o�ek�van� hodnota funkce $g$ n�hodn� prom�nn� $\xi$ $$E(g)= \int_{\Omega} { g(X)\ f_\xi(X) dX }$$ ($X$ je re�ln� vektor konkr�tn� hodnoty $\xi$)
st�edn� hodnota (matem. o�ek�v�n� = expektance) $E(\xi)$
event. pracujeme s o�ek�vanou hodnotou z funkce NP - nap�. (jednorozm�rn� p��pad)
$$D(\xi)=E\{[\xi-E(\xi)]^2\}=\int_{-\infty}^\infty \left[x-\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\right]^2 f(x) d x$$
disperze - $\sigma^2$ - jeden z centr�ln�ch moment�
asymetrie ("skewness", 3. ��d) - $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}$
exces (a.k.a. "�pi�atost", "kurtosis", 4. ��d) - $\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} - 3$
korekce zavedena, aby pro "norm�ln�" (TBD) rozd�len� $\gamma_1 = \gamma_2 = 0$
analogick� definice st�edn� hodnoty (�i st�edn� hodnoty funkce)
dost�v�me nyn� i sm��en� momenty:
$$D(\xi_1,\xi_2) = E ( [\xi_1-E(\xi_1)] [\xi_2-E(\xi_2)] ) = E(\xi_1\xi_2) - E(\xi_1) E(\xi_2)$$
odtud korela�n� koeficient
$$\rho(\xi_1,\xi_2) = D(\xi_1,\xi_2) / \sqrt{D(\xi_1) D(\xi_2)}$$
pro nez�visl� vektory nulov�, max. 1 pro pln� korelovan� ("�m�rn�")
korela�n� moment lze zav�st u n-rozm�rn�ho n�h. vektoru pro lib. dvojici komponent z margin�ln�ho rozd�len� (odintegrov�n�m zbyl�ch slo�ek)
$D_{ij}=D(\xi_i,\xi_j)$ - matice (kovarian�n�, disperzn�) je symetrick�, na diagon�le disperze komponent
Matice je singul�rn�, pokud existuje line�rn� kombinace slo�ek, kter� je nulov� (jedna komponenta je line�rn� kombinac� jin�ch). Jinak lze zav�st inv. matici $D^{-1}$, a krom�
korela�n� matice $\rho_{ij}=\rho(\xi_i,\xi_j)=D_{ij}/\sqrt{D_{ii} D_{jj}}$
spo��tat i glob�ln� korela�n� koeficient pro danou komponentu, ur�uj�c� jej� maxim�ln� m�ru korelace s libovolnou lin. kombinac� zbyl�ch slo�ek: plat�
$$\rho_i=\sqrt{1-1/(D_{ii} {D^{-1}}_{ii})}$$
$$X(t)=E(e^{i \xi t})=\int{e^{i xt} f_\xi(x) dx}$$
p�i�ten� konstanty $A$ znamen� vyn�soben� $exp(iAt)$, faktor a zm�n� v�sledek $X_{a\xi}(t)=X_\xi(at)$
$$X_{\xi + \theta}(t)=X_\xi(t) X_\theta(t)$$ pro norm�ln� rozd�len� $X(t)=\int{e^{i xt} e^{(x-m)^2/2\sigma^2} dx}=e^{imt-t^2\sigma^2/2}$
$$M(t)=E(e^{\xi t})=\int{e^{xt} f_\xi(x) dx}$$
rozvojem exponenci�ly z�sk�me souvislost s momenty (necentr�ln�mi)
$$M(t)=E \left[ 1+\xi t +\frac{1}{2!} {\xi t} + \dots \right]=\sum_{n=0} \frac{1}{n} {\mu'}_n t^n$$
odkud lze vyj�d�it
$${\mu'}_{n} = \frac{\partial^n M(t)}{\partial t^n}$$ v bod� $t=0$
$\Theta = \sum_i {a_i \xi_i}$ +A
st�edn� hodnota $E(\Theta)=\sum_i {a_i E(\xi_i)} + A$ (d�kaz)
disperze
$$D(\Theta)=E(\sum_i \sum_j{a_i a_j [\xi_i-E(\xi_i)] [\xi_j-E(\xi_j)]} = \sum_i {a_i^2 D(\xi_i)} + \sum_i \sum_{j\neq i} {a_i a_j D(\xi_i, \xi_j)} $$
pro nekorelovan� prom�nn� druh� �len odpad�
hustota pravd�p. h(y) nov� NP:
dle distribu�n� funkce
$$F(y) = \int_{x_1+x_2\lt y} {f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 } = \int_{-\infty}^\infty dx_2 \int_{-\infty}^{y-x_2} {f(x_1,x_2)} dx_1 $$
pro nez�visl� prom�nn�: $f(x_1,x_2)=f_1(x_1) f_2(x_2)$ p�i zaveden� prom�nn� $t$ se substituc� $x_1=t-x_2$
$$F(y)=\int_{-\infty}^y dt \int_{-\infty}^\infty {f_2(x_2) f_1(t-x_2) dx_2 } = \int_{-\infty}^y f(t) dt ,$$
kde $f(t)=\int f_1(t-x) f_2(x) dx$ je (Fourierova) konvoluce hustot; analogicky pro sou�in nez�visl�ch prom�nn�ch $y=x_1 * x_2$ dost�v�me hustotu pravd�podobnosti jako (Mellinovu) konvoluci
$$ f(t)=\int f_1(t/x) f_2(x) dx/|x|$$