M1101 Matematická analýza I
Opravná zápočtová písemná práce, 11. 12. 2017
Varianta A
1. (4 body) Určete definiční obor (prosté) funkce zadané předpisem
f : y =
ex
+ 1
ex − 1
a nalezněte předpis funkce k ní inverzní.
2. (4 body) Určete obě jednostranné limity
lim
x→0+
arctg
1
x
, lim
x→0−
arctg
1
x
a na základě těchto dvou výsledků rozhodněte o existenci a případné hodnotě limity
lim
x→0
arctg
1
x
.
3. (6 bodů) Stanovte limitu posloupnosti, resp. funkce:
a) (3 body)
lim
n→∞
n n −
√
n2 − 1 ,
b) (3 body)
lim
x→0
ln (cos 3x)
ln (cos 4x)
.
4. (4 body) Určete definiční obor a vyšetřete monotonii funkce zadané předpisem
f(x) = ln 4 − x2
.
Stanovte rovněž všechny její lokální extrémy včetně odpovídajících funkčních hodnot.
5. (4 body) Pomocí pátého Maclaurinova polynomu funkce f(x) = sin x určete přibližnou
hodnotu čísla sin 1 (tedy sinu jednoho radiánu).
6. (4 body) Stanovte neurčitý integrál
dx
sin2
x cos2 x
.
7. (4 body) Nalezněte obsah útvaru ohraničeného křivkami o rovnicích
y = −x3
, y = 3
√
x, x = 1.