Teoretická fyzika - Základy teorie elektromagnetického pole - Příklady
Michal Lenc - podzim 2013
1. Elektrostatika
Příklad 1. Prostorové rozložení elektrického náboje vytváří pole intenzity
É = q(l-e-/*)Ír . Spočtěte náboj uzavřený uvnitř koule o poloměru r = A.
Příklad 2. Vodivá koule poloměru a , na jejímž povrchu je rozložen celkový náboj Q je umístěna do homogenního elektrického pole intenzity E0. Najděte potenciál v obecném bodě prostom vně koule. Jaká je plošná hustota náboje na povrchu koule?
Příklad 3. V rovině x- y rozmístěte na kružnici poloměru R se středem v počátku nejmenší počet bodových nábojů Q a -Q tak, aby ve velké vzdálenosti od kružnice převládalo (a) dipólové a (b) kvadrupólové pole.
2. Magnetostatika
Příklad 4. Spočtěte indukci magnetického pole na ose z, když tenkým kruhovým vodičem v rovině x-y poloměru R se středem v počátku prochází proud J .
Příklad 5. Spočtěte indukci magnetického pole přímého nekonečného vodiče kruhového průřezu s poloměrem R, kterým protéká proud s homogenní proudovou hustotou j. Příklad 6. Hranami jedné stěny krychle na obrázku (a) protéká proud J a vybudí ve středu krychle magnetické pole velkosti B0. Jaký je vektor magnetické indukce B ve středu krychle, protéká-li týž proud hranami téže krychle podle obrázku (b).
1
Obrázek (a)
Obrázek (b)
3. Časově proměnné jevy
Příklad 7. Odvoďte z Maxwellových rovnic ve vakuu vlnovou rovnici pro vektor elektrické intenzity.
Příklad 8. Monochromatická rovinná vlna frekvence a> dopadá kolmo na rovinné rozhraní dvou nemagnetických ju = ju0 nevodivých dielektrických prostředí s s = sis0 a s = s2s0
(obrázek ukazuje polarizaci vlny). Určete podmínky na rozhraní a spočtěte, jaké část dopadající energie prochází do druhého prostředí.
H
Příklad 9. Vodivé prostředí je charakterizované hustotou volných nábojů p = 0 a proudů j=<xE a hodnotami s = s0 a ju = ju0. Předpokládejme dále, že v Maxwellových rovnicích můžeme zanedbat posuvný proud. Monochromatická vlna se šíří podél osy x
Ey = E0exp[i(kx-ť»t)] .
2
Ukažte, že amplituda exponenciálně klesá a spočtěte, kdy poklesne l/e krát (e je základ přirozených logaritmů) v mořské vodě s vodivostí <r = 5Sm_1 pro dlouhé vlny s frekvencí 0^5-lOV1.
Příklad 10. V „klasickém" atomu vodíku začne v čase t = 0 elektron obíhat kolem protonu po
kruhové dráze o Bohrově poloměru aB . Odvoďte výraz pro dobu potřebnou pro pád elektronu
na proton v důsledku vyzářené energie. Předpokládejte, že množství energie ztracené při jednom oběhu je malé ve srovnání s celkovou energií atomu.
3