evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Sbírka pro předmět Středoškolská fyzika v příkladech 1 a 2 Mechanika: rotační pohyb - zadání 1. * Jaká horizontální rychlost by musela být udělena střele, aby obletěla Zemi paralelně s jejím povrchem, kdyby nebylo odporu vzduchu? S jakou periodou by obíhala Zemi? [v = y/gR = 7900 m.s-1, T = 2nxfŽ= i 4h] 2. -k Malé těleso klouže s vrchu koule dolů (viz obrázek 1). V jaké výšce h od vrcholu koule se těleso oddělí od koule a bude volně padat? Tření je zanedbatelné. [h = |f?] Obrázek 1: 3. * Malé těleso klouže po nakloněné rovině, která na konci přechází ve válcovou plochu o poloměru R (viz obrázek 2). (a) Do jaké výšky hi při tom vystoupí, jestliže klouže z výšky h? Tření je zanedbatelně malé. [hi = h] 1 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 2: (b) Jaká musí bý výška h, aby těleso udělalo celou obrátku a nespadlo přitom? [h = IR] 4. Na obrázku 3 je znázorněno zařízení, kterým se objasňuje závislost odstředivé síly na vzdálenosti od osy otáčení. Koule A má průměr 3 cm, koule B 2 cm. Šňůra, Obrázek 3: X B on 0 která je spojuje, je dlouhá 10,5 cm. V jaké vzdálenosti x od osy O musí být umístěn střed koule A, aby se při otáčení udržely koule na místě? Koule jsou vyrobeny ze stejného materiálu. Objem otvorů, které jsou vyvrtány v koulích, je možné zanedbat. [x = l Rr+r3 = ** Spojíme-li konce kovového řetízku navzájem, přivážeme-li řetízek na šňůru a odstředivkou roztočíme šňůru, potom řetízek nabude přibližně tvaru kružnice, která je v rovině kolmé k ose rotace. 2,4 cm. 2 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ (a) Zaujme řetízek tvar rovinné křivky? [kružnice ve vodorovné (b) Jestliže považujeme tvar řetízku za horizontální kružnici, máme určit sílu F, rov^ně] napínající řetízek, je-li jeho hmotnost m = 100 g, délka / = 75 cm a koná-li řetízek n = 8 ot.s-1. [Fcod = m.n2.2n.l = 30 N] 6. Z kruhového kotouče poloměru r je vyříznut kruh s polovičním poloměrem, jehož střed půlí poloměr kotouče. Určete polohu těžiště zbylého měsíčku. [x = |] 7. Na delším rameni /x = 50 cm jednozvratné páky působí síla Fi = 60 N. Na kratším rameni l2 = 25 cm působí břemeno F2 = 108 N. Vypočtěte účinnost páky. [r/ = 0, 9] 8. Na rameni li = 45 cm dvojzvratné páky působí síla F\ = 100 N. Na rameni délky l2 = 25 cm působí břemeno. Určete velikost břemene, je-li páka v rovnoměrném otáčivém pohybu a je-li její účinnost r\ = 0, 8. [F^ = 144 N] 9. Kladkostroj s n = 6 kladkami má účinnost rj = 0,7. Jak velké břemeno F'2 může na tomto kladkostroji zvedat rovnoměrným pohybem síla Fi = 30 N? [F% = 126 N] 10. Kolo na hřídeli má účinnost rj = 0,7. Síla F\ = 40 N zvedá tímto kolem rovnoměrně břemeno F2 = 150 N. V jakém poměru je poloměr válce r k poloměru kola Rl = \] 11. -k Na obrázku 4 je schématicky znázorněna odstředivka. Když byla odstředivka Obrázek 4: v klidu, byla do jejich zkumavek nalita kapalina hustoty 1,1 g.cm~3 do výše 6 cm ode dna. Při otáčení odstředivky se zkumavky vychýlí skoro do vodorovné polohy. Určete tlak kapaliny na dno zkumavky, jestliže se odstředivka otáčí s frekvencí 20ot.s~1 a jestliže dno zkumavek se pohybuje ve vzdálenosti 10 cm od osy otáčení. [p = p.h.^/g2 + uH2 = 417 kPa] 12. * Závaží o hmotnosti m je zavěšeno na niti délky / a kývá s výchylkou a. (a) Najděte sílu F, která napíná nit v krajních polohách a v poloze rovnovážné. [Ta=ao = mg cos a0, Ta=0 = mg(3 — 2 cos a0)] 3 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ (b) Při jakém úhlu a0 je síla napínající nit v rovnovážné poloze dvojnásobkem tíhy závaží? [a = 60°] (c) Při jakém úhlu a je celkové zrychlení závaží v krajní poloze rovno celkovému zrychlení v rovnovážné poloze? [a0 = 53,1°] 13. Model centrifugálního regulátoru (viz obrázek 5) se otáčí s frekvencí 3 obrátky za sekundu. O jaký úhel se při tom odkloní tyče, které nesou koule o hmotnos- Obrázek 5: tech Ml Délka tyčí je / = 14 cm. Hmotnost všech částí, kromě koulí, zanedbejte. [cos a = = 0,2] 14. (a) Jakou maximální rychlostí může jet po vodorovné dráze motocyklista, jestliže opisuje oblouk o poloměru R = 90 m a je-li koeficient tření gumy o zem fi = 0,4? [v = y/JIgŘ=U m.s -li (b) O jaký úhel a se musí při tom odklonit od svislé roviny? [tg a = 0,4 =>- a = 22°] 15. Jednou z cirkusových atrakcí je jízda motocyklu po vnitřní oblině dutého válce, který má svislou osu (viz obrázek 6). (a) Určete minimální rychlost, kterou musí jet jezdec, je-li průměr konstrukce d = 18 m, těžiště stroje a jezdce je ve vzdálenosti h = 1 m od místa dotyku kol se stěnou a koeficient tření gum o stěnu válce je // = 0,4. _ [v= lä&žhzň = 14IT1.S-1] (b) Jaký úhel a svírá motocyklista s vodorovnou rovinou, je-li jeho rychlost 20 m.s-1? [a = 11°] 16. * Určete moment setrvačnosti tenké tyče délky / a hmoty m vzhledem k těmto osám: 4 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 6: (a) k ose procházející středem tyče a svírající s ní úhel a; (b) k ose rovnoběžné s tyčí, vzdálené od ní o délku a; (c) k ose kolmé k tyči a vzdálené od jejího středu o délku b. [J = ±ml2 [J [J ma cos2 a] ±ml2 rrib2 17. * Určete moment setrvačnosti měděného disku, v němž jsou dva kruhové otvory (viz obrázek 7), vzhledem k ose kolmé na rovinu disku a procházející jeho středem. Tloušťka disku je b = 4 mm a poloměr R = 5 cm. [Jc = JLpnbR4 = 2,2.10-4kg.m2] Obrázek 7: 18. * Úhlová rychlost se mění jen v tom případě, když výsledný moment všech sil působících na těleso není roven nule. Má se ukázat, jaké momenty sil působí v těchto případech: (a) Kolo železničního vozu zvětšuje při zrychleném pohybu vlaku svoji úhlovou rychlost. [viz obrázek ??] evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ (b) Kulička se zpomaleně valí pro nakloněné rovině. [viz obrázek ??] 19. ** Na obrázku 8 je znázorněn přístroj, kterým se objasňuje druhý pohybový zákon. Deska AB, připevněná na pružině D vychýlí se dozadu a pustí. Při pohybu narazí na koule M a N, a ta z nich, jejíž hmota je menší, odletí od desky větší rychlostí. Je žádoucno, aby síly, které působí v okamžiku úderu na koule M a N, byly pokud možno přibližně stejně veliké. Aby toho konstruktér dosáhl, vzal desku s velkým momentem setrvačnosti a pružinu s velkým direkčním momentem K a koule umístil na koncích desky. Postupoval správně? [ne, J a K by měly být malé] Obrázek 8: B 20. * Do tenké tyče, ležící na hladkém stole, uhodíme v některém jejím bodě A ve vodorovném směru (viz obrázek 9). Obrázek 9: t (a) Dokažte, že v okamžiku úderu se tyč otáčí kolem osy procházející bodem O, při čemž platí, je-li tření dostatečně malé, vztah Jc si-s2 = —, m kde m je hmota tyče, Jc je moment setrvačnosti kolem osy, která jde těžištěm C, si je vzdálenost A od těžiště a s2 je vzdálenost bodu O od těžiště. evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ (b) Co se stane, udeříme-li do tyče v bodě O? [Otočí se kolem bodu A.] (c) Kudy bude procházet osa otáčení, udeříme-li na konec tyče? [s2 = |] 21. * Železniční vůz má dva stejné páry kol na dvou stejných osách. Při brzdění přiléhají ke každému kolu dva brzdící špalky KK (viz obrázek 10). Obrázek 10: (a) Jakou silou tření je třeba vyvinout každým brzdícím špalkem u vozu hmoty m = 201, aby se pohyboval se zrychlením a = — 1, 5 m.s~2? Průměr kola d = 1 m, moment setrvačnosti každého páru kol je J = 100 kg.m2. Ostatní druhy tření (též vnitřní tření, mající původ v tom, že se kolo deformuje) zanedbejte! [F2 = a(f + ^) = 3,8kN] (b) Vypočítejte za předpokladu, že kola nekloužou po kolejnicích, jaká část celkového tepla vyvinutého při brzdění vagonu se vybaví v místě, kde se dotýkají brzdící špalky obvodu kol. [8F2s = 2f- + 2J^-] 22. * Svislý sloup výšky h = 5 m je naříznut u základny a padá na zem. (a) Určete postupnou rychlost koncového bodu v okamžiku dopadu na zem. [v k = \/3gh\ (b) Který bod sloupu bude mít v každém okamžiku padání sloupu stejnou rychlost, jakou by mělo těleso padající ze stejné výšky jako hledaný bod? [x = 23. ** Masivní kolo nasazené na ose je uvázáno na dvou nitích, které jsou omotány na ose, jak ukazuje obrázek 11. Osa otáčení je vodorovná. Niti se postupně odvinují z osy a kolo klesá dolů. (a) Určete sílu F, která napíná každou nit, je-li hmotnost kola s osou m = 1000 g, moment setrvačnosti soustavy vzhledem k této ose J = 25.103g.cm2 a poloměr osy r = 5 mm. [F = 2{^J+J) = 4, 95 N] (b) Až se kolo spustí na konec niti, bude se setrvačností otáčet dále, bude navinovat niti na osu a při tom stoupat. Jaká bude síla F napínající každou nit? [Při výstupu bude síla stejná.] 7 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 11: (c) Jaká bude síla F napínající každou nit, jestliže se deska, k níž jsou připevněny nitě, bude zvedat tak, aby kolo zůstávalo ve stejné výšce a osa neměnila svou polohu? [Síla bude stejná.] 24. * Jak se změní úhlová rychlost tělesa, které se otáčí bez tření kolem nějaké osy, jestliže se teplota zvýší z 0° C na ť C? Jak se přitom změní kinetická energie tělesa? [uj = —^ (l+at)2 zmenší se o JqUqOÍ\ 25. * Na otáčející se stoličce, jaké se používá k demonstracím, stojí člověk, který drží v natažených rukou dvě činky ve vzdálenosti li = 150 cm od sebe. Stolička se otáčí s frekvencí rii = lot.s-1. Člověk přitáhne činky do vzdálenosti l2 = 80 cm a počet obrátek se zvětší na n2 = 1.5ot.s_1. Určete práci, kterou člověk vykoná, má-li každá činka hmotnost m = 2 kg. Moment setrvačnosti člověka vzhledem k ose stoličky považujte za konstantní. [W = An2mnin2(ll 26. ** Horizontální disk se otáčí kolem vertikální osy úhlovou rychlostí u\, jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení je J\. Na něj dopadne druhý disk s momentem setrvačnosti J2 a s úhlovou rychlostí u2. Roviny disků jsou rovnoběžné, jejich středy jsou na svislé přímce. K sobě přivrácené roviy disků mají na povrchu výstupky a prohloubeniny takové, že po dopadu druhého disku na první se otáčejí oba disky jako jeden celek. li)] 8 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ (a) Najděte úhlovou rychlost u takto vzniklé soustavy [u = jl j^j^2] (b) O kolik se změní celková kinetická energie obou disků po dopadu druhého disku na první? [\ j^7] — u2)2} (c) Jak vysvětlíte změnu celkové kinetické energie obou disků? [???] 27. *Disk A se otáčí se zanedbatelným třením kolem osy, která prochází jeho středem kolmo k jeho rovině a je připevněna ke stolu. Disku A se dotýkáme diskem B, jehož osu držíme v ruce. Při tom se úhlová rychlost disku A zmenšuje a disku B zvětšuje v opačném směru, při čemž součet jejich momentů hybnosti se zmenšuje. Jak to souhlasí se zákonem zachování momentů hybnosti? [Musíme uvažovat oba disky zároveň se soustavou těles, s nimiž jsou spojeny jejich osy] 28. * Určete (a) celkovou kinetickou energii válce o hmotnosti m, který se valí bez klouzání po rovině rychlostí v. [|m-u2] (b) totéž pro kouli. [j^mv2] (c) celkovou kinetickou energii vozíčku, který má bez koleček hmotnost mi a jehož každé kolečko, mající tvar kotouče, má hmotnost m2. Vozíček se pohybuje rychlostí v. [^v2 (nii + 6m2)] 29. -k Koule o poloměru r se valí po nakloněné rovině a opíše looping o poloměru R. Zanedbávajíce ztráty energie způsobené valivým třením a odporem vzduchu, vypočítejte nejmenší výšku h středu koule, ze které je nutno pustiti kouli nad středem loopingové smyčky. tlcK-^ ~~ r)] 30. -k Požární stříkačka má kovovou proudnici dlouhou / = 30 cm. Z proudnice stříká proud vody pod elevačním úhlem tp = 45°, přičemž se proudnice otočí rovnoměrným pohybem za dobu t = 1,5 s o úhel a = 40° kolem svislé osy, která prochází jedním koncem proudnice. Vypočítejte otáčivý moment, jestliže stříkačka vystříkala za tuto dobu m = 5 kg vody. [MFc = j^ml2 sin2 tp = 0, 07 N.m] Literatura a prameny k dalšímu procvičování [1] Kolářová Růžena, Sálach S., Plazak T., Sanok S., Pralovszký, B.,500 testových úloh z fyziky pro studenty středních škol a uchazeče o studium na vysokých školách. Prométheus, Praha 2004, 2.vydání. [2] Široká Miroslava, Bednařík Milan, Ordelt Svatopluk Testy ze středoškolské fyziky. Prométheus, Praha 2004, 2. vydání [3] Lepil Oldřich, Široká Miroslava Sbírka testových úloh k maturitě z fyziky. Prométheus, Praha 2001,1. vydání 9 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ [4] Ostrý Metoděj, Fysika v úlohách 516 rozřešených příkladů, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1958 [5] TypBeB JI. T., KopTHeB A. B., Kyu,eHKo A. H., JlaTBeB B. B., MHHKOBa C. E., IlpoTononoB P. B., PyÔJieB K). B., TniijeHKO B. B., LQeneTypa M. 14., CôopnuK 3adaH no o6cw,eMy nypcy KeHu,eB B. B., MaKHnieB T.JL, 3adanu no (pumne ôjičt nocmynawv^ux e ey3u, HayKa, MocKBa 1987 [9] Koubek Václav, Lepil Oldřich, Pišút Ján, Rakovská Mária, Široký Jaromír, Tomanová Eva, Sbírka úloh z fyziky Il.díl pro gymnázia, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1989 [10] Ungermann Zdeněk, Simerský Mojmír, Kluvanec Daniel, Volf Ivo, 27. ročník Fyzikální olympiády brožura, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1991 [11] Klepl Václav, Elektrotechnika v příkladech, Práce, Praha 1962 [12] Říman Evžen, Slavík Josef B., Šoler Kliment, Fyzika s příklady a úlohami, příručka pro přípravu na vysokou školu, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1966 [13] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy I, Prométheus, Praha 2007 [14] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy II, Prométheus, Praha 2008 [15] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy III, Prométheus, Praha 2008 [16] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy IV, Prométheus, Praha 2008 [17] vlastní tvorba 10