5p)
Dva oddělené body (y'> 0,5p)
Obrázek 45: Rozlišení
Ohybová mřížka
je soustava ./V štěrbin stejné šířky a. Vzdálenost mezi středy sousedních štěrbin d se nazývá mřížková konstanta. Pro kolmý dopad světelného záření vlnové délky X je poloha hlavních maxim dána vztahem
dsina = ±mX. (3.19)
Intenzivní jsou jen ta maxima, která padnou do centrálního maxima ohybového obrazce vznikajícího při ohybu světla na jedné štěrbině. Nejvyšší řád spektra, který lze danou mřížkou pozorovat,
je
d
mmax = -■ (3.20) a
51
Důležitým parametrem mřížek používaných pro spektrální analýzu je úhlová disperze
da m
dX dcosa
(3.21)
kde m je řád difrakčního maxima a d je mřížková konstanta.
Rozlišovací schopnost mřížky s celkovým počtem vrypů ./V pro řád maxima m je definována
X
-pr=mN. (3.22) dX
139. Rovnoběžný svazek monochromatického světla o vlnové délce 450 nm dopadá kolmo na štěrbinu šířky 1 mm. Těsně za štěrbinou je umístěna čočka s ohniskovou vzdáleností 1 m. Na stínítku, umístěném v ohniskové rovině čočky, se vytvoří ohybový obraz. Určete vzdálenost minima prvního, druhého a třetího řádu od hlavního maxima, dl =0,45 mm      <Í2 = 0,9mm      <Í3 = l,35mm
140. Obdélníková štěrbina je osvětlena světlem vlnové délky 500 nm. Rozměry štěrbiny jsou 1 mm x 3 mm. Jaké jsou rozměry hlavního maxima v difrakčním obrazci vytvořeném na stínítku rovnoběžném s rovinou štěrbiny a vzdáleném od ní 50 m? Světlo dopadá na štěrbinu kolmo. 50 x 17 mm
141. Fraunhoferova difrakce vzniká na štěrbině šířky 0,4 mm a je zviditelněna na stínítku v ohniskové rovině čočky. Ohnisková vzdálenost použité čočky je 1 m a štěrbina je osvětlena dvěma vlnovými délkami X\, X2. Bylo zjištěno, že čtvrté minimum pro vlnovou délku X\ splývá s pátým minimem pro vlnovou délku X2 a je přesně 5 mm od hlavního maxima. Určete obě vlnové délky. Xi =500 nm, X2= 400 nm
142. Rovnoběžný svazek monochromatického světla o vlnové délce X = 600nm prochází štěrbinou, jejíž šířka je 0,2 mm, a je zaostřen čočkou na stínítko. První maximum leží 3 mm od hlavního maxima. Určete ohniskovou vzdálenost použité čočky. /' = 0,66 m
143. Najděte poloviční úhlovou šířku středního světlého pruhu při Fraunhoferově ohybu na štěrbině šířky a = 1,4 • 10~3mm, je-li osvětlena monochromatickým světlem vlnové délky (a) 400 nm, (b)700nm. (a) 16,6° (b) 30°
144. Najděte výraz pro vzdálenost d0 mezi středy štěrbin Youngovy dvojštěrbiny, při které poprvé vymizí interferenční proužky. Předpokládejte, že dvoj štěrbina je osvětlena kvazimonochroma-tickým zdrojem světla o vlnové délce X ve tvaru kruhu o průměru D , který je ve vzdálenosti L od ní. Rozměry štěrbin zanedbejte. da = 1,22^L
145. V dírkové komoře (camera obscura) je fotografická deska vzdálena od čelní stěny o 10 cm. Jak veliký musí být otvor, abychom získali ve viditelném světle (X = 500 nm) snímek Slunce s nejlepším rozlišením? D = 0,13 mm
146. Astronaut je v kosmické lodi na oběžné dráze kolem Země ve výšce 160 km. Jak velké musí být předměty na zemském povrchu, aby je pouhým okem rozlišil? Předpokládejte, že oční pupila má průměr 4 mm a oko je nejcitlivější na vlnovou délku 550nm. Asi 27 m
147. Oční pupila má průměr 3 mm. Za použití Rayleighova kritéria určete:
(a) Na jakou vzdálenost rozliší oko dvě rovnoběžné čáry narýsované na listě papíru ve vzdálenosti 50 cm.
52
(b) Na jakou vzdálenost může oko za ideálních podmínek rozlišit přední světla automobilu, jehož reflektory jsou 180 cm od sebe?
Pro výpočty berte vlnovou délku viditelného světla rovnu 550 nm.   (a) 2,23 km, (b) 8,05 km
148. Určete nejvyšší řád spektra, ve kterém můžeme ještě pozorovat červenou čáru 700 nm pomocí optické mřížky, která má na 1 mm 300 vrypů. m = 4
149. Stanovte teoretickou rozlišovací schopnost R = optické mřížky s ./V vrypy. Použijte Ra-yleighovo kritérium, pro jednoduchost uvažujte mřížku na průchod a kolmý dopad paprsků.
R = mN, m - difrakční řád
150. Jakou mřížkou (tj. s jakým počtem vrypů na mm) musíme vybavit spektrometr, požadujeme-li, aby rozlišil jednotlivé komponenty sodíkového dubletu 588,9950 nm a 589,5924 nm? Spektrometr používá mřížky 72 x 72 mm. Rozliší je standardně rozšířená mřížka 1200 gr/mm?
14gr/mm, ano
151. Mřížka obsahující 4000 vrypů na 1 cm je 4 cm dlouhá. Vypočtěte její rozlišovací schopnost ve spektru prvního řádu. Rozliší tato mřížka obě čáry sodíkového dubletu (589,0 a 589,6 nm)? AXmin = 0,037 nm      R = 16000 rozliší
152. Navrhněte difrakční mřížku, pro kterou by leželo maximum třetího řádu vlnové délky 600 nm ve směru odchýleném o 30° od přímého směru. Rozlišovací schopnost mřížky musí být taková, že dokáže rozlišit dvě blízké vlnové délky, lišící se o 0,05 nm. Vypočtěte: (a) vzdálenost vrypů mřížky, (b) její rozlišovací schopnost, (c) minimální počet vrypů, (d) minimální rozměr mřížky, (a) 3,6-10~4cm   (b) 12000    (c) 4000    (d) l,4cm
3.4   Šíření světla na rozhraní
Na rozhraní dvou optických prostředí s indexy lomu n\ a n2 se světlo částečně odráží, částečně láme do druhého prostředí. Paprsky dopadající, odražený a lomený leží spolu s dopadovou normálou v tzv. rovině dopadu (směr p). Rovina kolmá k rovině dopadu je tzv. polarizační rovina (směr s). Fresnelovy amplitudy Pro amplitudy odražené a lomené vlny na rozhraní dvou dielektrik platí
«2cos a — řzicos/3    tg(a — /3) n2cos a + ni cos/3    tg(a + j3)' n\cos a — n2cosj5      sin(a — j5)
n\cos a + n2 cos j5 2«icos a
«2 cos a + n\ cos j5 2«icos a
n\cos a + n2 cos j5
sin(a + /3):
(3.23)
kde r jsou amplitudy vlny odražené, t amplitudy vlny lomené, indexy p (s) značí složku příslušných amplitud v rovině dopadu (v polarizační rovině) (viz 46).
Závislost velikosti Fresnelových amplitud odraženého i lomeného světla na úhlu dopadu a pro případ dopadu světla z vakua do skla (n2 = 1,50) je ukázán na obr. 46. Je zřejmé, že existuje úhel dopadu as, pro který je rp = 0. Znamená to, že světlo dopadající na rozhraní pod úhlem oíb je po
53
Obrázek 46: Polarizace odrazem při dopadu pod Brewsterovým úhlem pro rozhraní vzduch a sklo (index lomu 1,5) - chod paprsků a závislost průběhu Fresnelových koeficientů na úhlu dopadu a.
odrazu dokonale lineárně polarizováno tak, že elektrický vektor odražené vlny kmitá v rovině kolmé k rovině dopadu. Uhlu oíb říkáme Brewsterův úhel a platí pro něj vztah
tg«s = (3.24)
153. Určete úhel dopadu a lomu světelného paprsku, je-li paprsek odražený od skleněné destičky (n = 1,50) zcela polarizován. a = 56,3°       /3 = 33,7°
154. Vypočtěte Brewsterův úhel pro následující případy:
(a) světlo dopadá ze vzduchu na sklo s indexem lomu 1,6.
(b) světlo vychází ze skla s indexem lomu 1,6 do vzduchu.
(c) rozhlasová vlna dopadá na hladinu vody, jejíž index lomu pro uvažovaný kmitočet je roven 9.
(a) 58°       (b)32°       (c) 83,7°
155. Mezní úhel pro světelný paprsek na rozhraní vzduch - jisté prostředí je 45°. Najděte Brewsterův úhel pro dopad ze vzduchu. 35,3°
3.5   Optické zobrazování
Pracovat budeme výhradně s centrovanou optickou soustavou, kdy středy křivosti všech lámavých ploch leží na jedné ose. Omezíme se přitom na paraxiální prostor, tj. na takovou oblast v blízkosti optické osy, ve které můžeme s dobrým přiblížením nahradit všechny funkce tan a a sin a velikostí úhlu a, vyjádřenou v radiánech (prakticky pro a < 2°). Znaménková konvence bude uvedena u konkrétních příkladů.
54
Příčné (m) a úhlové (g) zvětšení optického systému je definováno vztahy
/ ť
m=—      g = —, (3.25)
y *
kde y je příčná velikost předmětu a T jí příslušející zorný úhel, y' příčná velikost obrazu a %' jí příslušející zorný úhel.
Odraz na kulových zrcadlech
Pro zobrazení v paraxiálním prostoru kulového zrcadla platí vztah
112 1
- + - = - = -:, (3.26) a    b    r j
přitom vzdálenosti předmětu a a jeho obrazu b od vrcholu zrcadla měříme před zrcadlem kladně a za zrcadlem záporně. U konkávního (dutého) zrcadla je poloměr křivosti r a ohnisková vzdálenost / kladná, u konvexního (vypuklého) zrcadla jsou rif záporné. Vlastnosti obrazů vytvořených zrcadly jsou na obr. 47.
Obrázek 47: Zobrazení dutým (nahoře) a vypuklým (dole) zrcadlem
Tenká čočka
Pro zobrazení v paraxiálním prostoru tenké čočky platí vztah
1    1 1
- + - = 7. (3.27) a    b f
55
Vzdálenost předmětu a od optického středu čočky před čočkou a vzdálenost obrazu b od optického středu čočky za čočkou považujeme za kladnou, v opačném případě za zápornou. U spojky je ohnisková vzdálenost / kladná, u rozptylky záporná. Vlastnosti obrazů vytvořených čočkami jsou na obr. 48.
Obrázek 48: Zobrazení spojkou (nahoře) a rozptylkou (dole)
Grafická konstrukce obrazu
Při grafické konstrukci obrazu postupujeme tzv. třípaprskovou metodou zobrazení mimoosového předmětu v paraxiálním prostoru (obr. 49)
• paprsek spojující zobrazovaný bod s optickým středem čočky nemění po průchodu čočkou svůj směr - (1),
• paprsek vedený zobrazovaným bodem rovnoběžně s optickou osou se po průchodu čočkou láme do obrazového ohniska - (2),
• paprsek, spojující zobrazovaný bod s předmětovým ohniskem, jde po průchodu čočkou rovnoběžně s optickou osou v obrazovém prostoru - (3).
Jestliže konstrukcí získáme v obrazovém prostoru rozbíhavý (divergentní) svazek paprsků, znamená to, že vznikl zdánlivý obraz. Tento vytvoříme protažením paprsků proti směru jejich šíření až do společného průsečíku.
Optické přístroje Lupa (viz obr. 50)
Předmět umístíme mezi lupu a předmětové ohnisko do takové polohy, aby obraz vznikl v konvenční zrakové vzdálenosti L od oka. Pro zvětšení lupy dostáváme pomocí ohniskové vzdálenosti /
56
Obrázek 49: Zobrazovací paprsky pro čočku
Z=j + l = j      (/«L) (3.28)
Mikroskop (viz obr. 51)
Okulárem pozorujeme obraz, vytvořený objektivem. Zvětšení mikroskopu je dáno vztahem
A L
(3.29)
f obj f ok
kde A je tzv. optický interval (vzdálenost ohniska objektivu od ohniska okuláru) a f^j {f0k) jsou ohniskové vzdálenosti objektivu (okuláru). Dalekohled (viz obr. 52)
Ohnisko objektivu splývá s ohniskem okuláru, tzn. že optický interval A = 0. Zvětšení dalekohledu určíme pomocí ohniskové vzdálenosti objektivu f^j a ohniskové vzdálenosti okuláru f^, resp. užitím průměru d vstupní pupily (průměr objímky objektivu) a průměru ď výstupní pupily
z=4^=4- (3-3°)
J ok ď
156. Svíčka stojí 60cm před dutým zrcadlem. Když ji přiblížíme k zrcadlu o lOcm, zvětší se vzdálenost obrazu od zrcadla o 80cm. Jaká je ohnisková vzdálenost zrcadla? / = 40cm nebo 85,7cm
157. Jestliže se předmět, který byl původně ve vzdálenosti 60cm od konkávního zrcadla, posune o lOcm blíže k němu, pak vzdálenost předmětu a jeho obrazu vzroste 2,5 krát. Určete ohniskovou vzdálenost zrcadla. / = 40 cm nebo 37,5 cm
158. Konkávni zrcadlo vytváří reálný převrácený obraz, který je třikrát větší než předmět a nachází se ve vzdálenosti 28 cm od předmětu. Najděte ohniskovou vzdálenost zrcadla.    / = 10,5 cm
159. Konkávni zrcadlo na holení má ohniskovou vzdálenost rovnou 15 cm. Najděte optimální vzdálenost osoby od zrcadla, je-li pro pozorování okem nejvhodnější vzdálenost 25 cm od pozorovaného objektu. Jaké bude v tomto případě zvětšení? a = 8 cm, m = 2,125
57
Obrázek 50: Lupa
160. Předmět    leží    30cm    vlevo    od    konvexního    kulového    zrcadla    o poloměru    křivosti    20 cm.    Najděte    polohu    obrazu    (a)    výpočtem    (b) graficky, (a) —7,5 cm (b) viz obr. 47, vypuklé zrcadlo, tmavozelený předmět
161. Zdroj je zafixován ve vzdálenosti L od stínítka. Vypočtěte, do jaké vzdálenosti od zdroje je třeba umístit tenkou spojku s ohniskovou vzdáleností /, aby se na stínítku vytvořil reálný obraz zdroje. Najděte podmínku, kdy je úloha řešitelná.
Řešení: a = | ± \J^ — fL,    tato poloha existuje, jen když L>4f
162. Dokažte, že nejmenší vzdálenost mezi předmětem a jemu příslušejícím obrazem, vytvořeným spojkou o ohniskové vzdálenosti /, je rovna 4f.
163. Jaká je ohnisková vzdálenost tenké spojky a jaké zvětšení poskytuje, když předmět vzdálený odní20cmse zobrazí za čočkou ve vzdáleno sti 3 5 cm? 12,73cm;    —1,75
164. Spojka o ohniskové vzdálenosti 42cm dává třikrát zvětšený zdánlivý obraz předmětu. Najděte polohu předmětu a jeho obrazu. 28 cm    —84 cm
165. Tenká dvoj vypuklá čočka optické mohutnosti D vytvoří obraz se zvětšením m. Vypočtěte, v jaké vzdálenosti od ní má být předmět a kde se vytvoří jeho obraz,    a = b =
166. Spojka vytvoří obraz svítícího zdroje na stínítku ve vzdálenosti lm od zdroje. Když čočku posuneme o 20cm blíže ke stínítku (při zafixované poloze zdroje a stínítka), vznikne na stínítku znovu obraz zdroje. Jaká je ohnisková vzdálenost čočky? 24 cm
58
Obrázek 51: Mikroskop
0,5 d	^^^^ ; ^^^^F obj = '"ok	F ok	
			
	^obj             ^^^^ ^ok f Obrázek 52: Dalekohled		
		0,5 ď t Keplerův	
167. Spojka zobrazí předmět na stínítku tak, že výška obrazu je 9 cm. Když pohybujeme čočkou ke stínítku, aniž bychom měnili polohu předmětu a stínítka, vznikne znovu ostrý obraz předmětu tak, že jeho výskaje 4 cm. Vypočtěte skutečnou výšku předmětu. 6 cm
168. Spojka má ohniskovou vzdálenost 0,60 m. Najděte polohu předmětu, jehož obraz je
(a) skutečný a třikrát zvětšený
(b) skutečný a třikrát zmenšený
(c) zdánlivý a třikrát zvětšený.
Konstrukci ve všech třech případech zakreslete.
Řešení: (a) 0,8 m   (b) 2,4 m   (c) 0,4m,   konstrukce viz obr. 53
169. Ohnisková vzdálenost lupy je 125 mm.
(a) Jaké je její zvětšení, jestliže obraz vznikne v nekonečnu?
(b) Jaké je zvětšení lupy, jestliže obraz vznikne 25 cm před okem?
(a) 2    (b) 3
59
(a) a=0,8 m, b=2,4 m
(b) a=2,4m, b=0,8 m
(c) a=0,4m, b=-1,2m
f=0,6 m
f=0,6 m
f=0,6 m
Obrázek 53: Zobrazení spojkou: (a) obraz skutečný a třikrát zvětšený, (b) obraz skutečný a třikrát zmenšený, (c) obraz zdánlivý a třikrát zvětšený.
60
Kapitola 4
Matematický dodatek
4.1   Goniometrické funkce
Zavedení    funkcí    pomocí    jednotkové kružnice:
y n
sin (a)
sin (a) < 0 cos (a) <0
sin (a+2kn) = sin (a) cos (a+2kn) = cos (a), k je celé číslo
Základní hodnoty goniometrických funkcí:
a	0	71 6	71 4	71 3	71 2	%	■Í7l 2	2tí
sin(a)	0	1 2	V2 2.	V3 2	1	0	-1	0
cos(a)	1	V3 2	V2 2	1 2	0	-1	0	1
tg(«)	0	V3 3	1	V3	oo	0	—co	0
cotg(a)	oo	V3	1	V3 3	0	—oo	0	oo
Grafy goniometrických funkcí:
	tg (a)	
J	, J	
0	í '	
cofg (aj
"SN
Základní vlastnosti goniometrických funkcí:
61
tg(a) = tg(a + k7t) cotg(a) = cotg(a + fc7ť)
cos(—a) = cos(a)
periodicita:
sin(a) = sin(a + 2fc7z;) cos(a) = cos(a + 2fc7r)
fcez
lichost a sudost:
sin(—a) = — sin(a) tg(-a) = -tg(a) cotg(-a) = —cotg(a)
vzájemné posunutí:
sin(a) = cos(a—|) tg(a) = —cotg(a — f) cos(a) = sin(a+|)   cotg(a) = tg(| - a)
goniometrická jednička
sin2 (a) + cos2 (a) = 1
dvojnásobný argument
sin(2a) = 2sin(a) cos(a) cos(2a) = cos2(a) — sin2(a)
poloviční argument |sin(f)| =
1—cos(a) 2
l+cos(a) 2
součtové vzorce
sin(a + /3) = sin(a)cos(/3) + cos(a) sin(/5) sin (a — J3) = sin(a)cos(/3) — cos(a) sin(/5) cos (a + J3) = cos(a) cos(/5) — sin(a) sin(j8) cos (a — J3) = cos(a) cos(/5) + sin(a) sin(j8)
\	' <*-B\
1 cos	\  2 )
\ .	'a-B\
Isin	,   2 )
COS
a-j: 2
vzorce pro součet funkcí sin(a) + sin(j8) = 2sin
sin(a)-sin(/3)=2cos(^±£
cos(a) +cos(/3) = 2cos
cos(a) -cos(/5) = -2sin f-^) sin
derivace:
(sin(a))' = cos(a) (cos(a))' = — sin(a) (arcsin(a))' =   , 1       (arccos(a))' =--, 1
integrály:
/ sin(a)<ia = — cos(a)   / cos(a)<ia = sin(a) další integrály obsahující sinus a kosinus
/ sin2 (a)da = \a— |sin(2a) / cos2(a)<ia = \a+ |sin(2a) / sin(a)cos(a)<ia = \ sin2 (a)
pro m,n celé kladné, m ^ n lze vyčíslit následující integrály
/ sin(ma)da = — ^cos(raa) / cos(ma)da = ^ sin(ma) / sin(raa) cos(na)da J sin(ma) ún(na)da -J cos(raa) cos(na)da J sin"(a)da J cos"(a)da
cos((m+rc)cř)
2(m-\-n) sin((m—n)a) 2{m—n) ún{{m—n)a) . 2{m—n)
cos((m—n)a) 2{m—ri) i sin((m+rc)cř) ' 2{m+n) sin((m+rc)cř) 2(m+rc)
icos(a)sin" 1(a) +rL^-/sin" 2(a)da isin(a) cos"_1(a) + ^/cos"~2(a)<ia
4.2   Věty určující vztahy mezi rozměry stran a úhlu v trojúhelníku
Kosinová věta:
Sinová věta:
a =b +c -2bc cos a
b c
A Euklidovy věty:
sin y
varianty pro další strany dostaneme cyklickou záměnou C
c   S      Yk p
b2=c2+a2-2ca cos (3      c =a W-2ab cos y a'
o výšce: vc2=ca.cb o odvěsně: a2=c.ca b2=c.cb
62
4.3   Komplexní čísla
Jednotlivé tvary komplexního čísla z a čísla komplexně Důležité vztahy: k němu sdruženého z*:
algebraický
,   z = a + bi
z* = a — bi
goniometrický ^ J^g^^)
exponenciální ^ __ }^\e-
komplexní j ednotka
i2 = -í
velikost komplexního čísla
z=a+bi
z*=a-bi
z = z.z
Eulerův vztah
e'f = cos(<p) +;sin(<p)
cosinus a sinus z Eulerova vztahu
cos(<p)
sin(<p) =
4.4   Exponenciální a logaritmické funkce
Exponenciální funkce:
(p, q jsou reálná čísla, a 7^ 1 reálné kladné číslo) • ď-aq = ap+q
l-=a-P
ď
a1 = a a"
a~°° = 0   a°° = °° a>l
,0-1
-2 -) Logaritmické funkce:
x = logay<$ax =y
{p, q jsou reálná čísla, m,n,aj^l jsou čísla celá kladná)
• I0& (/>■?) = logflP + logflg
• loga f =l0gflJP-l0gfl^
• loga (p") = nlogfl p   logfl     = i logfl p
• p = alos^   p = \ogaaP
'  l0gfla= 1     loga 1 = 0
• loga 0 = —00   loga 00 = 00   a > 1
p = 4-10±n, 1 <<?< 10^> log1oP=±«+log1o<7=±'V■■ (log10<? < 1)
x = /og0y
63
4.5   Hyperbolické funkce
Zavedení funkcí
cosh(a) = £—^j-tgh(a)
sinh(a)
sinh(")   cotgh iď) - cosh(a)
cosh(a)    cotgnl«J - sinh(a)
Grafy hyperbolických funkcí
	"                tgh (a)
-7T -0,5ti	
■y      ■ i	0  '0>5n   ''nairad'l
TJ	-n y cotgh (a) V
-ň -0,5tt	
......ľ      1 1 1	-,7Tajradj
	-TJ
Základní vlastnosti hyperbolických funkcí:
• periodicita:
sinh(a) = sinh(a + ilkíc)    tgh (a) = tgh (a + ikíc) cosh(a) = cosh(a + ilkiť)   cotgh (a) = cotgh (a + ikíc)
kez i2 = -i
• lichost a sudost:
sinh(—a) = — sinh(a)      cosh(—a) = cosh(a) tgh(-a) = -tgh(a) cotgh (—a) = —cotgh (a)
• základní vztah
cosh2(a) — sinh2(a) = 1
• souvislost s goniometrickými funkcemi (i2 = —1):
sinh(a) = — isin(ia)   cosh(a) = cos(/a) tgh (a) = —ítg(ía)     cotgh (a) = ícotg(ía)
• derivace:
(sinh(a))' = cosh(a) (cosh(a))' = sinh(a)
• integrály:
J sinh(a)da = cosh(a) J cosh(a)da = sinh(a)
4.6   Rozvoj funkcí v řadu
Taylorův rozvoj funkce f (x) kolem hodnoty a: Konkrétně:
• (1 + xf = 1 + p+^^x2 + "("~1](3"~2)x3 -
f(x)   =   f{a) + l^±(x-a) + Q^(x-ay+ .   . ^
2
\ L4  I     I \ Cí  f I -v" -1
1! 2!    V ' *  eX=l-,  j]  i  2!   1 3!
■111/
(x — á)+... • sin(x)=x-
Ji       rS J
2|    v      ")    ' ■■■ ""l"; —        3!   1  5! 7!
64
cos(x) = l- fr + iT-fT +
^! ^ -7
sinh(x)
cosh(x) = l + |r + tT + |T + -
tgh(x)=x-^ + ^-^-
4.7   Diferenciál funkce jedné proměnné
Diferenciál funkce y = f (x) je součin z derivace a diferen- Pro diferencování platí tedy stejná pravidla jako pro derivo-ciálu nezávisle proměnné vání.
df(x) = f'(x)dx   dy = y'dx.
4.8   Základy vektorového počtu - gradient, divergence, rotace, Laplaceův operátor
Vektorové identity:
rot gradw = 0
rot rot v = grad div v — A v
div (v x w) = wrotv — vrotw
Kartézské souřadnice (x,y,z)
• Hamiltonův operátor nabla: V = i: +   j + ^
• gradient skalární funkce u = f (x, y, z)
du^   du^ du^
gradw = Vm = -Z7-Í+ ~z-k
dx     dy dz
• divergence     vektorového     pole v(x,y,z) {vx{x,y, z), vy (x, y, z), vz (x, y,z)):
dlV V = V • V = + -7r± + -z—
dx     dy dz
• rotace vektorového pole v(x,y,z) :
rot v = V x v =
i j k d_    d_ d_
dx     dy dz
\dy       dz \dz dx
■2 _ _d_
dx2
• Laplaceův operátor delta: A = V • V = V
d _|_ d
dy2 dz2
Cylindrické souřadnice (r,<j),z)(x = r cos <j), y = r sin (j), z)
• Hamiltonův operátor nabla: V = J^cr+ \~§$e$ d
dzez
• gradient skalární funkce u = f(r,<p ,z) :
du _     1 du_ gradw = Vm = — er + -— e a dr       r dtp Y
du
Tz'
• divergence     vektorového    pole     v(r, <p,z) =
div v = V ■ v =
1 d(rvr) 1 <9v0 dvz r   dr       r d(p dz
rotace vektorového pole v(r, <p,z) :
rotv = V x v = -
	er		
_ 1	d	d	d
r	dr	d$	dz
	Vr	n>	Vz
delta: A		= V	■ V
rdr X dr) + r2 d<f>2 + dz2
Sférické souřadnice (r, 0,0) (x = rsmOco&(p,y rsin0 sin0,z = rcos 0):
• Hamiltonův operátor nabla: V = jfcer + -j^e$
• gradient skalární funkce u = f(r, 0,0) :
_ du^ gradw = Vm = — e,
1    du _      du _
dr       rsin0 d(j) rdO
• divergence    vektorového    pole    v(r, 0,0) = (vr(r, 0, 0), v^ (r, 0, 0), vz(r, 0, 0)) :
div v = V • v =
1 d(r2vr)       1    dv$       1 <9(sin0vz)
r2    dr       rsin0 <90     rsin0 dO rotace vektorového pole v(r, 0,0):
rotv = V x v =
er rsin0e^ reg
a      jL a.
dr          dip d9
v r rsin0V0 rvg
Laplaceův operátor delta: A = V • V = V2
i d2
la. r2A
r2 d r \     dr l   '   rL sin
tJ-j^j (sin0'?
2 sin 6 dti
65
4.9   Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty (a případnou pravou stranou)
Homogenní diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty rozumíme rovnici tvaru
y" + aý + by = 0, (4.1)
kde a, b jsou reálná čísla, čárky značí první a druhou derivaci reálné funkce y(x) podle proměnné x.
Postupujeme tak, že napíšeme charakteristickou rovnici
X2 + aX + b = 0, (4.2)
z níž vypočteme kořeny X\, X2 . Podle druhu kořenů dostáváme řešení:
Xi ^ X2 y(x) = Ae^x + Be^x
Xi=X2=X    y(x) = eix{A + Bx)
Xh2 = a±ifí   y(x) = e^Ae^ + Be-^),
A, B jsou libovolné reálné (v případě třetím komplexně sdružené) konstanty.
Ve třetím uvedeném řešení lze závorku nahradit jedním z tvarů (další použitá písmena jsou reálné konstanty)
Aeiflx + Be-iflx = CcosQSx) +Dsin(/3x) = Y0(sm(px+ <p)).
Nehomogenní diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty rozumíme rovnici tvaru
y" + ay' + by = f{x), (4.3)
kde a, b jsou reálná čísla, čárky značí první a druhou derivaci reálné funkce y(x) podle proměnné x a f(x) je funkce proměnné x.
Postupujeme tak, že nejprve najdeme řešení příslušné homogenní diferenciální rovnice 4.1 (na pravé straně položíme místo f(x) nulu), které označíme yo(x). Pak najdeme
partikulární řešení <p(x) nehomogenní rovnice 4.3. Celkové řešení nehomogenní diferenciální rovnice je pak součtem řešení homogenního a partikulárního:
y(x) =yo(x) + (p(x).
Partikulární řešení <p(x) můžeme v některých případech hledat tak, že jej předpokládáme v obecném tvaru stejném jako má člen f(x) na pravé straně rovnice 4.3, toto řešení dosadíme spolu s jeho první a druhou derivací do této rovnice a metodou neurčitých koeficientů stanovíme neznámé konstanty v řešení.
Nejčastěji tak postupujeme v případě těchto funkcí f(x) (velká i malá písmena uvedená v rovnicích jsou konstanty):
•/(*) = c	•<p(x) = m
m f (x) =Ax2+Bx + C	•<p(jc) = mx1 + nx + p
•f (x) = Aeqx	•<p(x) = mxreqx,
	xr se vyskytuje, je-li q
	r-násobným kořenem 4.2
•f (x) = Acos(px)+	•<p(x) = mcos(px)+
+Bsin(px)	+nsin(px),
•f (x) = eqx	•<p(x) =xreqx
[Ps{x) c0s(/5x) +	[Au(x) cos(px)+
+Q,(x) sm(px)],	Bu(x) sin(p*)],
PÁx), Q,(x),	Au(x), Bu(x)
jsou polynomy stupně	jsou polynomy stupně
s, t	max(í,f),
	xr se vyskytuje,
	je-li q + pi (q-pi)
	r-násobným kořenem 4.2 .
66
Literatura
[1] Janča J., Kapička V., Kučírek J., Stejskalová V., Cvičení z obecné fyziky III a IV, SPN Praha 1986
[2] Máca B., Cvičení z fyziky pro nefyzikální obory, SPN Praha 1988 - zde je možné najít řadu příkladů k procvičování analogických příkladům z [1]
[3] Halliday D., Resnick R., Walker J., Fyzika, část 2, VUTIUM a Prométheus, Brno, Praha 2000
[4] Syrový A., Sbírka příkladů z fyziky, SNTL Praha 1971
[5] Hajko V. a kol., Fyzika v príkladoch, Alfa Bratislava 1983
[6] Main I. G., Kmity a vlny ve fyzice, Academia, Praha 1990
67