SFaT - domácí úkol
Zde je zadání první sady příkladů do Statistické fyziky a termodynamiky. Řešení, prosím, pište čitelně na papír formátu A4 nebo to můžete vysázet třeba v I^TpXu. Svůj postup řádně zdůvodněte.
1. Spočtěte hustotu stavů p(E) pro volnou nerelativistickou částici o hmotnosti m v jednorozměrném případě.
2. Pro systém N kvantových harmonických oscilátorů (z nichž každý má energii En = (n + j)h(o) spočtěte partiční funkci, energii a tepelnou kapacitu při konstantním objemu a počtu částic. Ověřte platnost 3. věty termodynamické pro lim Cy.
3. Teplota Neptunu
Za rozumných předpokladů spočítejte teplotu povrchu planety Neptun. Zanedbejte všechny možné vnitřní zdroje tepla. Jaké předpoklady jste udělali o atmosféře a/nebo povrchu Neptunu?
Astronomická data, která vám mohou pomoci: poloměr Slunce= 7 • 105km, poloměr Neptunu= 2.2 • 104km, střední vzdálenost od Slunce=4.5 • 109km, Ts = 6000K, slunění konstanta=1.4kW/m2, Stefan-Boltzmanova konstanta= 5.7 • 10~8 W/m2-K4.
4. Dvojhladinový systém
Systém sestávající ze dvou energiových hladin Eq a E\ je obsazen N částicemi při teplotě T. Částice obsazují energiové hladiny na základě klasického rozdělení.
(a) Určete výraz pro střední energii připadající na částici.
(b) Spočítejte střední energii připadající na jednu částici pro teploty T —> 0 a T —> oo.
(c) Odvoďte výraz pro tepelnou kapacitu systému N částic.
(d) Odvoďte výraz pro tepelnou kapacitu systému N částic pro limity T —> 0 a T —> oo.
5. Tepelná kapacita molekulového plynu
Tři nejnižší energiové hladiny jisté molekuly jsou E\ = 0, £2 = £> £3 = 10e. Ukažte, že pro dostatečně nízké teploty (jak nízké) pouze hladiny £1, £2, £3 jsou obsazeny. Najděte střední enerii molekul za teploty T. Najděte příspěvky energiových hladin k molární tepelné kapacitě cy a vyjádřete cy jako funkci T.
6. Energie molekulového plynu
Když dvouatomová molekula vibruje, její moment hybnosti závisí na malém příspěvku jejího vibračního stavu. Důsledkem je, že rotační a vibrační pohyb nejsou kompletně nezávislé. Za vhodných podmínek může být energiové rotačně-vibrační spektrum aproximováno ve tvaru
£„,; = ha)(n + ^j+ YjIQ + 1) + ocl{l + 1) (n + ^ , (1)
kde první dva členy odpovídají vibračnímu a rotačnímu pohybu a poslední člen je malá korekce vycházející ze závislosti vibrací a rotací. Různé molekulární konstanty splňují
h2
hco > — > a. (2)
Spočítejte energii ideálního plynu z dvouatomových molekul, jehož teplota leží v intervalu
h2
hco > T > —.
7. Stavová rovnice Fermiho plynu
Uvažujme ideální Fermiho plyn s disperzní relací e oc ps, uzavřeném v krabici o objememu V v n-dimenzionálním prostoru. Ukažte, že pro tento systém
PV = -E, (3) n
1
a že rovnice adiabaty (S a N je konstantní) je
PV1+ž=konst. (4) Ukažte rovněž, že pro T —> oo je tepelná kapacita
n
cv = -N. (5)
s
8. Kdyby byl vesmír obrovská dutina...
Představte si, že vesmír je sférická dutina s poloměrem 1028 cm a neprůchodnými stěnami.
(a) Pokud je teplota vevnitř dutiny 3K, určete celkový počet fotonů ve vesmíru energii těchto fotonů.
(b) Pokud by teplota byla OK a vesmír obsahoval 1080 elektronů ve Fermiho rozdělení, určete Fermiho hybnost těchto elektronů.
9. n-rozměrný vesmír
V našem tří-rozměrném vesmíru známe následující výsledky ze statistické fyziky a termodynamiky
(a) Hustota energie záření černého tělesa závisí na teplotě jako Ta, kde a = 4.
(b) Poměr tepelné kapacity za konstantního tlaku a tepelné kapacity za konstantního objemu je v jed-noatomovém plynu roven 7=5/3.
Odvoďte analogické výsledky (mj. i co jsou y, a a j5) ve vesmíru o n rozměrech.
2