Lineární algebra 1997/1998 Jan Slovák Obsah Úvodní poznámky........................... ii Část I. Vektorové prostory a soustavy lineárních rovnic ............ 1 1. Skaláry, vektory, matice ...................... 1 2. Vektorové prostory a lineární zobrazení................ 9 3. Matice a determinanty....................... 18 4. Systémy lineárních rovnic...................... 27 5. Geometrie endomornsmů a kanonické tvary.............. 31 Část II. Prostory se skalárním součinem a analytická geometrie......... 43 6. Afinní prostory........................... 43 7. Euklidovské a unitární vektorové prostory............... 53 8. Formy a tensory.......................... 63 9. Bodové euklidovské prostory..................... 76 10. Spektrální teorie ......................... 85 11. Rozklady matic a aproximace.................... 92 Část III. Dodatky.............................. 97 12. Polynomiální matice a kanonické tvary................ 97 13. Multilineární algebra ......................105 14. Cvičení k přednáškám......................109 Index...............................125 Masarykova Universita Brno Typeset by A^S-T^ 11 LllNĽAKJNl ALUKBKA Úvodní poznámky Tento text dávám k dispozici jako víceméně pracovní verzi mých příprav k přednáškám a nepovažuji jej za náhradu skutečné učebnice o předmětu. Pokrývá však celou odpřednášenou látku, někdy i podrobnosti, které na přednáškách nejsou uváděny. Na druhé straně je styl textu dosti hutný a stručný, a zřejmě obsahuje řadu nepříliš pečlivě propracovaných míst. Předpokládám, že studenti, kteří přednášky nenavštěvovali, budou muset často sáhnout po nějakých podrobnějších skriptech. Protože vím, jak velké jsou rozdíly v kapacitě jednotlivých studentů, a protože nechci ani nudit ty schopnější, ani znemožnit další rozvoj těm méně schopným (resp. méně pracovitým), zmíním se o strukturaci textu a požadavcích ke zkoušce. Snažím se vždy po základních definicích pojmů sdružit odvození jejich jednoduchých vlastností do několika vět (většinou s mnoha částmi). Jejich důkazy pak spočívají vesměs v pochopení definic, případně jednoduchých úvahách. Měly by být tedy zvládnutelné pro každého a budu se na ně ptát. Dále jsou v textu věty, které mají většinou své jméno (např. Laplaceova věta o rozvoji determinantu) a kompletní důkazy již bývají podstatně složitější. U nich lze očekávat pouze u dobrých studentů přehled o postupu důkazu a závislosti na jiných výsledcích. Slabší studenti uspějí se zvládnutím obsahů jejich tvrzení a možných aplikací. Zejména v těchto částech textu jsou odstavce označeny hvězdičkou. Chci tím naznačit zvýšenou potřebu pozornosti při čtení (nikoliv doporučené vynechání!). Navíc se, zejména ke konci přednášky, vyskytují celé partie, které jsou adresovány těm schopnějším, vyznačím je většinou dvěmi hvězdičkami u příslušných odstavců, případně poznámkami pod čarou. Na konci každé kapitoly připojím tzv. poznámky k přemýšlení. Jsou rozdílné složitosti, pro každého bude užitečné, když si na nich ověří stupeň pochopení předchozí teorie. Jejich složitost je také naznačena hvězdičkami. Úplně na konci textu jsou přiložena zadání cvičení. Časem je snad doplním o výsledky. Vřele uvítám upozornění na nedokonalé či špatné části textu, případně návrhy na jeho vylepšení (nejlépe e-mailem na adresu slovakOmath.muni.cz). Jan Slovák 1 Cast I. Vektorové prostory a soustavy lineárních rovnic 1. Skaláry, vektory, matice V této kapitole rozšíříme běžně známé operace pro počítání s čísly na tzv. vektory a matice. Tím jednak získáme příklady pro později zavedené abstraktnější objekty, ale hlavně si připravíme technické prostředky pro práci s nimi. 1.1. Skaláry. Zformalizujeme vlastnosti číselných oborů jako např. celá čísla Z, racionální čísla Q, reálná R, komplexní čísla C. To znamená, že popíšeme explicitně ty vlastnosti, které budou potřebné pro odvozování celé teorie. Tím, že vždy budeme při důkazech používat pouze uvedené vlastnosti, bude celá teorie platná pro všechny objekty s uvedenými axiomy.1 Vlastnosti sčítání: (KG1) (a + b) + c = a + {b + c), pro všechny a, 5, c (KG2) a + b = b + a, pro všechny a, b, c (KG3) existuje prvek 0 takový, že pro všechny a platí a + 0 (KG4) pro všechny a existuje prvek (—a) takový, že platí a + ( Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Vlastnosti násobení: (01) (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, 5, c (02) a ■ b = b ■ a, pro všechny a, b (03) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a Distributivita: (04) a ■ {b + c) = a ■ b + a ■ c, pro všechny a, 5, c Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Potřebujeme však zpravidla ještě další běžnou vlastnost čísel: (P) pro každý a/0 existuje prvek a-1 takový, že platí, a ■ a~l = 1 Jestli naše objekty splňují navíc i (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). 1 Zřejmě je při tom ale užitečné při sledování důkazů si představovat nějaký z dobře známých případů (např. reálná čísla). = a -a) = 0 2 CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY LllNKAKNKJH KUVINIU Někdy se setkáme se slabší dodatečnou vlastností, např. Z nesplňuje (P), ale splňuje (Ol) a ■ b = 0 => buď a = 0 nebo 5 = 0. Hovoříme o oboru integrity. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími výše uvedené vlastnosti (komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Pokud nezdůrazníme něco jiného, půjde o pole. 1.2. Vektory nad polem skalárů. Symbolem K budeme nadále značit nějakou množinu skalárů. Pro potřeby této kapitoly, vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici skalárů, n budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme). Násobení vektoru u = (ai,... ,an) skalárem b definujeme tak, že každý prvek n-tice u vynásobíme skalárem b (skaláry v K násobit umíme). Pro sčítání vektorů v Kn platí (KG1)-(KG4) s nulovým prvkem20 = (0,..., 0) v Kn. Vlastnosti operací s vektory: Pro všechny vektory v, w G Kn a skaláry a G K platí (VI) a-(v + w) = a-v + a-w (V2) (a + b)-v = a-v + b-v (V3) a-(b-v) = (a-b)-v (V4) l-v = v 1.3. Příklady. Pro kterékoliv pole skalárů K se snadno ověří právě sformulované vlastnosti (V1)-(V4) pro Kn, protože při ověřování vždy používáme pouze vlastnosti skalárů uvedené výše. Tak můžeme uvažovat např. Rn, Qn, Cn, n = 1, 2, 3,.... Jiný příklad pole skalárů je Z^ = {0,1}, 1 + 1 = 0, 0 • 1 = 0, 1_1 = 1. Prvky Z2 lze chápat jako zbytkové třídy po dělení dvěma. Obecněji můžeme uvažovat okruh Zfc zbytkových tříd po dělení přirozeným číslem k. Snadno se ověří, že Zfc je polem právě když je k prvočíslo. Všimněme si, že k ověření vlastností V1-V4 potřebujeme pro použité skaláry pouze vlastnosti okruhu. Vlastnost (P) však bude podstatná později.3 1.4. Matice nad skaláry. Maticí typu m/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma / «11 Ö12 • • • aln \ A = °21 °22 • • • °2í \ u-"m,l u-"m,2 • • • ^m,n ' 2Používáme pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Podobně budeme pro sčítání a násobení používat stále stejný symbol. Navíc nebudeme většinou používat pro vektory žádné speciální značení, budu však důsledně pro skaláry používat písmena ze začátku abecedy, pro vektory spíše od konce. Cím dřív se s tím posluchač smíří tím lépe. 3Část naší teorie lze odvodit i pro skaláry tvořící okruh, hovoříme o tzv. modulech. Např. Zn je tzv. volný modul nad Z. 1. SKALÁKY, VĽK.TUKY, MA'ľlUE ô kde üij G K pro všechny 1 < i < m, 1 < j < n. Matici A s prvky a^ značíme také A = (aij). Vektory (au, a^, • • • , «in) £ ^n nazýváme řádky matice A, i = 1,..., m, vektory (a,ij, ü2ji ■ ■ ■ , amj) G Km nazýváme sloupce matice A, j = 1,..., n. Množinu všech matic typu m/n nad K značíme Matmn(K). Matici můžeme chápat jako zobrazení A : {1,... , m} x {1,... , n} —>• K. Matice typu l/n nebo n/l jsou vlastně vektory v Kn. I obecné matice z Matmn(K) lze však chápat jako vektory v Km-n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic v Matmn(K) a násobení matic skaláry. A + B = (aij + bij), kde A = (a^), B = (bio) a.A = (a.ttij), kde A = (a^), a G K —A = (—üij) se nazývá matice opačná k matici A /O ... 0 0 = ; ; | se nazývá nulová matice. \0 ... 0. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení: 1.5. Věta. Předpisy pro A+B, a.A, —A, 0 zadávají na Matmn (K) operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (V1)-(V4). D 1.6. Příklad. Matice lze vhodně využít pro zápis lineárních rovnic: alľxľ + al2x2 H--------h alnxn = y1 a2lXi + 0,22X2 H---------h a2nXn = y.2 amixi + am2X2 H--------h a,mnxn = ym '■ yi \ stejně tak y = ( : . Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A.x = y: Vm / au ... aln \ fxi\ f Vi ■ "ml • • • ďmn ' \ Xn / y yn Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme řádky z A a sčítáme součiny odpovídajících komponent Oi\X\ + • • • + Oinxn. Tím získáme z-tý prvek výsledného vektoru. Brzy odvodíme velice kalkul s maticemi, který nám umožní se systémy lineárních rovnic pracovat velice efektivně. 4 CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY L11\IKAK1\I1(JH KUVJNIU 1.7. Součin matic. Pro libovolnou matici A = (a^-) typu m/n nad okruhem4 skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cik) jako matici typu m/q s prvky ik = 2_, aijbjki Pro libovolné 1 < i < m, 1 < k < q. Například máme 2 1 \ / 2 1 l\ _ /3 2 3 1 —1 / " V —1 0 1 J V 3 1 0 1.8. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Píšeme Matmm(K) = Matm(K). Matici ... 0' nazýváme jednotková matice. Na Matm(K) je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení: Matm(K) x Matm(K) ->■ Matm(K) Věta. Pro libovolný okruh skalárů je na Matm (K) deňnována operace násobení. Splňuje vlastnosti (Ol) a (03) vzhledem k jednotkové matici E = 5^. Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje (04). Obecně však neplatí (02) ani (Ol), zejména tedy neplatí (P). Důkaz. Asociativita násobení - (Ol): A = (ttij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cH) typu p/q A-B = (^aij.bjk), B-C = (J^fy/fe-c*/) j k (A- B) -C = (%2(%2aij.bjk).ckl) = ^aij.bjk.Cki k j j,k A- (B -C) = (^2 a,ij.(^2 bjk-Cki)) = J^ aij.bjk-Cki j k j,k Jednotkový prvek - (03): A-E x /l 0 ••• 0\ Oil • • • 0,1m \ f \ A = E-A \0 0 ••• 1/ Čtenář, který se ještě nesmířil s abstrakcí okruhu, nechť přemýšlí v rámci číselných oborů. Potom okruhy skalárů zahrnují i celá čísla Z zatímco mezi poli jsou pouze K., Q, C. 1. SKALÁKY, VĽK.TUKY, MA'ľlUE 5 (04) - distributivita: A = (a^-) typu m/n, B = (b j k) typu n /p, C = (cjk) typu n /p, Z> = (dfc/) typu p/g A • (B + C) = (J2 aij(b3k + cJk) = (Eaijbjk) + E aücjfc)) =A-B + A-C j j j (B + C)-D = (%2(bjk + cjk)dkl) = ((J2 bjkdki) + (%2 cjkdM)) = B-D + C-D k k k Není komutativní: - dokážeme na příkladu 1 0\ /O 1\ _ /O 1 o o)'\o oj ~ ^0 O O 1\ íl 0\ _ /O O O oj'^0 oj ~ ^0 O Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (02) i (01), zatím ale jen pro matice typu 2/2. Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože je mají samy skaláry a pro větší matice získáme protipříklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!) D V důkazu jsme vlastně pracovali s maticemi obecnějšího typu, dokázali jsme tedy příslušné vlastnosti obecněji: 1.9. Věta. Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A-(B-C) = (A-B)-C, A ■ (B + C) = A ■ B + A ■ C, kdykoliv jsou tato násobení definována. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. D 1.10. Inverzní matice. Nechť B,A G Matm(K) jsou matice splňující A ■ B = B ■ A = E. Pak B se nazývá matice inverzní k matici A, píšeme B = A~x. Matice, k níž existuje matice inverzní se nazývá invertibilní matice. Pokud A~x a B~l existují, pak existuje i (A ■ B)~x = B~x ■ A~x. Je totiž (díky právě dokázané asociativitě násobení) (B'1 ■ A'1) ■ (A.B) = B~x ■ (A'1 ■ A) ■ B = E a (A ■ B) ■ (B-1 ■ A-1) =A-(B- B-1) ■ A-1 = E. Příklad. Soustava rovnic z 1.6 se snadno vyjádří součinem matic (au ••• alm \ / xi \ ( yx Ji : "ml Q"mm ' \Xr Pokud existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A~x a dostaneme A~x ■ y = A~l ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. hledané řešení. 1.11. Definice. Řádkové elementární transformace matic jsou (1) záměna dvou řádků (2) vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem (3) přičtení řádku k jinému řádku Analogicky, sloupcové elementární transformace matic jsou (ľ) záměna dvou sloupců (2') vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem (3') přičtení sloupce k jinému sloupci ö CAST 1. VEMUKUVE ťKUSlUKY A SUUSTAVY L11\IKAK1\I1(JH KUVJNIU 1.12. Věta (Gausova eliminace). Nenulovou matici nad K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar: (1) Je-li a,ij = 0 a všechny předchozí prvky na i-tém řádku jsou také nulové, potom a,kj = 0 pro všechna k > i (2) je-li o(í-i)j první nenulový prvek na (i — l)-vém řádku, pak a,ij = 0. Důkaz. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto o o v; o o o «2fc 0 aip «lm^ a2m ) a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: (1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. (2) Pro i = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a^-, i-tého řádku prvkem a,ij a odečtením vynulujeme prvek clíj na z-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. D Všimněme si, že jsme v důkazu používali pouze vlastností okruhu skalárů. Uvedený postup je právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Pro řešení systémů rovnic má ale uvedený postup rozumný smysl jen, když mezi skaláry neexistují dělitelé nuly. Pokud tvoří skaláry pole, pak můžeme navíc ze schodovitého tvaru snadno spočíst řešení (případně ověřit jeho neexistenci), promyslete si např. pečlivě rozdíl mezi K = Z a K = K. 1.13. Lemma. Elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození i-tého a j-tého řádku (resp. sloupce) (\ o o '•■ \ 1/ 1. SKALÁKY, VĽK.TUKY, MA'ľlUE (2) Vynásobení i-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: í1 \ V \) (3) Sečtení i-tého řádku (resp. sloupce) s j-tým: /l O 1/ Důkaz. Ověří se přímým výpočtem. D 1.14. Věta. Nechť K je pole skalárů. Pro každou matici A G Matmn(K) existují invertibilní matice P G Matm(K), Q G Matn(K) takové, že matice P. A je v řádkově schodovitém tvaru a /l ••• 0 ......... 0\ P-AQ 0 0 0 V: 1 0 .. 0 0 1 0 . .. 0 0 0 0 . .. 0 / * Důkaz. Aplikací Gaussovy eliminace upravíme A do schodovitého tvaru. Přitom všechny její kroky jsou elementární řádkové transformace. Podle předchozí věty existují tedy matice Pí,... , P&, které tyto elementární transformace realizují násobením zleva. Přímým ověřením zjistíme, že nad polem K. jsou všechny Pj invertibilní, tj- i jejich součin je invertibilní a (P& • Pk-i • ■ • (Pí • ^4) • • •) = (Pfc • Pk-% • • • P\) -A je ve schodovitém tvaru. Označme P = Pk---Pi, P-1=P~1...P-1. Přehozením pojmu řádek a sloupec lze odvodit (a tedy hlavně aplikovat) větu 1.12 na sloupce matice A a uvést ji sloupcovými elementárními transformacemi na tzv. sloupcově schodovitý tvar. Protože však již vycházíme z řádkově schodovitého tvaru, získáme až na násobky řádků invertibilní mi skaláry právě požadovaný tvar. Zbývá tedy již jen vynásobit příslušné nenulové řádky inverzními prvky v K. D 8 CAST 1. VEMUKUVE ťKUSľUKY A SUUSTAVY L11\IKAK1\I1(JH KUVJNIU 1.15. Algoritmus pro výpočet inverzní matice. Nechť K je pole a A G Matm(K) čtvercová matice. Podle 1.14 lze najít invertibilní matici P G Matm(K) takovou, že P ■ A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P ■ A. Jestliže však je poslední řádek v P ■ A nulový, bude nulový i poslední řádek v P ■ A ■ B pro jakoukoliv matici B G Matm(K). Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A~x. Předpokládejme nyní, že A~l existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že diagonální prvky v P ■ A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět získáme jistě jednotkovou matici. Jinými slovy, najdeme další invertibilní matici P' tak, že P' ■ P ■ A = E. Výměnou řádkových a sloupcových transformací lze za předpokladu existence A~x stejným postupem najít Q takovou, že A ■ Q = E. Odtud (P' ■ P) = (P' ■ P) ■ E = (P' ■ P) ■ (A-Q) = (P' ■ P ■ A) -Q = Q. To ale znamená, že jsme nalezli hledanou inverzní matici k A. Prakticky tedy můžeme postupovat tak, že vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k matici P' ■ P z předchozích úvah, tedy z ní získáme právě hledanou inverzi. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. Poznámky k přemýšlení 1. Komplexní čísla lze chápat jako dvojice reálných čísel. To dává realizaci C jako množiny reálných vektorů. Rozmyslete si to! 2. V textu jsme stručně zmínili tzv. zbytkové třídy celých čísel. Definujeme je takto: pro přirozené k > 2 je Z& = {0,1,..., k — 1} přičemž sčítání a násobení se definuje tak, že se provede příslušná operace v Z a za výsledek se vezme zbytek po dělení k. Např. v Z3 je 2.2 = 1, tzn. 2_1 = 2. Z& má vždy vlastnosti (KG1) -(KG4) a (Ol) - (04), tvoří tedy vždy okruh. Pro k prvočíselné jde navíc o pole, jinak to není ani obor integrity. Prověřte tyto vlastnosti a promyslete si důkaz věty 1.8 pro matice nad skaláry Z&. 3. Lze také potkat skaláry, které mají všechny vlastnosti pole až na komutativitu násobení. Takovými (nenulovými) skaláry lze úspěšně dělit, promyslete si ale, jaké potíže okamžitě nastanou třeba s elementárními řádkovými úpravami (např. násobit řádky zprava i zleva nejde pomocí elementárních matic!). Standardním příkladem jsou tzv. kvaterniony H, které lze definovat jako reálné vektory z R4 s násobením definovaným takto: pro 1 := (1,0,0,0), i := (0,1,0,0), j := (0,0,1,0), k := (0, 0, 0,1) klademe i2 = j2 = k2 = —1, i.j = k = —j.i, j.k = i = —k.j, k.i = j = —i.k, 1 je jednotka pro násobení. 4. Zadefinujte kvaterniony H jako C2 s vhodně definou operací násobení. (Návod: podobně jako u definice C jako dvojčlenů a + b.i pišme q = w + z.j a definujme 2. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A L11NĽAK1N1 ZUBKAZĽINI 9 * j2 = —1, z.j = j.z pro komlexní z, tzn. j komutuje s komplexními čísly až na konjugaci. Pak (a + b.j).(c + d.j) = ac + bd + (ad + bč).j.) 5. Pokud existuje k matici A matice inverzní A~l, pak je systém rovnic A.x = y vždy řešitelný (s řešením x = A~x.y). Jak to funguje nad Z, Z&? Spočtěte si A~x k matici A = I 1 nad Z5 a Z. 6. Najděte analogie k známým vzorcům pro mocniny dvojčlenů (pro skaláry (a + b)n = Sfc (k)a'kbn~k) platné pro čtvercové matice - pozor na nekomutativnost násobení. 7. Matice lze samozřejmě definovat nad libovolným okruhem (i s děliteli nuly). Rozvažte si pořádně, jak dalece pak funguje Gausova eliminace. Specielně si rozmyslete jaké hrůzy se dějí třeba v Mat2(Mat2(R)), tj. uvažujte matice typu 4/4 jako matice typu 2/2 jejichž prvky jsou reálné matice typu 2/2. 8. Rozmyslete si, co lze z důkazu věty 1.14 provést i pro matice nad libovolným komutativním oborem integrity (Návod: řádkovými elementárními transformacemi lze ještě stále získat schodovitý tvar, poté lze sloupcovými transformacemi vynulovat i zbytky řádků za prvním nenulovým, to co zbude nemusí však mít inverzní prvky. Pro celočíselné skaláry lze ale v každém případě dosáhnout, aby prvek na prvním řádku dělil ten na druhém, druhý zase ten na třetím atd.) 2. Vektorové prostory a lineární zobrazení 2.1. Definice. Vektorovým prostorem V nad polem5 skalárů K rozumíme množinu spolu s operací sčítání, pro kterou platí axiomy (KG1)-(KG4), a s násobením skaláry, pro které platí axiomy (V1)-(V4). Připomeňme si pro jistotu tyto axiomy: (KG1) (u + v) + w = u + (v + w), Vií, v,vj E V (KG2) u + v = v + u, Vu,t)Gľ (KG3) 30 G V, v + 0 = v, VveV (KG4) 3(-v) G V, v + (-v) = 0,VveV (VI) a.(v + w) = a.v + a.w VoGK,w,í« E V (V2) (a + b).v = a.v + b.v Va, b G K, v eV (V3) a.(b.v) = (a.b).vVa1beK1v EV (V4) l.v = v, \/vev Značení. Často se zavádí pro různé objekty různé typy písma pro symboly, kterými je označujeme. Např. pro vektory se užívají tučná písmena (v), nebo podtržená (v), nebo "opruhovaná" (v), případně se šipkou (v) apod. My budeme vesměs používat jen velmi jednoduchou konvenci: skaláry budou označovány znaky z počátku 5V podstatě postačí, když si čtenář bude vždy představovat pod K buď reálná čísla R nebo komplexní C, časem se seznámí i s jinými poli skalárů, např. zbytkovými třídami. lU CAST 1. VKKTUKUVK ťKUSlUKY A SUUSTAVY L11\IKAK1\I1(JH KUVINIU abecedy, tj. a, 5, c,..., zatímco pro vektory budeme užívat znaky z konce, u, v, w, x, y, z. Přitom ještě navíc většinou x, y, z budou opravdu n-tice skalárů. Pro úplnost výčtu, písmena z prostředka, např. i,j, k, l budou nejěastěji označovat indexy výrazů. 2.2. Věta. Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, a, &, aj G K, u, v, Uj G V. Potom (1) a • u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0 (2) (-1)-« = -u (3) a • (u — v) = a • u — a • v (4) (a — b) ■ u = a ■ u — b ■ u (5) (Eľ=i ai) ■ (£ľ=i uj) = ^ľ=i Ej"Li «í • «j- Důkaz. (a + 0)-u = a-u + 0-u = a-u což podle axiomu (KG4) zaručuje 0-u = 0. Nyní m + (—1) -u = (1 + (—1)) • u = 0 • u = 0 a odtud —m = (—1) • u. Dále a • (u+ (—1) • v) = a-u+ (—a) • v = a ■ u — a- v což dokazuje (3). Platí (a —b) -u = a ■ u + (—b) ■ u = a ■ u — b ■ u a tím je ověřeno (4). Vztah (5) plyne indukcí z (V2) a (VI). Zbývá (1): a ■ 0 = a ■ (u — u) = a ■ u — a ■ u = 0, což spolu s prvním tvrzením tohoto důkazu ukazuje jednu implikaci. K opačné implikaci poprvé potřebujeme axiom pole pro skaláry a axiom (V4) pro vektorové prostory: je-li p-M = 0ap/0, pak u = 1 • u = (p-1 ■ p) ■ u = p~x -0 = 0. D 2.3. Definice. Množina vektorů M C V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou fe-tici vektorů vi,..., v^ EMa každé skaláry a,i,..., a,k G K platí: di ' v\ + • • • + afc • Vh = 0 =>• ai = a,2 = ■ ■ ■ = a/c = 0- Posloupnost vektoru vi,... ,Vk nazveme lineárne nezávislou jestliže vi,... ,Vk jsou po dvou různé a {vi,..., v^} je lineárně nezávislá. Výrazy tvaru a\ -Vi + - ■ - + a,k -v^ nazýváme lineární kombinace vektoru v±,..., v^. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. 2.4. Věta. Nechť V je vektorový prostor. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je lineárně nezávislá. M G V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. Důkaz. Plyne okamžitě z definice lineární nezávislosti. D 2.5. Příklady. 1. Rm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, vektory (1,0), (0,1) G M2 jsou lineárně nezávislé, protože z a ■ (1,0) + b ■ (0,1) = (0,0) plyne a, = b = 0. Dále, vektory (1,0), (V5, 0) G M2 jsou lineárně závislé nad R; V2 ■ (1, 0) = (^2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! 2. VKKTUKUVID ťHUKTUKY A LllNĽAKJNl ZUBKAZĽINI 11 2. Polynomy stupně nejvýše rn tvoří vektorový prostor Em[a;]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení / : R —>■ R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (f + g)(x) = f(x) + g{x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). 3. Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení R —>■ R, množině spojitých zobrazení, množině diferencovatelných zobrazení, polynomech všech stupňů, atd. 2.6. Definice. Podmnožina M C V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va,6eK, W, w E M, a-v + b-w E M. 2.7. Věta. Nechť V je vektorový prostor nad K, I ^ 0 libovolná množina a nechť Wi, i E I, jsou vektorové podprostory ve V. Pak jejich průnik HjgjWj C V je vektorový podprostor. Zejména pro každou množinu M G V je množina f| W MCW W n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z těchto vektorů, což znamená, že nemohou být lineárně nezávislé. D "Všimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je "prázdnou" baží. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. 7Opět jde především o zavedení konvence. U konečně rozměrných podprostorů budeme vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků. Viz. diskuse o souřadnicích vektorů vzhledem k bázi. 2. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A L11NĽAK1N1 ZUBKAZĽINI ÍÔ 2.13. Důsledky. (1) Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů 2.14. Příklady. (1) Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n, baží je např. n-tice vektorů ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn. (2) C jako vektorový prostor nad R má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla laz. (3) !„ [x], prostor polynomů stupně nejvýše m má dimenzi ra +1, baží je např. posloupnost l,x,x2,... ,a:m. Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi oo, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): 1, x, x2,.... (4) Vektorový prostor všech zobrazení {/: R —>• R} má také dimenzi oo, tento prostor už ale nemá spočetnou bázi. 2.15. Věta. Nechť W, Wi, W2 C V jsou podprostory v prostoru konečné dimenze. Pak platí (1) dimW < dim V (2) V = W právě když dim V = dim W (3) dimWx + dimW2 = dim(Wi + W2) + dim(Wi n W2). Důkaz. Tvrzení (1) a (2) plynou z definice dimenze a ze Steinitzovy věty o výměně, protože báze je vždy lineárně nezávislá množina. Zbývající tvrzení jistě platí, pokud je dimenze jednoho z prostorů nulová. Předpokládejme tedy dimW7! = r ^ 0, dimW2 = s 7^ 0 a nechť (wi,... ,vjt) je báze W\ n W2 (nebo prázdná množina, pokud je průnik triviální). Podle předchozí věty lze tuto bázi doplnit na bázi (wi,... ,wt, wt+i,... ,ur) pro W\ a bázi (wi,... , wu vt+i,... ,vs) pro W2. Vektory Wi,..., wt, ut+i,... ,ur, vt+i,... ,vs jistě generují W\ + W2. Ukážeme, že jsou přitom lineárně nezávislé. Nechť a,i ■ W! H--------h at ■ wt + bt+i ■ ut+i -\--------h br ■ ur + ct+i ■ vt+i H--------h cs ■ vs = 0 Pak -(ct+i ■ vt+i H--------h cs ■ vs) = a,i ■ wľ H--------\-at ■ wt + bt+i ■ ut+i H--------\-br-ur musí patřit do W2 n W\. To ale má za následek, že bt+i = ■ ■ ■ = br = 0. Pak ovšem i ai • W\ + ■ ■ ■ + at ■ Wt + cí+i • Vt+i + ■ ■ ■ + cs ■ vs = 0 a protože příslušné vektory tvoří bázi W2, jsou všechny koeficienty nulové. Tvrzení (3) se nyní ověří přímým počítáním generátorů. D 14 CAST 1. VEMUKUVE FKUSTUKY A SUUSTAVY LllNlDAKlNIKJlrL KUVJNIU 2.16. Věta. Množina {ví,..., vn} C V je báze právě, když každý vektor v G V lze právě jediným způsobem vyjádřit jako lineární kombinaci v = a\V\ + • • • + a,nvn. Důkaz. V = {{ví,..., t>n}}, proto taková lineární kombinace vždy existuje. Předpokládejme v = a\V\ + • • • + anvn = b\V\ + • • • + bnvn. Potom 0 = (ai — bi) • v\ + • • • + («n — bn) ■ vn a proto a^ = bi pro všechna i = 1,..., n. D 2.17. Definice. Koeficienty jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor v G V ve zvolené bázi (ví,..., vn) se nazývají souřadnice vektoru v v této bázi. 2.18. Důsledek. Zvolme bázi v = (ví,... ,vn) prostoru V. Přiřazení, které vektoru u = a\V\ + • • • + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v: V —> Kn. Má tyto vlastnosti:8 (1) v(u + w) = v(u) + v(w); Vw, vj E V (2) v(a -u) = a- v(u); Va G K, \/u G V. 2.19. Definice. Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení /: V —>■ W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), Vu,veV (2) f(a-u) = a- /(«), Va Gl, V« G F. 2.20. Věta. Nechť f: V ^ W je lineární zobrazení. Pro všechny u,ui,... ,U)- G F, ai,..., ttk G K piati: (1) /(O) = o (2) f (-u) = -f (u) (3) /(ai ■ «i H--------h afc • Mfc) = ai • /(wi) H--------h afc • /(wfc) (4) pro každý vektorový podprostor Vi C V je jeho obraz f (Vi) vektorový podprostor ve W. (5) Pro každý podprostor W\ C W je množina f~1(Wi) = {v G V; f (v) G W\} vektorový podprostor ve V. Důkaz. Počítejme (s využitím axiomů a definic a již dokázaných výsledků - vyhledejte pečlivě odkazy!): /(O) = f (u -u) = /((l - 1) • u) = 0 • f (u) = 0. f (-u) = /((-l) • u) = (-1) • f (u) = -f (u). Vlastnost (3) se ověří snadno indukcí z definičního vztahu 2.19. Z (3) nyní plyne, že (/(Ví)) = /(Vi), je to tedy vektorový podprostor. Je-li naopak /(«) G W\ a /(w) G Wi, pak pro libovolné skaláry bude i f(a-u+b-v) = a- f(u) + b- f(v) G Wi. D 2.21. Definice. Nechť /: V —>■ W je lineární zobrazení. Vektorový podprostor Im/ := /(F) C W se nazývá obrazem V při zobrazení /. Vektorový podprostor Ker/ := /_1({0}) C V se nazývá jádro lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus. 8Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V. Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M_: V —> KM (tj. souřadnice vektoru jsou zobrazení z M do K). 2. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A L11NĽAK1N1 ZUBKAZĽINI 15 2.22. Věta. (1) Složení g o f: V —> Z dvou lineárních zobrazení f: V ^ W a g: W —>• Z je opět lineární zobrazení. (2) Lineární zobrazení /: V —> W je izomorfísmus právě když Im/ = W a Ker / = {0} C V. Inverzní zobrazení k izomorfísmu je opět izomorfísmus. (3) Pro podprostory V\,V2 a lineární zobrazení f: V —> W platí f(V\ + V2) = /(Vi) + f(v2), /(Vi n v2) c /(Vi) n f(v2). Důkaz. Ověření prvního tvrzení je snadné cvičení. Pro druhé si uvědomme, že je-li / lineární bijekce, pak w = f~1(a,u+bv) právě, když f(w) = /(a-/_1(w)+&-/_1(u)). Je tedy inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, / je surjektivní právě, když Im/ = W a pokud Ker/ = {0}, pak f(u) = f (v) zaručuje f(u — v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě / injektivní. Poslední tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! D 2.23. Důsledky. (1) Zobrazení "přiřazení souřadnic" u: V —> Kn dané libovolně zvolenou bází u = («i,..., un) vektorového prostoru V je izomorfísmus. (2) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. (3) Složení dvou izomorfismů je izomorfismus. 2.24. Souřadný tvar lineárních zobrazení. Nechť V,W jsou vektorové prostory nad K, dim V = n, dim W = m a nechť / : V —> W je lineární zobrazení. Pro každou volbu bází u = («i,..., un) na V, v = (ví,..., vn) na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřadnic: V-------------W u f Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi u. Označme /(«i) = an • ví + a2\ ■ v2 + ■ ~r djniVyn /M = ai2 • ví + a22 ■ v2 + • " + ßm2"m f(un) = Clin ■ V! + a2n ■ V2 + ■ ~r Q>mnVm tj. skaláry a^ tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot zobrazení / na bázových vektorech. Pro obecný vektor u = b\ ■ u\ + ■ ■ ■ + bn ■ un spočteme f(u) = 61 • f {m) H--------h bn ■ /(«„) = b^aiivx H--------h amlvm) H--------h bn(alnvľ H--------h amnvm) = (hau H--------h bnaln) ■ vi-\--------h (hami H--------h bnamn) ■ vm It) CAST 1. VEMUKUVE ťKUSlUKY A SUUSTAVY LIINKAKINIUH KUVINIU Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobrazení fu,v(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v Kk chápeme jako sloupce, tj. matice typu fe/1 fu,v(ií(w)) = v(f(w)) = A ■ «(tu). Matici A nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Naopak, každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení Kn —> Km. Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a W, odpovídá každé volbě matice typu m/n lineární zobrazení V ->• W. Nyní snadno vidíme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K. dimenze k s bází w, lineární zobrazení g: W —>■ Z a označme příslušnou matici gv w. V f W 9 u Ju,i W 9v Kn -'Jťž- Km --^^- Kfc 9v,w ° fu,v(x) = B ■ (A-x) = (B ■ A) -x = (go f)u,w(x) pro všechny x G Kn. Všimněte si, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím (ověřte si podrobně!). Ve speciálním případě lineárního zobrazení /: V —>■ V vyjadřujeme zpravidla / pomocí jedné báze u prostoru V. 2.25. Záměny bází. Uvažme vektorový prostor V a dvě báze u, v na V. Pro identické zobrazení idy: V —>■ V musí podle předchozího existovat matice A, která vyjadřuje toto lineární zobrazení ve zvolených bázích. V idy V u (idv), Tuto matici nazýváme matice přechodu od báze u k bázi v. Podle definice matice zobrazení ji získáme tak, že souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice. Význam matice přechodu je v tom, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. 2.26. Důsledky. Nechť V a W jsou konečněrozměrné vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. (1) A, B E Matmn(K) jsou maticemi téhož zobrazení /: V —>■ W v různých bazích, právě když existují invertibilní matice P a Q takové, že B = P-A-Q 2. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A L11NĽAK1N1 ZUBKAZĽINI 17 (2) Ve vhodně zvolených bazích mají všechna lineární zobrazení matici (tj. souřadný tvar) /l 0 ... 0 ... 0\ 0 0 0.. . 1 . . 0 0 0.. . 0 . . 0 \0 0 ... 0 ... 0/ (tzn. prvních několik souřadnic se kopíruje, zbytek se zapomíná, a vše případně doplníme nulami). (3) Pro libovolné lineární zobrazení / : V —> W platí: dim(Ker /)+dim(Im/) = dim(V) (4) A, B E Matn(Ä") jsou maticemi téhož zobrazení /: ľ->ľv různých bazích na V, právě když existuje invertibilní matice P taková, že B = P~ľ AP Důkaz. (1) Tvrzení plyne přímo z vyjádření / = idw of o idy v souřadnicích pro zvolené báze, viz. předchozí diagramy. (2) je přímým důsledkem (1) a Věty 1.13. (3) je okamžitě vidět, má-li zobrazení ve vybraných bazích matici uvedenou v (2). (4) je speciálním případem (1), protože v tomto případě musíme nejdříve přejít od nové báze k staré (násobení maticí P), pak aplikovat původní matici zobrazení / a nakonec se vrátit do nové báze (násobení inverzní maticí P-1). D 2.27. Definice. Matice A, B E Matmn(K) se nazývají ekvivalentní, jestliže existují invertibilní matice P, Q takové, že B = PAQ. Matice A, B E Matn(K) se nazývají podobné, jestliže existuje invertibilní matice P taková, že B = P'1 AP. "i 2.28. Příklady. 1. Projekce roviny xy do osy x je lineární zobrazení R2 —>■ R. Ve standardní 1 0' bázi má matici , 2. Otočení roviny proti směru hodinových ručiček o úhel a je lineární zobrazení s maticí í . I ve standardní bázi. Zvolíme-li dvě vhodné báze na R2, sin a cos a pak získáme vyjádření tohoto zobrazení jednotkovou maticí. Nelze však najít jednu bázi u na R2 ve které by toto zobrazení mělo diagonální matici, najděte jednoduchý (geometrický) důvod! 2.29. Definice. Nechť f a. g jsou lineární zobrazení z V do W. Jejich součet / + g : V —> W je definován vztahem (/ + g)(u) = f(u) + g(u), u E V. Pro každé a E K definujeme (a ■ f) : V —> W, (a ■ f)(u) = a ■ f(u). Množinu všech lineárních zobrazení V —>■ W značíme Hom(V, W). Na množině Hom(V, V) je navíc definováno skládání zobrazení, které spolu se sčítáním splňuje všechny vlastnosti okruhu. 18 CAST 1. VEMUKUVE ťKUSľUKY A SUUSTAVY LllNKAKlNKJH KUVJNIU 2.30. Věta. Nechť V, W jsou konečněrozměrné vektorové prostory nad polem skalárů K s bázemi u = («i,..., un) ve V a v = (ví,..., vn) v W. Dále nechť f, g G Hom( V, W) a nechť A, B jsou matice f a g v bazích u a v. Pak matice A + B je matice součtu (/ + g) a matice a ■ A je matice násobku a ■ f. Důkaz. Plyne okamžitě z definice matice zobrazení a vlastností násobení matic. Propočítejte si podrobně! D 2.31. Důsledek. Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor nad polem skalárů K. Každá volba báze u = (ui,... ,un) na V zadává isomorňsmus okruhu lineárních zobrazení Hom(V, V) a okruhu Matn(K) převádějící zobrazení na jejich matice. Poznámky k přemýšlení 1. Promyslete si důsledně, co říkají důležité výsledky této kapitoly (např. 2.2, 2.4, 2.11, 2.12, 2.13, 2.15, 2.16) pro konkrétní příklady vektorových prostorů z 2.5. 2. Promyslete si, ve kterém místě důkazu Steinitzovy věty o výměně se využije invertibilnost všech nenulových skalárů. (Pokud existují neinvertibilní nenulové, věta obecně neplatí!) 3. Specifikujte si větu 2.15 pro možné podprostory vť,S3. 4. Napište si souřadná vyjádření (tj. matice v standardní bázi) pro všechna běžná lineární zobrazení v rovině, např. zrcadlení vzhledem k přímce, symetrie vzhledem k bodu, roztažení ve směru os, otočení o daný úhel, projekce do dané přímky procházející počátkem. Podobně i pro R3. 5. K předchozímu problému zkuste najít bázi (případně báze) v rovině tak, aby matice zvoleného zobrazení byla co nejjednodušší. * 6. Pomocí důsledku 2.26 ukažte, že lineární zobrazení P: R3 —>■ R3 je projekcí na lineární podprostor právě, když P2 = P. Zkuste sformulovat a dokázat analogické tvrzení obecně. * 7. Dokažte tvrzení z 2.26.(2) přímo použitím Steinitzovy věty při konstrukci vhodných baží na definičním oboruu i oboru hodnot /: V —> W. * 8. Promyslete si, jak budou vypadat vektorové prostory nad Zp, viz. problém 2 z kapitoly 1. Diskutujte zejména závislost na p. * 9. V prostoru Hom(V, W) je pro každou volbu baží ve V a W indukována báze (je určena použitím kanonické báze prostoru matic - tj. matic A^ = (a^) kde a^- = 1 a všechny ostatní jsou nulové). Jak se tyto báze změní, změníme-li původní báze V a Wl 3. Matice a determinanty V této kapitole výjmečně nebudeme požadovat aby K bylo pole. Potřebné vlastnosti skalárů budeme upřesňovat podle potřeby. ô. MA'ľKJĽ A DĽTKKMIJNAJNTY 19 3.1. Definice. Bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X. Skládání zobrazení definuje na množině všech permutací na množině X strukturu grupy, tj. platí axiomy (KG1), (KG3), (KG4) (všimněte si, že komutati-vita je vynechána). Má-li množina X n prvků, hovoříme o symetrické grupě stupně n. Permutace a množiny X = {1, 2,... , n} lze zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: I /lN /r>N ''' , , ). Prvek x G X se nazývá samodružným \a{\) (j(2) ... a(n)J bodem permutace a, je-li a(x) = x. Permutace a taková, že existují právě dva různé prvky x,y E X s a(x) = y a a(z) = z pro všechna ostatní z E X se nazývá transpozice, značíme ji (x,y). 3.2. Věta. Každá permutace konečné množiny je součinem transpozic. Důkaz. Na X definujeme relaci ~ takto: a ~ b právě, když existuje k E Z s vlastností b = ak(a), kde pro k > 0 je ak(a) = a(.. .a(a(a))...), tj. k-krát aplikovaná a, a°(a) = a a pro záporná k klademe ak = (a~1)~k. Zde a~x je inverzní zobrazení k a, tj. a~1(a(a)) = a. Relace ~ splňuje: (1) a ~ a, protože a°(a) = a (reflexivita) (2) a ~ b =>• b ~ a, protože ak(a) = b právě, když a = a~k(b) (symetrie) (3) a ~ b A b ~ c =>• a ~ c, protože ak o a1 = ak+l (tranzitivita). Množina X se tedy rozpadá na třídy ekvivalence ~, uvažme jednu takovou třídu obsahující a E X. Celé X je konečná množina, jistě tedy platí ap(a) = aq(a) pro jistá p < q, uvažujme 0 < p < q nejmenší možná s touto vlastností. Pokud je p = 0, pak aq(a) = a, pro libovolné p je ap(a) = a(ap~1(a)) = cr(cr(9-1)(a)). Protože ale q a p byly zvoleny minimální, je také aq(a) = a. Pro každé b ~ a je b jedním z prvků {a, a (a),.. .,aq~1(a)} C X a tato množina je právě třídou rozkladu obsahující a. Zúžení permutace a k této podmnožině zapíšeme jako složení transpozic (a, cr9_1(a)) o (a, aq~2(a)) o ... o (a, cr(a)). Diskutované zúžení permutace cr rozšíříme na permutaci celé X tak, že všechny ostatní body (mimo uvažovanou třídu ekvivalence) budou samodružné. Je-li celý rozklad na třídy ekvivalence X = XiU- • -UXr, pak se původní permutace a vyjádří jako složení r permutací ai odpovídajících jednotlivým třídám. Každá z nich je již vyjádřena jako součin transpozic a věta je dokázána. D Permutacím ai z předchozího důkazu říkáme cyklus. Někdy se cyklem chápe pouze permutace a na množině {ai,... , a^} tvaru a(a,j) = a^+i, j = 1,..., k — 1, °"(afc) = ai- Délkou takového cyklu rozumíme počet k permutovaných prvků. V naší definici připouštíme navíc existenci samodružných prvků, délkou však rozumíme opět pouze počet prvků, které samodružné nejsou. 3.3. Důsledek. Každá permutace a konečné množiny je součinem cyklů. D 3.4. Definice. Dvojice prvků a, b E X = {1,... , n} tvoří inverzi v permutaci a, je-li a < b a a (a) > a(b). Permutace a se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (—l)P°cet mverzi_ Značíme ji sgn(cr). w CAST 1. VEMUKUVE ťKUSlUKY A SUUSTAVY LIINKAKINIUH KUVJNIU 3.5. Věta. Na množině X = {1,2,... , n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací. Důkaz. Provedeme indukci přes počet prvků množiny X. Pro jednoprvkovou množinu tvrzení platí, protože na ní existuje právě jedna permutace. Předpokládejme že tvrzení platí pro všechny množiny s n — 1 prvky a uvažme permutaci a(l) = a±,..., cr(n) = an. Podle indukčního předpokladu, všechny permutace, které mají na posledním místě an, dostaneme z tohoto pořadí postupným prováděním transpozic. Přitom jich bude (n — 1)!. V posledním z nich prohodíme cr(n) = an za některý z prvků, který dosud nebyl na posledním místě a znovu uspořádáme všechny permutace s tímto vybraným prvkem na posledním místě do posloupnosti s požadovanými vlastnostmi. Po n-násobné aplikaci tohoto postupu získáme n! zaručeně různých permutací, tzn. všechny, právě předepsaným způsobem. Všimněte si, že důležitou částí postupu je možnost začít s libovolnou z permutací. D 3.6. Věta. Provedení libovolné transpozice změní paritu permutace. Každé pořadí čísel {1,2,... , n) lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Důkaz. Nechť je v pořadí (ai,... , a^, aj+i,... , an) r inverzí. Pak je v pořadí (ai,... , a,i+i, tti,... , an) buď r — 1 nebo r + 1 inverzí. Každou transpozici (a^, o,j) lze přitom získat postupným provedením (j — i) + (j — i — 1) = 2(j — i) — 1 transpozic sousedních prvků. Proto se provedením libovolné transpozice parita permutace změní. Navíc víme z předchozí věty, že všechny permutace lze získat prováděním transpozic, lze je tedy získat i prováděním transpozic sousedních prvků. D 3.7. Důsledek. Na množině X = {1,... ,n}, n > 1, je právě \n\ sudých a \n\ lichých permutací. Pro permutace a, n: X —>■ X platí sgn(cr o n) = sgn(cr) • sgn(r)), sgn(cr_1) = sgn(cr). D 3.8. Definice. 9 Nechť A = (a^) je čtvercová matice v Matn(K). Determinant matice A je skalár detA = \A\ definovaný vztahem 1^1 = ^2 Sgn(Cr)al<^(l) ' a2 K je jediné takové zobrazení, až na skalární násobek. (Požadujeme totiž, aby byl objem "lineární v každém sloupci" a aby měnil znaménko při záměně dvou sloupců. Navíc nesmí záležet na volbě souřadnic.) ô. MATKJĽ A DĽTKKMIJNAJNTY 2Í Podobně pro n = 3 spočteme au ai2 ai3 021 022 Ö23 031 032 Ö33 "011022033 — 013022031 + 013021032 — 011023032 + 012023031 — 012021033. Tomuto vzorci se říká Saarusovo pravidlo. 3.10. Definice. Nechť A = (a,ij) G Matmn(K), potom matice AT = (a£-) G Matnm(K) s prvky a\ ■ = a^-j se nazývá matice transponovaná k matici A Matice A G Matmn(K) s vlastností A = AT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = —AT, pak se A nazývá antisymetrická matice. 3.11. Věta. Nechť A G Mat„(K). (1) |.4T| = |A| (2) Je-ü jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\ = 0 (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = —\B\ (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem a G K, pak \B\ = a\A\ (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru a^j = c^j + b^j a všechny ostatní řádky v maticích A, B, C jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\. Důkaz. (1) Členy determinantů \A\ a \AT\ jsou v bijektivní korespondenci. Členu sgn(cr)aiť7(i) • a2cr(2) '"' ana{n) přitom odpovídá člen sgn(cr)aCT(i)i • aa{2)2 ■ ■ ■ aa(n)n = sgn(cr)ai(T-i(1) • a2(T-i(2) • • • ana-i(n), přičemž musíme ověřit, že je tento člen opatřen správným znaménkem. Podle 3.7 je však parita a a a~x stejná, jde tedy opravdu o člen \AT\ a první tvrzení je dokázáno. (2) Plyne přímo z definice determinantu, protože všechny jeho členy budou nulové. (3) Ve všech členech |^4| dojde u permutací k přidání jedné transpozice, tvrzení tedy plyne z 3.6. (4) Vyplývá přímo z definice, protože členy determinantu \B\ jsou členy \A\ vynásobené skalárem a. (5) V každém členu \A\ je právě jeden součinitel z A;-tého řádku matice A. Protože platí distributivní zákon pro násobení a sčítání v K, vyplývá tvrzení přímo z definičního vztahu pro determinanty. D Poznámka. Všimněme si závažného důsledku prvního tvrzení věty, \A\ = \AT\. Zaručuje totiž, že kdykoliv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. V dalším proto budeme většinou tvrzení formulovat a dokazovat pro řádky, používat budeme ale bez zábran i odpovídající tvrzení pro sloupce. Např. hned následující věta platí zároveň i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců k vybranému. 22 CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY LllNKAKlNKJH KUVINIU 3.12. Věta. Determinant \A\ se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Důkaz. Jsou-li v A dva stejné řádky, je |^4| = 0 (uvědomme si, že jsou v determinanty vždy dva sčítance stejné až na znaménko). Je tedy podle 3.11.(5) možné přičíst k vybranému řádku libovolný jiný řádek, aniž by se zmněnila hodnota determinantu. Vzhledem k 3.11.(4), lze přičíst i skalární násobek libovolného jiného řádku. D 3.13. Poznámka. Determinant matice v (řádkovém) schodovitém tvaruje |^4| = «n • 0,22 • • • • ann. Předchozí věta tedy poskytuje velice efektivní metodu výpočtu determinantů pomocí tzv. Gaussovy eliminační metody, viz. 1.12. 3.14. Definice. Nechť A = (a^-) G Matmn(K) a 1 < i\ < ... < i^ < m, 1 < ji < • • • < ji < n nechť jsou přirozená čísla. Pak matici ai\j\ aiiJ2 ■ ■ ■ aiiji \ M . aikjl aíkJ2 • ■ • aik3l / eMatfc,(I) nazýváme submatici matice A určenou řádky ii,... ,ik a sloupci ji,... , j\. Zbývajícími (m — k) řádky a (n — l) sloupci je určena matice M* G Mat(m_/c)(n_;)(K), která se nazývá doplňková submatice k M v A. Při k = l je definován \M\, který nazýváme sub determinant nebo minor řádu k matice A. Je-li m = n, pak při k = / je i M* čtvercová a \M*\ se nazývá doplněk minoru \M\, nebo doplňkový minor k submatici M v matici A. Skalár C — l^H----Mfc+jiH----\-ji . \Jif*\ se nazývá algebraický doplněk k minoru \M\. Submatice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají hlavní submatice, jejich determinanty hlavní minory matice A. Při speciální volbě k = l = 1, m = n hovoříme o algebraickém doplňku Aij prvku cti j matice A. 3.15. Lemma. Nechť A G Matm(K) a \M\ je její minor řádu k < m. Pak součin libovolného členu \M\ s libovolným členem jeho algebraického doplňku je členem \A\. Důkaz. Pokud je \M\ hlavní minor matice A, plyne tvrzení přímo z definice determinantu. Nechť je matice M určena řádky i\ < Í2 < ■ ■ ■ < %u a sloupci ji < ■ ■ ■ < jk- Pak pomocí (ži — 1) + • • • + (žfc — k) výměn sousedních řádků a (ji — 1) + • • • + (j& — k) výměn sousedních sloupců v A převedeme submatici M na hlavní submatici a doplňková matice přitom přejde právě na doplňkovou matici. Celá matice A přejde přitom v matici B, pro kterou platí podle 3.11.(1), 3.11.(3) a definice determinantu \B\ = (-l)a\A\, kde a = ELi(^ - jh)-2(1 +■ ■ ■ + k). D ô. MATKJĽ A DĽTKKMIJNAJNTY Tô 3.16. Laplaceova věta. Nechť A = (a^) G Matn(K) a nechť je pevně zvoleno k jejích řádků. Pak \A\ je součet všech (£) součinů (-\)i^+-+ik+h+-+3i . \m\ ■ \M*\ minorů řádu k vybraných ze zvolených řádků, s jejich algebraickými doplňky. Důkaz. Jak víme, \A\ obsahuje právě n! různých členů, právě jeden pro každou permutaci. (Členy jsou různé jako polynomy v prvcích matice A, přitom lze pro každý z členů zvolit matici A takovou, že pouze tento člen bude nenulový.) Podaří-li se nám ukázat, že uvažované součiny obsahují právě n! různých členů z |^4|, bude tvrzení věty dokázáno. Ze zvolených k řádků lze vybrat (^) minorů M a podle předchozího lematu je každý z k\(n — k)\ členů v součinech \M\ s jejich algebraickými doplňky členem \A\. Přitom pro různé výběry M nemůžeme nikdy obdržet stejné členy a jednotlivé členy v (—l)*1"1 ^lk+h~\ h?'; . |j^f| . |]\/f*| jsou také po dvou různé. Celkem tedy máme právě požadovaný počet k\(n — k)\(^) = n\ členů. D 3.17. Praktický výpočet. Předchozí věta převádí výpočet |^4| na výpočet determinantů nižšího stupně. Této metodě výpočtu se říká Laplaceův rozvoj podle zvolených řádků či sloupců. Např. rozvoj podle z-tého řádku nebo i-tého sloupce: \A\ n / j Q'ij-^ij 7 j a ji A ji kde Aij označuje algebraický doplněk k prvku (minorů stupně 1) a^. Při praktickém počítání determinantů bývá výhodné kombinovat Laplaceův rozvoj s přímou metodou přičítání lineárních kombinací řádků či sloupců. 3.18. Cauchyova věta. \A-B\ = \A\ ■ \B\. Nechť A = {aij), B = (pij) jsou matice v Matn(K). Pak Důkaz. Použijeme dvakrát Laplaceův rozvoj na vhodné matice. Uvažme nejprve (blokovou) matici H G Mat2n(K) H A 0 -E B í au 0-n\ \ o alr 0 0 611 6nl 0 bin Unn / Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme právě \H\ = \A\ ■ \B\. Nyní nejprve budeme k posledním n sloupcům postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi (blokovou) matici s nulami v pravém dolním rohu: /an ... aln cn • • • Cín \ K dni Cnl V o o J 24 CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY LllNKAKlNKJH KUVINIU * Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat Cij = anbij + ai2b2j + • • • + a,inbnj neboli jde právě o prvky součinu A ■ B a \K\ = \H\. Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme |üf | = (_l)n+l+-+2n|A . 5| = (_^2n.(n+l) . \A ■ B\ = \A ■ B\. D 3.19. Důsledek. (1) Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |^4| invertibilní skalár a platí \A\~X = \A~X\. (2) Jak jsme viděli již v 2.26, dvě matice A, B E Matn(K) jsou maticemi téhož zobrazení /: V —> V v různých bazích právě, když existuje invertibilní matice P, pro kterou platí A = P ■ B ■ P~x. Odtud plyne \A\ = \P\ ■ \B\ ■ \P~ľ\ = \B\ ■ \P ■ P~l\ = \B\. Má tedy determinant matice zobrazení hodnotu nezávislou na naší volbě báze.10 3.20. Definice. Nechť A = (o„) G Mat„(K). Matici A* = (a*j), kde a*j = Ajt jsou algebraické doplňky k prvkům ují v A, nazýváme algebraicky adjungovaná matice k matici A. 3.21. Věta. Pro každou matici A E Mat„(K) platí A A* = A* A = \A\ ■ E. Zejména (1) A~x existuje vMatn(K) právě, když \A\~X existuje v K (2) Pokud existuje A'1, pak platí A'1 = \A\~X ■ A* Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A~x vyplývá invertibilita \A\ G K. Předpokládejme naopak, že \A\ je invertibilní skalár. Spočteme přímým výpočtem A ■ A* = (cý-): n n cij = / J aikakj = / j aikAjk-fc=l fc=l Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj \A\ podle z-tého řádku. Pokud i ^ j jde o rozvoj determinantu matice v níž je z-tý a j-tý řádek stejný a proto je Cý- = 0. Odtud plyne A ■ A* = \A\ ■ E, ale již v 1.15 jsme odvodili, že z rovnosti A ■ B = E plyne i B ■ A = E. (Pokud tomu někdo dá přednost, může zopakovat předešlý výpočet pro A* ■ A.) D Úmluva. Ve všech předchozích úvahách v této kapitole jsme uvažovali obecný okruh skalárů K. Nyní již až do konce kapitoly budeme předpokládat že K je pole. 3.22. Definice. Nechť A G Matmn(K), a K je pole. Hodností matice nazýváme maximální počet jejích nezávislých řádků. Čtvercová matice A G Matn(K) se nazývá regulární, je-li její hodnost n, v opačnám případě ji nazýváme singulární. Hodnost matice A značíme h(A). Můžeme proto přímo hovořit o determinantu lineárního endomorfismu. Později uvidíme, že se jedná o (vždy konstantní) poměr mezi objemy rovnoběžnostěnů a jejich obrazů v daném automorfismu /. To samozřejmě geometricky vysvětluje platnost Cauchyovy věty. ô. MA'ľKJĽ A DĽTKKMIJNAJNTY 2b 3.23. Věta. Nechť K je pole. (1) Hodnost libovolné nenulové matice A G Matmn(K) je rovna maximálnímu řádu nenulového minoru v A. (2) h(A) je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců. (3) A G Matn(K) je regulární právě, když \A\ ^ 0. Důkaz. (1) Protože je A nenulová, existuje v ní nenulový minor \M\ maximálního stupně k < min{m,n}. Vhodným přeskládáním řádků a slouců matice A dosáhneme toho, že tento minor je hlavním minorem. Přitom přeskládání řádků nemění množinu řádků matice A, přeskládání sloupců vlastně znamená aplikaci isomorfismu, který "přejmenovává" prvky standardní báze Km, jistě tedy nemění počet lineárně nezávislých řádků. Bez újmy na obecnosti tedy přímo předpokládejme, že \M\ je nenulový hlavní minor maximálního stupně k. Podle věty 3.12 musí být prvních k řádků v A lineárně nezávislých, tzn. h(A) > k. Uvažme nyní libovolné i > k, 1< j < n a minor I Ail an • • • ciik aij «fci • • • akk Q>kj ují ... Oik Oj^j Protože je to minor stupně k + 1, musí být \Dij\ = 0. Rozkladem tohoto determinantu podle posledního sloupce, dostaneme 0 = aij ■ \M\ + ^2 asj ■ Bsj kde Bsj jsou algebraické doplňky prvků asj v matici D^j a zřejmě nezávisí na volbě j. Protože \M\ ^ 0 podle předpokladu, dostali jsme z-tý řádek jako lineární kombinaci prvních k řádků pro libovolné i > k a první tvrzení je dokázáno. Vlastnosti (2) i (3) plynou okamžitě z (1). D 3.24. Důsledky. (1) Z defínice hodnosti vyplývá, že hodnost matice A lineárního zobrazení f: V —> W (v libovolných bazích) je rovna dimenzi obrazu Im/. (Dimenze obrazu je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců v A, ta je ale rovna hodnosti.) (2) Zobrazení mezi vektorovými prostory stejné dimenze je isomorfísmus právě, když jeho matice A v některých (tedy libovolných) bazích splňuje \A\ ^ 0. 3.25. Věta. Nechť A G Matmn(K), ß G Matnp(K). Potom h(A-B) 1 lineárních rovnic o neznámých x\,..., xn nad týmiž skaláry K, diiXi + • • • + CLinxn = bi] i = 1,..., rn, hovoříme o systému lineárních rovnic nad K. Matici / «11 A=v \ami nazýváme matice soustavy. Matici (an «ml nazýváme rozšířenou maticí soustavy. Řešením soustavy rozumíme n-tici ( Ui změní rovnice na identity. Pro b = (&i,... ,5m)7, x = (xi,... ,xn)J, u = («i,... ,un)T tedy řešení x = u převádí systém lineárních rovnic na rovnost A-u = b vyjádřenou pomocí násobení matic. Soustava je řešitelná, resp. neřešitelná, pokud existuje, resp. neexistuje, alespoň jedno řešení. Soustava se nazývá určená, resp. nedourčená, je-li řešitelná a má jedno, resp. více než jedno, řešení. Dvě soustavy se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení. 4.2. Poznámky. Výraz A ■ x = b lze číst takto: A je matice zobrazení A: Kn —>■ Km, b G Km. Řešením jsou ty vektory, které se zobrazí na b. Každá elementární řádková transformace vede k ekvivalentní soustavě. Zejména následující úpravy nemění řešení soustavy rovnic: (1) záměna rovnic (2) vynásobení libovolné rovnice prvkem z K (3) přičtení libovolné lineární kombinace ostatních rovnic Naopak, elementární sloupcové transformace k ekvivalentním soustavám nevedou, protože se "míchají" proměnné mezi sebou (např. vyměnění sloupců má za následek přejmenování proměnných). ... alr aln b Q'mn "m u\,... ,un) G Kn, která po dosazení Xi 28 CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY LllNKAKlNKJH KUVINIU 4.3. Gaussova eliminace. Ekvivalentními (řádkovými) úpravami lze tedy převést rozšířenou matici A' soustavy na (řádkový) schodovitý tvar. Soustavu pak již snadno dořešíme postupným zpětným dosazováním zdola. Přitom mohou nastat tři rozdílné případy. Předpokládejme pro jednoduchost, že K. je pole. (1) ve získaném schodovitém tvaru je v posledním nenulovém řádku jediný nenulový prvek a to v posledním sloupci (absolutní členy). Soustava pak nemá řešení. (2) ve fázi zpětného dosazování je v právě diskutovaném řádku právě jedna dosud nespočtená hodnota proměnné. Výpočet pak pokračuje spočtením této proměnné. (3) ve fázi zpětného dosazování je v právě diskutovaném řádku více než jedna dosud nespočtená hodnota proměnné. V tom případě zvolíme jednu z těchto proměnných, ostatní prohlásíme za volné proměnné. Hodnoty volných proměnných chápeme jako nezávislé parametry a zbývající hodnotu vybrané proměnné spočteme v závislosti na těchto parametrech. Tímto postupem vyřešíme po konečném počtu úkonů libovolný konečný systém lineárních rovnic nad polem skalárů. V každém kroku zpětného dosazování přitom vlastně řešíme jednu lineární rovnici pro jednu proměnnou s nenulovým koeficientem u proměnné. Pokud skaláry netvoří pole, mohou nastat navíc komplikace s výpočty hodnot proměnných zadaných těmito rovnicemi v jedné proměnné.11 V dalším se budeme zabývat podrobnějším popisem řešitelnosti a vlastností systémů lineárních rovnic. 4.4. Probeniova věta. Nechť K je pole. Soustava lineárních rovnic má řešení právě, když je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Důkaz. Nechť je u řešením soustavy A ■ x = b, tj. opravdu platí A ■ u = b. Pak je b lineární kombinací sloupců matice A a odtud plyne h(A') = h(A). Je-li naopak h(A) = h(A'), pak je b lineární kombinací sloupců v A, ale to je právě tvrzení, že b = A(lii,... , un)T pro vhodné skaláry Ui, neboli systém rovnic A ■ x = b má řešení. D 4.5. Věta. Nechť K je pole. Soustava A ■ x = b, A G Matmn(K), je nedourčená právě, když je řešitelná a počet neznámých je větší než h(A) a je určená právě když je řešitelná a počet neznámých je roven h(A). Důkaz. Hodnost matice soustavy nemůže být nikdy větší než počet proměnných, tj. n. Předpokládejme nejprve h(A) = n. Pak m > n, ale nejvýše m rovnic (řádků v A) může být lineárně nezávislých. Protože ty závislé můžeme vynechat, lze přímo předpokládat, že m = n = h(A). V tomto případě ovšem existuje inverze A~x a tedy existuje právě jedno řešení uvažovaného systému, u = A~x ■ b. Naopak, jestliže existuje právě jedno řešení u soustavy, pak i soustava rovnic A ■ x = 0 je určená. Skutečně, pokud by existovalo nenulové řešení v, tj. A ■ v = 0, pak i A-(u + v) = A-u + A-v = bje dalším řešením původního systému. Odtud ale 11 Metoda se zdá být numericky zcela triviální, počítačová implementace má však vážná úskalí, protože se obtížně ošetřují možná dělení velmi malými čísly. V důsledku toho se obtížně odhadují numerické chyby vzniklé při výpočtu. 4. SYS1ĽMY LIINĽAKINIUH KUV1NKJ 29 plyne, že jediným řešením systému A ■ x = O je nulový vektor a tedy sloupce v A jsou lineárně nezávislé. Tím je dokázáno druhé tvrzení. Zbývá tedy případ h(A) < n. Vyberme maximální počet h (A) lineárně nezávislých řádků via ostatní (závislé) rovnice zapomeňme. Provedením Gaussovy eliminace jistě získáme (řádkový) schodovitý tvar, kde v některém z řádků bude nutno určit hodnoty několika proměnných. Přesněji, při zpětném dosazování získáme právě n — h(A) volných proměnných. Dosazením různých hodnot za tyto volné proměnné získáme různá řešení, je tedy původní systém nedourčený. Naopak, jestliže existuje více řešení daného systému A ■ x = 0, zvolme dvě různá řešení u,v G Kn. Pak ale A.{u — v) = 0 a {u — v) ^ 0, takže sloupce v A jsou lineárně závislé. Odtud již plyne h(A) < n. D 4.6. V důkazu jsme získali ještě i dodatečnou informaci o množině všech řešení systému lineárních rovnic. Vrátíme se k této otázce podrobněji. Nejprve zavedeme potřebné značení. Lineární rovnice a\X\ + • • • + anxn = b se nazývá homogenní, jestliže 5 = 0, nehomogenní pro b ^ 0. Soustava A- x = 5 je homogenní, jestliže vektor absolutních členů je nulový, tj. b = 0, a je nehomogenní, je-li 5^0. Pro soustavu A ■ x = b nazýváme příslušnou homogenní soustavu A ■ x = 0 zhomogenizovanou soustavou. 4.7. Věta. Nechť K je pole. Pro každou homogenní soustavu A ■ x = 0, A G MatmniK) platí (1) má vždy nulové řešení x = 0 (2) množina všech řešení je vektorový podprostor U C Kn, dimč7 = n — h(A) je rovna počtu volných proměnných. Důkaz. První tvrzení je triviální - nulový vektor splňuje ^4-0 = 0 pro každou matici A. Předpokládejme, že u, v G Kn jsou dvě řešení, tj. A ■ u = A ■ v = 0. Pro a, b G K je A ■ (au + bv) =p-A-u + b-A-v = 0 a proto je U C Kn vektorový podprostor. Všechny vektory v U jsou zadány volbou k = n — h(A) hodnot volných proměnných. Zadáním A;-tic volných proměnných (1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 1) jistě získáme lineárně nezávislé generátory podprostoru všech řešení. D 4.8. Definice. Báze podprostoru U C Kn všech řešení homogenní soustavy rovnic A ■ x = 0, A G Matmn(K), se nazývá fundamentální soustava řešení. 4.9. Poznámky. (1) Řešení soustavy A ■ x = 0 je vlastně hledání jádra příslušného zobrazení. (Odtud již také plyne, že řešení homogenního systému vždy tvoří podprostor.) Dimenze jádra se často nazývá defekt zobrazení, podobně n — h(A) je defekt matice A. (2) Naopak každý vektorový podprostor je jádrem vhodného zobrazení. Zkonstruujme jeden takový systém. Je-li U C Kn a («i,... ,ui) je báze U, můžeme ji doplnit na bázi (w1;... ,ui,v\,... ,vn_i) celého Kn. Každému x G Kn přiřadíme jeho n — l souřadnic u prvků {v\,... , vn-i). Tím získáme zobrazení A: W1 —)■ Kn_' jehož jádrem je právě podprostor U. ÔU CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY L11\IKAK1\I1(JH KUVINIU 4.10. Věta. Nechť A ■ x = b je systém lineárních rovnic, A G Matmn(K) a K je pole. Pak platí (1) součet libovolného řešení soustavy A ■ x = 0 a libovolného řešení soustavy A ■ x = b je řešením soustavy A ■ x = b. (2) rozdíl dvou libovolných řešení soustavy A-x = b je řešením zhomogenizované soustavy A ■ x = 0 Důkaz. Ověří se přímým výpočtem. D Nyní uvedeme obecnou metodu výpočtu řešení soustav lineárních rovnic, která funguje pro všechny komutativní okruhy skalárů. 4.11. Cramerovo pravidlo. Nechť je dána soustava lineárních rovnic A ■ x = b, A G Matm(K) a nechť \A\~ľ G K existuje. Pak daná soustava má právě jedno řešení x = (xi,... , xn)T a platí Xi = |A|_1 • \Ai\, kde matice Ai vznikla z A nahrazením i-tého sloupce sloupcem absolutních členů. * Důkaz. Protože \A\ je invertibilní skalár, existuje v Matmn(K) inverzní matice A~x. Proto má soustava právě jedno řešení. Toto řešení lze navíc přímo spočíst: x = A~1-b = \A\~X -{A* -b) a odtud plyne vztah pro i-tou komponentu vektoru x xi = l^-l / XAjjbj) j kde Aji je prvek v i-tém řádku a j-tém, sloupci algebraicky adjungované matice A*. To je ale právě Laplaceův rozvoj matice Ai podle i-tého sloupce. D 4.12. Poznámka. Řešení systémů lineárních rovnic pomocí eliminace proměnných je jednoduché, bez podstatných numerických problémů, jen je třeba dát pozor na správnou volbu volných proměnných. Cramerovo pravidlo je většinou daleko náročnější na výpočet, protože představuje výpočet mnoha determinantů. Na druhé straně často potřebujeme spočíst jen několik málo souřadnic řešení (např. při hledání průniků podprostorů). Navíc má velký teoretický význam (už proto, že je to symbolická formule pro řešení, se kterou se dá dále pracovat). Poznámky k přemýšlení 1. Pro libovolné matice A G Matn(K) platí slabší verze Cramerova pravidla (bez požadavku invertibility): Je-li A.p = 0 pro pel", pak \A\.pi = 0 v K pro všechny komponenty vektoru p. Dokažte! (Všimněte si, že A.p = 0 sebou nese lineární závislost sloupců.) 2. Výsledky této kapitoly lze rozšířit na tzv. maticové rovnice A.X = B, kde A G Matmn(K), B G Matmp(K) a řešení X se hledá v Matní,(K). Zejména platí A.X = B je řešitelné právě, když hodnost rozšířené matice je rovna hodnosti matice A, a Cramerovo pravidlo lze formálně psát ve tvaru Xíj = ,^ľ. Sformulujte přesně a dokažte! 5. UĽUIVIĽTKIU; KÍNDUMUKľ ISMU A KAINUJNUJKU) TVAKY ôí 5. Geometrie endomorfismů a kanonické tvary V celé kapitole bude K. pole skalárů. Představujme si K. = E. nebo K. = C. Připomeňme, že endomorfismem rozumíme libovolné lineární zobrazení V —>■ V. 5.1. Definice. Nechť ip : V —>■ V je lineární zobrazení vektorového prostoru y do sebe. Podprostor U C V se nazývá invariantní podprostor (vzhledem k V jsou lineární zobrazení a nechť U G V je invariantní podprostor vzhledem k

V je endomorňsmus, dim V = m. Pak platí (1) Ve V existuje invariantní podprostor dimenze n právě, když existuje báze V, ve které má

V jednorozměrný invariantní podprostor, pak jeho zúžení k tomuto podprostorů musí být násobení vhodně zvoleným skalárem. Naše další úsilí bude směřovat k nalezení rozkladů na takové podprostory, podmínek za kterých existují, případně co lze o zobrazení říci, pokud neexistují. Je zcela zřejmé, že celý prostor V je přímým součtem jednorozměrných invariantních podprostorů právě tehdy, když existuje jeho báze, v níž má zobrazení

V je lineární zobrazení. Vlastní vektor zobrazení

■ V je lineární zobrazení, A jeho matice v jisté bázi V. Potom platí: (1) Vlastní vektory zobrazení

— a • idy) C V, mimo nulový vektor, a tento podprostor je invariantní podprostor ve V. (2) Vlastní hodnoty p jsou právě kořeny charakteristického polymu \A — XE\ v K a tyto nezávisí na volbě báze (a tedy matice zobrazení V nezávislý na volbě báze V, dim V = n, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné A skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení tp. Zejména je snadné vyjádřit koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin: \A-X-E\ = (-l)nXn + (-l)»"1^!! + • • • + ann) ■ X1-1 + ■ ■ ■ + \A\ ■ A° Součet diagonálních členů matice se nazývá stopa matice, značíme ji TrA, stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. 5.11. Věta. Vlastní vektory lineárního zobrazení V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Důkaz. Nechť a±,... , a^ jsou různé vlastní hodnoty zobrazení

i) -Cí-Uí, všechny rozdíly vlastních hodnot jsou nenulové a alespoň jeden koeficient q je nenulový. To je spor s předpokládanou nezávislostí u\,... , u\. D 5.12. Důsledek. Jestliže existuje n navzájem různých kořenů Oj charakteristického polynomu zobrazení

V, dim V = n, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má

■ R2 dané ve standardní bázi maticí I tj. otočení roviny o 7r/2 v kladném směru. Příslušný charakteristický polynom je A2 + 1, nemá tedy žádné reálné kořeny. Proto neexistují žádné vlastní vektory. Pokud ovšem uvažujeme zobrazení • C2 dané stejnou maticí, pak ve vektorovém prostoru C2 nad C najdeme vlastní vektory příslušné dvěma vlastním hodnotám Ai = i, A2 = —i, a celý prostor C2 je přímým součtem dvou jednorozměrných podprostoru vlastních vektorů. 3. Uvažme lineární zobrazení ip: ^[x] —> ^[x] definované derivováním polynomů, tj. <£>(!) = 0, ■ V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení • ľ se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k > 1 takové, že iterované zobrazení V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze «i,... ,un prostoru V taková, že <£>(«i) = 0 a íp(ui) = Ui-i pro všechna i = 2,..., n. Jinými slovy, matice

■ V, jestliže existuje a G K a celé číslo k > 0 takové, že (

• V je lineárni zobrazení. Platí (1) Pro každé A G K je 1Z\ C V vektorový podprostor. (2) Pro každé A, \i G K je 1Z\ invariantní vzhledem k lineárnímu zobrazení (

— A • idy)k(u) = 0 a uvažme v = (

- A • idy) + (A - /i) • idy)(«) = (p - A • idy)fc+1(tí) + (A - /i) ■ (

— /i • idy)|-ß.A, pak (

— fj, ■ idy)(m) + (/i — A) • u = (/i — A) • u Odtud 0 = (íp — A • idy)fc(u) = (/i — A)fc • m a je tedy nutně u = 0 pro A/jU. * (4) Zvolme bázi ei,... , e^ podprostoru 7^,^- Protože podle definice existují čísla ki taková, že (

■ V a nechť v,i,... ,un je taková báze V, ze prvních k vektorů této báze je baží U. V této bázi má íp polorozpadlou matici ^4=1 _ 1. Platí (1) Zobrazení (p indukuje lineární zobrazení cpv/u '■ V/U —>• V/U, ■ V je lineární zobrazení, jehož spektrum obsahuje n prvků (tj. všechny kořeny charakteristického polynomu leží v K). Pak existuje posloupnost invariantních podprostoru {0} = Vo C Vi C • • • C Vn = V s dimenzemi dim Ví = i. V bázi «i,... ,un prostoru V takové, že Ví = (u\,... ,Ui), má íp horní trojúhelníkovou Ai ... * matici: \ '■ ' ■. '■ \ , kde Ai,... , Xn je posloupnost prvků spektra. 0 ... Xr Důkaz. Konstrukci podprostoru Ví provedeme induktivně. Nechť Ai,... , Xn jsou prvky ve spektru zobrazení íp, tzn. charakteristický polynom zobrazení ip je tvaru (A — Ai) • ... • (A — An). Zvolme V"o = {0}, V\ = (iíi), kde u\ je libovolný vlastní vektor s vlastní hodnotou Ai. Podle předešlé věty je charakteristický polynom zobrazení ípy/Vx tyaru (A — A2) •... • (A — An). Předpokládejme, že jsme již sestrojili lineárně nezávislé vektory u\,... ,Uk a invariantní podprostory Ví = {u\,... ,Uí), i = 1,..., k < n, takové, že charakteristický polynom V je lineární. Součet kořenových prostorů ■R-Ai, • • •, K\k příslušných různým vlastním hodnotám Ai,... , A& je přímý. Navíc je pro každou vlastní hodnotu A dimenze podprostorů 1Z\ rovna její algebraické násobnosti. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí přes počet k kořenových prostorů. Předpokládejme, že tvrzení vždy platí pro méně než k prostorů a že pro vektory u\ G 7£\i5..., Wfc G lZ\k platí «1 + - • - + tífc = 0. Pro vhodné j pak (

zúžení p\nx a V;: V/Hx —> V/^-x nechť je zobrazení indukované

■ V, jehož celé spektrum je v K, je V = H\1 © • • • © 7Z\n přímým součtem kořenových podprostorů. Zvolíme-li vhodně báze těchto podprostorů, pak

■ V je nilpotentní lineární zobrazení. Pak existuje rozklad V na přímý součet podprostorů V = V\ © • • • © Vk takových, že zúžení íp na kterýkoliv z nich je cyklické. ** Důkaz. Ověření je docela jednoduché a spočívá v konstrukci takové báze prostoru V, že akce zobrazení

0 je dimenze Pfc-i- Z definice plyne, že Pk-i C Ker^>, tj. vždy (p(e-~l) = 0. ** Předpokládejme, že Pk-i ^ V. Protože Pk-i = ^(Pfc-2), nutně existují v Pk-2 vektory e -~2, j = 1,... ,Pfc_i, takové, že na tuto lineární kombinaci získáme b\e{~ + ■ ■ ■ + bPk_1ep~}i = 0, proto jsou všechny bj = 0. Pak ale i a,j = 0, protože se jedná o kombinaci bázových vektorů. Celkem jsme tedy ověřili lineární nezávislost všech 2pk-i zvolených vektorů. Doplňme je do báze fc —2 pk — 2 pk — 2 pk — 2 Cl ' ■ • ■ ' CPfc-l' Cí?fc_l-|-ľ - • ■ ' CPfc-2 prostoru Pk-2- Navíc jsou obrazy přidaných bázových prvků v Pk-i, nutně tedy musejí být lineárními kombinacemi bázových prvků et~ ,..., e^~} . Můžeme proto zaměnit zvolené vektory e ~_1+1,..., ep~^2 vektory e ~ —

{ epfc_2 + l' ' - ' ' ePfc-3' ' - ' cPk-e 4U CAST 1. VKKTUKUVK ťHUKTUKY A SUUSTAVY LllNKAKlNKJH KUVINIU kde hodnota zobrazení

■ V má celé spektrum v K. Pak existuje báze V, ve které má

■ V n-rozměrného vektorového prostoru nad K právě, když jsou podobné se stejným Jordánovým kanonickým tvarem J. ** Důkaz vět 5.27 a 5.28. Nechť Ai,... , A& jsou všechny různé vlastní hodnoty zobrazení n. Odtud plyne, že pokud matice J zobrazení p obsahuje (4(A) Jordánových bloků řádu k s vlastní hodnotou A, pak defekt matice (J — A • E)1 je di (A) + 2d2(A) + ... ídt{X) + tdl+í(\) + ... Odtud spočítáme n - n(X) = ch (A) + 2d2(A) + • • • + £d£(X) + £d£+1(X) + ... dfc(A) = rfc_i(A) - 2rfc(A) + rk+1(X) (kde poslední řádek vznikne kombinací předchozího pro hodnoty £ = k — l,k,k + l). Věta 5.28 plyne okamžitě z předchozí, jestliže místo matice A budeme uvažovat jí určené zobrazení Kn —> Kn. Naopak, z platnosti této věty o maticích plyne ihned předchozí tvrzení o zobrazeních, viz. 2.26. D 5.30. Poznámka. Důkaz věty o existenci Jordánova kanonického tvaru byl sice konstruktivní, nedává nám ale opravdu šikovný algoritmický postup pro jejich hledání. V dodatku 12 bude podána algebraická metoda podobná Gaussově eliminaci, která pro danou matici najde její kanonický tvar. Nyní shrneme již odvozený postup explicitního výpočtu báze, v níž má dané zobrazení ip: V —>■ V matici v kanonickém Jordánově tvaru. (1) Najdeme kořeny charakteristického polynomu. (2) Jestliže jich je méně než n = dim V, včetně násobností, kanonický tvar neexistuje. (3) Je-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, získáme bázi V z vlastních vektorů a v ní má

■ V, %im. V2 —>■ V, V\ >->• (ui,0), V2 >->• (0,^2) taková, že pro každá dvě lineární zobrazení /: V\ —>■ VF, g: V2 ^ W existuje právě jedno lineární zobrazení h: V —>• W splňující hoii = /, hoi2 = g. (Kategoriální vlastnost součtu). b) Existují projekce jf. V ->■ Ví, Í2: ^ ->■ V2, (^1,^2) >->■ ^1, (^1,^2) ^ ^2 taková, že pro každá dvě lineární zobrazení /: W —> Ví, g: W —> V2 existuje právě jedno lineární zobrazení h: W —>■ V splňující ji o h = f, J2 ° h = g. (Kategoriální vlastnost součinu). Namalujte si diagramy! Sformulujte a dokažte podobná tvrzení pro obecné konečné přímé součty. 2. Ukažte, že pro každé lineární zobrazení ip: V —>■ W je na faktorovém prostoru V/(ker) —>• W a tedy je V/(ker■ V je lineární zobrazení a platí T(ui) = «2, T(u2) = «3, ■ • ■, T(uk) = 0 pro nenulové vektory m,... ,Uk- Pak m,... ,Uk jsou lineárně nezávislé. Dokažte! 5. Pro každý okruh R můžeme uvažovat polynomy R[X] v proměnné A. Zejména můžeme hovořit o hodnotě polynomu /(A) nad skaláry K v matici A G Matn(K). (Využije se vnoření K —>• Matn(K), a i-» aE.) Ukažte, pro každou invertibilní matici P je f (A) = f(P~1AP), můžeme tedy také hovořit o hodnotě polynomu v zobrazení V. Přitom f ((f): V —>■ V je opět lineární.14 * Více o tom v dodatku 12 43 Cast II. Prostory se skalárním součinem a analytická geometrie 6. Afinní prostory Nyní se budeme zabývat jednoduchými aplikacemi předchozí teorie v analytické geometrii. Přesněji řečeno, budeme diskutovat axiomaticky založený výklad rovinné a prostorové geometrie, zatím bez pojmu velikosti. K tzv. metrickým úlohám se vrátíme později. V celé kapitole budeme pro názornost pracovat pouze nad reálnými skaláry K. = R. Výklad bude (jako obvykle) stručný, velice podrobně je celá tématika zpracována ve skriptech [P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, MU 1997]. Pro komplexní skaláry skoro vše funguje naprosto analogicky (až na pojmy jako poměr, orientace, atd.). 6.1. Definice. Standardním n-rozměrným afinním prostorem An se zaměřením V = Rn rozumíme množinu P = W1 spolu se zobrazením P x V —>• P daným (A, v) = ((pí,... ,p„),(ui,... ,vn)) (->■ A + v= (pí + v1,...,pn + vn). Všimněme si, že platí (1) A + 0 = A pro všechny body A G P a nulový vektor 0 G V (2) A + (v + w) = (A + v) + w pro všechny vektory v, w G V, A G P (3) pro každé dva body A, B E P existuje právě jeden vektor v E P takový, že A + v = B. Značíme jej AB nebo B — A. Běžně budeme užívat značení A G An místo A G P, tj. nerozlišujeme mezi afinním prostorem a jeho nosnou množinou. Přívlastek standardní jsme užili, protože ve formálním axiomatickém přístupu k analytické geometrii lze pracovat s libovolným vektorovým prostorem V nad libovolnými skaláry K a definice afinního prostoru se zaměřením V pak obsahuje právě předchozí tři vlastnosti jako axiomy. 6.2. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů P, spolu se zobrazením P x V —>■ P, (A, v) >->■ A + v, splňující 6.1.(l)-(3). Opět nebudeme zpravidla rozlišovat A a. P v označení. Pro libovolný vektor v G V je tak definována translace A —>■ A jako zúžené zobrazení P ~ P x {v} —>■ P. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. V případě standardního afinního prostoru An se zdá být možná zbytečné rozlišovat množinu P od zaměření V. Právě to ale je podstatné pro pochopení geometrie v Rn: Geometrické objekty jako např. přímky, body, roviny, apod., jsou nezávislé na námi zaváděné vektorové struktuře na množině Rn, pro práci s nimi bývá však technicky užitečné tuto strukturu uvažovat. Navíc obecné postupy umožní velmi lehce diskutovat "rovinnou geometrii" pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny, ve vícerozměrných prostorech, "prostorovou" pro třírozměrné, atd., aniž bychom museli přímo manipulovat fe-ticemi souřadnic. 44 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK Nejjednoduššími příklady obecných afinních prostorů jsou afinní podprostory v An ve smyslu následující definice 6.4. 6.3. Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A, B,C v afinním prostoru A (1) A-A=0eV (2) BA = -AB (3) AB + BC = AC. Dále si všimněme, že volba jednoho pevného bodu A0 E A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze u ve V dostáváme tedy pro každý bod A E A jednoznačné vyjádření A = A0 + x\U\ H--------V xnun. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic {Aq\ v,i,... , un) dané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a baží zaměření u. Hovoříme také o afinním repéru (Aq,u). Jsou tedy afinní souřadnice bodu A v soustavě (Aq,u) souřadnicemi vektoru A — Aq v bázi u zaměření V. 6.4. Definice. Neprázdná podmnožina Q G A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B E Q} C V vektorovým podprostorem a pro libovolné A E Q, v E W je A + v E Q. Pro libovolnou množinu bodů M G A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B -A-B,AE M}) C V. Zejména je V = Z (A) a každý afinní podprostor Q C A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). Přímo z definic je zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je opět afinní podprostor, pokud je neprázdný. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M C A je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. Přímo z definic plyne, že pro kterýkoliv bod Aq E M je (M) = {Aq + v;v E ZÍM) C Z (A)}, tj. vezmeme vektorový podprostor ZÍM) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z (A) a jeden pevný bod A E A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty bodu A s vektory v U je afinní podprostor. 6.5. Příklady. 1. Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky Ai- Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor R (a nosná množina také R). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém ö. AFIJNJNI ťHUKTUKY 45 prostoru R). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R. 2. Dvourozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A V zadané vztahy • p\{A, B}. (Je vidět přímo pro jednorozměrný A, vhodná volba souřadnic ale obecný případ redukuje na tento.) 6.22. Poznámky. Dělicí poměr samozřejmě závisí na volbě pořadí C, A, B. Je-li (C; A, B) = A, pak se snadno ověří vztahy (C; B, A) = l/A, (B; A,C) = 1 — A, (A;C,B) = Á/(\-l), atd. Přímo z definice je také vidět, že bod C je mezi body A a B právě, když (C; A, B) < 0. Všechny takové body tvoří spolu s {A, B} úsečku [A, B]. Bod C je na opačné straně od A než B právě, když 0 < (C; A, B) < 1 a je na stejné straně od A jako B právě když (C; A, B) > 1. Speciálním případem je hodnota (C; A, B) = —1. Takový bod nazýváme střed dvojice (^4, B). Bod C s dělicím poměrem A vzhledem k (^4, B) je vždy afinní kombinací 1-A 1-A zejména je střed vždy S = \A + \B. Pěknou ukázkou použití našeho formalismu je odvození běžného tvrzení, že všechny přímky protínající tři rovnoběžné roviny v A3 je protínají se stejnými dělícími poměry průsečíků. Můžeme obecně zvolit tři různé rovnoběžné nadroviny Qi, Q2, Ô3 v An a dvě libovolné, s nimi různoběžné, přímky p, q. Zvolme si afinní re-pér (A, ji) takový, že vektory m,... , un-\ generují zaměření našich nadrovin. Pak jejich rovnice jsou xn = a,i, i = 1,2,3, pro tři různé hodnoty a,i G R Dosazením parametrických popisů přímek p, q do těchto rovnic zjistíme, že poslední souřadnice průsečíků p D Qi, qPiQi jsou shodně rovny Oj. Zejména jsou jejich rozdíly nenulové a určují ten stejný dělicí poměr. V souřadnicích se také snadno vidí, že pro libovolné čtyři body A,B,C,D G A platí B — A = C — D (tj. jsou to vrcholy rovnoběžníku v jisté rovině) právě, když ^(A + C) = ^(B + D) (tj. jejich úhlopříčky se půlí). 6.23. Poloprostory. Uvažme nadrovinu Q v n-rozměrném afinním prostoru A. Otevřeným poloprostorem V\ vyťatým nadrovinou Q a obsahujícím bod A G A\ Q rozumíme množinu všech bodů B E A takových, že úsečka [A, B] neprotíná Q. ö. AFIJNJNI ťHUKTUKY 51 Zvolme afinní repér (Aq,u) tak, aby Aq G Q byla báze Z (Q). Pro libovolné dva body A, B G ^4 \ Q pak mají jejich poslední souřadnice stejné znaménko právě, když úsečka [A, B] neprotíná Q. Odtud vyplývá, že každá nadrovina definuje právě dva poloprostory. Říkáme že odděluje jejich body. Poloprostory na přímce jsou polopřímky (oddělované bodem), v rovině jsou to poloroviny (oddělované přímkou). Pohodlně se poloprostory vyjádří prostřednictvím parametrických i implicitních popisů. Je-li Q dána rovnicí a{x) = 0 a poloprostor V je určen bodem A, pak je V množinou všech bodů, jejichž souřadnice dají po dosazení do levé strany rovnice a(x) = 0 hodnotu se stejným znaménkem jako A. Je-li Q zadáno body A±,..., An v obecné poloze, pak také body A,Ai,... ,An jsou v obecné poloze a (otevřený) poloprostor V obsahující A je množina afinních kombinací {t0A + t1A1 + ■■■ + tnAn- YTí=oU = 1, *o > 0} Obecně nemáme dánu žádnou význačnou volbu jednoho z poloprostorů vyťatých nadrovinou. Je-li ovšem zadána orientace na celém afinním prostoru A i na zvolené nadrovině Q, pak máme určený také pravý poloprostor a levý poloprostor vyťatý V. Pravý je zadán např. volbou bodů A,Ai,... , An jako výše a přitom tak, aby příslušný repér byl kompatibilní s orientací. (Ověřte si, že je to korektní definice.) 6.24. Poznámka. Nechť p\ a p\ jsou různoběžné přímky v afinní rovině. Označme V jejich průsečík a zvolme bod A ^ p U q. Průnik polorovin Vi a V2 obsahujících A a vyťatých po řadě p\ a p^ nazýváme úhel15 s vrcholem V a rameny V2 Hpi, V\ np2- Přímo z definice je zřejmé, že pro libovolné body Ai, A2 patřící po řadě ramenům úhlu má celý úhel jednoduché parametrické vyjádření {t0V + tľAľ + t2A2- t0 + tľ+t2 = 1, ŕi > 0, t2 > 0}. 6.25. Konvexní množiny. Podmnožina M C A se nazývá konvexní množina, jestliže pro její libovolné dva body A, B G M je celá úsečka [A, B] obsažena v M. Zjevně jsou následující podmnožiny konvexní: prázdná podmnožina, afinní pod-prostory, úsečky, polopřímky, poloprostory, úhly v dvojrozměrných podprostorech, atd. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal )C(M) množiny M. 6.26. Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M G A je K{M) = {tiAi + ■■■ + tsAs- Y?i=i ti = 1>U> 0} Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazované rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ti, i = l,..,si, ťj, j = 1,...,S2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti 15Stejně se většinou označuje úhel i jeho velikost. Zde máme na mysli skutečně množinu bodů roviny. bZ (J AST 11. ťHUKTUKY SK SKALAKINIM SUUCJIJNĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK můžeme zjevně předpokládat, že si = S2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: e{t1A1 + ■■■ + taAa) + (1 - e)(rí Ai + • • • + ťsAs), 0 < e < 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů Ai,..., As nemůže být menší než S. Samotné body Ai odpovídají volbě parametrů t j = 0 pro všechny j ^ i a ti = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s — 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů Ai,..., As_i je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod A = t\A\ + • • • + tsAs G 5, ís / 1, a afinní kombinace s(t1A1 + ■■■ + ts_ľAs_ľ) + (1 - e(l - ts))As, 0<£< ji;-. Jde o úsečku s krajními body určenými parametry e = 0 (bod j4s) ae = l/(l-ís) (bod v konvexním obalu bodů A\,..., As_i). Bod A je vnitřím bodem této úsečky s parametrem e = 1. D 6.27. Příklady. Zjevné příklady konvexních množin jsou například poloprostory. Konvexní obaly konečných množin bodů se nazývají konvexní mnohostěny. Jsou-li definující body Aq, ..., A^ konvexního mnohostěnu v obecné poloze, hovoříme o A;-rozměrném simplexu. V případě simplexu je vyjádření jeho bodů ve tvaru afinní kombinace definujících vrcholů jednoznačné. Nechť «i,... ,Uk, jsou libovolné vektory v zaměření Rn, A G An je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; ui,... , Uk) C An je množina Vk(A; «i,... , uk) = {A + ciui H--------h ckuk\ 0 < q < 1, i = 1,..., k}. Jsou-li vektory Ui,... ,Uk nezávislé, hovoříme o fe-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A;ui,... ,Uk) C An. Z definice je zřejmé, že rovnoběžnostěny jsou konvexní. Ve skutečnosti jde o konvexní obaly jejich vrcholů. 6.28. Afinní zobrazení. Zobrazení /': A —>■ B mezi afinními prostory nazýváme afinní zobrazení, jestliže existuje lineání zobrazení ■ Z(B) takové, že pro všechny A E A, v E Z (A) platí f(A + v) = f(A) + ■ B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz počátku souřadnic y A y souřadnicích na B, tj. vyjádřit vektor f(A0) — B0 v bázi v a vše ostání je pak určeno násobením maticí zobrazení

■ K, (u,v) *-> u • v, splňující pro všechny vektory u, v, w G V a skaláry a G K (1) u ■ v = v ■ u ( zde pruh značí komplexní konjugaci je-li K = C, identické zobrazení pro reálné skaláry) (2) (au) ■ v = a(u ■ v) (3) {u + v) ■ w = u ■ w + v ■ w (4) je-li m^O, pak u ■ u > 0 (zejména je výraz reálný) Takové zobrazení nazýváme skalární součin na V. Pro reálné unitární prostory se používá název euklidovské prostory, termín unitární prostor bývá v literatuře často vyhrazen pouze pro komplexní prostory. Přímo z definice plynou následující jednoduché vlastnosti skalárních součinů: 7.2. Lemma. Pro všechny vektory ve V a skaláry v K platí (1) u-ueR (2) u ■ (av) = a{u ■ v) (3) u ■ (v + w) = u ■ v + u ■ w (4)m-0 = 0-m = 0 (5) (£• ttiUi) ■ (Ej bjVj) = Y,í,j díOj{ui ■ Vj) (6) u ■ u = 0 právě tehdy, když u = 0 7.3. Příklady. (1) Na Rn definujme (x\,... , xn) ■ (í/i, ... , yn) = x\y\ + • • • + xnyn a dostáváme zobrazení zjevně splňující všechny požadované vlastnosti. Prostor Rn s tímto skalárním součinem budeme nazývat standardní euklidovský prostor v dimenzi n. V 54 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK maticové symbolice (tj. vektory jsou sloupce skalárů x, y) dostáváme skalární součin jako součin matic x ■ y = xTy. (2) Podobně, na Cn definujme (xľ,... , xn) ■ (yi,... , yn) = xxy\ + • • • + xnyn. Díky konjugování souřadnic druhého argumentu toto zobrazení splňuje všechny požadované vlastnosti. Prostor Cn s tímto skalárním součinem budeme nazývat standardní unitární prostor v dimenzi n. Maticově sklární součin vyjádříme jako x ■ y = xTy. (3) Na R,j [x] definujeme skalární součin polynomů např. vztahem f ■ 9= f(x)g(x)dx. Jo Z elementárních vlastností určitého integrálu vyplývá, že jde skutečně o skalární součin. Uvidíme, že díky konečnosti dimenze příslušného vektorového prostoru musí mít tento skalární součin shodné vlastnosti s předchozím příkladem. 7.4. Definice. Vektory u, v G V v unitárním prostoru V se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže u ■ v = 0. Ortogonálnost vektorů značíme u±v. Vektory u\,... ,Uk tvoří ortogonální systém vektorů jestliže jsou po dvou ortogonální, tj. Ui-Luj, 1 < i, j < k. Ortogonální systém vektorů, který je baží nazýváme ortogonální baží. 7.5. Věta. (Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces) Nechť (ui,... , Mfc) je lineárně nezávislá k-tice vektorů unitárního prostoru V. Pak existuje ortogonální systém vektorů (ví,... , Vk) takový, že Vi G (u\,... , Ui), i = 1,..., k. Získáme je následující procedurou: (1) Z nezávislosti vektorů Ui plyne u\ ^ 0. Položíme v\ = u\. (2)-{k) Máme-li již vektory ví,... ,vi potřebných vlastností klademe Ul+i ■ Vi vi+1 = ui+1 + axvx-\--------\-aiVi, a,i =-------------- Vi -Vi Důkaz. V u-tém kroku chceme, aby pro V£+i = v,i+i + a\V\ + • • • + aivi platilo V£+i ■ Ví = 0, i = 1,..., i. Odtud plyne 0 = (uí+1 + aivi H--------h atvt) ■ vt = u£+1 ■ ví + a^vt ■ v i) a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. 7.6. Definice. Podmnožiny A, B unitárního prostoru V se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže pro všechny vektory u E A, v E B platí u±.v. Píšeme A±B. Unitární podprostory v unitárním prostoru V jsou právě vektorové podprostory spolu se zúžením operace skalárního součinu. (V případě reálných prostorů hovoříme o euklidovských podprostorech.) Součet Vi + - ■ - + Vk C V unitárních podprostorů se nazývá ortogonální (kolmý), je-li Ví-LVj pro všechny dvojice i,j. Podmnožina A1- := {u G V; {u}^Ä\ se nazývá ortogonální doplněk podmnožiny A c V. 7. ĽUKLIDUVSKK A UJNITAKJNI VEKTUHUVE FKUS1UKY 55 7.7. Definice. Nechť V je unitární prostor. Pro každý v E V nazýváme (reálný) skalár y/v ■ v velikostí vektoru v, hovoříme také o normě \\v\\. Vektor se nazývá normovaný, je-li \\v\\ = 1. Ortonormální báze unitárního prostoru V je ortogonální báze složená z normovaných vektorů. 7.8. Lemma. Pro každý vektor v v unitárním prostom a skalár a G K. platí (!) IMI > ° (2) \\v\\ = 0 právě, když v = 0 (3) \\a,v\\ = \a\ \\v\\ (4) je-li v ^ 0, pak vektor tt^tt je normovaný. Důkaz. Vše plyne přímo z vlastností skalárního součinu. Ukážeme např. (3): \\av\\ = \J(av) ■ (av) = \/aav ■ v = \J\a\2 \\v\\2 D Následující věta shrnuje elementární vlastnosti unitárních prostorů. 7.9. Věta. Nechť V je konečněrozměrný unitární prostor dimenze n. Platí (1) Ve V existuje ortonormální báze. (2) Každý systém nenulových ortogonálních vektorů ve V je lineárně nezávislý a lze jej doplnit do ortogonální báze. (3) Pro každý systém lineárně nezávislých vektorů («i,... , «&) existuje ortonormální báze (ví,... , vn) taková, že {v\,... , v i) = {u\,... , Ui), 1 < i < k. (4) Je-li (iíi,... ,un) ortonormální báze V, pak souřadnice každého vektoru u E V jsou vyjádřeny vztahem u = (u ■ Ui)ui + ••• + («• un)un. (5) V libovolné ortonormální bázi má skalární součin souřadný tvar u-v = x-y = xxyx H--------h xnyn kde x a y jsou sloupce souřadnic vektorů u a v ve zvolené bázi. (6) Ortogonální součet unitárních podprostorů V\ + • • • + T4 ve V je vždy přímý součet. (7) Je-li A d V libovolná podmnožina, pak A1- C V je vektorový (tedy i unitární) podprostor a (A^-)1- C V je právě podprostor generovaný A. Navíc platí V = (A)eA1. (8) V je ortogonálním součtem n jednorozměrných unitárních podprostorů. Důkaz. Všechna tvrzení jsou skutečně jednoduchými důsledky definic: (1),(2),(3): Daný systém vektorů nejprve doplníme do libovolné báze (u\,... ,un) vektorového prostoru V a spustíme na ni Grammovu-Schmidtovu ortogonalizaci. Tak získáme ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v (3), viz. 7.5. Přitom ale z algoritmu Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vyplývá, že pokud již původních k vektorů tvořilo ortogonální systém vektorů, pak v průběhu ortogonalizace zůstanou nezměněny. Dokázali jsme tedy (2) i (1). 50 (J AST 11. ťHUKTUKY SK SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A AIN AL Y TICK. A GĽUMETRIK (4): Nechť u = a\U\ + • • • + anun. Pak u ■ Uí = ai(«i • Ui) -\--------h an(un ■ Ui) = «^11-íy-í112 = a* (5): Podobně se spočte pro u = xi«i + • • • + xnun, v = í/i«i + • • • + ynun (viz. 7.2) m • v = (xiui H--------h xnun) ■ (yiui H--------h ynun) = xiÍJi H--------h xnyn. (6): Potřebujeme ukázat, že pro libovolnou dvojici Ví, Vj ze zadaných podprostorů je jejich průnik triviální. Je-li však u E Ví a zároveň u E Vj, pak je u±.u, tj. u-u = 0. To je ale možné pouze pro nulový vektor u E V. (7): Nechť u, v E A-1. Pak (au + bv) ■ vj = 0 pro všechny toei, a,i)Gl(z dis-tributivity skalárního součinu). Tím jsme ověřili, že A1- je unitární podprostor ve V. Nechť (ví,... , vk) je nějaká báze (A), vybraná z prvků A, (u\,... , uk) ortonormální báze vzniklá z Grammovy Schmidtovy ortogonalizace (v±,... , vk). Doplňme ji na ortonormální bázi celého V (obojí existuje podle již dokázaných částí věty). Protože se jedná o ortogonální bázi, je nutně («fc+i,... , un) = (u\,... , Uk)± = A1-a A C (iífc+i; • • • Tun)~L (plyne z vyjádření souřadnic v ortonormální bázi). Je-li U-L(uk+i, • • • , un), pak u je nutně lineární kombinací vektorů u\,... , uk, to je ale právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů V\,... ,vk, což je ekvivalentní s příslušností u do (^4). (8): Je pouze ekvivalentní formulací existence ortonormální báze. D V další větě uvedeme důležité vlastnosti normy. 7.10. Věta. Pro každé vektory u, v v unitárním prostoru platí (1) ||ií + v|| < ||ií|| + \\v\\ (trojúhelníková nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (2) \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\ (Cauchyova nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (3) pro každý ortonormální systém vektorů [e\,... , ek) platí IM|2 > \u ■ ei|2 + • • • + |u • ek\2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů [e\,... , ek) je u E (e\, . . . , ek) právě když \\u\\2 = \u ■ ei\2 + ■ ■ ■ + \u ■ ek\2 (Parsevalova rovnost). (5) Pro ortonormální systém vektorů (ei,... , ek) a u E V je vektor w = (u- ei)ei H--------h (u ■ ek)ek jediným vektorem, který minimalizuje velikost \\u — v\\ pro všechny v E (et,... ,ek). Důkaz. Všechny důkazy spočívají v podstatě v přímých výpočtech: (2): Definujme vektor w := u — ^-v, tzn. W-Lv a počítejme .. .., .. .., (u ■ v) , . u-v. . (u ■ v)(u ■ v).. Il9 0 < kw 2 = \\u 2 - ^r^r(u-v) -— »•m+^—^\-A—'- \\v 2 \\v\\z \\v\\2 \\v\\ 0 < ||w||2|M|2 = ||w||2||u||2 — 2(w • v)(u ■ v) + (u ■ v)(u ■ v) 7. ĽUKLIDUVSKK A UJNITAKJNI VEKTUHUVE FKUS1UKY 57 Odtud již přímo plyne, že |M|2|M|2 > |w • v\2 a rovnost nastane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou waw lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat II I I *) Mil') Mil') I I I I O I I I I O / \ ||u + u|| = \\u\\ +\\v\\ + u ■ v + v ■ u = ||w|| + \\v\\ +2Ke(u-v) < \\u\\2 + \\v\\2 + 2\u ■ v\ < \\u\\2 + ||u||2 + 2||it||||i;|| = (II«II + IHI)2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu ||w+u|| < ||w|| + ||u||. Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, žeuav jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (ei,... ,ek) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do ortonormální báze (ei,... ,en) (to vždy jde podle předchozí věty). Pak, opět podle předchozí věty, je pro každý vektor u G V n n k iní2 = S(w' ei)^rr^i) = ^2\u ■ ei\2 >^2\u ■ ei\2 To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u ■ ej = 0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v G (ei,... , e^) a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (ei,... , en). Nechť («i,..., un) a (xi,... ,x^, 0,..., 0) jsou souřadnice u a v v této bázi. Pak \\u - v\\2 = |«i - Xi\2 +-------h \uk - Xk\2 + |tífc+l|2 H---------h |iín|2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě X\ = «i,..., x^ = uk. D 7.11. Definice. Homomorfismus ip: V —>■ W unitárních prostorů se nazývá m/h'-tórnf zobrazení, jestliže platí pro všechny vektory u,v E V, u ■ v = W mezi unitárními prostory je prosté. Důkaz. Ve větě 7.9 jsme ověřili existenci ortonormální báze na V a vyjádřili jsme skalární součin pomocí souřadnic v takové bázi. Odtud okamžitě vyplývá, že zobrazení přiřazení souřadnic V —> Kn je pro libovolnou ortonormální bázi unitární isomorfismus. Předpokládejme W je lineární zobrazení unitárních prostorů. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) íp je unitární. (2) \\u\\ = ||^>(w)|| pro všechny u E V. (3) pro každou ortonormální bázi e = (ei,... , en) na V je i (íp(e.\),..., (2): ||m||2 = u ■ u = • (3): Velikosti se zachovávají, je třeba ještě ukázat, (ej) • • (1): Víme, že je zachováván skalární součin všech bázových prvků. Pak ovšem pro všechny vektory dostáváme: <£>(aiei H--------h anen) ■ (p(bľei H--------h bnen) = ^ aibjíp(ei)ip(ej) i, j = ^2aibj(ei ■ ej) = (aiei H--------h anen) • (&iei H--------h bnen) D i,3 Z předchozí věty plyne, že každý unitární endomorfismus V —>■ V je bijekce, hovoříme také o unitární transformaci. 7.14. Věta. Nechť (p: V —> V je lineární zobrazení (endomorfísnius) unitárního prostoru V. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) • (2): Zobrazení

• (3): Standardní skalární součin je v Kn vždy dán pro sloupce x, y skalárů výrazem x ■ y = xTEy, kde E je jednotková matice. Vlastnost (2) tedy znamená, že matice A zobrazení íp je invertibilní a platí (Ax)Ty = xTA~ly. To znamená xT(ATy — A~xy) = 0 pro všechny x G W1. Zejména dosazením výrazu v závorce za x zjistíme, že to je možné pouze při AT = A~x. 7. ĽUKLIDUVSKK A UJNITAKJNI VEKTUHUVE FKUS1UKY 59 * (3) -<=> (4): Je-li AT = A x v některé ortonormální bázi, pak to zaručuje platnost podmínky (2) (• (5) Dokazované tvrzení je vyjádřeno prostřednictvím matice A zobrazení

- (6): Protože pro determinant platí \ÄTA\ = \E\ = \AÄT\ = \A\\A\ = 1, existuje inverzní matice A~x. Přitom je AÄTA = A, proto i ATA = E což vyjadřuje právě (6). * (6) =>• (1): Ve vybrané ortonormální bázi je tp(u) ■ f (v) = (Ax)T(Ay) = xAT Ay = xTĚy = xTy kde x a y jsou sloupce souřadnic vektorů u a v. Tím je zaručeno zachovávání skalárního součinu. D * 7.15. Poznámky. Matice A G Matn(K) s vlastností A~x = ÄT z předchozí věty se nazývají unitární matice pro komplexní skaláry, v případě R hovoříme o ortogonálních maticích. Z definiční vlastnosti plyne, že součin unitárních (resp. ortogonálních) matic je unitární (resp. ortogonální), stejně pro inverze. Unitární matice tedy tvoří podgrupu U(n) C Matn(C), ortogonální matice tvoří podgrupu 0(n) C Mat„(R). * Z přechozích úvah přímo vyplývá, že determinant unitární matice má vždy velikost rovnu jedné, v případě reálných skalárů pak determinant musí být ±1 (1 = det(uľ) = det(AÄT) = det(A)ďětA = | det^4|). Dále, je-li Ax = Xx pro unitární či ortogonální matici, pak (Ax) ■ (Ax) = x ■ x = \X\2(x ■ x). Proto jsou vlastní hodnoty ortogonálních matic rovny ±1, vlastní hodnoty unitárních matic jsou vždy komplexní jednotky. 7.16. Lemma. Nechť je ■ V unitární zobrazení a U G V je invariantní podprostor vzhledem k (p. Pak také jeho ortogonální doplněk U1- je invariantní podprostor. Důkaz. Zvolme u E U a v E U1- libovolně. Protože je

V je unitární zobrazení komplexních vektorových prostorů. Pak je V ortogonálním součtem jednorozměrných vlastních podprostorů. Důkaz. Tvrzení pro komplexní unitární prostory je přímým důsledkem předchozího lemmatu: Jistě existuje alespoň jeden vlastní vektor v G V. Pak je zúžení

■ W reálných vektorových prostorů definujeme jeho komplexifikaci pC. y W je lineární zobrazení s maticí A G Matnm(R) v těchto bazích. (1) komplexinkace (pc : Vc —> Wc je lineární zobrazení a jeho matice v indukovaných bazích je opět A. (2) U C V je invariantní vzhledem k (p: V —>• V právě, když Uc C Vc je invariantní vzhledem k {podprostory ve Vc} dané komplexifikací má velice přehledné vlastnosti. Naopak, každý komplexní vektorový prostor můžeme chápat jako reálný (pomocí zúžení pole skalárů R C C). V opačném směru pak máme zobrazení re, im: {podprostory ve Vc} —> {podprostory ve V}, která jsou projekcemi na jednotlivé komponenty a jsou lineární nad R. Opět nám přímé součty přechází na přímé součty. Uvažme lineární zobrazení V na reálném vektorovém prostoru. Jeho charakteristický polynom \A — XE\ je zároveň charakteristickým polynomem . Proto Q\x © • • • © Q\r © (Q kr+l Qxr+1) © ' •' © (Qxk © Qxk) Je přímý součet podprostorů ve V . D * 7.22. Věta. Nechť ■ V je lineární zobrazení na reálném vektorovém prostoru. Předpokládejme, že všechny vlastní hodnoty jeho komplexiňkace ■ V je ortogonální zobrazení euklidovských vektorových prostorů. Pak V je ortogonálním součtem jednorozměrných a dvourozměrných invariantních podprostorů takových, že jednorozměrné jsou generovány vlastními vektory a příslušné vlastní hodnoty jsou ±1, zatímco zúžení

■ V je libovolné lineární zobrazení (reálného nebo komplexního) unitárního prostoru s m = dim V vlastními hodnotami (včetně násobonosti). Pak existuje ortonormální báze prostoru V taková, že

(u + Vk) G V/Vk, tj. v každé třídě rozkladu V/Vk existuje právě jeden vektor z V^ (tuto vlastnost má faktorový prostor podle libovolného podprostorů v unitárním prostoru - pokud u, v G V^ jsou v jedné třídě, pak jejich rozdíl patří do Vk n V^-, tedy jsou stejné). Můžeme tedy jako reprezentanta tffc+i nalezené třídy (vlastního vektoru K. Vektorový prostor všech lineárních forem na V nazýváme duální vektorový prostor k V a značíme jej V*. Pro každé lineární zobrazení ip: V —>■ W vektorových prostorů definujeme duální zobrazení t/j*: W* —>• V* vztahem ip*(a)(u) = a{ý>{u)) pro všechny lineární formy a G W* a vektory u E V. Pro každý vektorový prostor V definujeme operaci vyčíslení ( , ): V x V* —>■ K, {u,íp) = • W lineární zobrazení s maticí A v bazích u, w, pak matice duálního zobrazení (p* : W* —> V* v duálních bazích je matice AT. * Důkaz. (1): Máme v = X\U\ + • • • + xnun a a = y\u\ + • • • + ynu*n, proto (v, a) = a(v) = yiu\{v) H--------h ynK(v) = ^iž/i H--------r- xnyn = yTx. * (3): Nechť dále z G Kn jsou souřadnice formy ß G W* v duální bázi w* na W*. Pak {v,ip*{ß)) = (y{v),ß) = zT(Ax) = (zTA)x = (ATz)Tx což jsme chtěli dokázat. * (2): Jestliže speciálně zvolíme V = W a

W nazýváme bilineární zobrazení, jestliže pro libovolné ui, ui, t>2 G V, a, b G K platí f(au1 + bu2,v1) = af(ui,vi) + bf(u2,v1) /(wi,ai;i + bv2) = af(ui,vi) + bf(u1,v2) Jinak řečeno, /: U x V —> W je bilineární právě, když obě indukovaná zobrazení f: U —> Hom(V, W), f: V —> Hom(f7, W) jsou lineární (pro pořádek bychom měli od sebe tato dvě zobrazení odlišovat značením, nebudeme to ale v dalším potřebovat). Přímo z definice tedy plyne, že hodnota bilineárního zobrazení / na lineárních kombinacích u = a\U\ + ... a^u^ G ř7, v = b±vi + ... b^vg G V je f(u,v) = ^aibjfiu^Vj) i, j zejména je pro každou dvojici baží u, v na U a, V bilineární zobrazení / jednoznačně definováno libovolnou volbou hodnot f(ui,Vj) E W na všech dvojicích bázových vektorů. Zvolíme-li tedy ještě bázi w na W, je každé takové / definováno libovolnou "třírozměrnou maticí" s prvky fijk, f(ui,Vj) = Y,k fijkWk- 8.6. Definice. Bilineární zobrazení /: U x V —> K se nazývá bilineární forma na U a V. Je-li U = V, hovoříme o bilineární formě /: U x U —>■ K na U. Nechť u = (iíi, ... , um), v = (vi,... , vn) jsou báze prostorů U a V. Matice A = (a^-) s prvky a,ij = f(ui,Vj) se nazývá matice bilineární formy f v bazích u, v. Bilineární forma / na U se nazývá symetrická, jestliže f (u, v) = f (v,u) pro všechny u,v EU, resp. antisymetrická, jestliže f {u,v) = —f {v,u). 8. FUKMY A TĽINSUKY Ö5 8.7. Věta. Nechť U, V jsou vektorové prostory s bázemi u = («i,... , um), v = (ví,... , vn), f: U x V —> K nechť je bilineární forma s maticí A. (1) Jsou-li x E Km, y E Kn souřadnice vektorů u E U, v E V ve zvolených bazích, pak /(«, v) = xTAy. (2) Vektorový prostor všech bilineárních forem f: U x V —>■ K je isomorfní prostoru matic Matmn(K). (3) Zobrazení f: U —> V*, f (u) (v) = f (u, v), je lineární zobrazení U —>• V* s maticí AT v bazích u a v*. (4) Je-li S matice přechodu od u k u' a P matice přechodu od v k v', pak pro matici B formy f v nových bazích platí A = STBP, tj. B = S~1TAP~1. (5) Je-li U = V, pak f je symetrická právě, když matice A je symetrická. (6) Je-li U = V, pak f je antisymetrická právě, když matice A je antisymet-rická. Při charakteristice pole K větší než dvě je to ekvivalentní podmínce f (u, u) = O pro všechny u E U. Důkaz. (1): /(£\ XiUi} £\ yjVj) = VV x^ja^ = xTAy. (2): Struktura vektorového prostoru na množině všech bilineárních forem je dána sčítáním a násobením skalárem na hodnotách forem v K. Z předchozího souřadného vyjádření přímo plyne, že přiřazení matice formy zachovává tuto strukturu. Např. (/ + g)(u,v) = xTAy + x7By = xT(A + B)y, kde A, B jsou matice forem /, g (ověřte si zbývající vlastnosti!). (3): Ze je / lineární již víme (přímo z definice). Z definice A = (a^) plyne f(ui)(vj) = a,ij, tzn. f(ui) = Yľj=iaijvj- Proto z-tý sloupec matice zobrazení / musí být z-tý řádek matice A. (Jinak: f se v souřadnicích napíše re i—>- (2/ i—>- xTAy), tj. x H> (xTA) = (ATx)T.) (4): Nechť x, x', y, y' jsou po řadě souřadnice v staré a nové bázi na U a V. Pak x' = Sx, y' = Py a dostáváme f(u,v) = x'TBy' = (SxfBPy = xT(STBP)y (5): Forma / je symetrická právě, když f(u,v) = f(v,u) pro všechny u,v G U, ale to je právě, když f(ui,Uj) = f(uj,Ui) pro všechny vektory báze. (6): Zcela stejně jako (5). Navíc z antisymetričnosti okamžitě plyne f(u,u) = —f(u,u), tj. 2f(u,u) = 0 pro všechny u E U. Naopak, z 0 = f (u + v, u + v) = f (u, u) + f (v, v) + f (u, v) + f (v, u) = f (u, v) + f (v, u) pak vyplývá antisymetrie. D 8.8. Definice. Hodností bilineární formy f: U x V —>■ K rozumíme hodnost matice A této formy v libovolně zvolených bazích na U a, V, značíme h(f). Vrchol symetrické bilineární formy /: V x V —>■ K je definován jako jádro zobrazení /: V —> V*. Podle tvrzení (3) předchozí věty je hodnost / rovna dimenzi obrazu lineárního zobrazení /, proto nezávisí na volbě báze a je rovna právě počtu lineárně nezávislých sloupců v matici A. Vrchol symetrické formy / můžeme přímo definovat jako podprostor vektorů v E V splňujících f(v,u) = 0 pro všechny vektory u E V. Zřejmě je součet hodnosti symetrické formy naľa dimenze jejího vrcholu roven dimenzi vektorového prostoru V. öö (J AST 11. ťHUKTUKY SK SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A AIN AL Y TICK A UĽUIVIĽTKIIU 8.9. Poznámky. Jestliže vhodně vybereme báze na U a V, pak dosáhneme pro každou předem zvolenou bilineární formu toho, že její matice je diagonální s h(f) jedničkami a dim V — h(f) nulami na diagonále: Podle 1.14 vždy totiž existují invertibilní matice P, Q pro které je B = PAQ v požadovaném tvaru. Stačí tedy použít matice přechodu P~1T a Q~x. Pokud uvažujeme bilineární formu na V, pak nás samozřejmě více zajímá jaký tvar může mít její matice v jedné bázi u na V. Maticím B, A G Matn(K), pro které je B = STAS s vhodnou invertibilní maticí S říkáme kongruentní matice. Víme tedy, že dvě matice jsou maticemi jedné a téže bilineární formy právě, když jsou kongruentní. Jedním z našich dalších cílů bude ukázat, že pro každou symetrickou matici lze najít diagonální matici s ní kongruentní. Každou bilineární formu /:7xľ4K můžeme vyjádřit jako tj. / se rovná součtu symetrické a antisymetrické formy. Odpovídající matice v kterékoliv bázi jsou právě symetrizace ^(A + AT) a antisymetrizace \{A — AT). Tuto skutečnost můžeme vyjádřit tvrzením, že vektorový prostor všech forem je přímým součtem symetrických a antisymetrických forem. 8.10. Definice. Kvadratická forma na vektorovém prostoru V je takové zobrazení /: V —> K, že existuje symetrická bilineární forma g: V xV ^-K splňující f{u) = g(u, u) pro všechny u E V. Bilineární forma g se nazývá polární forma kvadratické formy /. Hodností kvadratické formy rozumíme hodnost její polární formy. 8.11. Věta. Nechť f: V —> K je kvadratická forma. (1) Pro každé u G ľ, o G I platí f (au) = a2 f (u) (2) polární forma g kvadratické formy f je jednoznačně určena a platí 9(u,v) = -(f(u + v) - f(u) - f(v)). (3) Zobrazení f: V —>■ K je kvadratická forma právě když platí, že zobrazení defínované v (2) je bilineární a f(—u) = f{u) pro všechny u E V. Důkaz. (1): f(au) = g(au,au) = a2g(u,u) = a2f(u). (2): f(u+v) = g(u+v, u+v) = g(u, u)+g(v,v)+2g(u, v) protože je g symetrická. Odtud plyne i jednoznačnost polární formy g. (3): Definujme g vztahem z (2). Pak g je jistě symetrické v u,v, stačí tedy předpokládat bilinearitu (pokud existuje polární forma k /, musí být dána tímto vztahem). Přitom z definice je 2g(u, —u) = f(u + (—u)) — f{u) — f(—u). Zejména pro u = 0 obdržíme (z bilinearity g), že /(O) = 0. Potom však předchozí rovnost dá —2g(u,u) = —2f(u) D K vyjádření dané kvadratické formy v souřadnicích vzhledem ke zvolené bázi na V použijeme matice příslušné polární formy. Tzn. pro u = X\U\ + • • • + xnun 8. FUKMY A TĽINSUKY Ö7 máme f (u) = xTAx pro symetrickou matici A. Často zapisujeme formu / ve tvaru f(xi,... ,xn) = ^-- dijXiXj, hovoříme o analytickém tvaru formy f. Ukážeme nyní, že pro vhodnou bázi bude matice A diagonální, tj. pro příslušnou polární formu g bude platit g(ui,Uj) = 0 při i ^ j. Takovou bázi nazýváme polární báze kvadratické formy /. Na následující větě je nejpodstatnější její důkaz, protože podává algoritmus, jak takovou polární bázi najít. 8.12. Věta (Lagrangeova). Nechť V je vektorový prostor nad K dimenze n, f: V —>■ K kvadratická forma. Pak na V existuje polární báze pro f. Důkaz. (1) Nechť A je matice / v bázi u = (ui,... , un) naľa předpokládejme an ^ 0. Pak můžeme psát f(xi,... , xn) = anx\ + 2ai2Xix2 H--------h 022^2 + • • • = a,ii(aiiXi + 0,12X2 + ■ ■ ■ + ctinxn)2 + členy neobsahující x\ Provedeme tedy transformaci souřadnic (tj. změnu báze) tak, aby v nových souřadnicích bylo X-^ = Qi\\X\ ~r Ol22'2 ~r ' ' ' ~r 0\nXn^ X2 = 2-2; • • • 7 %n == %n- To odpovídá nové bázi (spočtěte si příslušnou matici přechodu!) ví = a^iUi, V2 = U2 — aň1ai2Wi, ...,vn = un — a^a\nui a tak jak lze očekávat, v nové bázi bude polární forma splňovat g(vi,Vi) = 0 pro všechny i > 0 (přepočtěte!). Má tedy / v nových souřadnicích analytický tvar ai~i x'i2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné x\. Z technických důvodů bývá (pro jisté teoretické úvahy) lepší zvolit v nové bázi v\ = «i, opět dostaneme výraz f = fi + h, kde /i závisí pouze na x^, zatímco v h se x[ nevyskytuje. Přitom pak g(vi,Vi) = au. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x'22 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření / = fi + /2 + h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buď provedeme n — 1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme z-tém kroku bude prvek au dosud získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek cijj ^ 0 s j > i, pak stačí přehodit z-tý prvek báze s j-týra a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci ajj = 0 pro všechny j > i. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk ^ 0 s j > i, k > i, pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že ajk ^ 0. Použijeme pak transformaci v j = Uj + Uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = Xk — Xj, ostatní zůstávají). Pakh(vj,Vj) = h(uj,Uj) + h(uk,Uk) + 2h(uk,Uj) = 2a jk /0a můžeme pokračovat podle postupu v (1). D 8.13. Důsledek. Je-li f kvadratická forma hodnosti r na prostoru V, dim V > r, pak existuje polární báze na V, ve které má f analytický tvar f(xi,... ,xn) = Xixf + • • • + \rx2r. Zejména je počet nenulových diagonálních prvků v matici v polární bázi roven hodnosti formy f. 08 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A AIN AL Y TICK. A GĽUMETRIK 8.14. Příklad. Nechť/: R3 ->■ R, /(zi, £2,2:3) = 3x? + 2xix2 + x| + 4x2x3 + 6z§. /3 1 0\ Její matice je A = I 1 1 2 I . Podle bodu (1) algoritmu provedeme úpravy \0 2 6/ 1 2 /(xi,x2,x3) = -(3a;i + x2)2 + -x\ + 4x2x3 + 6x3 = -z2 + -zl 3 1 2 2 a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: 2 2 23 = ž/3 = Z3, z2 = -y2 + 2y3 = -x2 + 2x3, zx = yx = 3xľ + x2 /O 0 1 Pokud by ale např. f(xi,x2,x3) = 2x\x3 + x\, tj. matice je A = 0 1 0 \l 0 0 pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: y\ = x2} y2 = xi, y3 = £3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci z\ = y±, z2 = y2, zz = 2/3 -2/2- Pak f(x!,x2,x3) = z\ + 2z2(z3 + z2) = z\ + -(2z2 + z3)2 - -zl Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). 8.15. Všimněme si podrobněji, jak vypadají transformace použité v bodu (1) algoritmu z Lagrangeovy věty. Mají vždy horní trojúhelníkovou matici T a navíc, při použití technické modifikace zmíněné v důkazu má tato matice jedničky na diagonále: 1 __ «12 __ dn2 «li ' ' ' «li T= O 1 ... O Taková matice přechodu odukv má několik pěkných vlastností. Zejména její hlavní submatice T^ tvořené prvními k řádky a sloupci jsou matice přechodu podprostorů Pk = (wi,..., iífc) od báze («i,... , Uk) k bázi (ví,... , Vk). Hlavní submatice A^ matice A formy / jsou maticemi zúžení formy / na Pk- Při přechodu od u k v daném maticí přechodu T jsou tedy matice Ak a A'k zúžení na podprostory P^ ve vztahu Ak = Tfc A'^Tk)-1. Inverzní matice k horní trojúhelníkové s jedničkami na diagonále je přitom opět horní trojúhelníková s jedničkami na diagonále, můžeme tedy podobně vyjádřit i A' pomocí A. Podle Cauchyovy věty jsou tedy determinanty matic Ak a A'k stejné. Celkem jsme tak dokázali velice užitečné tvrzení 8. FUKMY A TĽINSUKY Ö9 * Lemma. Nechť f kvadratická forma na V, dim V = n, a nechť je u báze V taková, že při hledání polární báze algoritmem z Lagrangeovy věty není nikdy potřebné použít body (3) a (4). Pak je výsledkem analytické vyjádření f(xi,... , xn) = X\x\ + X2x\ +-----h Xrx2r kde r je hodnost formy f, Ai,... , Ar ^ O a pro hlavní submatice (původní) matice A kvadratické formy f platí \A^\ = X\X2 ■ ■ ■ X^, k < r. D 8.16. Důsledek (Jacobiho věta). Nechť f je kvadratická forma hodnosti r na vektorovém prostoru V s maticí A v bázi u. V Lagrangeově algoritmu není zapotřebí jiného kroku než doplnění čtverců právě, když pro hlavní submatice v A platí \Ai\ ^ 0, ... , \Ar\ ^ 0. Pak existuje polární báze (a obdržíme ji výše odvozeným algoritmem), ve které má f analytické vyjádření \ An\ 14 1 i* / \ i a i 9 -^2 9 J±-ip o J[Xij... , Xn) = I Ai|X-l + — -%2 + * * * + T~j :X \Ai\ z \Ar r" Důkaz. Tvrzení vyplývá přímo z předchozího lemmatu, stačí si jen uvědomit, že při každé postupné transformaci se vždy další sloupec pod diagonálou v matici A vynuluje. Odtud již je jasné, že nenulovost hlavních minorů skutečně zaručí (díky tomu, že jejich hodnota se při transformacích nemění) nenulovost dalšího diagonálního členu v A. D 8.17. Klasifikace pro K = C Nechť V je komplexní vektorový prostor. Pro každou lineární formu (p E V* můžeme definovat kvadratickou formu u i-» (c£>(m))2 G C (Ověřte si, že jsou skutečně splněny podmínky 8.11.(3)!) Předchozí výsledky nám tedy pro komplexní skaláry dávají Věta. Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na komplexním vektorovém prostoru V existuje r nezávislých lineárních forem ípi,..., 0 zatímco pro v G Q je f (v) < 0. Nutně tedy platí P n Q = {0} a proto dim P + dim Q < n. Odtud plyne p + (n — q) < n, tj. p < q. Opačnou volbou podprostorů však získáme i q < p. Je tedy p nezávislé na volbě polární báze. Pak ovšem pro dvě matice se stejnou hodností a stejným počtem kladných koeficientů v diagonálním tvaru příslušné kvadratické formy získáme stejný kongruentní kanonický tvar. D 8.19. Definice. Nechť / je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru V. Číslo p z předchozí věty nazýváme signaturou formy f. Formu / nazýváme (1) positivně definitní, je-li f{u) > 0 pro všechny u ^ 0 (2) positivně semidefinitní, je-li f(u)>0 pro všechny u E V (3) negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny u ^ 0 (4) negativně semidefinitní, je-li f(u) < 0 pro všechny u G V (5) indefinitní, je-li f(u) > 0 a f (v) < 0 pro vhodné u,v E V. O reálné symetrické matici řekneme, že je positivně definitní, resp. positivně semidefinitní, negativně definitní, negativně semidefinitní, indefinitní, jestliže má tuto vlastnost jí definovaná kvadratická forma na Kn. Signaturou symetrické matice rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy. 8. FUKMY A TĽINSUKY 71 8.20. Důsledek. Reálná symetrická matice, resp. kvadratická forma na vektorovém prostoru dimenze n je (1) indefínitní právě, když má nenulovou signaturu různou od hodnosti (2) positivně defínitní právě, když má hodnost i signaturu n (3) positivně semidefínitní právě, když má stejnou hodnost i signaturu r < n (4) negativně deňnitní právě, když má signaturu 0 a hodnost n (5) negativně semidefínitní právě, když má signaturu 0 a hodnost r < n * 8.21. Důsledek (Sylvestrovo kritérium). Symetrická reálná matice A je positivně defínitní právě, když jsou všechny její hlavní minory kladné. * Symetrická reálná matice A je negativně defínitní právě, když (—l)*|Aj| > 0 pro všechny hlavní submatice A^. * Důkaz. Jsou-li všechny hlavní minory kladné, pak podle Jacobiho věty (8.16) umíme najít polární bázi, ve které má daná kvadratická forma / tvar I 4 J 14 1 j{Xi,... ,xn) = (Aija^ + — -x2 + • • • + t-j rXr \Al\ \Ar-l\ Je tedy jistě / positivně defínitní. * Předpokládejme naopak, že forma / je positivně defínitní. Pak pro vhodnou regulární matici P platí A = PTEP = PTP. Je tedy \A\ = \P\2 > 0. Nechť u je zvolená báze, ve které má forma / matici A. Zúžení f na podprostory V& = (iii,... , life) je opět positivně defínitní forma /& jejíž maticí v bázi u\,... ,Uk je hlavní submatice A^. Proto je podle předchozí části důkazu také \A^\ > 0. * Tvrzení o negativně definitních vyplývá z předchozího a skutečnosti, že A je positivně defínitní právě, když — A je negativně defínitní. D * 8.22. Definice. Hermiteovská forma /:ľxľ^Cna komplexním vektorovém prostoru V je zobrazení, které je lineární v prvním argumentu a f(u,v) = f(v,u). Komplexní matice A se nazývá Hermiteovská, je-li A = AT. * 8.23. Věta. Nechť f: V x V ->• C je Hermiteovská forma. (1) V libovolné bázi u na V je f dáno Hermiteovskou maticí A = (a^-), a^- = f(ui, Uj) a v souřadnicích je f dáno (x, y) >->• xTAy. (2) Transformací do nové báze prostřednictvím matice přechodu P, (tj. pro nové souřadnice x' = Px) získáme matici B formy f splňující A = PTBP. * Důkaz. Obě vlastnosti přímým výpočtem. D Nyní budeme zkoumat vlastnosti bilineárních, Hermiteovských a kvadratických forem na unitárních prostorech. To znamená, že budeme opět hledat co nejjednodušší souřadné vyjádření, avšak pouze v ortonormálních bazích. Níže uvedená tvrzení jsou přímou aplikací výsledků o samoadjungovaných zobrazeních, které odvodíme až v kapitole 10. Nyní se tedy omezíme na formulaci tzv. metrické klasifikace symetrických bilineárních, resp. hermiteovských forem a uvedeme některé jejich důsledky. TI (J AST 11. ťHUKTUKY SK SKALAKINIM SUUCJIJNĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK 8.24. Věta. Každá symetrická bilineární forma f na euklidovském prostoru V, dim V = n, má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f(x, y) = AiXil/i H--------h XnXnyn. Každá hermiteovská forma f na komplexním unitárním prostoru V, dim V = n, má ve vhodné ortonormální bázi tvar f (z, w) = Xxziwi H--------h Xnznwn. Přitom v obou případech jsou koefícienty Ai,... , An vždy reálné kořeny charakteristické rovnice det(Q — XE) = O, kde Q je matice f v libovolné ortonormální bázi, a jsou určeny jednoznačně až na pořadí. Hledaná báze je pak určena vlastními vektory danými rovnicí (Q — XíE)xí = 0. Důkaz. Viz. odstavec 10.19 8.25. Důsledek. Nechť f je kvadratická forma na euklidovském prostoru V. Pak má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f(x) = Xxxl H--------VXnx2n. Hermiteovské kvadratické formy f na komplexním unitárním V (tj. f(u) = g(u, u) pro hermiteovskou g) mají ve vhodné ortonormální bázi tvar f (z) = XxZxZx H--------h A Přitom v obou případech jsou koefícienty Ai,... , Xn vždy reálné kořeny charakteristické rovnice det(Q — XE) = 0, kde Q je matice f v libovolné ortonormální bázi, a jsou určeny jednoznačně až na pořadí. Hledaná báze je pak určena vlastními vektory danými rovnicí (Q — XíE)xí = 0. 8.26. Důsledek. Nechť f je pozitivně definitní kvadratická forma, g libovolná další kvadratická forma na euklidovském prostoru V. Pak existuje báze V taková, že v ní mají f a g tvar: J \Xj == X-^ ~r • • * ~r Xn g(x) = Xxx\ +-----h Xnx2n Důkaz. Podle Lagrangeovy věty umíme najít takovou bázi, ve které má / požadovaný tvar (díky pozitivní definitnosti). Při libovolné následné změně báze pomocí ortogonální matice přechodu se ale již tento tvar / nebude měnit, můžeme ale přitom dosáhnout požadovaného tvaru pro g. D Na závěr této kapitoly uvedeme lineární, bilineární a kvadratické formy do souvislosti s obecnějšími pojmy tensorové algebry. 8. FUKMY A TĽINSUKY 73 8.27. Tensorový součin. Nechť V a W jsou konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným polem skalárů K. Zvolme jejich báze u = (ui,... ,um), v = (ví,... , vn). Uvažme nyní vektorový prostor Z všech (formálních) lineárních kombinací výrazů Wij = Ui® v j, tzn. m n i=lj=l kde sčítání definujeme pomocí součtu koeficientů u stejných výrazů, násobení skalárem na všech koeficientech. Je tedy Z isomorfní standardnímu vektorovému prostoru Kmn. Zjevně každé vektory u E V, v E W určují také vektor u (g> v E Z prostřednictvím svých souřadných vyjádření a dostáváme tak bilineární zobrazení t: V x W —>■ Z. Navíc také každá konečná lineární kombinace takových prvků u ® v E Z je v Z a, všechny jsou tohoto tvaru. Každé bilineární zobrazení /: V x W —> U můžeme nyní výhodně vyjádřit prostřednictvím jednoznačně definovaného lineárního zobrazení /': Z —>■ U takto: Chceme dosáhnout / = / o /,, proto na bázových vektorech ui ® Vj musí být f(ui <8> Vj) = f(ui,Vj). Tím je lineární zobrazení / zadáno jednoznačně a platnost požadovaného vztahu / = / o i je zřejmá. Takto konstruovaný vektorový prostor Z nazýváme tensorový součin vektorových prostorů V a W. Většinou jej značíme V ® W. 8.28. Nedostatkem naší konstrukce prostoru Z je její explicitní závislost na volbě baží. Samozřejmě volba jiných baží u', v' pro V a W povede na výrazy v/- = w£®u'-, které opět můžeme chápat jako prvky Z. Závislosti na volbě baží se lze zbavit např. tak, že zapomeneme, které báze u, v jsme původně použili pro konstrukci Z, a ponecháme pouze transformační vztahy mezi takto vzniklými bázemi pro V®W. Z hlediska čistých algebraických definic je přijatelnější následující obecná konstrukce: Nejprve zkonstrujeme nekonečněrozměrný prostor T všech konečných lineárních kombinací formálních výrazů u (g> v. (Tzn., že T má nespočetnou bázi {u (g> v; u E V, v E W}.) Pak definujeme vektorový podprostor I C T, generovaný všemi výrazy a(u <8> v) — (au) (g> v, (au) (g> v — u ® (av) (u + v!) (8> v — u (g) v — u' <8> v u (8> (v + v') — u (8> v — u (8> v' kde a E K, u, u' E V, v, v' E W jsou libovolné. Tensorový součin V ® W je pak definován jako faktorový prostor T/I. Takto definovaný vektorový prostor opět má tu vlastnost, že V x W je zobrazeno do T/I prostřednictvím bilineárního zobrazení t: ľxW-> T/I, (u, v) i->- (u (8) v mod I) a každé bilineární zobrazení f: V xW —> U je jednoznačně vyjádřeno jako / = /o/,, kde lineární / je definováno vztahem (píšeme jakoby bylo definováno na T, ve skutečnosti ale výrazy jsou nulové na /) f(u®v) = f(u,v) Aplikací této vlastnosti na kanonická bilinární vložení V x W do prostoru Z z 8.27 a do T/I dostáváme, že T/I je vždy isomorfní Z. 74 (J AST 11. ťHUKTUKY SK SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ UĽUIVIĽTKIID * * * 8.29. Dualita. Vektory v tensorovém součinu V* 0 W lze názorně chápat jako lineární zobrazení V —> W. Každý takový vektor je lineární kombinací výrazů v* (g> w, kde v* G V* je lineární forma na V a w G W. Můžeme tedy definovat lineární zobrazení W, u^(Ulv*)w Podívejme se, jak vypadají matice takových zobrazení. V pevně zvolených bazích u,vnaVaW dostáváme f v j pro i = k t U pro i jí k. To znamená, že matice ipUi^vj obsahuje jedničku v i-tém sloupci na j-tém řádku a všude jinde nuly. Zejména tvoří tyto matice bázi prostoru Matnm(K) všech matic uvažovaného typu. Přímým důsledkem těchto skutečností je následující obecná věta: 8.30. Věta. Vektorový prostor všech lineárních zobrazení W je přirozeně isomorfní tensorovému součinu V* 0 W. Tento isomorfísmus je defínován vztahem V* (g> W 3 v* ® w ^ (u ^ (u, v*)w) G Hom(F, W) 8.31. Aplikací předchozích úvah dostáváme například isomorfismy {lineární formy na V} ~ V* {bilineární formy na V} ~ V* ® V* Navíc přímo z definic je vidět, že duální prostor k tensorovému součinu je tensorovým součinem duálních prostorů. Např. pro v <8> w* G V ® W* a v* ® w G V* ® W definujeme vyčíslení (v* ® w,v ® w*) = (v, v*){w, VJ*) a můžeme ztotožnit (V* ® W)* = V ® W*. Všimněme si, že vyčíslením symetrických bilineárních forem z (V* 0 V*) na prvcích v ®v EV ®V dostáváme právě dříve studovaný vztah mezi kvadratickými formami a jejich polárními bilineárními formami. Další stručné informace o tensorech lze najít v dodatku 13. Problémy k přemýšlení Nejprve uvedu náměty týkající se předchozí kapitoly o skalárních součinech. 1. Modifikujte Lagrangeův algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru hermiteovských forem a ukažte, že každou lze upravit do tvaru f{x) = \x\\2 + ■ ■ ■ + \xr\2, kde r je hodnost formy /. (Návod: všimněte si, že diagonální členy hermiteovských matic jsou reálné a použijte souřadný tvar z věty 8.23.) ťKUBLKMY K ťKĽM YSLKJNl 75 ** 2. Z definice 7.1 skalárního součinu můžeme vypustit axiom (4) a nahradit jej požadavkem regulárnosti (tj. z g(u,v) = 0 pro všechny v E V plyne m = 0). V případě reálných skalárů hovoříme o pseudo-euklidovských vektorových prostorech. Ukažte, že v případě komplexních skalárů nedostáváme nic nového, tj. vždy bude existovat unitární isomorfismus s Cn se standardním skalárním součinem. (Návod: použijte předchozí cvičení ke konstrukci ortonormální báze) ** 3. Použijte klasifikaci reálných kvadratických forem (8.18) ke klasifikaci všech ko-nečněrozměrných pseudo-euklidovských prostorů (až na ortogonální isomorfismus). (Návod: ověřte existenci ortogonální báze e = (ei,... , en) s ||ej|| = ±1.) ** 4. Ukažte, že v pseudo-euklidovských prostorech nemá velikost vektoru vlastnosti normy (viz. 7.10) a také ortogonální báze nemají některé důležité vlastnosti známé z euklidovských prostorů. ** 5. Ukažte, že i pro pseudo-eklideovské prostory definuje skalární součin lineární isomorfismus s duálním vektorovým prostorem. ** 6. Sformulujte a dokažte analogii vět 7.12 a 7.13 pro (pseudo-)ortogonální zobrazení. Ukažte, že (pseudo-)ortogonální transformace W"1 —> W71 tvoří grupu, značíme ji 0(p, q, M), kde p je signatura příslušné formy, q = n — p. Jedná se o grupu matic A splňujících J = ATSA, kde J je diagonální matice s p jedničkami a q minus jedničkami na diagonále. ** 7. Je možné také definovat tzv. komplexní euklidovské prostory. Prostě axiom (1) definice 8.1 nahradíme jeho reálnou verzí u ■ v = v ■ u. Transformace, které zachovávají takto definovaný skalární součin nazýváme komplexní ortogonální matice. Ukažte, že opět lze vždy najít ortonormální bázi, ve které má součin tvar g(u, v) = ^iXii/i. Komplexní ortogonální matice tvoří grupu 0(m, C) komplexních matic. Uvědomte si výrazný rozdíl mezi U(m) a 0(m, C). (Např. U(l) = {elt, 0 < t < 27r}, 0(1,C)={±1}.) Nyní se vraťme k obsahu této kapitoly. * 8. Ukažte, že pro vektorové prostory V s nekonečnou baží nikdy netvoří lineární formy u*, i £ I duální k vektorům báze V bázi V*. (Návod: formálně nekonečný součet ^2{ti* je dobře definovaná lineární forma ve V*, nemůže však být v («*).) * 9. Ukažte, že duální prostor (V*)* k duálnímu prostoru obsahuje vždy původní prostor V a,V ~ (V*)* právě, když má V konečnou dimenzi. (Návod: v G V odpovídá formě, (v, ), tj. v(■ (V*)* vložení z předchozího problému. Pak pro každé lineární V na konečněrozměrném V je i~x o (p(A1C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (Ao;e) mají body A = A0 + aiei H--------h anen, B = A0 + bľei H--------h bnen vzdálenost y/^"=1(a^ — bi)2. (5) Vzdálenost bodu A G £n od podprostoru Q C £n je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q.)± pro libovolný B E Q. Důkaz. První tři vlastnosti vyplývají přímo z vlastností normy v unitárních vektorových prostorech, čtvrtá plyne přímo z vyjádření skalárního součinu v libovolné ortonormální bázi. Zbývá vztah pro výpočet vzdálenosti p({A}, Q). Vektor A — B se jednoznačně rozkládá na A — B = u\ + 112, u\ G Z (Q), u2 G Z{Q)-L. Přitom ií2 nezávisí na volbě B G Q, C = A+ (-u2) = B + m E Q a \\A - B\\2 = \\Ul\\2 + \\u2\\2 > \\v>21|2 = ||^4 — C\\. Odtud již vyplývá, že infima je skutečně dosaženo, a to pro bod C. Vypočtená vzdálenost je skutečně ||«2||- D Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, orientace, objem apod. je v bodových prostorech £n zaváděna prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Proto se nyní budeme chvíli věnovat opět reálným unitárním prostorům. Začneme s diskusí velikosti úhlů. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 < m |m| n < 1, má tedy smysl následující definice. 9. BUDUVĽ EUKLlUUVSKK ťHUKTUKY 77 9.3. Definice. Odchylka if (u, v) vektoru u, v E V v reálném unitárním prostoru (tj. euklidovském vektorovém prostoru) je dána vztahem u ■ v cos(p(u,v) = -—......, 0 < íp(u,v) < 2%. IMIIMI 9.4. Poznámky. Ve standardním R2 pro (obvyklou) odchylku vektorů na jednotkové kružnici u = (1,0), v = (cos U2- Zobrazení ip: U2 —>■ U\ nechť vznikne podobně z kolmého průmětu na U\. Tato zobrazení mají v bazích (ei,... , ek) a (eí,... , e[) matice (ei • e[ ... ek ■ e[ \ / e'x ■ ex ... e\ ■ ex : ■ B= : ei • e[ ... efc • e\ ) \ e[ ■ ek ... e\ ■ ek Zejména platí B = AT. Složené zobrazení tjj o ■ ř7i má tedy symetrickou matici ATA V příští kapitole, ve větě 10.11, ukážeme, že každé takové zobrazení má pouze reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále. Navíc platí pro každou fe-tici x souřadnic xTATAx = \\Ax\\2 > 0, jsou tedy všechna vlastní čísla matice A nezáporná. * Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky a = (f)||. 9. BUDUVĽ EUKLIUUVSKK ťHUKTUKY 79 Předchozí lemma navíc dává i vzorec pro odchylku a vektoru v od U2 cosa=ll#l = ||^)||. \\v\\ Protože jsme zvolili za Ai největší z vlastních hodnot, dostáváme (cosa)2 = ||^>(u)||2 < \\ip o íp(v)\\ \h k ^-^/, N2 N m+E°.?w-a?)^va5 Při v = m dostáváme ovšem přesně ||^>(u)||2 = Af||w||2 = A2 a tedy odchylka dosahuje pro tento vektor minimální možné hodnoty. Tím je věta dokázána. D 9.8. Definice. Odchylka podprostorů Qi, Q2 v bodovém euklidovském prostoru £n se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z(Q,2)- 9.9. Příklady standardních úloh. 1. Najděte vzdálenost bodu A G £n od podprostorů Q C £n: Viz. věta 9.2. 2. V £2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Najdeme vektor «Gt2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením (v). Úloha má dvě nebo jedno řešení. 3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Viz. důkaz posledního bodu věty 9.2. 4. V £3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A G p, B G q. Komponenta vektoru A — B v ortogonálním doplnku (Z (p) + Z (q))1- má velikost rovnu vzdálenosti p a q. 5. V £3 najděte osu dvou mimoběžek p a q: Nechť 77 je rovina generovaná jedním bodem A E p a součtem Z(p) + (yZ(yp) + Z(yq))-L. Pak průnik riílq spolu se zaměřením (Z(p) + Z^q))1- dávají parametrický popis hledané osy. (Prověřte, kolik má úloha obecně řešení!) 9.10. Objem. Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat standardní £n spolu s orientací zadanou standradní baží TV1. Nechť «i,... , tífc, jsou libovolné vektory v zaměření Rn, A G £n je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; ui,... , u^) C £n jsme definovali jako množinu Vk(A; ui,... , Wfc) = {A + ciiii H--------h Cfctífc; 0 < q < 1, i = 1,..., k}. Jsou-li vektory iíi,... ,Uk nezávislé, hovoříme o fe-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; iii,... ,Uk) C £n. Pro dané iíi,... ,Uk máme k dispozici také rovnoběžnostěny menších dimenzí T>i{A; iíi), ..., Vk{A; «i,..., uk) 81) (J AST 11. ťHUKTUKY SK SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK v euklidovských podprostorech A + («i),..., A + (ui,... , uk). * Jsou-li ui,... ,Uk lineárně závislé definujeme objem VolPfc = 0. Pro nezávislé vektory pak platí (m,... ,uk) = («i, •. •, uk-i) © ((«i, • • • , «fc-i)1" n («i,... , wfc)). Navíc v tomto rozkladu se uk jednoznačně vyjádří jako uk = u'k + ek, kde ek±(ui,... , uk-i). Absolutní hodnotu objemu definujeme induktivně: | Volili (A; wi) = ||wi|| | Vol|Pfc(A;Mi,... ,uk) = \\ek\\\ Vol|P(A;wi,... , Ufc-i). Je-li «i,... , un báze kompatibilní s orientací V, definujeme (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu Vo\Tk(A] m,... , un) = | Vol \Vk(A; m,... , un), v opačném případě klademe Vo\Tk(A] w1;... , un) = —| Vol |Pfc(^4; Mi> • • • > Mn)- * 9.11. Věta. Nechť Q d £n je euklidovský podprostor a nechť (ei,... , ek) je jeho ortonormální báze. Pak pro libovolné vektory m,... ,uk G Z (Q) a A E Q platí /wi-ei ... uk ■ eľ (1) Vo\Vk(A-u1}... ,«fe)=det j \ \ui-ek ... uk-ek. (U\ ■ U\ ... uk- U\ \ \ U\-Uk ... uk-uk. /wi-ei ... uk-eľ\ Důkaz. Matice A = \ '■ '■ \ má ve sloupcích souřadnice vektorů ** \ui-ek ... uk-ekJ «i,... , uk ve zvolené ortonormální bázi. Platí (U\ ■ U\ ... uk ■ U\ : : UfUk ... uk-uk. Přímo z definice je neorientovaný objem roven součinu ||ui||||w2|| • • • ||^fc||; kde V\ = «i, V2 = U2 + a\v\,..., vk = uk + a^vi + • • • + a\_1vk-\ je výsledek Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu. Je tedy ÍVx-Vx ... Vk-V! (VolVk(A;ui,... ,Mfc))2 = det : : Vvľ ■ vk ... vk-vk (vi ■ vi 0 ... 0 0 0 ... vk-vk. 9. BUDUVĽ EUKLIUUVSKK ťHUKTUKY 81 Označme B matici jejíž sloupce jsou souřadnice vektorů v\,... , v^ v bázi e. Protože Vi,... ,Vk vznikly z ui,... ,Uk jako obrazy v lineární transformaci s horní trojúhelníkovou maticí C s jedničkami na diagonále, je B = CA a \B\ = |C||^4| = |^4|. Pak ovšem \A\2 = \B\2 = \A\\A\, proto VoľPfc(^4; uľl... ,uk) = ±\A\. Přitom pokud jsou vektory w1;... ,Uk závislé vyjde objem nulový, pokud jsou nezávislé, pak znaménko determinantu je kladné právě když je báze v,i,... ,Uk kompatibilní s orientací danou baží e. D (UfU! ... uk • «i \ \ \ se nazývá Grammův determinant k- Ux-Uk ... Uk-UkJ tice vektorů ui,... ,Uk- ** 9.12. Důsledek. Pro každé lineární zobrazení ip: V —> V euklidovského vektorového prostoru V je det

2 a vektory w1;... ,iín_i G V. Vektor v G V nazveme vektorový součin vektorů ui,... , wn_i, jestliže pro každý vektor w G V platí (v,w) = [til, ... ,un-i,w]. Značíme v = u\ x ... un-\. * V ortonormálních souřadnicích, kde v = (í/i, ... , yn)T, w = (xi,... ,xn)T a Uj = (uíj,.. .unj)T', předchozí vztah znamená (1) 1/1X1 H--------\-y Uli ■■■ Ml(n-l) Xi Uni . . . tín(n_ 1) xr Odtud vyplývá, že vektor v je tímto vztahem zadán jednoznačně a jeho souřadnice spočteme formálním rozvojem determinantu v (1) podle posledního sloupce. 82 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK 9.15. Věta. Pro vektorový součin v = u\ x ... x un_\ platí (1) i; G (wi,... jitn-i)1" (2) v je nenulový vektor právě, když jsou vektory m,... , iín_i lineárně nezávislé (3) velikost \\v\\ vektorového součinu je rovna absolutní hodnotě objemu rovnoběžníku V(0;ui,... , Mn_i) (4) (wi,... , wn_i, v) je kladná báze orientovaného euklidovského prostoru V Důkaz. První tvrzení plyne přímo z definičního vztahu pro v, protože dosazením libovolného vektoru Uj za w máme nalevo skalární součin v • Uj a napravo determinant s dvěma shodnými sloupci. Hodnost matice s n —1 sloupci Uj je dána maximální velikostí nenulového minoru. Minory, které zadávají souřadnice vektorového součinu jsou stupně n — 1 a tím je dokázáno tvrzení (2). Jsou-li vektory m,... ,un-i závislé, pak platí i (3). Nechť jsou tedy nezávislé, v Je jejich vektorový součin a zvolme libovolnou ortonormální bázi (ei,..., en_i) prostoru («i,..., wn_i). Z již dokázaného vyplývá, že existuje nějaký násobek (l/a) v, 0/öGK, takový, že (ei,..., e^, (l/a)w) je ortonormální báze celého V. Souřadnice našich vektorů v této bázi jsou u j = («y, Proto je vnější součin [«i,.. Mi, ,Un-l,V\ .,«(„_i)j,0) , u = (0,...,0,a) . tín_i,w] roven (viz. definice vektorového součinu) «11 ••• «l(n-l) 0 W(n-l)l 0 U(n-l)(n-l) 0 o CK {v, v) = a^ Rozvojem determinantu podle posledního sloupce zároveň obdržíme a2 = a VoľP(0; u\,... , iín_i). Odtud už vyplývají obě zbylá tvrzení věty. D 9.16. Závěrem ještě pár poznámek o objektech v £n zadaných kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. Zvolme v £n pevně kartézskou souřadnou soustavu (tj. bod a ortonormální bázi zaměření) a uvažme obecnou kvadratickou rovnici pro souřadnice (xi,... , xn) bodů A E £n ? \A]i) <-l iAj Q iAj r> | 7 Ál \Aji) tis i) | \Aj i,3 = 1 "ij "ji- i=l Můžeme ji zapsat jako f(u) +g(u) + a = 0 pro kvadratickou formu /, lineární formu jaaGla předpokládáme že hodnost / je nenulová (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). 9. BUDUVĽ EUKLIUUVSKK ťHUKTUKY 83 Podle věty o ortogonální klasifikaci kvadratických forem (viz. 8.24) existuje ortonormální báze zaměření, ve které má / diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Předpokládejme tedy přímo rovnici ve tvaru n n 2_] Kxf + yj biXi + 6 = 0. i=i í=i Nyní pro souřadnice x i s Aj ^ 0 provedeme doplnění do čtverců (viz. Lagrangeův algoritmus), tj. získáme tvar n n J^ Xi(xi - pí)2 + J^ bjXj + c = 0. í=l j splňující Aj =0 Pokud nám opravdu zůstaly nějaké lineární členy, můžeme zvolit novou bázi zaměření tak, aby odpovídající lineární forma byla prvkem duální báze a novou volbou počátku v £n pak dosáhneme výsledného tvaru k ^2 Xiyi+ byk+i+c = ° kde k je hodnost kvadratické formy /, lineární člen se může (ale nemusí) objevit jen pokud je hodnost / menší než n, c G R může být nenulové pouze když je b = 0. 9.17. Případ £2. Původní rovnice má tvar a,\\x + a,22V + 2ai2xy + a,\x + a^y + a = 0. Volbou vhodné báze zaměření a následným doplněním čtverců dosáhneme tvaru (opět používáme stejného značení x,y pro nové souřadnice): d\\x + ü22y + (iix + d2y + a = 0 kde tti může být nenulové pouze v případě, že au je nulové. Posledním krokem obecného postupu, tj. v dimenzi n = 2 jen případnou volbou posunutí, dosáhneme právě jedné z rovnic 0 = x2/a2 + y2/b2 + 1 prázdná množina 0 = x2/a2 + y2/b2 - 1 elipsa 0 = x2/a2 - y2/b2 - 1 hyperbola 0,0 0 = x /a — 2py parabola 0 = x2/a2 + y2/b2 bod 0 = x2/a2 - y2/b2 2 různoběžné přímky 0 = x2 - a2 2 rovnoběžné přímky 0 = x2 2 splývající přímky 0 = x2 + a2 prázdná množina 84 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK 9.18. Poznámka. Technicky daleko účinnější je diskuse kvadrik v tzv. projektivním rozšíření afinních nebo euklidovských prostorů. Zejména pokud nás nezajímají metrické vlastnosti a chceme vyjádřit danou kvadriku v libovolných afinních souřadnicích, můžeme použít standardní klasifikaci kvadratických forem velmi přehledně. Ztotožníme za tím účelem An s podprostorem v »4n+i takovým, že v pevně zvolené bázi budou mít všechny body An první souřadnici rovnu jedné. Množinu, která nás zajímá nyní můžeme vyjádřit jako řešení systému dvou rovnic n n y^ díjXiXj + ^2 2a0iXiXo + a00xl = 0, x0 = 1 i,j=l í=l kde jsme zavedli značení uqí = a^ = a^, aoo = a, a předpokládáme, že matice / an ... ain a iq \ A (ln\ . . . (lnn 0,nQ V doi • • • (lQn ÜQ0 / je symetrická. Jinými slovy, hledaná množina řešení je průnikem podmnožiny určené množinou vektorů na nichž je nulová kvadratická forma h daná maticí A a naroviny An C An+i zadané rovnicí Xo = 1. Podle obecné teorie existují v An+i souřadnice, ve kterých má h diagonální matici s hodnotami ±1 a 0 na diagonále, počet nenulových prvků je přitom dán hodností A. Body projektivního rozšíření Pn(K) standardního afinního prostoru An jsou právě všechny jednorozměrné podprostory v ižn+i procházející počátkem a kvadratická forma h daná maticí A sice nemá dobře definované hodnoty na bodech Pn (M), má ale dobře definovanou množinu bodů, kde se anuluje. Této množině říkáme projektivní kvadrika zadaná formou h. Patří jí kromě původních bodů naší kvadriky právě ještě její nekonečné body. Poznámky k přemýšlení 1. Uveďte si pojmy této kapitoly do souvislostí se základními transformacemi elementární geometrie jako stejnolehlost, zrcadlení apod. 2. Vyjádřete transformační rovnice pro převod souřadnic z afinní souřadné soustavy (A;u) na An do souřadné soustavy (B;v). (Návod: použijte matici přechodu mezi bázemi zaměření a vektor B — A.) 3. Odvoďte v £3 vzorec pro vzdálenost bodu od roviny. 4. Zformulujte vlastnosti zobrazení, která zachovávají struktury afinních nebo euklidovských prostorů (tzv. afinní a euklidovská zobrazení). 5. Všimněme si, že objem nezávisí na umístění vrcholu A G £n a stejně tak se nemění vhodnými zobrazeními £n. Ukažte, o jaká zobrazení jde. (Návod: jejich matice musí mít determinant rovný jedné) 6. Napište si formuli pro vektorový součin v R3 lU. SFKKTKALINI TĽUK1Ľ 85 7. Diskutujte podrobně kvadriky v £3 a A3. 8. Promyslete podrobněji, jak se obdrží afinní klasifikace kvadrik z uvedených úvah v projektivním rozšíření. 10. Spektrální teorie Nejprve budeme diskutovat souvislosti kvadratických forem, resp. hermiteov-ských forem, se skalárními součiny v unitárních prostorech. 10.1. Pololineární zobrazení17 na komplexních vektorových prostorech je zobrazení, které je aditivní (tj. K, která jsou lineární v prvním argumentu a pololineární v druhém. V případě reálných skalárů definice pololineárních a lineárních zobrazení splývá. Z hlediska této identifikace je třeba chápat tvrzení následujících vět pro reálné vektorové prostory. 10.2. Věta. Nechť V je unitární prostor. (1) Vektory v E V jsou v bijektivní korespondenci s lineárními formami av G V* tak, že ctv(u) = u ■ v pro všechny vektory u E V. Tato bijekce je navíc pololineární zobrazení V —>■ V *. (2) Zobrazení f: V x V —> K, která jsou lineární v prvním argumentu a pololineární v druhém, jsou v bijektivní korespondenci s endomorfísmy ip: V —>■ V splňujícími f(u, v) = u ■ ■ V. Z předpokládaných vlastností / vyplývá, že

• W mezi unitárními prostory zobrazení odpovídající duálnímu zobrazení ■ V*. Budeme jej opět značit ■ V. Přitom z předchozí věty bezprostředně vyplývá, že pro ■ V jednoznačně určeno definičním vztahem (1) W. V dalším budeme většinou pracovat s endomorfismy ip: V —>■ V a jejich adjungovanými zobrazeními. 10.4. Věta. Nechť W je libovolné lineární zobrazení unitárních prostorů V, W. (1) Vztahem 10.3.(1) je dobře definované lineární zobrazení V. (2) Platí (ip*y =ip. (3) Přiřazení

• V unitárního prostoru V se nazývá samoadjungovane jestliže

• (2) =>• (3): Nechť A je matice ip v ortonormální bázi e. Pak (přímo z definice matice zobrazení a díky vlastnostem souřadnic v ortonormálních bazích) ttji = {ip(ei),ej) = (ei,ip(ej)) = {ip(ej),ei) = aťj-. Odtud plyne (2) a tedy i (3). (3) =>• (1): V souřadnicích spočteme tp(u) ■ v = (Ax) y = x A y = x ATy = x (Ay) = u ■ tp(v). D 10.7. Věta. Nechť ■ V jsou samoadjungovaná, A a B nechť jsou jejich matice v ortonormální bázi. Potom

■ V euklidovského prostoru do sebe se jednoznačně vyjadřuje jako součet

V. Přímo z definice pak vidíme, ■ V je samoadjungované zobrazení unitárního prostoru V. (1) Je-li U C V invariantní podprostor, pak je i U1- invariantní podprostor vzhledem k (p. (2) Vlastní hodnoty zobrazení

■ V vektorového prostoru V do sebe, tj. P o P = P, se nazývá projektor. Projektor P se nazývá kolmý je-li Ker P± Im P. Z vlastnosti P2 = P okamžitě vyplývá Ker P = Im(idy —P) a (idy —P) o (idy —P) = idy —P, takže je to opět projektor. Každý projektor je jednoznačně zadán svým jádrem a obrazem, zejména každý podprostor v unitárním prostoru definuje jednoznačně kolmý projektor, jehož je obrazem (jádrem je pak jeho ortogonální doplněk). Dva projektory P, Q, s vlastností PoQ = 0 se nazývají vzájemně kolmé. V případě kolmých projektorů to znamená právě, že ImPlImQ. 10.11. Věta o spektrálním rozkladu. Pro každé samoadjungované zobrazení ip-.V^-V unitárního prostoru V existuje ortonormální báze vlastních vektorů a všechna příslušná vlastní čísla jsou reálná. Jsou-li Ai,... , A& všechna různá vlastní čísla (p a P\,... , Pfc kolmé (a vzájemné kolmé) projektory na příslušné podprostory vlastních vektorů, pak

• Ve v indukované bázi uc a na Ve máme jednoznačně dán skalární součin pro který je uc ortonormální. Vzhledem k tomuto součinu je cpe opět samoadjungované (díky A = AT = AT). Podle předchozího existuje ortonormální báze z dim V vlastních vektorů s reálnými vlastními hodnotami, jejich souřadná vyjádření jsou tedy řešeními reálných systémů lineárních rovnic. Proto všechny leží v reálné části Ve- Tím jsme získali potřebnou ortonormální bázi na V. D * 10.12. O lineárním zobrazení ip: V —> V unitárního prostoru V řekneme, že je ortogonálně diagonalizovatelné, jestliže existuje ortonormální báze, v níž má

■ V komplexního unitárního prostoru a nechť

■ V s poslední uvedenou vlastností se nazývají normální Vzájemné souvislosti ukazuje následující věta (pokračujeme ve značení tohoto odstavce): * 10.13. Věta. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (1)

• (2) jsme již diskutovali. ** (2) "w- (3): Stačí provést přímý výpočet iptp* = (ip 4- ir))(ip — irj) = ip2 + rj2 + i(r]ip — ipn) ip*íp = (ip — ir))(ip + irj) = ip2 + rj2 + i(ípr) — rjip) Odečtením dostaneme 2i(yr]t/j — t/jn). ** (2) =>• (1): Nechť m G V je vlastní vektor normálního zobrazení (w)| = |^>*(w)|. Je-li

(«) = Xu, pak <£>*(«) = Xu. Tzn., že (^ a (4): Výraz ^ ■ \dij\2 je právě stopa matice AA*, to je matice zobrazení ipoíp*. Proto nezávisí na volbě ortonormální báze. Je-li tedy

■ V, viz. 7.25. Podle ní totiž existuje pro každé lineární zobrazení ip: V —>■ V ortogonální báze, ve které má ip horní trojúhelníkovou matici. Na její diagonále pak musí být právě všechny vlastní hodnoty — in) = ip2 + 0 + i]2 = idy. Naopak, pro normální poslední výpočet ukazuje, že opačná implikace platí také. D * Dalším pojmem, který můžeme rozšířit z reálných čísel do našich úvah o samoadjungovaných zobrazeních, je pojem nezáporného (resp. kladného) čísla. U reálných čísel jej lze definovat jako ta čísla, pro která existuje odmocnina. Tak to půjde i nyní: * 10.15. Definice. Samoadjungované zobrazení ip: V —>■ V na unitárním prostoru V se nazývá nezáporné, jestliže existuje samodjungované zobrazení ip takové, že

V je nezáporné, resp. kladné, pravé když je splněna některá z následujících ekvivalentních podmínek (1) íp je samoadjungované a 0 pro všechny u E V, resp. 0 pro všechny u/0. (2) existuje lineární íp: V —> V takové, že

0, resp. je navíc ještě invertibilní když \ > 0. Přitom jsou poslední nerovnosti zřejmě ekvivalentní nerovnostem v (1). Zároveň jsme přitom ověřili i (3). (2): Je-li (p samoadjungované nezáporné, pak

0. a tvrzení je dokázané. D 10.17. Důsledek. Všechny pozitivně (semi-) defínitní reálné matice A (příp. komplexní herniiteovské) mají odmocninu, tj. existuje B taková, že A = B2. Obecně ji můžeme definovat tak, že vyjádříme A = S*DS pro S vhodnou unitární, D reálnou diagonální s nezápornými prvky. Pak B = S*\/ĎS, kde \[Ď obsahuje na diagonále odmocniny z prvků v D. Vrátíme se ke zkoumání vlastností kvadratických forem, nyní na unitárních prostorech. Přímou aplikací předchozích výsledků o samoadjungovaných zobrazeních obdržíme tzv. metrickou klasifikaci symetrických bilineárních, resp. hermiteovských forem. 10.19. Důkaz věty 8.24. Nejprve dokažme tvrzení pro reálné symetrické formy. Jak jsme viděli v 8.7, definuje / lineární zobrazení /: V —>■ V*, f(u,v) = f(u)(v) a skalární součin definuje lineární isomorfismus i: V —>■ V*, i{u)(v) = v • u, viz. 10.2. Je-li A matice / v ortonormální bázi e, pak je A také maticí / v bazích e a duální e*, matice zobrazení i v bazích e a e* je ovšem identická matice, proto je A také maticí složeného zobrazení / = i~x o /. Protože se jedná o symetrickou matici, je / samoadjungované. Proto existuje báze z vlastních vektorů /, ve které má / diagonální tvar, diagonální prvky jsou pak právě vlastní hodnoty a jsou jednoznačně určeny až na pořadí. Nechť je tedy e přímo tato báze. Pak f 0 pro i ^ j { Xi pro i = j 92 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ GĽUMETRIK Tím je dokázáno prvé tvrzení. Tvrzení pro hermiteovské formy se dokáže přesně stejně, jen je i pololineární bijekce, A je hermiteovská a získané / je proto samoadjungovane. Z posledního výpočtu nám vyjde /(ej, ej) = Aj pro i = j a nula jinak, všechny vlastní hodnoty jsou ale stejně reálné. D Problémy k přemýšlení 1. Nechť V je unitární prostor. Projektor P: V —>■ V je kolmý právě, když je P samoadjungovane. Součet P = P± + ■ ■ ■ + Pk kolmých projektorů Pí je projektorem právě tehdy, když projektory Pí jsou vzájemně kolmé (tj. Pí o Pj = 0 pro i ^ j). Potom je P také samoadjungovane. Dokažte. 2. Ukažte, že pro každé lineární V na unitárním prostoru V platí (Ker c^>)± (Im <£>*), (Imy>)_L(Kerp*). (Použijte tato tvrzení znovu pro důkaz předchozího cvičení.) 3. Zformulujte a dokažte větu o spektrálním rozkladu pro normální zobrazení. (Můžete to brát i tak, že normální zobrazení jsou právě všechna zobrazení, pro která věta o spektrálním rozkladu platí.) 4. Dokažte, že matice vzniklá jako hodnota polynomu v hermiteovské, resp. symetrické matici, je opět hermiteovská, resp. symetrická. 5. Rozšiřte tvrzení 10.16 o V je samoadjungovane a nezáporné právě, když existuje ip: V —>• W takové, že

■ W. 11. Rozklady matic a aproximace Pro numerické zpracování matic je často důležité mít možnost pracovat jen s maticemi určitých typů. Řadu příkladů jsme již potkali, např. výpočet determinantu nebo stopy je velmi snadný pro trojúhelníkové matice, inverze se snadno spočte pro unitární apod. Prostory skalárů budou vždy K = E. nebo K = C. V této kapitole tedy uvedeme několik typů rozkladů matic na součin speciálních matic. Výsledky jsou vesměs mimořádně významné pro většinu numerických aplikací. Často ovšem je zapotřebí kombinace s různými iterativními přibližnými metodami, na jejichž výklad nám již nezbývá prostor. Jako první výsledek uvedeme větu o triangulovatelnosti matic, kterou jsme již dokázali v 7.25 (ve formulaci pro lineární zobrazení). 11.1. Věta (Schurova o unitární triangulovatelnosti). Nechť A je matice v Matn(K), K = R nebo K = C, a Ai,... , An G C nechť jsou všechna vlastní čísla matice A. Pak existuje unitární U G Matn(C) taková, že U*AU = T, kde T je 11. KUZKLADY MATIC A AFKUAIMACE 93 horní trojúhelníková matice s čísly Ai,... , Xn na diagonále. Je-li navíc K = R a všechna vlastní čísla Aj jsou reálná, pak lze volit ortogonální U G Matn (R). Důkaz. Jde pouze o přeformulování věty 7.25 pro standardní euklidovský vektorový prostor Rn nebo standardní komplexní unitární prostor Cn. D Další věta je podstatným rozšířením věty 1.14, ve které jsme dokázali, že pro každé lineární zobrazení mezi koneěněrozměrnými vektorovými prostory docílíme vhodnou volbou baží toho, že matice zobrazení je diagonální s jedničkami a nulami na diagonále. 11.2. Věta (o singulárním rozkladu). Nechť A G Matmn(K) kde K = C, resp. K = R. Pak existují unitární, resp. ortogonální, matice U G Matm(K), V G Matn(K) a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D G Matr(K), r < min{m, n}, takové, že A = USV*, S=(DQ JjeMatm„(K), r = h(AA*). Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel di matice AA*. Důkaz. Předpokládejme nejprve m < n a označme ■ Km zobrazení zadané maticí A ve standardních bazích. Máme vlastně ukázat, že existují ortonormální báze na Kn a Km ve kterých bude mít

n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici A*. Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. D Všimněte si, že náš důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní, můžeme jej opravdu použít pro výpočet unitárních ( resp. ortogonálních) matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 11.3. Geometrická interpretace. Diagonálním hodnotám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Pro příslušné zobrazení tp: Kn —> Km mají jednoduchý geometrický význam: Nechť K C Kn je jednotková sféra pro standardní skalární součin. Obrazem ■ Km s maticí A v standardních bazích můžeme zvolit novou bázi na Km tak, aby potom

(ej) buď jedno z Vj, j < i, nebo je lineární kombinací ví,..., Uj_i, proto ve vyjádření ip(ei) v bázi u vystupují pouze vektory u\,..., Ui. Zobrazení tp má proto ve standardní bázi na Kn a ortonormální bázi u na Km horní trojúhelníkovou matici R. Přechod k bázi u na Km odpovídá násobení unitární maticí Q, tj. R = Q A, ekvivalentně A = Q*R. D 11. KUZKLADY MATIC A AťKUAlMACE 95 11.7. Definice. Nechť A G Matmn(K) a nechť A = USV* je její singulární nazýváme rozklad, S = i ^ Ü V Matici A^1) := VS'U* s S' - ' D ° * o oy . . ~ ~ ~ ~ ^ 0 0 pseudoinverzní matice k matici A Jak ukazuje následující věta, je pseudoinverze důležité zobecnění pojmu inverzní matice. 11.8. Věta. Nechť A G MatTOn(K), K = R nebo K = C. Piati (1) Je-li A invertihilní (zejména tedy čtvercová), pak A^~x' = A~x. (2) pro pseudoinverzi A^~^ platí, ze A^~^A i AA^~^ jsou samoadjungované a AAÍ-VA = A, A(-VAA(-V = A(~ľ\ (3) Uvažme pro danou matici A G Matmn (K.) systém lineárních rovnic Ax = b, b G Km. Pak y = A^~x'b G Kn minimalizuje vzdálenost \\Ax — b\\ pro všechny x G Kn. Důkaz. (1): Je-li A G Mat„(K) invertibilní, pak i S = U*AV G Mat„(K) je invertibilní a přímo z definice je S' = S~x. Odtud A^~x'A = AA^~X' = E. * (2): Přímým výpočtem dostáváme SS'S = S a S'S S' = S', proto AA^-^A = USV*VS'U*USV* = USS'SV* = USV* = A a analogicky pro druhou rovnost. Dále (AA^-^y = (uss'u*y = u(s')TsTu* = u(ss'fu* = uss'u* = aa(-v a podobně se ukáže (A^^A)* = A^~^A. ** (3): Uvažme zobrazení tp: Kn —>■ Km, x i—>■ Ax, a přímé součty W1 = (Ker«/?)-1- © Ker := (p\(Kerip)±'■ (Kerc^)1- —>■ Im^> je lineární isomorfismus. Zvolíme-li vhodně ortonormální báze na (Ker (p)1- a Im ip a doplníme je na ortonormální báze na celých prostorech, bude mít

) = (Ker (p)1- a D_1 maticí zúžení yt a <£>|Qm -,x je nulové. Je tedy skutečně ip o ipí-^ib) = ip^-^^z)) = z a důkaz je ukončen. D ** Lze také ukázat, že matice A^~x' minimalizuje výraz ||^4^4(-—1-' — E\\2 (tj. sumu kvadrátů všech prvků uvedené matice). * 11.9. Lineární regrese. Aproximační vlastnost (3) předchozí věty je velice užitečná v případech, kdy máme najít co nejlepší přiblížení (neexistujícího) řešení přeurčeného systému Ax = b, kde A G Matmn(K) a m je větší než n. Např. máme-li zadány hodnoty b{, skutečné hodnoty funkcí a^ = fj(x{) v bodech ij G Ra naším úkolem je určit koeficienty a j G R tak, aby YľiLii^i ~ (Yľj=i ajaij))2 byla minimální. Jinými slovy, hledáme lineární kombinaci funkcí f j takovou, abychom "dobře" proložili zadané hodnoty &j. Díky předchozí větě jsou hledané optimální koeficienty A^~x'b. 90 (J AST 11. ťHUKTUKY SU) SK AL AKIN IM SU U (JUN ĽM A ANALYTICKÁ (ÍEUME1K1E Problémy k přemýšlení ** 1. Dokažte věty o polárním rozkladu přímo (bez použití věty o singulárním rozkladu) .| ** 2. Dokažte, že pseudoinverze A^~x' je jediná matice taková, že A^1'A i AA^1' jsou samoadjungované a AA^A = A, A^AA^1) = A*-1). ** 3. Nechť A G Matmn(K), m > n, a předpokládejme, že sloupce A jsou lineárně nezávislé. Pak A*A je invertibilní a A^1' = (A*A)~xA*. Pro praktické užití lineární regrese bývá tento vztah užitečný, protože počet volných parametrů, tj. rozměr matice A*A, bývá malý a počet zadaných hodnot naopak velký, takže při praktických měření je v podstatě jisté, že sloupce A budou nezávislé. Spočíst potom inverzi z "malé" matice A*A bývá rychlé. (Návod: užijte tvrzení předchozího problému!) 97 Cast III. Dodatky 12. Polynomiální matice a kanonické tvary Odvodíme efektivní algebraický postup pro určení Jordánových kanonických tvarů. Základem bude jistá verze Gaussovy eliminace pro charakteristické matice, tj. pro matice jejichž prvky jsou polynomy. 12.1. Věta. Pro matice A, B E Matn(K) nad polem skalárů K existuje inverti-bilní matice P G Matn(K) taková, že A = PBP~X právě, když charakteristickou matici A — XE lze převést na charakteristickou matici B — XE pomocí elementárních řádkových a sloupcových transformací.18 Důkaz této klíčové (a elegantní) věty je technicky poněkud nepříjemný, začneme s přípravnými definicemi a poznámkami. 12.2. Dělení v okruzích polynomů. Nechť R je libovolný okruh, i2oo[A] polynomy v proměnné A nad R. Pro každé polynomy /(A) = anXn + ■ ■ ■ + ao, g(X) = bmXm + ■ ■ ■ + bo, s bm G R invertibilním, existují jednoznačně určené polynomy i také nulové. Postupně ukážeme, že každá A-matice nad polem skalárů je ekvivalentní s právě jedním kanonickým tvarem. Protože už také víme, že pro každou matici nad komplexními čísly existuje (až na pořadí bloků) jednoznačně určený Jordánův kanonický tvar, musíme být schopni jej z kanonického tvaru charakteristické matice vyčíst. Ve skutečnosti ukážeme i algoritmický postup pro nalezení kanonického tvaru A-matic a znovu dokážeme existenci a jednoznačnost Jordánova kanonického tvaru matic. 12.8. Lemma. Každá čtvercová X-matice nad polem K je ekvivalentní s jistým kanonickým tvarem. Důkaz. Postup pro nalezení kanonického tvaru je modifikací Gaussovy eliminace. Jistě lze zařídit, aby au (A) ^ 0. Pokud je prvek au (A) nenulový polynom a přitom nedělí beze zbytku všechny ostatní nenulové prvky na prvním řádku a v prvním sloupci, pak můžeme pomocí elementárních transformací zmenšit jeho stupeň: Jeli aifc(A) = an(A)p(A) + r (A), kde r (A) / 0 a jeho stupeň je menší než stupeň an(A), pak můžeme od fe-tého sloupce odečíst p(A)-násobek prvního a vyměnit k-tý sloupec s prvním. Při každém takovém kroku snížíme stupeň polynomu au nejméně o 1. Protože každý nenulový konstantní polynom dělí všechny nenulové polynomy, po konečném počtu kroků tak zajistíme požadovanou dělitelnost. V tom okamžiku ovšem můžeme použít stejný postup jako v Gaussově eliminaci a pomocí elementárních transformací získat nulové polynomy na všech ostáních místech v prvním sloupci a v prvním řádku. Pokud nyní polynom au (A) nedělí beze zbytku všechny ostatní polynomy v matici, lze opět snížit jeho stupeň: Nechť ajj(A) = an(A)g(A) + r (A), r (A) ^ 0, je výsledek po dělení se zbytkem. Pak připočteme i-tý řádek k prvému a postupujeme opět podle předešlého kroku. Po konečném počtu kroků tedy dosáhneme, že ei(A) = au (A) dělí všechny ostatní nenulové polynomy v matici a zároveň je jediným nenulovým prvkem na prvním řádku a v prvním sloupci. Nyní postupně uplatňujeme zcela stejný postup na submatici tvořenou zbývajícími řádky a sloupci a po konečném počtu kroků získáme požadovaný tvar. D .4(A) = IDU (JAb 1 ill. ÜUUATKY 3-A 2 -4 O A-7 -A2 + 5A+14 O O (A + 2)(A-7) kde v první úpravě jsme vyměnili první řádek s polovinou třetího, pak jsme provedli standardní vyeliminování prvků v prvním řádku a prvním sloupci. Protože získaný prvek Ü22 přímo dělil ostatní v druhém řádku a sloupci, v zápětí jsme vyeliminovali i druhý řádek a sloupec. Náhodou vše probíhalo tak hladce že jsme nemuseli používat dělení se zbytkem. Všimněme si, že je vždy výhodné vyměňovat řádky a sloupce tak, abychom nemuseli zbytečně brzy začít pracovat s nekonstantními polynomy. Zatím ovšem ještě nevíme, jestli získané kanonické tvary nezávisí na našem postupu. Abychom ukázali jednoznačnost, vyjádříme kanonický tvar nezávisle na dalších volbách a ukážeme, že ekvivalentní matice mají kanonický tvar shodný. 12.10. Věta. Nechť A(A) je čtvercová řádu n X-matice nad polem skalárů K. Pro 1 < k < n defínujeme polynom df(X) E K^ [A] jako největší společný dělitel všech minorů stupně k v A(X) s vedoucím koeňcientem 1. Platí (1) Je-li e#+1(A) ± 0, pak e#(A) dělí e#+1(A). (2) Jsou X-matice A(X) a B(X) ekvivalentní, pak d£(X) = d^(X) pro všechny k. /ei(A) ... 0 \ (3) Nechť ■. je kanonický tvar matice A(X). Pak ei(A) = V 0 ... en(X)j df(X), efc(A) = dfc (X)/d^_1(X) pro všechny nenulové efc(A) a efc(A) = 0 právě, když d£(X) = 0. (4) Kanonický tvar matice A(X) vždy existuje a je jednoznačně určený. Důkaz. (2) K tomu abychom dokázali, že polynomy d£(X) splývají pro ekvivalentní matice stačí dokázat, že se nemění při elementárních transformacích. Vynásobení řádku skalárem z K (vzpomeňme, že invertibilní jsou právě nenulové konstantní polynomy) vede k vynásobení všech minorů, které tento řádek zahrnují týmž skalárem, jistě tedy nepovede ke změně společných dělitelů. Zbývá tedy pouze přičtení /(A)-násobku j-tého řádku k i-tému, resp. totéž pro sloupce. U minorů, kterými neprochází i-tý řádek nedojde ke změně, u těch které zahrnují i-tý i j-tý také ne. Předpokládejme tedy, že minor \M\ zahrnuje i-tý řádek, ne však j-tý. Po transformaci dostaneme \M\ = \M\ + f(X)\M'\, kde \M'\ je minor fe-tého řádu, v němž jsou prvky na z-tém řádku nahrazeny odpovídajícími prvky z řádku j-tého. To znamená, že \M'\ je, až na případné znaménko, opět jeden z minorů matice A. Nyní c#(A) dělí \M\ i \M'\, musí proto dělit i nově vzniklý minor \M\. Celkem tedy víme, že pro B(X) = P(yX)A(X)Q(X) vzniklou z A(X) elementárními transformacemi platí, že pro všechny k dělí d£(X) polynom d^(X). Pak ovšem VI. ťULYJNUMlALlNl MA'ľlUE A KAJNUINIKJKĽ TVAKY IUI také A(X) = P-1(X)B(\)Q-1(X) a tedy i df (A) dělí d£(\). Protože jsou vedoucí koeficienty těchto polynomů normované na 1, musí nutně platit d£(X) = d^(X). (1), (3), (4) Podle předchozí věty umíme najít nějaký kanonický tvar matice A(X). Pak ovšem můžeme, podle předchozího, spočíst d£(X) ze získaného kanonického tvaru. Pro matice v kanonickém tvaru jsou ale zbývající tvrzení věty zřejmá. Navíc je sama matice ^4(A) v kanonickém tvaru určena polynomy d£(X) jednoznačně. D Jednoznačně určené polynomy ej(A) z kanonického tvaru A-matice A (A) se nazývají invariantní faktory. Každý z nich se (nad zvoleným polem K) jednoznačně rozkládá na ireducibilní faktory, ej(A) = (s^1) • ... • {sik (A))Sifc, jednotlivé mocniny {si{\))Sii nazýváme elementární dělitele a-matice ^4(A). 12.11. Příklad. Pro charakteristickou matici Jordánova bloku řádu rn A(\) = J-XE / A0 - A 1 0 0 A0 - A 1 0 0 A0 - A V 0 0 0 0 0 0 Ao-A/ platí df-(X) d^l_1(X) = 1, d^(X) = (Aq — A)m. Skutečně, pro řády menší než m vždy najdeme nenulový minor neobsahující A a |^4| = (—l)m(A Aom 12.12. Lemma. Nechť matice J G Matn(K) je blokově diagonální s Jordánovými bloky Ji, i = 1,..., k, na diagonále. Nechť Ji G Mat^ (K) a nechť Ai,..., Xj jsou všechna vlastní čísla matice J. Předpokládejme, že Ai se objevuje v blocích Ji,... , Jp, A2 v q blocích Jp+i,... , Jp+q, atd. Potom platí J-XE (A) = (A — /\1)fcl+fc2+"'+fcí:, • (A — A2)fcí>+1+fcí>+2+"'+fcí>+,J J-XE n-l J-XE n-2 (A) = (A-Ax) (A) = (A-A1) fc2H------\-k ks + ---+k '"■(X- x2)kp+ > ■ (A - X2)kp+ ;-\------hfcp ! + ---+fcp kde exponenty se nahradí nulou, není-li už co sčítat, tzn. příslušná mocnina (A —Aj) se nahradí pro všechny další polynomy jedničkou. Důkaz. Invariantní faktor d^~XE(X) je právě determinant (—l)n|J — XE\. Zjevně je tedy v požadovaném tvaru. Zbývající tvary se snadno zjistí přímým výpočtem vybraných minorů. Popíšeme postup: Nejprve můžeme každý z diagonálních bloků matice J — XE upravit na kanonický tvar jako A-matice, tj. všechny bloky Jí — XEí budou diagonální, se svými invariantními faktory na diagonále. Jejich přesný tvar jsme odvodili v předchozím příkladě. Nyní pro výpočet největšího společného dělitele dg~XE(X) všech minorů řádu s musíme postupně vypouštět co nejvyšší mocniny faktorů (A — Xj). V případě jednotlivých Jordánových bloků to ale znamená vypustit vždy poslední řádek a poslední sloupec (jediný nekonstantní výraz). Tím získáme právě požadované tvary. Např. pro dn~i (A) postupně po jednom vypouštíme poslední řádky a sloupce všech bloků, což vede právě k vypuštění největších exponentů z d^~XE(X). 1U2 (JAb 1 111. ÜUUATKY Zkuste si sepsat formální důkaz indukcí! D Celkem jsme již znovu dokázali existenci Jordánova kanonického tvaru, viz. 5.27. Jestliže totiž existuje pro matici A G Matn(K) n vlastních čísel (včetně násobností), lze její charakteristický polynom, který je vždy součinem invariantních faktorů A-matice A — XE rozložit na součin lineárních faktorů (A — Aj). Pak ovšem získané invariantní faktory určují podle předchozího lemmatu jedinou matici v Jordánově kanonickém tvaru, až na pořadí Jordánových bloků. Přitom je podle věty 12.1 tento Jordánův tvar podobný původní matici A. Navíc byl důkaz tohoto výsledku opřen o algoritmickou proceduru výpočtu kanonického tvaru A-matic, která vede k poměrně snadnému výpočtu Jordánových kanonických tvarů. Sformulujme tedy výsledek do věty: 12.13. Věta. Nechť A G Matn(K), K pole, a nechť charakteristický polynom \A — XE\ má v K n kořenů (včetně násobností). Pak existuje podobná matice J = PAP~X v Jordánově kanonickém tvaru s Jordánovými bloky Ji G Mat*-(K). Jsou-li invariantní faktory X-matice A tvaru en(A) = (A-Ai)fcl-(A-A2)fc'+1-... en_1(A) = (A-A1)fc2-(A-A2)fc^2-... en_2(A) = (A-A1)fc3-(A-A2)fc^3-... kde ki > k2 > ■ ■ ■ > 0, kp+i > kp+2 > • • • > 0, ... , potom (ve značení z předchozího lemmatu) lze zvolit za J\ Jordánův blok příslušný vlastnímu číslu Ai stupně k±, za J2 blok příslušný Ai stupně &2, ... , Jp+i bude blok příslušný A2 stupně kp+i, ... . Přitom je matice J určena jednoznačně až na pořadí bloků. D 12.14. Příklad. V 12.9 jsme získali kanonický tvar charakteristické matice /6-A 2 2 \ /l 0 0 A- XE= 2 3 - A -4 ~ í 0 A - 7 0 \ 2 -4 3-A/ \0 0 (A + 2)(A-7) Je tedy matice A diagonalizovatelná a v bázi z vlastních vektorů má příslušné zobrazení tvar '7 0 0 0 7 0 0 0 -2 Kdyby výsledný kanonický tvar charakteristické matice byl 10 0 0 1 o 0 0 (A + 2)(A-7)2 pak by příslušný Jordánův kanonický tvar původní matice byl 7 1 0 0 7 0 0 0 -2 VI. ťULYJNUMlALlNl MA'ľlUE A KAJNUINIKJKĽ TVAKY 1U3 a v tomto případě by neexistovala báze z vlastních vektorů. Pro praktický výpočet je vhodné zkombinovat převod charakteristické matice do kanonického tvaru A-matice s přímým výpočtem invariantních faktorů. Všimněte si také, že důkaz věty 12.1 dává přímo algoritmický postup pro nalezení matice přechodu do nové báze, ve které bude mít diskutované zobrazení matici v Jordánově tvaru: Protože A a její Jordánův tvar jsou podobné, mají ekvivalentní charakteristické matice a při úpravě A — XE na kanonický tvar Z{X) najdeme invertibilní A-matice -P(A), Q(X) takové, že Z{X) = P(X)(A — XE)Q(X) a podobně je také J — XE = P(yX)Z(X)Q(X) pro vhodné A-matice P(X) a Q (A). Podle důkazu 12.1 je pak J - XE = P(X)P(X)(A - XE)Q(X)Q(X) a navíc platí, že P ■- P(A)P(A) = (Q(A)Q(A))-1 jsou matice nezávislé na A a platí J = PAP'1. Stačí tedy provést všechny naznačené úpravy, pamatovat si všechny řádkové transformace a vynásobit příslušné elementární matice. Tím získáme matici přechodu P převádějící matici A do Jordánova kanonického tvaru. Tento algoritmus lze použít i pro úlohu zjistit, zda jsou dvě matice A, B E Matn(K) podobné a v případě, že jsou, nalézt příslušnou matici přechodu. 12.15. Závěrem této kapitoly ještě zmíníme několik výsledků o hodnotách polynomů v maticích. Protože pole K je vloženo homomorfismem okruhů K 3 a i—>■ aE G Matn(K) do okruhu matic Matn(K) a navíc konstantní násobky jednotkové matice komutují se všemi maticemi v Matn(K), můžeme každý polynom f(x) = anxn + ■ ■ ■ + ao G K^ [x] chápat i jako polynom v (Matn(K))[x]. Pro libovolnou matici A G Mat„(K) pak platí f (A) = an-An + an_i • An~x -\-------h a0 ■ E.20 Říkáme, že matice A je kořenem polynomu f(x), je-li f (A) nulová matice. 12.16. Věta. Nechť A = PBP'1. Pak pro každý polynom /(i) e K«, [x] je f(A) = P-f(B)-P-1. Navíc je pro každý další polynom g (x) G K^ [x] (f + g) (A) = f (A) + g(A), (f ■ g) (A) = (g ■ f)(A) = f (A) ■ g(A) = g(A) ■ f (A). Důkaz. Vždy platí (PBP~l)k = (PBP-l)(PBP-ľ)... (PBP-1) = PBEB ... EBP'1. Odtud plyne první tvrzení. Zbývající tvrzení plynou z komutativity násobení v K.21 D Pro invertibilní matice umíme i můžeme pak tedy definovat na invertibilních maticích i složitější funkce. Navíc lze na matice rozšířit i řadu dalších analytických procedur založených na algebraických výrazech, zejména lze tvořit nekonečné řady. Můžeme tedy například hovořit o exponenciálním a logaritmickém zobrazení e , log A, pro matice A G Matn(K). V dalším navíc uvidíme, že hodnoty takto vytvořených výrazů vhodně závisí na volbě matice z třídy podobných matic, jedná se proto o dobře definované hodnoty diskutovaných funkcí na lineárních zobrazeních. Tato skutečnost je základem matematického aparátu značné části moderní fyziky, zejména kvantové mechaniky. 21 Je zajímavé, že pro hustou podmnožinu všech matic A v Matn(K) (v běžném smyslu matematické analýzy) lze ukázat, že komutují právě se všemi maticemi, které vzniknou jako hodnoty polynomů v A. 1U4 (JAb 1 111. ÜUUATKY 12.17. Minimální polynom matice. Každá matice A G Matn(K) zadává posloupnost vektorů E = A°, A,..., Ak,... ve vektorovém prostoru Matn(K). Protože dimenze tohoto prostoru je n2, nutně musí existovat netriviální lineární kombinace 0 = a„2i4" + an2_1An _1 + • • • + clqE. Je tedy každá matice kořenem nějakého polynomu. Proto musí existovat polynom g(x) s vedoucím koeficientem 1 a minimálním stupněm mezi polynomy, jejichž je A kořenem. Takový polynom nazýváme minimální polynom matice A nad K. Z věty 12.16 přímo vyplývá, že podobné matice mají stejný minimální polynom. 12.18. Věta. Nechť A G Matn(K), K pole, a nechť m (A) G K^ [A] je minimální polynom matice A nad K. Potom (1) Každý polynom /(A) G Koo [A], pro který je f (A) = 0, je dělitelný m(X). (2) m(X) je jednoznačně určený. (3) m(X) je roven invariantnímu faktoru en(A) charakteristické matice A — XE. Důkaz. (1) Je-li f (A) = 0 a f(x) = m{x)g{x) +r(x) je výsledek dělení se zbytkem polynomu f(x) polynomem m(x), je také r (A) = 0. Pokud by ale r(x) ^ 0, pak by stupeň r(x) byl menší než stupeň m{x). Proto je nutně r{x) = 0 a f{x) je dělitelné m{x). (2) Předpokládejme, že m(x) a m'(x) jsou dva minimální polynomy matice A. Pak mají stejný stupeň a dělí se navzájem. Protože přitom mají vedoucí členy rovny 1, je nutně m(x) = m'(x). (3) Zde je důkaz poněkud zdlouhavější. Využijeme toho, že pro charakteristickou matici je invariant d^~XE(X) vždy nenulový a proto platí (—l)n • \A — XE\ = dnZi (A) • en(A). Když se nám podaří vyjádřit \A — XE\ jako násobek polynomu dnZi (A), pak odtud dostaneme en(A) = 0. Pro algebraicky adjungovanou matici B(X) := (A — XE)* platí (A — XE) -B(X) = \A — XE\ ■ E, viz 3.21. Protože je dnZx (A) největším společným dělitelem všech minorů stupně n — 1, plyne z definice algebraicky adjungované matice B(X) = dnZ\ (A) • C(A), kde největší společný dělitel prvků A-matice C(A) je 1. Nyní \A-XE\-E={A- XE) ■ d^ZiE ■ C(X) = (-l)nd^r1AE(A)en(A) a protože je dnZi (A) nenulový polynom, lze jej krátit. Pak ovšem dosazením A obdržíme22 (-l)nen(A)-E=(A-A)-C(A) = 0. Podle již dokázaného tvrzení musí být tedy en(X) dělitelné m(A), tj. en(X) = m(X)q(X) pro vhodný polynom q(X). Nyní si všimněme, že dělit se zbytkem maticí A — XE umíme explicitně: Je-li m(X) = a,kXk + ■ ■ ■ + a,o, pak23 m(A) -E=(XE- A)(akEXk~1 + (akA + ak_1E)Xk~2) + ... + (^fc_1afc + Ak-2ak-! +-----h aiE) + Akak + Ak~1ak-1 +-----h a0E = -(A-XE)Q(X) + m(A). 22Uvědomte si, že nelze výpočet provést tak, že A dosadíme přímo do charakteristického polynomu způsobem \A — A ■ E\\ 23Stejně lze vyjádřit dělení libovolné matice B(X) charakteristickou maticí A — XE. íô. MULTlLllNĽAKJNl ALUKhiKA 1U5 Protože je m(A) = 0, můžeme nyní porovnat (A - XE)C(X) = = (-l)nm(X)q(X)E = q(X)m(X)E = q(X)(A - XE)Q(X) = = (A-XE)q(X)Q(X). Odtud plyne (A — XE)(C(X) — q(X)Q(X)) = 0. Protože dělení polynomů se zbytkem má vždy jednoznačné výsledky, předchozí výpočet s dosazením nulového polynomu za ra(A) ukazuje, že A — XE nemůže být dělitelem nuly. Proto platí C(X)=q(X)Q(X). Přitom je ale vedoucí koeficient q(X) i největší společný dělitel všech prvků v C(X) roven 1, proto musí být q(X) = 1. Tím jsme ukázali m(X) = en(X). D 12.19. Věta (Hamiltonova-Caleyova). Každá matice A G Matn(K), K pole, je kořenem svého charakteristického polynomu. Důkaz. Invariantní faktor en(X) matice A je vždy dělitelem charakteristického polynomu. D Poznámky k přemýšlení 1. Odvoďte pro komplexní matice Hamiltonovu-Caleyovu větu přímo využitím existence Jordánova kanonického tvaru. Potom odvoďte tuto větu pro reálné matice pomocí komplexifikace. (Všimněte si, že polynomy z blokově diagonální matice lze počítat po blocích.) 2. Kdy je minimální polynom matice roven jejímu charakteristickému polynomu. Najděte odpověď pomocí Jordánova kanonického tvaru. 3. Najděte explicitní vztah mezi Jordánovým kanonickým tvarem a minimálním polynomem matice. 13. Multilineární algebra V této krátké kapitole jen trochu rozšíříme výklad o tensorech. Začneme alternativní, podstatně více abstraktní definicí: 13.1. Tensorový součin. Nechť V a W jsou vektorové prostory nad stejným polem skalárů K. Tensorový součin V® W je vektorový prostor spolu s bilineárním zobrazením V xW ^ V ® W, v x w i—>■ v <8> W, které má následující univerzální vlastnost: Pro každé bilineární zobrazení tp: V x W —>• Z existuje právě jedno lineární zobrazení (p: V ® W —>• Z takové, že W existuje a má bázi [e\ (8> /i,..., ei (8> fn, • • •, em ® /n). Tato konstrukce je navíc funktoriální, tzn. pro dvě lineární zobrazení ■ y, V: W —>■ W dostáváme lineární zobrazení

^' © W, ( w) © (z o w) (3) (y©vr)©z~y©(w©z) Bude-li nutné zdůraznit nad jakými skaláry tensorový součin uvažujeme, budeme příslušné pole označovat jako index u znaku pro tensorový součin (např. komplexní vektorové prostory lze chápat také jako reálné a uvažovat příslušný tensorový součin, který budeme značit ©r). Analogicky definujeme libovolné konečné tensorové součiny. Jedná-li se o tensorový součin k kopií téhož vektorového prostoru V, píšeme často V®k nebo ®kV. 13.4. Antisymetrická zobrazení. Připomeňme, že A;-lineární zobrazení

■ AkV, (ví,... ,Vk) ^ «i A • • • A Vk, s univerzální vlastností: Pro každé antisymetrické multilineární zobrazení ■ Z existuje jediné lineární zobrazení (p: Ak —>■ Z splňující m. Důkaz. Snadno se ověří přímou konstrukcí. Lze také odvodit zavedením AkV jako faktorového prostoru V®k/'I, kde vektorový podprostor I je generován výrazy Vi © • • • © Vk s alespoň dvěmi stejnými vektory Vi. D 13.6. Důsledek. Nechť V a W jsou dva konečněrozměrné vektorové prostory. Pak Ak(V ®W) = ©J=0AJV © Ak~JW. Důkaz. Hledaný isomorfismus je dán přiřazením (ví A • • • A Vj) © (wi A • • • A Wk-j) >->■ v\ A • • • A v j A W\ A • • • A Wk-j- íô. MULTILIJNĽAKJNI ALUKhiKA 1U7 13.7. Symetrická zobrazení. Připomeňme, že multilineární zobrazení ip je symetrické, jestliže pro každou permutaci a na k prvcích platí (p(va^, ... , t> SkV, {v\, . . . , Vk) i—>■ Vi\/- ■ -Vvk, s univerzálni vlastností: Pro každé symetrické lineárni zobrazení ■ Z existuje jediné lineárni zobrazení (p: Sk —>■ Z splňující (p(vi,... , v k) = (p(v\ V • • • V Vk)- Z technických důvodů opět klademe S°V = K. Opět je snadné ověřit, že když SkV existuje, je určeno jednoznačně až na isomorfismus. 13.8. Věta. Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor s baží (ei,... , em). Potom SkV existuje pro každé k > 0 a má bázi tvořenou prvky ej1 V • • • V eJfc s ji < ■■■ < jk- Důkaz. Ověří se přímou konstrukcí. Lze též definovat SkV jako faktorový prostor V®k /1, kde vektorový podprostor / je generován prvky v\ ® ■ ■ ■ <8> vk — va^ ® • • • (g> va{k) Pro libovolnou permutaci a na k prvcích. D Báze v SkV můžeme také zapsat ve tvaru e^1 V • • • Ve^n, kde exponenty probíhají všechny multiindexy (i1;... , in) splňující Yľj=i h = k- 13.9. Důsledek. Realizace AkV a SkV jako faktorových prostorů celého tensorového prostoru V®k dává projekce Alt: V®k —>■ AkV, v\ <8> ■ ■ ■ <8> Vk H> -^vi A ■ ■ ■ A Vk a Sym: V®k —>■ SkV, v\ ® ■ ■ ■ ® Vk >->■ j^Vi V • • • V Vk- Naopak, máme inkluze l: AkV -^V0k, vľA---Avk ^ ^sgnv(T(1) • • • va{k) o i: SkV ^V®k, VlV ■■■Vvk^^va(1)®---®va{k) o 13.10. Věta. Přiřazení {v\ A- ■■ Avk)®(vk+\ A- ■■ Avk+i) \-> v\ A- ■ ■ Avk+i defínuje antisymetrické bilineární zobrazení A: AkV x A'T^ —>■ Ak+lV. Podobně, přiřazení {v\ V • • • V vk) ® (vk+i V • • • V vk+i) i-» v\ V • • • V vk+i defínuje symetrické bilineární zobrazení V: SkV x SlV —>■ Sk+lV. Důkaz. Proveďte jako cvičení. 13.11. Definice. Zobrazení A z předchozí věty nazýváme vnější součin a podobně V nazýváme symetrický součin. Vektorový prostor A(V) = ®kn=0AkV', m = dim V, spolu s vnějším součinem, nazýváme vnější algebra (nad V). Vektorový prostor S (V) = (BkK=0SkV, spolu se symetrickým součinem nazýváme symetrická algebra (nad V). Podobně máme obecnou tensorovou algebru T (V), která je definována jako vektorový prostor ©^=0^®fc se součinem daným tensorovým součinem ®. Tensory, které jsou vyjádřitelné jako součin příslušného počtu vektorů z V, nazýváme rozložitelné. 13.12. Duální prostory. Nechť V je (konečněrozměrný) vektorový prostor nad K a, V* jeho duální prostor, tj. vektorový prostor všech lineárních forem na V. 1U8 (JAb 1 111. ÜUUATKY Připomeňme, že prostor všech lineárních zobrazení íp: V —> W, kde W je libovolný další vektorový prostor konečné dimenze nad týmž polem skalárů, můžeme ztotožnit s tensorovým součinem W (8> V*, a to prostřednictvím přiřazení w <8> v* \-> (v i-» {v,v*).w), viz. 8.30. Analogicky pak W (8> (y*)®fc je prostor všech fc-lineárních zobrazení na V s hodnotami ve W, W (g> AfcF* a VF ® S,fcF* jsou prostory všech fc-lineárních antisy-metrických zobrazení a fc-lineárních symetrických zobrazení s hodnotami v W. Specielně pro W = K dostáváme příslušné prostory multilineárních forem na V. Lineární automorfismy na V jsou pak právě tensory ve V ® V*. 13.13. Báze. Nechť ei,... , en je báze V a e1,... , en duální báze ve F*. Pak 1 V* tvoří souřadnice tensoru v příslušné standardní bázi právě matici odpovídajícího zobrazení v původní bázi na V. Obecné tensory pak dávají něco jako matice multilineárních zobrazení, ty však samozřejmě mohou mít mnoho indexů místo právě dvou. Vhodná konvence (standardně užívaná v geometrii) je, že u souřadnic tensorů píšeme indexy odpovídající kopiím V jako horní, indexy odpovídající kopiím V* jako dolní. U označování bázových prvků je tomu pak naopak a implicitně se ve formulích sčítá, kdykoliv se objeví stejný index jednou nahoře a jednou dole. Dále můžete ověřit, že při změně původní báze na V prostřednictvím matice A dostaneme příslušné transformační zákony pro souřadnice na prostorech tensorů tak, že pro každý výskyt V* násobíme jednou maticí A-1, pro každý výskyt V jednou maticí A. 13.14. Kontrakce. Vektorový prostor V lze také považovat za prostor lineárních forem na V*, kde v (v*) = (v,v*). Kdykoliv uvažujeme tensorový součin y®k 0 (y*^®l^ ^5^ > o, jako ^-lineární zobrazení s hodnotami ve V®k, máme pro každou vybranou kopii V ve V®k a V* ve (\Y*}®1 definovánu tzv. kontrakci, která je tensorem ve l/®^"1) ® (y*)®(<-i): Pro a G y®**"1) (g) (y*)®^-1) je a(v{,... ,vl,vu... , vt) G K a kontrakci Tra i-té a j-té komponenty definujeme předpisem Tra(vl,... jVfc.!,«!,... ,vt-i) = = 53 "(«*>•■• ,<_i,ep,<+1,... ,vl,v1}... ,Vj-1,ep,vj+1,... ,ve) p V případě k = £ = 1 jde přesně o vyčíslení lineárních forem na vektorech. Bez souřadnic lze kontrakci názorně definovat tak, že y®fc®(V*)®ť chápeme jako (y«'(fc-1)(g)(l/*)®(^-1))®(y®l/*), kde jsme dozadu přesunuli (isomorfismem) právě vybrané komponenty a kontrakce pak je definována na rozložitelných tensorech vztahem (pro jednoduchost uvažujeme i = j = 1) ji e ^jk' nA'--Aen- —-—(e* )h V • • • V (e* )in Tv{v{ ® • • • ® vl ® ví ® • • • ® vi) = (ví, vl)v2 <8> ■ • ■ <8> vl ® V2 <8> ■ ■ ■ <8> V£. 14. (JVKJĽJN1 K FKKDINASKAM 1U9 Je-li k = £, máme k dispozici tzv. úplnou kontrakci V®k ® (V*)k —>• K. Budeme ji značit stejně jako vyčíslení forem ( , ), což je speciální případ. 13.15. Operátor ix- V případech symetrických tensorů nezávisí kontrakce na výběru kopií V a V*, u antisymetrických se mění pouze znaménko a zavádíme konvenci, že vždy kontrahujeme přes první indexy. Dostáváme tak pro x G APV, resp. y* G APV* zobrazení splňující ix : Ap+qV* ->• AqV\ (z, ix(w*)) = {zAx, w*) iy.: Ap+qV ->• AqV, (iy. (w),z*) = {w, y* A x*). Ověřte si, že takto definovaná operace i je rovna kompozici ^T Alt oc o (i (g) i): Ap+qV (g) Apy* ->• F®(p+0}s operacemi x © y = x.y, aQx = xa pro x, y E R+, a G M tvoří vektorový prostor. Pokud ano, určete jeho bázi a dimenzi. 2. Podle obecné teorie musí být R_|_ z předchozího cvičení izomorfní s M1. Jaký je izomorfismus? (Pro každou volbu báze b G R+ a 1 G M1 dostaneme právě jeden.) 14. (JVKJKJNl K FKKDINASKAM 111 3. Zjistěte, zda daná množina tvoří vektorový podprostor v R2 M = {(x,y) er;i > O,?/ > 0} M = {(x, y) eR2;x = y} M = {(x, y) eR2;x.y> 0} M = {(x, y) eR2;x = y+l}. Určete vždy podprostor generovaný M. 4. Prověřte lineární závislost vektorů (1,-^2,-01), (1-^2,2,1 + ^2), (1,-^2-1,-^2-1) v R3 nad skaláry R a v R3 nad skaláry Q. 5. Prověřte lineární závislost polynomů v R2[x]. a J 1 "r x^ 1 x, z -\- X X 6. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé matice \3 A) ' ^0 -2 J \1 l) ' \2 1 ) ve vektorovém prostoru Mat2R. 7. Uvažujte R jako vektorový prostor nad Q. Je v^ G (1, y/2)l Je v^ G (1, y/2)7 8. Zjistěte, zda a) (1,1,1,1) patří do ((1, 0,1, 2), (0, 0,1, 3), (0,1, 0, 2)) C R4 b) (-1,-4,7) G R3 patří do ((1, -2, 3), (-2,1, -1), (0, -3, 5), (-2, -5, 3), (-1, -1, 2)). 9. Doplňte množiny do báze R4 M = {(1,-1,0,2),(0,2,1,3),(2, 0,1,7)} M = {(-1,1, 0,0,), (0,-1,1,0), (0,0,-1,1)}. 14.4. Báze vektorových prostorů 1. Určete nějakou bázi vektorového podprostoru M{(xi,...,xn) eR";n + i2 +-----Yxn = 0} a doplňte ji na bázi Rn. Vzpomeňte přitom, jak funguje Steinitzova věta o výměně. 112 (JAb 1 ill. ÜUUATKY 2. Nechť Pľ = (Mi), P2 = (M2) v R4, kde Mi = {(4, O, -2, 6), (2,1, -2, 3), (3,1, -2, 4)} M2 = {(1,-1, 0,2), (2,2,-1, 3), (0,1,1,0)} Najděte Pi + P2, Pi H P2, jejich báze a dimenze. (Připomeňte si přitom větu dimPi + dimP2 = dim(Pi + P2) + dim(Pi n P2).) 3. V M.5[x] najděte bázi podprostorů a)P1 = {feR5[x]-f(x) = f(-x)} b)P2 = {f<=R5[x];f(x) = -f(-x)} c)P3 = {/GR5[x];/(l) = /(2) = 0}. Určete také Px n P3, P2 + P3. 4. Najděte souřadnice vektoru v dané bázi. a)^ = (2,l,l)GR3, u =((2, 7, 3), (3, 9, 4), (1,5, 3)) b) v = (2,1,1) G R3, u = ((1, 0,1), (1, 0, 0), (1,1,1)) c) v = x3 + x2 + x + 1 G Rztl^], M = (1 + x3,x + x3, x2 + x3 + x4,x3) d) v= í1 ° ~4lE Mat2s(R) s bazí -= (U o oj ' U o oj 'U o oj ' / o o o\ / o o o\ / o o o \\ V-i o oJ'V-i -1 oy'v-i -1 -íyj 14.5. Souřadnice a lineárni zobrazení 1. Připomeňte si pojem souřadnic vektoru v dané bázi a napište souřadnice vektoru (1,1,1,1) G R4 v bázi a) u= ((-1,0,0,0), (-1,-1, 0,0), (-1,-1, -1,0), (0,0,1,-1)) b) v = ((0,0,0, -5), (1,2, 3,1), (1,0,-1,0), (0,1,1,0)). 2. Zjistěte, zda je zobrazení /: Rn —>■ Rn lineárni. a) f(x,y) = (x,y2) b) f (x,y) = (2x + Sy,x-y) c) /(x, 1/, 2;) = (x + y, x - y, x + z + 2) d) f (x, y, z) = (x - 17y + z, 2x - 5y, 13y - z) 3. Připomeňte si pojem matice zobrazení. V prostoru R3 se standardní baží u = ((1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)) napište matice následujících zobrazení a) identického zobrazení id: R3 —>• R3 b) kolmé projekce do osy generované vektorem (1, 0, 0) c) kolmé projekce do roviny generované vektory (0,1,0), (0, 0,1) d) násobení pevně zvoleným skalárem a G R. Zapište tato zobrazení způsobem použitým v předchozím cvičení. 14. (JVKJĽJN1 K FKKDINASKAM 113 4. V reálném vektorovém prostoru V = C, tj. dim V = 2, najdčtete nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby obecné lineární zobrazení V bylo také lineární jako zobrazení mezi (1-rozměrnými) komplexními vektorovými prostory. 5. V prostoru C2 nad R napište matici zobrazení (ve standardní bázi), která každý vektor (p,q) G C2 zobrazí na (ip,iq). (Matice bude v Mat^R).) 6. Napište matici (id^)^^ identického zobrazení na R4 v bazích u, v_ ze cvičení 1, tzv. matici přechodu. Napište také (id^)^^ a uvědomte si jak se tyto matice použijí pro převod souřadnic vektorů z jedné báze do druhé. 7. V prostoru polynomů M$[x] uvažme báze u = (l,x,x2,x3) a v = (1 + x, 1 — x,x2 + x3, x2 — x3). Najděte matice přechodu od u k v a naopak. Použijte je k převodu souřadnic několika polynomů. /1 2 3 4\ 8. Nechť I J je matice zobrazení /: Cs[x] —>■ Ci[x] v bazích v z předchozího cvičení a standardní (l,x) na Ci[x]. Najděte obrazy polynomů 2x — x3, 1 + x2, 1 + X + x2 + X3. 9. Ve standardních bazích na R3 a R5 je dáno zobrazení / maticí A, g maticí B. A Uvědomte si odkud kam tato zobrazení jdou a najděte matice jejich kompozic. Zjistěte, zda půjde o izomorfismus. 14.6. Lineární zobrazení II 1. Nechť /: R4 —>• R4 je lineární zobrazení dané vztahem f(x\,X2,xz,X4) = (x\ + 2^2 + 3X3 + 4X4, 4xi + 3X2 + 2X3 + %4, X\ — 2X2 + 3X3 — %4, X\ + X2 + X3 + X4). a) Najděte báze jádra Ker/ a obrazu Im/. b) Doplňte bázi Im/ na bázi celého R4, nejlépe baží Ker/, pokud to půjde (promyslete si), a napište matici / v této nové bázi. 2. Matice lineárního zobrazení/: R3 ->• R3 v bázi u = ((1, 0,1), (0,1,1), (1,1, 0)) je A = (x 2 ~X\ 1 0 1 (-2 1 0 1 2 3 2 0 , B = 13 0 7 1 -1 1 o \ 1 0 0 0 1 V-2 0 11 -1 0 -1 0 -1 1 -1 1 0 a) Zjistěte, zda je / izomorfismus. b) Pokud ano, najděte matici inverzního zobrazení ve standardní bázi. 3. Ve standardních bazích R4 [x] a Rs [x] určete matici zobrazení, které je definováno jako násobení pevně zvoleným polynomem g G R4[x]. 114 (JAb 1 111. ÜUUATKY a) Zvolte sami několik různých g a najděte vždy dimenzi jádra příslušného zobrazení. b) Zjistěte dimenzi obrazu podprostoru {x2 + xs,x — x4) při některé volbě. Promyslete si dobře, co je skutečně nutné počítat v bodech a), b). 4. Určete dimenzi obrazu a jádra zobrazení, které je definováno jako násobení maticí A = I J v Mat2(C) a) zprava b) zleva. 5. Najděte dimenzi a bázi obrazu průniku podprostoru V\ a V2 C R4 při zobrazení /: R4 —>• R5. Přitom f(x, y, z,w) = (x + 2y + 3z + w, 2x — 3y — z — 12w, —x + y + hw, -y - z - 2w, 2x - 3y - z - 12«;), Ví = ((2, -1, -1,1), (-2, 3,1, -1)), V2 = ((0, 2, 0, 0), (1,1,1,1)). Dále zjistěte dimenzi vzoru podprostoru W C M5, generovaného vektorem (1,1,1,1,1). 14.7. Permutace a determinanty 1. Uvědomte si souvislost permutace a na množině X = {l,...,n} s pořadím (a(l),...,a(n)). , _, , (\ 2 3 4 5 6\ /l 2 3 4 5 6\ a) Pro permutace cr = ( 6 1 5 4 2 1)'7r=(6 4 2 1 5 3 ) SP°C" těte kompozice a o n, tt o a a pro všechny čtyři předchozí permutace spočtěte jejich paritu (z definice pomocí počtu inverzí). b) Napište tt a a jako součiny transpozic. 2. Nechť permutace 7r na X = {1,..., n} je definována pomocí cyklu na k prvcích v X, k > 1, a ostatní prvky nechť jsou samodružné, fe nazýváme délka cyklu 7T. Ukažte, že parita této permutace je sgn(-7r) = (—l)fc_1. Odtud pak plyne, že je-li permutace a součinem cyklů 7Ti, ..., irs, o délkách k±,..., ks pak parita je sgn(cr) = (-l)Si=ifcs-s. 3. Pro transpozici a = (1,..., j,..., z,..., n) platí sgncr = II^-'7 .~ . ^. Dokažte, že tentýž vztah platí pro libovolnou permutaci a. (Návod: Užijte vztah pro paritu součinu permutací a větu, že každá permutace je součinem transpozic.) 4. Rozložte následující permutace dané pořadím na cykly a spočtěte jejich paritu. a) (9,4,5,1,6,2,8,3,10,7) b) (9,19, 5,18,10,13, 20, 3,12,15,11,1,4,16, 8, 2,17, 6, 7,14). 5. Určete paritu permutací: a) (n, n — 1,..., 2,1) b) (1, 3, 5,..., 2n - 3, 2n - 1, 2, 4,..., 2n) c) (2, 3,1, 5, 6, 4,..., 3n - 1, 3n, 3n - 2). 6. Vypočtěte determinant dle definice: 1 0 0 1 0 2 3 1 1 0 -1 1 2 -3 1 0 14. (JVKJKJNl K FKKDINASKAM 115 7. Spočtěte determinanty matic a) (l 2) b) (3-! 2 + i) ^ / sinx —cosx \ y cosx šime J / 3 4-3 -1 2 \ -5 6 5 2 3 d) 4 -9 -3 7 -5 -1 -4 1 1 -2 V-3 7 5 2 3 / /lil 1 ^ n\ 12 3 4 e) 1 4 9 16 Vl 8 27 64/ 14.8. Výpočet determinantů a inverzních matic 1. Spočtěte úpravou na trojúhelníkový tvar nebo vhodným Laplaceovým rozvojem deteminanty matic 0 0 5\ 3 4 Z1 2 b) 1 3 \5 íl 2 4 0 1 0 1 -1 0 -1 o 3 0 5 6 1 0 Vl 1 2 3 5 6 0 4 6 0 4 0 7 0 7 1 1/ 3 0^ 4 5 6 0 7 8 1 0 1 1/ 2. Vypočtěte determinanty n-tého řádu z matice Dn G Matn(R). (a 0 ... 0 0 ... 0 b\ 0 a ... 0 0 ... b 0 a) £>■ 2n b) A 0 o . 0 o . 0 c . \c 0 . f n 1 1 1 n 1 a b c d 0 0 0 0 • 1\ . 1 0 0 o o d 0 0 d) Vl 1 1 n y lib (JAb 1 111. ÜUUATKY 3. Spočtěte inverzní matice k daným maticím metodou využívající přímé a zpětné Gausovy eliminace a použitím algebraicky adjungované matice. 5' b) \-l -3 -2) 3 -2 4 0 d) Všimněte si, že všechny tři matice mají determinant ±1, proto výsledné inverzní matice jsou celočíselné. Vzpomeňte obecný výsledek, který toto zajišťuje (A~x existuje právě, když \A\ je invertibilní skalár!) 14.9. Systémy lineárních rovnic I 1. Řešte systémy rovnic (a diskutujte jejich řešitelnost pro různé okruhy skalárů). (1) 4a; i + 3x2 + 6x3 = 1 3a; 1 + 5x2 + 4x3 = 10 xi — 2x2 + 2x3 = —9 (2) 12xi - x2 + 5x3 = 30 3xi — 13x2 + 2x3 = 21 7xi + 2x2 + 3x3 = 15 (3) 2xi - 3x2 + 17x3 - 29x4 - 36x5 = 22 2xi — 3x2 + I8X3 — 27x4 + 33x5 = 21 12xi - 18x2 + 102x3 - 174x4 - 216x5 = 132 2xi - 3x2 + 21x3 - 24x4 - 30x5 = 20 2xi - 3x2 + 24x3 - 21x4 - 27x5 = 19 2. Diskutujte řešení předchozích rovnic z hlediska řešení příslušných homogenních systémů a najděte fundamentální sytémy řešení pro skaláry M. 3. Najděte takový systém rovnic nad M, aby platilo (1) množina jeho řešení je {(1 + 2s - t, 2t, -1 + s - t)T G R3; s, t G R} (2) jeho fundamentálni systém řešení je {(1, 0, 0, 2,1), (0,1,1,1, 0), (1,1,1, 0, 2)} Umíte najít všechny takové systémy? 4. Řešte systém rovnic s parametrem a G K, uvažte přitom možnosti K = Z, K = R. Xi + X2 + ÖX3 = 1 xi + ax2 + X3 = 1 ax\ + X2 + X3 = 1 14. (JVKJĽJN1 K FKKDINASKAM 117 5. Nad R řešte maticovou rovnici (1) 1 -5 -3 \X 1 -4 -3 1 -5 -3 -1 6 4 '\ -1 -2 3 2 4 1 4 0 (2) 3 2 4 X Diskutujte přitom možnost nalezení inverzní matice, příp. použití fundamentálních systémů řešení homogeního systému. 14.10. Systémy lineárních rovnic II 1. Najděte fundamentální systém řešení následujícího systému lineárních rovnic a fundamentální systém řešení příslušného homogenního systému. 1 2 -1\ lx\ 2 -5 4 ■ x2 4 -1 2/ \x3 Řešte nad skaláry Z, Zß, Z7. Diskutujte přitom použití Cramerova pravidla i Gausovy eliminace. 2. Ve vektorovém prostoru R4 najděte průnik podprostoru V\ a V2 zadaných ge-nerátory Vi = ((l,l,l,l),(l,0,l,0)),y2 = ((l,l,0,0),(0,l,l,l),(0,l,l,0)). Spočtěte také průnik součtu V\ + V2 s podprostorem generovaným vektorem (1, —2, 3, —4). (Hodí se v tomto případě Crammerovo pravidlo?) 3. Považujte generátory podprostoru V\ a V2 z předchozího cvičení za prvky v (Z2)4, (Z3)4, resp. C4, a řešte znovu stejnou úlohu. Zejména si uvědomte, kolik prvků mají diskutované prostory a podprostory. 4. V prostoru polynomů ~Rq[x] uvažte podprostory V\ = (x2 + 2x3,—x3 + x6), V2 = (2 + x2, -1 + x6, x2 + x3 + 2x4), V3 = {x2 + x6,1 + 3x3 + x5, x3) a spočtěte jejich průnik a V\ + V2 + V3. 14.11. Vlastní vektory a vlastní hodnoty I 1. Dejte příklad zobrazení A: R3 ->• R3 pro které je KerA = ((1, 0, 0), (1,1,1)), ImA= ((1,0,1)). 2. Rozhodněte, zda existuje lineární zobrazení A: R3 —>■ R2, které zobrazí postupně vektory (1, 2, -3), (2,1, -2), (1, -4, 5) na vektory (1, 2), (2, 3), (1, 3). 3. Lineární zobrazení /: Mat2(R) —>• R splňuje / ( n n)=^'^(n o )=^' •^ ( ) = ^' f \ ) = ^' ^aJděte vyjádření / pomocí prvků matic, jádro, obraz. 118 (JAb 1 111. UUUAľKY 4. Zobrazení A: M^[x] —>• M^[x] je definováno předpisem ^4(/)(aľ) = f'"(x) — 2f"(x), kde čárky označují derivaci polynomů podle proměnné x. Ověřte, že A je lineární, spočtěte jeho jádro, obraz, vlastní hodnoty, vlastní vektory. 5. Nad skaláry K. = R, C najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory zobrazení /: K3 ^K3, které je v bázi ((1,1, 0), (1,-1, 0), (0, 0,1)) dané maticí A 6. Nad skaláry K = Z5, R, C najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory zobrazení /: K2 —>■ K2, které je ve standardní bázi dané maticí A = 0 14.12. Vlastní hodnoty a vlastní vektory II 1. V R3 určete podprostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 3 pro /3 0 0\ /3 1 0\ /3 1 0' matice ,4=0 3 0,5=0 3 0 I , C = I 0 3 1 \0 0 3/ \0 0 3/ \0 0 3 2. Zjistěte, zda je matice A podobná diagonální matici nad poli Q, R, C (to nastane právě když vlastní vektory generují celý prostor K3). /5 2 -3\ a) ,4 = 4 5 -4 b) A = A 3. Nechť : F —>• F je izomorfismus. Dokažte, že ^ a _1 mají stejné podprostory vlastních vektorů a zjistěte závislost mezi vlastními hodnotami (jsou to převrácené hodnoty, nula tam být stejně nemůže). 5 2 -3 4 5 -4 6 4 -4 4 2 -5 6 4 -9 5 3 -7 4 7 -5 -4 5 0 1 9 -4 4. Nad skaláry K = R najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic / ^ .. \ / 1 2 0 3 ^ \ 1 2 -1 1 \ / \ a) A = (-.' 2 0 v) b) B ■ -1 0 1 -2 0 2 0 2 0 -3 0 3 , ) 14.13. Vlastní hodnoty a vlastní vektory III 1. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matic A, B na parametrech a a ß. '2 3 0\ /2 3 0 ,4=14 10 5=4 1 0 a ß 2/ \a /? 2 + a 14. (JVKJĽJN1 K FKKDINASKAM 119 2. Najděte Jordánovy kanonické tvary matic A, B, C. A= \ -1 4 0 \ 5=030 C 0 -3 -2 -1 -2 -2 0 4 3 3. Spočtěte vlastní hodnoty a vlastní vektory matice B = 3A4 — 2AS + A2 — A + 6E (aniž byste počítali B\) 2 -1 1 A=\ A -2 2 2-11 14.14. Afinní úlohy I 1. V rovině R2 ja dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A', B', C středy jeho stran BC, AC, AB. Dokazte že v zaměření R2 platí (A' -A) + (B' -B) + (C - C) = 0. 2. Je dána přímka p : 2x + 3y — 6 = 0. Určete její parametrický popis. Jak se získá implicitní popis z parametrického? 3. Určete vzájemnou polohu polohu přímek (1) p (2) p (3) p 2x - 3y + 4 = 0, q : 3x + 2y - 7 = 0 (x, y) = (1, -1) + ŕ(l, -2),q:2x + y-l = 0 (x, y) = (2,1) + ŕ(-l, 3), q : (x, y) = (1, 3) + ŕ(2, -6) Zjistěte vzájmenou polohu rovin (1) a : (x, y, z) = (1, -2, 3) + í(-l, 0,1) + s(2,1, 0) ß : (x,y,z) = (-1,0,1) + t(l,l,2) + s(-l,3,l) (2) a : (x, y, z) = (2, -1,1) + í(l, 1,1) + s(l, -1, 0) ß: x + y-2z + l = 0 (3) a : 2x - y + z - 9 = 0, ß: x + y-z = 0 Najděte parametrické vyjádření přímky v R3 zadané 2x-y + z-9 = 0 p x + y — z = 0 Jak vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)? Jak se získá jejich obecná rovnice z parametrického, resp. implicitního tvaru p. Zadejte parametricky i implicitně přímku, resp. rovinu zadanou dvěmi, resp. třemi, body. Zadání volte sami. 6. Najděte příčku mimoběžek p, q procházející bodem M. Je dáno M = (7,0,4), p : (x, y, z) = (2, -1,1) + ŕ(l, 2,1), q : (x, y, z) = (1,1,1) + í(2, -1,1) Jak se hledá příčka zadaná směrem? 12U (JAb 1 111. ÜUUATKY 14.15. Afinní úlohy II afinní souřadnice, poměry, konvexnost 14.16. Prostory se skalalárním součinem I 1. Zjistěte, zda je zobrazení g: R2 x R2 —>■ R skalární součin. g(x, y) = xiyi + xxy2 + x2yi + x2y2 g(x, y) = 4xií/i + 2xxy2 + 5x2y2 g(x, y) = xiyi + xxy2 + x2yx + 2x2y2 2. Zkuste na R2 najít takový skalární součin, aby vektory u a v na sebe byly kolmé (1)«= (1,2), u = (2, 3) (2) «=(-5, 2), u = (10,-4) 3. Grammovým-Schmidtovým ortogonahzačním procesem sestrojte ortonormální bázi podprostoru L = ((1,1, -1, -1), (1, -1,1,1), (-1, -2, 0,1)) ve standardním euklideovském R4. 4. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru R3 [x] se skalárním součinem definovaným vztahem f ■ g = f_1 f(x)g(x)dx. Najděte matici přechodu od standardní báze (l,x,x2,x3) do nalezené báze. 5. Najděte ortogonální průmět vektoru (1,2,3) do podprostoru L= ((-1,1,1),(1,1,1)). 14.17. Prostory se skalárním součinem II 1. Na vektorovém prostoru Cn[x] definujte skalární součin tak, aby byla báze (l,x, ■^x21..., ^xn) ortonormální. 2. Najděte ortonormální bázi podprostoru L = ((3, 2, -4, -6), (8,1, -2, -16), (5,12, -14, 5), (11, 3, 4, -7)) C R4 ve standardním euklideovském prostoru. 3. Nejděte ortonormální fundamentální systém řešení systému rovnic 2a; 1 — x2 + 5x3 + 7^4 = 0 4a; 1 — 2x2 + 7x3 + 5x4 = 0 2xi — x2 + X3 — 5x4 = 0 14. (JVKJKJNl K FKKDINASKAM 121 4. Pokud to jde, doplňte dané vektory na ortogonální bázi standardního euklidovského prostoru. (Kolik máme možností?) (1)«= (2, 2,1), u = (-2,1,2) (2) u = (-3,1,-2, 2), v = (4, 2, -3, 2). 5. Určete všechny hodnoty parametrů a, b, c, pro které je matice a 0 2c i 26 i V3 x/6 -a ___i_ C ortogonální. Pro tyto hodnoty spočtěte příslušný kanonický tvar. (Promyslete geometrické vlastnosti transformace!) 6. Zkuste definovat na R3 dva skalární součiny tak, aby zobrazení (p: R3 —>■ R3, ■ R bilineární forma na R2. Pokud ano, rozhodněte, zda je symetrická nebo antisymetrická. (1) f(x,y) = xxy2 (2) f(x,y) = xiyi + 2y2-12 (3) f(x, y) = xxy2 - x2yi + xxyx 122 (JAb 1 111. ÜUUATKY 2. Určete hodnost bilineární formy f(x, y) = x\y\ + 2x2?/i — X2I/2 + 3x3?/2 na R3 a najděte její matici v (1) standardní bázi R3 (2) v bázi (1,1,1), (0,1,1), (1,0,1) 3. Uvažme bilineární formu h(x, y) = 2x\y\ — 4xi?/2 — 3x2?/2 + 2x21/3 — 4£32/2 — X31/3 definovanou na C3 a nechť /(x) je jí definovaná kvadratická forma. (1) Napište analytické vyjádření /. (2) Najděte polární formu g pro /. 4. Určete hodnost kvadratické formy f(x) = x\ — 2x1X2+8x1X3—2x2X3, uvažujeme-li / jako formu na C3, resp. na R5. 5. Najděte diagonální tvar formy / na R3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce (1) /je daná formulí z předchozího cvičení (2) /(x, y) = Ax\ + 2x\ + 15x| + 4xiX2 — 4xiX3 — 8x2X3 (3) /(x, y) = X1X2 + X1X3 + X2X3 14.20. Reálné a komplexní kvadratické formy 1. Najděte kanonické tvary kvadratických forem na C3 daných vztahy (2), (3) z cvičení 5 předchozí série. Najděte také příslušné polární báze. 2. Zjistěte vlastnosti reálných kvadratických forem, např. definitnost, pozitivní definitnost apod. (pozor na závislost na prostoru V na němž je forma definována) (1) f{x) = x\ — X1X2 + x\ (2) f{x) = 2xiX2 + 4xiX3 (3) f{x) = —2x^ — 8x2 — 3X3 + 2xiX2 + 4xiX3 — 2x2X3 3. Najděte všechny hodnoty parametru a G R, pro které je kvadratická forma / na R3 positivně definitní, resp. negativně definitní (použijte Sylvestrovo kriterium) (1) f(x) = x\ + x\ + 4axiX2 + a2xiX3 (2) /(x) = ax\ + ax\ + (a — 3)x| + 2xiX2 + 2axiX3 + 2x2X3 14.21. Metrické úlohy I 1. V rovině E^ je dán obdélník ABCD. Dokažte že v jejím zaměření R2 se standardním skalárním součinem platí (^4 — M) ■ (C — M) = (B — M) ■ (D — M). 2. Ukažte, že ortogonální doplněk zaměření nadroviny v En zadané implicitně r\ : a\X\ + - ■ - + anxn + ao = 0 je generován tzv. normálovým vektorem v = (ai,... , an). Ukažte, že pro vzdálenost bodu A = (yi,... , yn) od 77 platí , . x _ |«iž/i H--------\- anyn + «o P^V) - /2l 1 =f • 14. (JVKJĽJN1 K FKKDINASKAM ÍTÔ 3. Určete pro jaké vektory v E2, E% platí (1) \\u + v\\ = \\u — v\\ (2) \\u + v\\ = \\u\\ — \\v\\ (3) \\u + v\\ > \\u\\ — \\v\\ (4) \\u + v\\ > \\u — v\\ 4. Najděte souřadnice vrcholů krychle ABCDEFGH, je-li A = (1,-1,3), B = (3, 0, 5), D = (—1,1, 4) (pokud existuje). 5. Napište rovnici přímky p, která obsahuje M = (3, 2) a s přímkou q : ^x—y+3 = 0 svírá úhel ^, resp. \. 6. Určete bod Q souměrný k bodu P = (3,-1,4) podle přímky p : (x, y, z) = (-7,-4,7) + í(4,3,-l). 7. Najděte osu mimoběžek p : (x, y, z) = (0, —15, —6) + ŕ(2, —1, 3), q : (x, y, z) = (3,4,2) + s(4,2,-3). 14.22. Metrické úlohy II 1. Ukažte, že odchylka dvou nadrovin je rovna odchylce jejich normálových vektorů. 2. Spočtěte výšku pravidelného čtyřstěnu AB C D v E3 a odchylky jeho protilehlých hran . 3. Spočtěte povrch a objem čtyřstěnu ABCD v Es je-li A = (1,-1,2), B = (2,0,-2), C = (3,-2,0), D = (1,1,1). 4. Spočtěte objem a výšku čtyřbokého jehlanu ABCDV v E3, je-li A = (2, —1, 2), B = (0,0,5), C = (-1, 0,5), D = (4, -3, -4), y = (1, 2,1). Dále určete odchylky jeho hran od podstavy. 14.23. Metrické úlohy III 1. Uvažme n - 1 vektorů m = (xu,..., xin),..., un-i = (x^n_l)1,... ,£(n_i)n) v standardním orientovaném euklidovském vektorovém prostoru Rn. Dále uvažme matici / Ví 2/2 ••• Vn \ X\\ X\2 ■ ■ ■ X\n A = V^(n-l)l x(n-\)2 ■■■ X{n-l)n/ Ukažte, že vektor un = (Au,..., Ain), kde Aij jsou algebraické doplňky prvků aij matice A má následující vlastnosti: (1) un je kolmý na všechny lil, ■ ■ ■ i un—i (2) velikost vektoru \\un\\ je rovna (neorientovanému) objemu rovnoběžnostěnu zadaného vektory u\,... , W(n_i) (3) u\,... ,un je báze W1 kompatibilní s orientací. V dimenzi 2 tak dostáváme obvyklý vektorový součin dvou vektorů u\, ui- 124 (JAb 1 111. ÜUUATKY 2. Najděte kanonické rovnice a osy kuželosečky dané ve standardní souřadné soustavě rovnicí (1) x2 + y2 + Axy + 2x + 1 = 0 (hyperbola s vrcholem v (— g , — ^ ) a osami ve směrech (i-^2-, 2 )) (2) 2x2 — 3í/2 + 5xí/ + x + 10y — 3 (dvě různoběžné přímky) 3. Napište rovnici kružnice procházející bodem A = (1,2) a dotýkající se přímek p : x — y + 3 = 0, q: x — y — 1 = 0. 14.24. Adjungovaná zobrazení 1. Lineárni zobrazení ip: R3 —>• R3 je dáno vztahem • R3* (2) adjungované zobrazení ip* : R3 —>■ R3 vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu na R3. (3) adjungované zobrazení ■ R3 vzhledem ke skalárnímu součinu ((x, y, z), (x', y', z')) = 2xx' + xy' + x'y + 2yy' + y z' + y'z + z z'. 2. Na C4 se standardním skalárním součinem určete, kdy je samoadjungované zobrazení