1
/
Úvod
Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry a geometrie, která je určena především pro posluchače druhého semestru programů matematika, aplikovaná matematika a informatika. Celá práce se skládá ze dvou částí. První část je sbírkou příkladů, druhá část formou exkurzu přibližuje problematiku aplikace lineární algebry ve výpočetní tomografii.
Látka první části je rozdělena do sedmi kapitol a navazuje na bakalářskou práci Bc. Michaely Urbánkové, určenou pro posluchače prvního semestru kurzu lineární algebry. Svým rozsahem odpovídá skriptům [8] Doc. P. Zlatoše a přednáškám Doc. M. Cadka. Jejím základem jsou především cvičení ve skriptech [9] prof. J. Slováka, ve skriptech [4] a [5] RNDr. P. Horáka a publikace [1] a [2].
Každá kapitola se skládá ze tří částí. Nejprve je stručně shrnuta teorie formou základních vět a definic, popřípadě algoritmů. Dále jsou zde řešené příklady, které čtenáři poskytují návod na řešení konkrétních problémů. Ve třetí části jsou úlohy k samostatnému řešení. Příklady jsou řazeny od jednodušších po složitější a jsou voleny tak, že s některými se student setká v zápočtových a zkouškových testech. V závěru sbírky jsou uvedeny výsledky cvičení, popřípadě u složitějších příkladu stručný návod.
Cílem druhé části mé práce je přiblížit studentům problematiku aplikací lineární algebry. Aplikací lineární algebry je samozřejmě celá řada, pro ukázku jsem však vybrala jen jednu, a to problém rekonstrukce obrazu ve výpočetní tomografii při použití metody ART (Algebraic Reconstruction Technique). Samozřejmě není účelem podat vyčerpávající výklad o principu CT přístroje, ale pouze ukázat studentům jeden z mnoha příkladů významu a použití lineární algebry v dnešní technické praxi, a to způsobem lehce pochopitelným na základě znalostí získaných v základním kurzu lineární algebry.
2
Použité symboly a označení
K                     libovolné pole
Q                      racionální čísla
R                      reálná čísla
C                      komplexní čísla
V                     vektorový prostor
Rn                    množina uspořádaných n-tic reálných čísel
ERO                elementární řádkové operace
ESO                 elementární sloupcové operace
Matn(K)         množina všech čtvercových matic řádu n nad polem K
d et A, \A\         determinant matice A
dim V              dimenze vektorového prostoru V
Z (P)                zaměření afinního podprostoru
o                       nulový vektor
||w||                   velikost vektoru u
[«i,..., un]      lineární obal vektorů u\,..., un
(u, v)                skalární součin vektorů u a v
En                    vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem
_L                      kolmost
p(B, C)            vzdálenost podprostoru B & G
e                       standardní báze v Rn
((f))ß,a                matice lineárního zobrazení <f> v bázích a, ß
(id)/? q.              matice přechodu od báze a k bázi ß
3
I. ČÁST
Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
4                                                                           I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
1. VÝPOČET DETERMINANTU
Teorie
1.1.   Definice. Nechť M = {1, 2,..., n} je konečná množina o n prvcích. Pak bijektivní zobrazení a množiny M na sebe se nazývá permutace množiny M.
1.2.  Definice. Nechť o = (r\, r2, • • •, rn) je libovolná permutace, řekneme, že dvojice r», r j je inverze v permutaci <r, jestliže i < j a r» > Tj.
Znaménko 'permutace o, je číslo signa = (—l)fc, kde k je počet inverzí v permutaci a.
1.3.  Definice. Nechť a = (r\,..., rn), r = (si,..., sn) jsou dvě permutace, nechť existují indexy i ^ j tak, že s» = rj, Sj = r\ a dále r^ = s^ pro k ^ i,j. Potom řekneme, že permutace r vznikla z permutace a provedením jedné transpozice.
1.4.  Věta. Provedení jedné transpozice změní paritu dané permutace.
1.5.  Definice. Nechť A = (a^) je čtvercová matice řádu n nad polem K. Pak determinant matice A, je číslo z pole if, označené det A (resp. |A|) a definované vztahem
det A =   ^2 SÍSn ° al^(l) 02(7(2) • • • OW(n) ,
kde a je libovolná permutace z množiny všech permutací n-prvkové množiny M = {1, 2,..., n} označené Sn. Suma je tedy přes všechna a G Sn, tj. přes všechny permutace množiny M. Součin signcra0-(i)ia0-(2)2 • • • CLa{n)n se nazývá člen determinamtu.
1.6.  Věta. Nectí matice B vznikne z matice A
1.   záměnou dvou různých řádků, pak det B = — det A
2.   vynásobením jednoho řádku číslem t G K, pak det B = t det A
1.7.  Věta. Hodnota determinantu matice A se nezmění, jestliže
1.   k jednomu řádku matice A přičteme libovolný násobek jiného řádku
2.   k jednomu řádku matice A přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků
3.  jeden řádek matice A ponecháme beze změny a k ostatním řádkům přičteme jeho libovolné násobky
1. Výpočet determinantu
5
1.8. Definice. Nechť A = (a^) je čtvercová matice řádu n; nechť je zvoleno k jejích řádků a sloupců k < n a, l < ii < Í2 < • • • < ik < n, l < ji < J2 < • • • < jk < n. Pak matice
/
M =
M2J1
lÍ2J2
<*,* \
. a
nik
\ aíkii
di
k32
.. .di
k3k
1
se nazývá submatice matice A určená řádky ii,... ,ik & sloupci ji,..., j^. Její determinant
det M se nazývá minor řádu k matice A.
Zbývajícími (n — k) řádky a (n — k) sloupci je určena tzv. doplňková submatice  M k sub-
matici M a její determinant det M se nazývá doplněk minoru det M.
Označme % = «i + %2 + • • • + h + Ji + J2 + • • • + jk- Pak číslo (—1)SM det M se nazývá
algebraický doplněk minoru det M.
1.9. Věta. (Laplaceova věta) Nechť A = (a^) je čtvercová matice řádu n, nechť je pevně zvoleno k řádků matice A, kde 0 < k < n. Pak determinant matice A je roven součtu všech (™) součinů minoru řádu k, vybraných ze zvolených k řádků, s jejich algebraickými doplňky.
___________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: Spočtěte determinant matice
(l     0	0     1\
0     2	3     1
1     0	-1    1
\ 2   -3	1     O/
A =
(a)  převedením na schodovitý tvar pomocí elementárních úprav, které nemění hodnotu determinantu
(b)  užitím Laplaceovy věty
Řešení: (a) Převedeme na schodovitý tvar. Nejprve ke třetímu řádku přičteme -1 násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku přičteme -2 násobek prvního řádku. Pak ke čtvrtému řádku přičteme | násobek druhého řádku.
det
(l     0	0     1\		(1 0	0	1 \		/1 0 0	1 \
0      2 1     0	3     1 -1    1	= det	0 2 0 0	3 -1	1 0	= det	0   2     3 0   0-1	1 0
\ 2   -3	1     O)		^ 0 -3	1	-2		0  0   f	-\)
6
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nyní přičteme ke čtvrtému řádku 5 násobek třetího řádku, čímž dostáváme schodovitý tvar a determinant se rovná součinu prvků na hlavní diagonále.
= det
/ 1    0     0       1   \
0    2     3       1
0    0-10
\0    0     0     -\)
12(-1)(--) = 1
(b) Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku:
+ (-l)4+1ldet (-9-3-2)-(-9-4-2) = 1
det
/ 1     0      0     1 \
0     2      3     1 10-11
V 2 -3  i o y
= ldet
Úloha 2: Rozvojem podle více řádků určete determinant matice
A
/   1       0      2      0   \
3       0-10
4        15       1 V -3   -1     0     -2 /
Řešení: Vybereme si první a druhý řádek, protože tyto řádky obsahují nejvíce nul. V rozvoji pak musíme postupně procházet všechny dvojice sloupců. Vidíme, že všechny členy determinantu kromě druhého jsou nulové a výpočet se tedy velmi zjednoduší.
det (A) = (-1) 1       1
1+2+1+2 det í   l   °n) det ' 5     X
3   0
0   _2,+M)1+M+3deti;   \
det
1   -2  ,+(-l)1+2+1+4det(  J   °   1 detí   _\   jj   )+(-!)
1     5
1+2+2+3
det |               I det
+ (-i)
'«««det I   °   °)deť   4     -5
+
+ (_1)l+2+3+4det(       2^     0     j   det
3   -2  /      v     '                 V °   ° /        V ~3     °
l)=("1)7det(j   -l)det(-l    -2)
(-1) (-1-6) (-2 + 1) = -7
4      1 -3
1. Výpočet determinantu
Úloha 3: Spočtěte determinant matice
/   1
A =
	2	3     .	n — 1	n \
1	0	3     .	n — 1	n
1	-2	0     .	n — 1	n
-n
+ 10/
řádu n.
Řešení: Ke všem řádkům přičteme první řádek
det
/ 1 2 3 -10 3 -1   -2     0
n — 1     n \ n — 1     n n — 1     n
= det
-3   ...    -n+1    0 y
/ 1   2     3
0   2   2.3
0   0     3
0    0     0
n — 1       n  \ .   2(n-l)   2n .   2(n-l)   2n
0
n
Úloha 4: Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice
/ x + y     xy         0       ...0       0     \
1       x + y     xy      ...   0       0 0          1       x + y   ...   0       0
An.   —
0           0           0
...   1   x + y J
řádu n.
Řešení: Uděláme Laplaceuv rozvoj podle prvního sloupce
det An = (x + y) det
(x + y     xy      ...0       0     \ 1       x + y   ...   0       0
+
/
+ (-ir+idet
v
xy
0          0       ...    1   x + y J
0       ...   0       0     \
1    x + y   ...   0       0 y   0        0       ...    1   x + y J
8
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
První matice je vlastně shodná s původní maticí, pouze je o řád menší. U druhé matice provedeme Laplaceuv rozvoj podle prvního řádku. Pak dostáváme
det An = (x + y) det An_i — xy det An_2 .
Úloha 5: Určete determinant matice řádu n (tzv. Vandermonduv determinant).
Vn(x1,x2,...,xn) = det
J.     <h\      Xi       . . .     Xi           Xi
1   x2   x2
„ra—2        'n—\
y2      • • •     *^2          X2
Inn            np^                          /y'"       ií        nn
Jfl        ^n
n—2        'n—1
I
Řešení: Od každého sloupce, kromě prvního, odečteme x\ násobek předchozího sloupce. Budeme postupovat od posledního sloupce až ke druhému.
Vn(xi,x2,... ,xn) = det
/ 1        0               0
i                                   2
1     X2 — X\      X2 — X\X2      ...     X2
\
n~2   _ t,,."-3      ^n~l _ rr^n-2
\       -L        <Xj ff,           <Xj y        *Äj tri            d/ ]^ íí/'
"                r>> . r>>                                       r>> '"       "      ___  r>>   r>>'"       *J      np'"       -L  ___ np        np '"       "
I
Nyní uděláme Laplaceuv rozvoj podle prvního řádku a jednotlivé prvky determinantu upravíme vytýkáním.
Vn(xi,x2,...,xn) = det
(   X2 — X\     x2(x2 — X\)     .
x3-x1    x3(x3-xi)    .
x2 3(x2 — x\)    x2 2(x2 — x\)   \
X3~3(x3 - Xi)      X's~2(x3 - Xi)
j^n       j^\     ^ny^n       ,ÁJ\)      • • •     ,ÁJrt      v^ra       ,ÁJ\)     ,ÁJrt      v^ra       ,ÁJ\)    I
Vytknemeli z každého řádku, zůstane nám determinant, který je Vandermonduv determinant řádu n — 1 s parametry x2,..., xn.
Vn(xi,x2,..., xn) = (x2 - xi) (x3 - xi)... (xn - xi) det
A tedy
/ 1   x2    . 1   x3    .
ra-3        ra-2   \
ra-3        ra-2
x3          x3
V
1      Xr.
npTi      ó         np^1      £
n             n
1
Vn(xi,x2,...,xn) = (x2 - Xi) (x3 - Xi) ... (xn -Xi)Vn-i(x2,...,Xn)
1. Výpočet determinantu                                                                                                  9
Tím jsme získali rekurentní formuli, která platí pro n > 1. Indukcí teď snadno nahlédneme výsledné řešení.
Vn{Xi, X2, • • • , Xn) = (X2 — X\) (X3 — X\) . . . (Xn — X\) (X3 — X2) ■ ■ ■ \Xn — X2)......\Xn — Xn_\)
*n\X\i X21 • • • 1 Xnj            II      \Xi       Xjj
l<j<i<n
Cvičení
1.   Spočtěte počet inverzí v dané permutaci:
(a)   (2,1,7,9,8,6,5,3,4)
(b)   (9,8,7,6,5,4,3,2,1)
2.  Určete paritu následujících permutací:
(a)   (4,6,1,5,3,2)
(b)   (6,3,1,2,4,5)
(c)   (3,7,6,2,4,1,5)
(d)   (4,1,3,7,2,5,6)
3.  Určete x, y tak, aby pořadí
(a)   (1, 2, 7, 4, x, 5, 6, y, 9) bylo sudé.
(b)   (5,1, y, 8, 9, 4, x, 6, 3) bylo liché.
4.   Zjistěte paritu následujících permutací.
(a)   (n,n- 1,..., 2,1)
(b)   (1, 3, 5,..., 2n - 3, 2n - 1, 2, 4,..., 2n)
(c)   (2,4,6,...,2(n-l),2n,l,3,...,2n-l)
(d)   (2, 5, 8,..., 3n - 1,1, 4, 7,..., 3n - 2, 3, 6, 9,..., 3n)
(e)   (2,l,4,3,...,2n,2n-l)
5.  Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A řádu n.
(a)  n = 6, a3i a43 au «52 «66 «25
(b)  n = 8, a72 cín a43 a2\ aM a35 a56
6.  Určete všechny členy determinantu matice A řádu 4, které obsahují prvky a\2, a34-
10
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
7. Spočtěte determinant matice podle definice.
A
D
-2   3
1     4
B
1
-7
C
F
8. Spočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar.
A
C
E
í	3	-2     1     -2 \	
	-3	-5     2      0	
	2	1     -2   -4	
{	-1	0      3       1/	
í	2	1-1     2     -1 \	
	-4	3     2-11	
	3	5-2     1-2	
	2	2-13-1	
\	-1	2       3          1         3     yi	
/	1	-2     3       1   \	
	5	-9     6      3	
	-1	2     -6   -2	
v	2	8           6           1      yi	
5
/-3
-5
4 V   7
9
8
-5 -8
3      6   \
2      7
-3   -2
-4   -5 /
F
/ 2   1   0   2    1 \
10   2    12
£>=      12    10   2
0   2   2    11
\ 2   1    1   2   0 /
/ 2   1   3   1 \
10    11
0   2    10
V 0   1   2   3 /
/   o
G
I =
V
/ 1
v
1 1 1\
L    I   1   I
2         2               2
2       I    I    Q
3          3       3      u
iloo/
F
/l      3     1     5     3 \
-2    -7   0-4   2
0      0     10     1
0      0     2     11
\   0      0     0     11/
2      3     4   \
2     -5    13
-2    10     4
9     -8   25 /
J =
X =
-4\
/   7      6      9      4 1      0-2     6      6 7      8      9-1-6 1-1-2     4      5
\ -7     0     -9     2     -2 /
/   1     -1     1      -2   \ 13-13 -1-14       3
\ -S     0     -8   -13 J
( 4   4   -1   0
2    3     7     5
3    2     5     7 12     2     1 17     6     6
\ 2    1     1     2
1 0
L =
■1   8\ 3 2 2
7
2 3 1 5 2
1 + i 0
1. Výpočet determinantu
M
(   1     5     3     5    -4 \
3     12     9     8
-17-3   8   -9
3     4     2     4     7
\   1     8     3     3     5   j
N
í	-5	-7	-2	2	-2	16 \
	0	0	4	0	-5	0
	2	0	-2	0	2	0
	6	4	6	-1	15	-5
	5	-4	10	1	14	6
v	3	0	-2	0	3	o  /
O
( 4   3   3   5 \
3   4   3   2
3   2   5   4
\ 2   4   2   3 J
P
(   4     -2     0      5   \
3      2-21
-2     1      3-1
\   2      3     -6   -3 y
Q
/   3      2      4      5   \
4-3     2-4
5     -2    -3   -7
\ -3     4       2       9   y
i?
/ 6   3     8     -4 \
5   6     4      2
0   3     4      2
\ 4 i   -4    6 y
9. Spočtěte determinant matice pouze užitím Laplaceovy věty a definice.
A =
f 1	2	3	4	5	6\
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
^2	1	0	0	0	o J
( 1   0   2
5    1   4
5 =
0   3   0 \
2   7   3
10   4   0   9   0
8 9
3    7   6
4    3   8
V i o 7 o 9 o y
10. Spočtěte determinant řádu n > 1.
A
C
LJj         i/y              i/y               •
iAJ          \Ä)             iAJ              •
i/y          iAJ              \Ä)              •
ŕ>>              ŕ>>              ŕ>>
i/y          i/y          i/y           •
/ a0    1     1
1    ai    0
1     0    a2
1     0     0
x   x \
x   a
..    1     1   \
..0    0
..0    0
..   0   a„.
B
( x   y   0    .
0   x   y   .
0    0   x   .
0    0    0.
V v    o    o .
o   o \
o  o o  o
x   y 0   x
J
í
D
a0
02
■1        0
X
0
0
-1     0 x     —1
a„_i     0 a„.      0
0 0
o o
o o o
x
o
12
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
a0	d\	a2    ■	■     0"n-l	(ln
-ž/1	X\	0    .	.      0	0
0	-V2	x2   ■	.      0	0
E =
\    y        0      0    ...    -yn   xn ) 11. Spočtěte determinant matice řádu n > 1 úpravou na schodovitý tvar
A
G
E
G
/  0    1   1   ...   1   1 \ a2    1   0   ...   0   0 a3    0   1   ...   0   0
V
0   0
/ 2 2 2 2 2 2 2   2   2
3   2   2
B
( 1 2 3 -10 3 -1   -2     0
0   1
2    3 \
3    2 2    2
2    2
n   n \
n   n
n   n
n   n
a — 1     a \
a — 1     a
a — 1     a
-a+1   o y
Ľ
/ 1-n       1           1	.    1	1
1       1-n       1	.    1	1
1           1       1-n   .	.    1	1
V
1
1
/ 1 n n n 2 n n   n   3
\n   n   n
í       1       .
a2
\  "n     on   ...        cin í 1        (i\            (i2
1     <2i + &i        a2
1       ai        a2 + 62
F
/   Xi      Ö12     Ö13
Xl      X2      Ö23 X\      X2       X3
y xi    x2    x3
1   1-n
Ql(n-l)    aln   \
0>2(n-l)     0>2n
0>2(n-l)     (í?,n
X'n—1        Xn     I
1            1         1     \
üi       üi — b\    <2i a2 - 62       02        (í2
H
í 1    2    3
2     3    4
3    4    5
n   n   n
n — 2   n — 1   n
n — 1       n      n
n         n      n
n
n      n
ar,
(Ír,
ar,
\   1        «I            «2        ■■■     On + bn   J
12. Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice.
1. Výpočet determinantu
Ar,
í 2 1 O 1 2 O O   1   2
0\ O
o
0   0   0
ťn, —
/ 5   6   O   O   O
4   5   2   0   0
0   13   2   0
0   0   13   2
0   0   0   0   0 0   0   0   0   0
B„
O   o\
0    o o   o o   o
3   2
1    3
/ 3   2   O   ...   O \
1   3   2    ...   O
O   1   3   ...   O
O     O     O      ...      3
D„ =
(1	2	0	0	0
3	4	3	0	0
0	2	5	3	0
0	0	2	5	3
0	0	0	0	0
o	0	0	0	0
E„ —
í 7 5 O 2 7 5 0   2   7
O   O \
O   O O   O
V
0   0   0
(jon —
í   X      O
O   x O   y
V y o
13. Řešte rovnici:
x — 1
(a) det
x
.   2   7
o  y \
y  o
x   O O   x
= 3
p  =
/ a; + 1       a;         O
1       x + 1       a; O          1       z+1
V
o
o
H n  —
í 1 1 O O 1110 Olli
0   0   0   0
(b) det
srna; cos a;
-3 cos a;
srna;
O
O   O
O   O
0    O
1    1
= 2
14. Spočtěte determinant (užijte postupu z úlohy 5).
/Ill      1      1   \
A
(l   -1    1    -1\
2     2     2     2
12     4     8
\l   -2   4   -8 /
5
2    1-23-1
4    14      9      1
8    1   -8   27   -1
\ 16    1    16    81     1   /
/
C
1
Xi + 1 X i n- X i
i
a;2 + 1 x\ + x2
1
a;„+ 1
\
.,"■— 1
+ a;'
n-2
.,"■— 1
+ a;
ra-2
ŕVjíT-       -L     __|_     í-vjÍT'        ^
14
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
15.  Laplaceovým rozvojem podle třetího sloupce spočtěte determinant matice
/ x    -1     0      0   \
A_       0     a;     -1     0
0     0      x     -1      '
\ a0      öi       Ö2       03  /
16.  Vyjádřete polynom stupně n pomocí determinantu stupně n — 1. (Využijte výsledku předchozího příkladu.)
2. Bilineární a kvadratické formy
15
2. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY
Teorie
2.1. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem K. Bilineární forma na V je zobrazení / : V x V —► K takové, že pro všechna a, b, c, d G K a u,v,w G V platí:
/(aw + &f, u>) = a/(w, u>) + &/(f, w)
f (u, cv + du>) = c f (u, v) + á/(w, w)
2.2.   Definice. Nechť / : V x V —► K je bilineární forma a a = (v\, V2, ■ ■ ■, vn) je báze prostoru V. Pak tato báze určuje matici bilineární formy A = (a^) = (f(vi, v j)).
2.3.  Věta. Nectí f je bilineární forma na V s maticí A v bázi a. Nectí souřadnice vektorů u, v G V v této bázi jsou x, y E Kn. Pak pro libovolné vektory platí f (u, v) = xT ■ A ■ y.
2.4.  Věta. Je-li A matice bilineární formy v bázi a, pak matice bilineární formy v bázi ß je B = (iď) Tß ■ A ■ (iď) aß, kde (id)aß je matice přechodu od báze ß k bázi a .
2.5.   Definice. Dvě čtvercové matice A, B E Matn(K) se nazývají kongruentní, jestliže existuje regulární matice P G Matn(K) taková, že B = PT ■ A ■ P.
2.6.   Definice. Bilineární forma se nazývá symetrická, jestliže f(u,v) = f(v,u), resp. antisymetrická, jestliže f(u,v) = —f(v,u).
2.7.  Věta. Nectí f je bilineární forma a A její matice v nějaké bázi a. Pak f je symetrická, je-li matice A symetrická, a f je antisymetrická, je-li matice A antisymetrická.
2.8.  Věta. Každá bilineární forma je součtem symetrické a antisymetrické bilineární formy, přičemž pro matici platí A = ^(A-\-AT)-\-^(A—AT), kde první sčítanec odpovídá symetrické části a druhý antisymetrické části.
2.9.  Věta. Každá symetrická matice A G Matn(K) je kongruentní s nějakou diagonální maticí.
2.10.  Algoritmus. Diagonalizace symetrických matic.
Hledáme regulární matici P tak, aby matice PT ■ A ■ P byla diagonální.
Předpokládejme, že au ^ 0, pak na A provádíme elementární řádkové úpravy (označíme ERO) tak, aby aa = 0 pro i = 2,...,n. Současně provádíme stejné sloupcové úpravy (označíme ESO) a tím dosáhneme u symetrické matice toho, že výsledná matice má a y =0 pro j = 2,..., n. Provedení sloupcové úpravy na matici A odpovídá vynásobení této matice zprava maticí P\, která vznikne z matice jednotkové provedením stejné sloupcové úpravy.
16
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Analogicky řádkové úpravě odpovídá vynásobení matice A zleva maticí Pf. Provedením
stejné řádkové i sloupcové úpravy na matici A dostáváme matici Pf ■ A ■ P\, která je
kongruentní s maticí A. Stejný postup uplatňujeme na další řádky a sloupce.
Je-li au = 0 a nějaké aü ^ 0 provedeme výměnu řádku 1 a i a sloupce 1 a i.
Je-li au = a22 = • • • = (ínn = 0 a existuje a^ ^ 0 přičteme k řádku i řádek jak sloupci i
sloupec j.
Po všech těchto úpravách dostaneme diagonální matici
Pu---Pl-Pl-A-Pl-P2...Pk = (Pl-P2...Pk)T-A-(Pl-P2...Pk)=PT-A-P,
která je diagonální s původní maticí A.
Ve výpočtech postupujeme tak, že si napíšeme blokovou matici, jejíž levý blok je tvořen maticí A a pravý blok jednotkovou maticí E. Pak v levém bloku provádíme ERO a odpovídající ESO dokud nedostaneme diagonální matici. Zároveň provádíme v pravém bloku stejné úpravy jako v levém, ale pouze řádkové. Pak dostáváme v pravém bloku matici PT.
(A\E) -> (PT ■ A-P\PT ■ E)
2.11.   Definice. Zobrazení F : V —► K se nazývá kvadratická forma, jestliže existuje bilineární forma / : V x V —► K taková, že pro všechna u E V platí F(u) = f(u, u).
2.12.  Věta. Nectí F je kvadratická forma na vektorovém prostoru V. Pak existuje právě jedna symetrická bilineární forma, která ji určuje.
2.13.  Definice. Matici kvadratické formy F nazveme matici symetrické bilineární formy, která tuto kvadratickou formu určuje.
2.14.  Věta. (Sylvestrův zákon setrvačnosti) Každou kvadratickou formu F na reálném vektorovém prostoru Rn lze vyjádřit ve vhodné bázi (tuto bázi budeme dále nazývat kanonická báze) ve tvaru
přičemž počet čísel +1, -1, 0 je nezávislý na volbě báze.
2.15.   Definice. Signatura kvadratické formy F na reálném vektorovém prostoru Rn je trojice nezáporných čísel (s+, s_, s0), kde s+ je počet kladných, s_ počet záporných a s0 počet nulových členů v diagonálním tvaru kvadratické formy.
2.16.  Definice. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Rn. Řekneme, že F je
2. Bilineární a kvadratické formy
17
1.   pozitivně definitni, jestliže pro každý x G Rn, x ^ o je F(x) > 0
2.   pozitivně semidefinitní, jestliže pro každý x G Rn, x ^ o je F(x) > 0
3.   negativně definitni, jestliže pro každý x G Rn, x ^ o je F(x) < 0
4.   negativně semidefinitní, jestliže pro každý x G Rn, x ^ o je F(x) < 0
5.   indefinitní, jestliže existují vektory z, y E Rn takové, že F(y) > 0 a F(z) < 0.
2.17.  Věta. Nectí F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Rn. Pak
1.   F je pozitivně defínitní, právě tehdy když s+ = n;
2.   F je pozitivně semidefínitní, právě tehdy když s_ = 0;
3.   F je negativně defínitní, právě tehdy když s_ = n;
4.   F je negativně semidefínitní, právě tehdy když s+ = 0;
2.18.  Věta. Kvadratická forma je pozitivně defínitní, právě když všechny hlavní minory její matice jsou kladné.
Kvadratická forma je negativně defínitní, právě když pro hlavní minory její matice platí (-lYdet(Ai) >0.
2.19.  Definice. Kvadrikou nazveme množinu
< (xi, x2, ■ ■ ■, xn) G Kn, ^2 ciijXiXj + y^ bxj + c = 0 > .
___________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: Kvadratickou formu
F(x) = X\X2 + x2x3 zadanou ve standardních souřadnicích převeďte pomocí ESO a EŘO na diagonální tvar.
Řešení: Napíšeme si vpravo jednotkovou matici a vlevo matici dané kvadratické formy. Na matici A kvadratické formy provádíme řádkové a tytéž sloupcové úpravy, dokud nedostaneme diagonální tvar matice, na jednotkové matici přitom provádíme tytéž úpravy, ale vždy jen řádkové (viz. poznámka 2.10.).
0	1 0	0	1  1	0	0
1 2	0	1 2	1  o	1	0
0	1	0	o	0	1
1	1	1
2	2	2
1	0	1
2		2
0	1 2	0
18
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nejdříve druhý řádek přičteme k prvnímu, protože au = 0, tutéž úpravu provedeme také na pravé matici, pak provedeme stejnou operaci se sloupci, ale to už pouze na levé matici.
/I    i    i    |    1    1   0\
i   o   \   i   0   1  o \\   \   o   I   o  0   l)
Tak jsme dostali na pravé straně opět symetrickou matici, ale au ^ 0, dále vynulujeme pomocí prvku au zbylé prvky prvního řádku a sloupce tak, že přičteme — \ násobek prvního řádku nejprve k druhému a pak ke třetímu řádku, a pak provedeme odpovídající sloupcovou úpravu, ale pouze na levé matici.
( l     \       \     \     1       1     0 \        / 1     0       0     |     1       1     0 \ 0   -i     ±     I   -1     ±     0      =      0   -±     ±     I   -1     i     o
w          4         4        I           2         2                I   —   l                  4         4         I           2         2        w
\ o   i   —i  i  —i  —i  i /     l o   i   —i  i  —i  —i  i /
\w4           4      I         2         2      L   /           \w4           4      I         2         2      L   /
Dále přičteme druhý řádek k třetímu a provedeme odpovídající sloupcovou úpravu.
/ 1     0     0    |     1     1   0 \        /10     0|110\ 0   -i   i   I   -i   i   0      =      0   -l   0   I   -i   i   o
lw          4      4      I          2      2      w     I    —   I     w          4WI          22wl
\0     0     01—101/        \0     0     01-101/
Dostáváme tedy diagonální tvar kvadratické formy F(y) = yf — \y\.
Levá matice je (id)a,ß a JeJí řádky nám udávají bázi, ve které má daná kvadratická forma
tento tvar:
Úloha 2: Najděte diagonální tvar kvadratické formy
F(x) = x\ + x\ — 2x\X2 + 2x1X3 + 10x2^3 zadané ve standardních souřadnicích v R3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce.
Řešení: Všechny smíšené členy obsahující x\ připojíme k členu x\ a doplníme na čtverec. Pak všechny smíšené členy obsahující X2 připojíme k členu x\ a opět doplníme na čtverec.
F(x) = (Xi — X2 + X3)    — X2 — X3 + 2X2X3 + X3 + IOX2X3 =
= (Xi — X2 + X3)   — x2 + 12x2X3 = (Xi — X2 + X3)   — (X2 — 6x3)   + 36x3 nyní můžeme zavést nové souřadnice:
y1   =   xi    -x2     +x3 y2   =             x2    -6x3
1/3   =                         x3
2. Bilineární a kvadratické formy
19
diagonální tvar je:
F(y) = y2-y22 + 36y23
1-1     1 id„F = (   0     1     -6 0     0       1
Hledáme matici inverzní k této matici přechodu a dostáváme
idf„ =
1 1 5 0 1 6 0   0   1
Sloupce této matice udávají vektory báze, ve které má matice diagonální tvar.
a :
1 0 0
1 1 0
5 6 1
Úloha 3: Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice
k : x\ + x\ + Ax\x2 + 2x\ + 1 = 0.
Řešení: Použijeme metodu doplnění na čtverce; nejprve bereme v úvahu pouze kvadratické členy
{xi + 2x2)2 -ix22 + x22 + 2x1 + l = 0
transformujeme souřadnice:
y\   =   xi+ 2x2 1/2    =    x2.
Odtud spočítáme x\ = y\ — 2y2, po transformaci dostáváme
y21-3y22 + 2y1-Ay2 + l = 0
a nyní opět doplňujeme na čtverce
4
(Vl + iy - 3 ( yi + -y2 ) = 0
(yi + l)2-3^2 + 0   +^=0
20
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
po další transformaci souřadnic dostáváme:
zi   =   ^(yi + 1)    =   ^(x1 + 2a;2 + l)
Z2     =     §(2/2 + |)      =      |(^2 + |)
k : z\ - z\ + 1 = 0 . Jedná se tedy o hyperbolu, jejíž střed S je dán z\ = 0 a z2 = 0, v původních souřadnicích
2
^ = -3,
£1 =------1 = - .
3             3
Tedy S = (|, — §)   . Nyní ještě najdeme bázi pro nové souřadnice. Víme
{ld)a,e =   (       2        3
0
Inverzní matice k této matici je
2V3      _4
3             3
0        2
u          3
a její sloupce nám určují vektory báze ck : [f 1,1*2], kde V\ = í^^,0j a v2 = (—f, f). Pro souřadnice libovolného bodu tedy platí
x = S + (id)eta ■ z .
Úloha 4: Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 5 na vektorovém prostoru R5 v analytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na podprostoru generovaném vektory (1,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,-1,0,0,0) a je negativně definitní na podprostoru generovaném vektory (0, 0, —1, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 1).
Řešení: Podle Sylvestrova zákona setrvačnosti (věta 2.14.) má kvadratická forma F vzhledem ke kanonické bázi tvar
F(x) = d\x\ + a2x\ + 03X3 + a±x\ + a^x\ ,
kde <2j, i = 1...5 nabývají hodnot +1, —1, 0. Přičemž kvadratická forma je pozitivně definitní na nějakém podprostoru, pokud pro všechny vektory x z tohoto podprostoru platí F(x) > 0.
2. Bilineární a kvadratické formy
21
Jde vidět, že podprostor generovaný vektory (1,1, 0, 0, 0), (0, 0, 0,1, 0), (0, —1, 0, 0, 0) je vlastně podprostor vektorů tvaru (a, b, 0, c, 0); a, b, c G R. A tedy
F(a,b,0,c,0) > 0.
Z toho plyne a\ = 1, a2 = 1 a a4 = 1.
Analogicky podprostor generovaný vektory (0,0,-1,0,0), (0,0,1,0,1) je podprostor vektorů tvaru (0, 0, e, 0, /); e, / G i?. Má-li být na tomto podprostoru kvadratická forma negativně definitní, musí platit
F(0,0,e,0,/)<0
Z toho plyne a3 = —1, 05 = — 1. Kvadratická forma má tedy tvar
2    i       2            2    i       2            2 __ /~\
Xi n- Xo       -A/o n- J^a       Xc — U .
Cvičení
1.   Necht je na R4 dána bilineární forma / souřadnicovým vyjádřením vzhledem ke standardní bázi
f(x, y) = -xiy2 + xxy3 + x2yi + x2y2 + x2y4 - x3y4 + x4y3.
Určete matici v bázi e a hodnost formy.
2.   Pro bilineární formu zadanou ve standardní bázi f(x, y) = x\y\ — 2x2y2 + 3x\y2 na R2 určete její souřadnicové vyjádření a matici v nové bázi v\ = (3, — 1)T, v2 = (1, — 1)T.
3.   Ve standardní bázi na R3 je dána bilineární forma
f(x, y) = xiyi + 2x2y2 + 2x2y3 Určete matici bilineární formy v bázi v\ = (1, 0, 1)T, v2 = (0, 1, 1)T, v3 = (1, 1, 0)T.
4.   Pro bilineární formu z příkladu 1 určete symetrickou a antisymetrickou bilineární formu f s a f a, pro které platí / = fs + fA.
5.   Pro bilineární formu na R3 určete symetrickou a antisymetrickou bilineární formu f s a f a, pro které platí / = fs + fA.
(a)   f(x, y) = 2xiyi + 4xiy2 - 2xxy3 + x2y2 - x2y3 + x3y2 + x3y3
(b)   f(x, y) = 2xiy2 + Ax2y3 + Qx3yi
6.   Najděte nějakou bázi symetrické bilineární formy / na vektorovém prostoru R3, ve které má tato forma diagonální tvar. Analytické vyjádření / vzhledem ke standardní bázi je
f(x, y) = 2x2y3 + 2x3y2 + x3y3
22
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
7.   Najděte nějakou bázi symetrické bilineární formy / na vektorovém prostoru R3, ve které má tato forma diagonální tvar. Analytické vyjádření / vzhledem ke standardní bázi je
f(x,y) = Sxiyi + 2x2y2
8.   Najděte symetrickou bilineární formu, která určuje kvadratickou formu F. F má ve standardní bázi v R3 rovnici
(a)   F(x) = 2x\Xz — 4x2X3
(b)   F{x) = x\ + x\ — 2x2x3
9.   Najděte diagonální tvar kvadratické formy F na i?3 a bázi, ve které má forma tento tvar, je-li souřadnicové vyjádření ve standardní bázi
F(x) = x\ + x\ — 2x\X2 + 2x1X3 + 10x2^3 .
10.   Najděte diagonální tvar kvadratické formy na R3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce a bázi, ve které má forma tento tvar, je-li souřadnicové vyjádření ve standardní bázi
(a)   F(x) = 4x2 + 2x\ + 15xg + 4xiX2 — 4xiX3 — 8x2x3
(b)   F(x) = x\x2 + X1X3 + X2X3
11.   Zjistěte vlastnosti reálných kvadratických forem, např. definitnost a signaturu, jestliže jejich souřadnicové vyjádření vzhledem ke standardní bázi je
(a)   F(x) = x\ — x\x2 + X2, na R2
(b)   F(x) = 2x\x2 + 4xiX3, na R3
(c)   F(x) = —2x\ — 8x3 — 3xg + 2xiX2 + 4xiX3 — 2x2x3, na R3
Y2. Najděte diagonální tvar kvadratické formy na R3 a zjistěte, zda je pozitivně definitní
F(x) = X\X2 + X2X3 + 3xiX3
13.   Ve standardní bázi na R3 je dána kvadratická forma. Určete její signaturu.
(a)   F(x) = X1X3
(b)   F(x) = x\ + X2 + 3xg + 4xiX2 + 2xiX3 + 2x2x3
(c)   F(x) = x\ — 2x\ + Xg + 2xiX2 + 4xiX3 + 2x2x3
14.   V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru R4 je dána kvadratická forma F. Určete její diagonální tvar, definitnost, signaturu.
(a)   F(x) = x\ + x\ + Xg + x\ + 2xiX2 + 4xiX3 + 2xiX4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4
(b)   F(x) = 3xg + 2x4 + 4xiX4 + 4x2X3 + 2x2X4 + 2x3X4
2. Bilinear ní a kvadratické formy                                                                                    23
(c) F (x) = x\x3 + x\X/^
15.  Uvažme bilineární formu zadanou ve standardní bázi
f (x, y) = 2xiyi - Axxy2 - 3x2y2 + 2x2y3 - 4x3y2 - x3y3
definivanou na C3. Nechť F (x) je jí definovaná kvadratická forma, napište analytické vyjádření F a najděte diagonální tvar F.
16.  Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které je kvadratická forma F na R3 pozitivně definitní (použijte Sylvestrovo kritérium).
(a)   F (x) = x\ + x\ + 4ax\x2 + a2x\x3
(b)   F (x) = ax\ + ax\ + (a — 3)0:3 + 2x\x2 + 2ax\x3 + 2x2x3
17.   Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice
k : 5x2x + $x2 + 12x1X2 - 6x2 + 4 = 0 a převeďte na diagonálni tvar.
18.   Zjistěte jakou kuželosečku popisují rovnice, převeďte na diagonální tvar, případně určete její střed
(a)   k : x\ + x\ + 2x\x2 — x\ + 3^2 — 2 = 0
(b) k : 2x\ — 3^2 + 5x\X2 + X\ + 10x2 — 3 = 0
(c) k : xj + xl + Axix2 + 2a; 1 + 1 = 0
(d) k : 3xj + 3^2 - 2x1X2 + 4xi + 4x2 - 4 = 0
(e) k : x\ + X2 — 2xiX2 — 4xi — 6x2 + 3 = 0
(f) k : x\ + x\ + 2xiX2 — X\ — x2 = 0
(g)   k : xj + 2x\ - 2xix2 - 4xi - 6x2 + 3 = 0 (h) k : Ax\ + 5x^ + IOX1X2 - 2xi - 4x2 + 3 = 0
(i) k : xj + 4x2 + 4xix2 + 6x1 + 8x2 — 9 = 0 (j) k : x\ + x\ + 2xix2 + 2xi + 2x2 - 4 = 0
19.  Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 6 na vektorovém prostoru R7 v analytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na pod-prostoru generovaném vektory (-1, 0, 0, 0, 0,1, 0), (0, 0,1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, -1, 0) a je negativně definitní na podprostoru generovaném vektory (0,1,0,-1,0,0,1), (0,-1,0,0,0,0,1), (0,0,0,1,0,0,0).
24
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
20. Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 6 na vektorovém prostoru R7 v analytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na pod-prostoru generovaném vektory (-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0), (-1, 0, 1, 0, 1, 0, 0) a je negativně definitní na podprostoru generovaném vektory (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (0,-1,0,0,0,0,1), (0,1,0,0,0,1,0).
21. Nechť Mat2(R) je vektorový prostor všech matic řádu 2 a nechť M
1   2
x 3    5 Mat2(R). Dokažte, že zobrazení / : Mat2(R) x Mat2(R) —► R definované předpisem
f (A, B) = tr(A ■ M ■ B), pro WA, B G Mat2(R) (tr znamená stopu matice, tj. součet
prvků na hlavní diagonále) je bilineární forma. Pak najděte matici této bilineární
formy v bázi a.
a :
1   0 0   0
0   1
o o
0    o
1    o
o o
0   1
3. Skalární součin
25
3. SKALÁRNÍ SOUČIN
Teorie
3.1.  Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem K. Pak skalární součin na V je bilineární symetrická forma, tj. zobrazení (     ,      } : V x V —► K takové, že (x,x) > 0 pro x G V, x j^ o. (To znamená, že příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.) Reálný vektorový prostor se skalárním součinem nazýváme euklidovský prostor.
3.2.  Definice. Nechť Rn je vektorový prostor. Definujeme skalární součin pro x, y G Rn,
x = (xi, x2, ■ ■ ■, xn), y = (yi, y2, ■ ■ ■, yn) jako (x, y) = Yh=i xíVí- Takto definovaný skalární
součin nazýváme standardní skalární součin.
Euklidovský vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem budeme značit En.
3.3.   Definice.   Velikost (norma) vektoru v v euklidovském prostoru V je číslo  \\v\\  =
3.4.   Věta.  (Cauchyova-Schwartzova nerovnost) Pro každé dva vektory v euklidovském prostoru V platí
\(u, v)\ < \\u\\ \\v\\
3.5.  Definice. Nechť V je euklidovský prostor, u,v E V. Uhel, který vektory u a v svírají je číslo a G (0, n) takové, že
||M|| \\V\\
3.6.  Definice. Dva vektory u,v E V, kde V je euklidovský prostor, nazveme kolmé (ortogonální), pokud (u, v) = 0.
Dva vektory u, v G V, nazveme ortonormální, pokud jsou ortogonální (tj. (u,v) = 0) a pokud jejich velikost je rovna jedné (tj. ||w|| = 1 A \\v\\ = 1).
3.7.  Věta. Nechť V je euklidovský prostor a v\, v2, ■ ■ ■, Vk G V jsou po dvou ortogonální vektory různé od nulového. Pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé.
3.8.  Definice. Bázi tvořenou ortogonálními vektory nazveme ortogonální báze. Bázi tvořenou ortonormálními vektory nazveme ortonormální báze.
3.9.   Věta. Nechť V je euklidovský prostor a u\, u2, ■ ■ ■, u^ G V libovolné vektory. Pak existují ortogonální vektory V\, v2,..., v^ G V, které generují tentýž prostor jako vektory U\,u2,..., Uk, to znamená
[ui,u2,... ,uk} = [v\,v2, ...,vk].
26
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Algoritnus, s jehož pomocí lze nalézt vektory v\, v2, ■ ■ ■, Vk se nazývá Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces a je popsán v úloze 1.
3.10.  Definice. Řekneme, že množiny A, B C V jsou ortogonální množiny (ozn. A ± B) jestliže
Vu E A,Vv E B : (u, v) = 0
3.11.  Definice. Ortogonální áoplňek množiny A v euklidovském vektorovém prostoru V nazveme množinu
A± = {ueV : {u, v) = 0, Vu G A}
3.12.  Definice. Nechť V je euklidovský prostor a U C F je vektorový podprostor ve F. Kolmá projekce vektoru v E V áo U je vektor P v G í/ takový, že v — P v ± U.
3.13.  Věta. Nechť F je euklidovský prostor a í/ C V je podprostor. Potom t/©?/-1 = V.
___________________________________________________Řešené příklady
Úloha  1: Použijte Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces na bázi a  :  u\  = (2, 0, —1)T, u2 = (—1, 1, 1)T, Us = (1, 1, 1)T vektorového prostoru E3.
Řešení: Budeme hledat ortogonální bázi ß : [v\, v2, f3]
1)  Za vi zvolíme libovolně jeden ze tří vektorů původní báze a , např.
Vi = Ui
a tedy
Wl = (2,0,-1)T
2)  Hledáme druhý vektor báze v2 ve tvaru
V2 = U2 +P1V1
tuto rovnost skalárně vynásobíme vektorem ví
(vi,v2) = (vi,u2) +pi(vi,vi)
požadujeme, aby vektory ví, v2 byly kolmé, proto skalární součin (ví, v2) = 0; zbylé skalární součiny můžeme už lehce spočítat (vi,u2) = —3, (t>i,t>i) = 5, pak
3
0 = —3 + 5pi    z toho plyne     Pí = -
5
3. Skalární součin
27
a tedy
«2 = (-l,l,l)r+|(2,0>-l)r
můžeme do báze zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, pro snadnější počítání tedy volme
v2 = (l,5,2)T
3) Nyní zbývá najít ještě třetí vektor báze v3, který musí být kolmý k oběma předchozím vektorům v\ a v2; předpokládejme jej ve tvaru
v3 = u3 + qiVi + q2v2
tuto rovnost nejdříve skalárně vynásobíme vektorem V\ a pak vektorem v2, čímž dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých q1 a q2
(v3, vi) = (u3, Ví) + qi(vi,vi) + q2(v2, Ví)
(v3, v2) = (u3, v2) + qi(vi,v2) + q2(v2, v2) z požadavku vzájemné ortogonality všech vektorů báze ß plyne
0=1 + 5(/i    z toho plyne    q\ = —
5
tedy
4
0 = 8 + 30(/2    z toho plyne    q2 =------
15
w30 = (1,1,1)T - -(2, 0, -1)T - —(1, 5, 2)T = (-, --, 2'
3     v ,   ,  j       5v ,   ,     j       15v ,   ,  j       l 3'    3'3
opět můžeme do báze ß zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, např.
U3 =  (1,-1,2)T
a tedy ß = [(2, 0, -1)T, (1, 5, 2)T, (1, -1, 2)T]
Úloha 2: Nechť W = [(1,-1,1, 0, 0)T, (1, 0,1, 0,1)T, (1,1, 0,-1,1)T] je podprostor v E5. Najděte ortogonální doplněk W1- tohoto podprostoru.
Řešení: Podle definice 3.10. je ortogonální doplněk podprostoru množina všech vektorů kolmých ke všem vektorům zadaného podprostoru. Rozmyslíme-li si tuto definici, je zřejmé, že stačí hledat množinu všech vektorů kolmých k vektorům báze podprostoru W. Označíme
28
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
si vektory báze postupně i>i,i>2,ľ3 a uvažujeme libovolný vektor x = {x\,x2,X3,X4,x^T takový, že x E W-1-, pak platí:
x E W±    právě když    x _L V\ A x _L v2 A x _L va
a tedy
x E W±    právě když    (x, V\) = 0; (x, v2) = 0; (x, V3) = 0
Xl     —X2     +X3                        =    0
z toho plyne          X\              +x3              +x5   =   0
X\   +x2              —X4   +x5   =   0
dále řešíme tuto soustavu rovnic pro nalezení tvaru vektoru x úpravou na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových úprav
1 -1 1 0 0 I 0 \ /l -11 00 10 10 1|0~0 1 0 0 1 110   —1    1    I   0 /        \ 0     2     —1—11
'1-11001 o 1 o o 1 1 o   o   1 1 1 i
zavedeme parametry a, b a dostáváme:
X5 = b; X4 = a; X3 = —a — b; x2 = —b; x\ = a
podprostor vektorů x, což je podprostor vektorů kolmých na vektory báze podprostoru W, a tedy ortogonální doplněk podprostoru W, je generován vektory, které dostáváme nezávislou volbou parametrů a a b
W± = [(1,0,-1,1,0)T,(0,-1,-1,0,1)T]
Úloha 3: Najděte kolmý průmět vektoru v do podprostoru W = [101,102] v £4, kde w1 = (1, -1,-1, 2)T, w2 = (3,1, 0,1)T, v = (-2, 2, 2, 5)T
Řešení: Kolmý průmět Pv vektoru v předpokládáme ve tvaru lineární kombinace vektorů báze podprostoru W, do kterého promítáme
Pv = a\W\ + a2ii>2
Aby šlo o kolmou projekci, musí být podle definice 3.11. vektor v —P v kolmý na podprostor W, a tedy musí platit:
V — Pv     ±     W\
v — Pv   ±   w2
3. Skalární součin
29
z toho plyne
(v,VJ\)     —ai(v)i,V)i)     — a2(u>2, U>i)     =     0
(v,w2)    -ai(w2,wi)    -a2(u>2,u>2}   =   0 po vyčíslení skalárních součinů dostáváme:
8   — 7ai     —6a2    =   0 1   — 6ai    —lla2   =   0
řešením této soustavy rovnic je a\ = 2 a a2 = — 1, tedy
Pw = 2(1,1, -1,2)- (3,1, 0,1) = (-1,1, -2, 3)
Cvičení
1.   Zjistěte zda je zobrazení g : R2 x R2 —► R skalární součin
(a)   g(x, y) = xxy\ + xxy2 + x2y\ + x2y2
(b)   #(>, y) = Axiyi + 2xiy2 + 5x2y2
(c)   #(>, y) = xiyi + xiy2 + x2y\ + 2x2y2
2.   Zjistěte, zda je zobrazení g : R3 x R3 —► i? skalární součin
(a)   řjf(w, v) = 3^1 vi - wiu2 - u2vi + 2w2w2 + W1U3 + U3V1 + W3W3
(b)   g(u, v) = 2u\V\ — U1V2 — u2Vi + 113V3
(c)   g{u, v) = u1v1 + 2uxv2 - u2vx + u2v2 + «3^1 + 2w3w3
(d)   g(u, v) = UiVi + 2u2v2 - u2v3 - u3v2 + 3u3v3
(e)   g{u, v) = 3«it>i + uxv2 + u2vx + w2w2 + u3v3
3.   Ve vektorovém prostoru i?2[:r] je pro libovolné dva polynomy /, g definováno reálné číslo {f, g). Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin.
(a)  (f,g) = ľ_1f(t)g(t)dt
(b)   (/, 9) = 1
4. Ve vektorovém prostoru Mat22(R) je pro libovolné vektory A =  i                ) , B =
\ a3   (I4 J
b     b   \
,     ,     I definováno reálné číslo (A, B). Rozhodněte, zda je takto definován skalární
63   h  J                               X        '
součin.
(a)   {A, B) = det(AB)
(b)   (A,B) =det(A + B)
30
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(c)   (A, B) = a\b\ + 0464
(d)   {A, B) = ciibi + a2b2 + 0363 + ciáh
5.   Zkuste na R2 najít takový skalární součin, aby vektory u a v byly na sebe kolmé.
(a)   u = (l,2)r,t; = (2,3)r
(b)   u = (-5,2)T, w = (10,-4)T
6.   Najděte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (3, 2, —4, 6)T, (8,1, —2, —16) (5,12, —14, 5)T, (11, 3, 4, —7)T v euklidovském prostoru £4.
7.   Určete ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1, 0, 4, — 1)T, (1, —4, 0, 1)T, (—4, 1, 1, 0)T a jeho ortogonálního doplňku v euklidovském prostoru £4.
8.   Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1, 1, —1, — 1)T, (1, —1, 1, 1)T, (—1, —2, 0, 1)T v euklidovském prostoru £4.
9.   V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru W, je-li:
(a)   V = £4, W = [(1, 2, 2, -lf, (1,1, -5, 3)T, (3, 2, 8, -7)T]
(b)   V = £4, W = [(1, 0,1, 0)T, (0,1, 0, -7)T, (3, -2, 3, U)T]
(c)   V = £5, W = [(1, 2, 0,1, 2f, (1,1, 3, 0,1)T, (1, 3, -3, 2, 3)T, (1, -1, 9, -2, -1)T]
(d)   V = E5,W= [(1, -1, 0,1,1)T, (1, -1,1, 0, -1)T, (1, -2, -2, 0, 0)T, (1, -4,1, 3, 4f]
10.   V euklidovském prostoru £4 jsou dány vektory u, v. Ukažte, že tyto vektory jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru. Přitom:
(a)   u = (l,-2,2,l)T,v = (l,3,2,l)T
(b)  w = (2,3,-3,-4f, W = (-l,3,-3,4f
(c)   u = (l,7,7,l)r, v = (-1,7,-7, l)r
11.   Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru R?,[x\ se skalárním součinem definovaným (/, g) = f f (ť) g (ť) dt. Najděte matici přechodu od nalezené báze a do standardní báze [1, x, x2, x3].
12.   V euklidovském prostoru £5 je dán podprostor W. Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku W-1-, je-li:
(a)   W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t); r, s, t G R}
(b)   W = [(1, -1, 2,1, -3)T, (2,1, -1,-1, 2f, (1, -7,12, 7, -19)T, (1, 5, -8, -5,13)T]
13.   V euklidovském prostoru £4 nalezněte ortonormální bázi podprostoru vektorů, které jsou ortogonální k vektorům u = (1, 1, 1, 1)T, v = (1, —1, —1, 1)T, w = (2, 1, 1, 3)T.
3. Skalární součin
31
14.   Určete všechny hodnoty parametru a E R, pro které je zadaný vektor u z euklidovského prostoru V normovaný. Přitom:
(a)   V = E5, u = (a + 1, 0, a + 2, 0, a + 1)T
(b)   V = R2[x], se skalárním součinem (/, g) = j0 f(t)g(t)dt, u = 3x2 + a
(c)   V = R2[x], se skalárním součinem (/, g) = f_ľ f (ť) g (ť) dt, u = 3x2 + a
15.   Najděte ortogonální doplněk podprostoru P generovaného vektory (—1, 2, 0, 1)T,
(3,l,-2,4f, (-4,1,2,-4)^4
16.   V euklidovském prostoru E4 jsou dány podprostory W = [^1,^2,^3] a S = [v], kde Ul = (1,1,1,1)T, u2 = (-2, 6, 0, 8)T, u3 = (-3,1, -2, 2)T, v = (1, a, 3, b)T.
(a)   Nalezněte ortogonální bázi W.
(b)   Určete hodnoty a, b tak, aby podprostory W, S byly kolmé.
17.   Najděte ortogonální průmět vektoru (1, 2, 3)T do podprostoru generovaného vektory
(-1,1, if, (1,1, if v4
18.   Nechť je L = [u, v, w] podprostor v E4. Najděte kolmý průmět vektoru z do  L1-.
(a)   z = (4, 2, -5, 3)T, u = (5,1, 3, 3)T, v = (3, -1, -3, 5)T, w = (3, -1, 5, -3)T
(b)   z = (2, 5, 2, -2)T, u = (1,1, 2, 8)T, v = (0,1,1, 3)T, w = (1, -2,1,1)T
19.   V euklidovském prostoru V najděte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru W, je-li:
(a)   V = E4, u = (-2, 2, 2, 5)T, W = [(1,1, -1, 2)T, (3,1, 0,1)T, (2, 0,1, -1)T]
(b)   V = E4, u = (2, 7, -3, -6)T, W = {(r + s, r + s, -r - 3s, 2r + 3s); r, s G i?}
(c)   U = E4, u = (1, 2, 3, 4f, W = [(0,1, 0,1)T]
(d)   V = E4, u = (4, -1, -3, 4f, W = [(1,1,1,1)T, (1, 2, 2, -lf, (1, 0, 0, 3)T]
20.   Nechť w, v jsou vektory z euklidovského prostoru V. Dokažte, že platí nerovnost
I IMI — \\v\\ I < \\u — v\\.
21.   Dokažte, že pro libovolných n reálných čísel X\, x2, ■ ■ ■, xn platí nerovnost
X\ ^r ^2 ~r * * * ^r Xn           I X^ ^r X2   \   ' ' '   \   Xn
n                ~ V                n
(Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.)
32
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
22. Dokažte, že pro libovolnou spojitou funkci / platí
i   ŕ ., , ,          i    ľb
f(x)dx<\------ /   f2(x)dx.
a — b Ja                     V a — b
(Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.)
23.  Dokažte, že je-li 2x + Ay = 1, pro libovolná x,y G R, pak x2 + y2 > ^.
24.  Dokažte, že pro libovolná x,y, z G R platí nerovnost
o             2             2            2
x     y     z\2     x       y       z
- + - + -)   <-----h —H----.
2      3      6/   -   2        3       6
25.  Dokažte,že pro libovolná a\, a2, ■ ■ ■, an G R+ platí
-----1-------1-------1----------1-----> ai + a2-\-------\- an.
26.  Dokažte,že pro libovolná a\, a2, ■ ■ ■, an G R+ platí
(a1 + a2 +-----h a„) ( — + — +-----h — J > n2 .
\ai      a2              anJ
27.  Určete velikost výslednice F čtyř komplanárních sil (tj. sil ležících v jedné rovině) Fi, F2, F3, F4 působících z jediného bodu, jestliže velikost každé síly je 10 N a úhel mezi dvěma sousedními silami je
(a)  a = 30°
(b)  /3 = 45°
28.  Tři síly Fi, F2, F3 působí z jednoho bodu v prostoru. Každé dvě síly svírají stejný úhel a. Velikosti těchto sil jsou |Fi| = 2 N, \F2\ = 3 N, |F3| = AN. Určete úhel a tak, aby velikost výslednice sil byla F = 5 N.
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel                                                     33
4. EUKLIDOVSKÁ ANALYTICKÁ GEOMETRIE - VZDÁLENOST A ÚHEL
_____________________________________________________________Teorie
4.1.  Definice. Nechť A, i? jsou body euklidovského prostoru Rn. Pak reálné číslo p(A, B) = \\A — i?||, tj. velikost vektoru A — B, nazýváme vzdáleností bodů A a B.
4.2.  Definice. Nechť M je podprostor euklidovského prostoru Rn a A bod z tohoto prostoru. Pak, vzdáleností bodu A od afinního podprostoru M nazýváme nezáporné reálné číslo p(A, M), definované
p(A, M) = min{||A - B\\, B E M}
4.3.   Věta. Nectí M je afínní podprostor v Rm a B E M je libovolný bod z M, pak vzdálenost bodu A E Rn od afinního podprostoru M je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do ortogonálního doplnku zaměření podprostoru M, tj. do Z-1 (M).
4.4.  Definice. Nechť P, Q jsou podprostory euklidovského prostoru Rn. Pak vzdáleností podprostoru P, Q nazýváme nezáporné reálné číslo p(P,Q), definované
p(P,Q) = mm{\\A-B\\; A E P, B E Q}
4.5.  Věta. Nectí P, Q jsou dva afinní podprostory, A E P je libovolný bod z P a B E Q libovolný bod z Q , pak vzdálenost podprostoru P a Q je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A-B do [Z{P) + Z(Q)]-1.
4.6.   Definice. Nechť u,v E V jsou nenulové vektory. Pak odchylkou jednorozměrných podprostoru [u], [v] ve V rozumíme reálné číslo (f) (někdy značíme (f>(u,v)), pro které platí:
l(w,f)|                     ,       7T
COS(f>=   i,     „  „i,,          0<(f><-
\\u\\ \\v\\                            2
4.7.   Definice. Nechť U, V jsou podprostory euklidovského vektorového prostoru. Pak odchylku podprostoru U, V definujeme takto:
(a)  Je-li U CV nebo V C U, pak <f>(U, V) = 0.
(b)  Je-li U n V = {o}, pak (j)(U, V) = mm{a(u, v); u E U, v E V; u, v ^ o}.
(c) Je-li unvjí {o}, pak <f>(u, v) = <f>(u n (u n v)-1, v n (u n v)-1).
4.8.  Věta. Nectí v je vektor a U je podprostor v euklidovském prostoru Rn. Nectí Pv je ortogonální projekce vektoru v do podprostoru U. Pak odchylka vektorových podprostoru
34
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
U a [v] je
\\Pv\\ cos (f)(U, [v]) = cos(f>(v,Pv) = —ň—ň-
4.9.  Věta. Nectí Ní} N2 jsou nadroviny v euklidovském vektorovém prostoru Rn, n > 2 a nectí a je normálový vektor nadroviny N\ ab je normálový vektor nadroviny N2 ■ Pak odchylka těchto nadrovin je odchylka jejich normálových vektorů.
cos(f)(Ni, N2) = cos (f>(a,b)
4.10.   Definice. Odchylkou dvou afinních podprostorů P, Q rozumíme odchylku jejich zaměření Z(P), Z(Q).
___________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: V euklidovském prostoru E4 určete vzdálenost roviny a : (4, 1, 1, 0)+t(l, —1, 0, 0)+ s(2, 0, -1, 0) a přímky p : (5, 4, 4, 5) + r(0, 0, 1, -4).
Řešení:
1.  způsob:
Nejprve najdeme ortogonální doplněk součtu zaměření roviny a přímky
1-10      0     I   0 \        /l   -10      0     I    0 \ 2     0     -1     0     j   0      ~      0     2     -1     0     JO 0     0       1-4(0/        \ 0     0      1-4(0/
Zavedeme parametr t, čili X4 = í,pak X3 = At, X2 = It, x\ = 2t, zvolíme-li např. t = 1, dostáváme [Z(a) + Z(p)]1- = [(2, 2, 4,1)T], označme tento vektor u.
Nyní zvolíme libovolné body A G o, B G p, např. A = (A, 1,1, 0)T, B = (5,4,4,5)T, a označíme vektor A — B = x = (1, 3, 3, 5)T. Podle věty 4.5. je vzdálenost roviny a přímky rovna průmětu vektoru x do podprostorů [u]. Hledáme tedy kolmý průmět Px. Předpokládáme Px ve tvaru:
Px = au
x — Px ± u    z toho plyne    (x, u) — a(u, u) = 0
25-25a = 0    a tedy    a=l    pak    Px = u = (2, 2, 4,1)T
p((T,p) = \\Px\\ = 5
2. způsob:
Opět potřebujeme najít ortogonální doplněk součtu zaměření obou podprostorů, který jsme určili v předcházejícím výpočtu [Z(a) + Z(p)]1- = [(2, 2, 4,1)T], označme tento vektor u.
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
35
Nyní hledáme body A0 G o a B0 G p jimiž se vzdálenost p(<7,p) realizuje. Vektor A0 — B0 je kolmý k rovině o i přímce p a tedy Aq — Bq E \Z{cr) + Z(p)]±, tzn. je lineární kombinací vektoru báze [Z(a) + Z(p)]1-
A0 — B0 = ku .
Dále víme:
A0 = (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + 5(2, 0, -1, 0)
Bo = (5,4,4,5) + r(0,0,l,-4)
a tedy    (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) - (5, 4, 4, 5) - r(0, 0,1, -4) = k(2, 2, 4,1).
Dostáváme tedy soustavu rovnic:
			t	+2s		-2k	=	1		
			-t	-2k —s    —r   —Ak Ar     —k			=	3 3 5		
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace										
/   1      2      0			-2	1    1\        /l			2	0	-2	1\
	-10      0		-2	1    3		0	2	0	-4	4
	0     -1    -1		-A	3	r^-1	0	-1	-1	-4	3
\   0      0      4			-1	1    5/        VO			0	4	-1	5/
/ 1   2     0			-2	1    1\        /l			2	0	-2	1   \
r^j		0   1     0 0   0-1	-2 -6	1    2 5	rN-'	0 0	1 0	0 -1	-2 -6	2 5
\ 0   0     4			-1	1  5/     Vo			0	0	-25	25 /
z toho plyne k = —1, r = 1, s -			= o,-	t = -l.						
A tedy										
A0- B0 = -lu = (-2, -2, -4, -1)T    z toho plyne p(a,p) = \\u\\ =5, dále můžeme taky určit body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje:
A0 = (4,1,1,0)-(1,-1, 0,0) = (3, 2,1, 0)T
B0 = (5, 4, 4, 5) + (0,0,1,-4) = (5, 4, 5, lf
Budeme potřebovat bázi součtu zaměření, což je např. Z(a)+Z(p) = [(1, —1, 0, Of, (2, 0, —1, Of, (0, 0, 1, — 4f ], označme tyto vektory postupně V\, V2, V3.
36
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nyní hledáme body A0 G a a B0 G p jimiž se vzdálenost p(cr,p) realizuje. Vektor A0 — B0 je kolmý k rovině a i přímce p a tedy Aq — Bq je kolmý k Z (a) + Z(p), tzn. je kolmý k vektorům báze Z (a) + Z(p), tedy A0 — B0 ± v\, A0 — B0 ± v2, A0 — B0 ± v3. Dále víme:
A0 = (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + 5(2, 0, -1, 0)
Bo = (5,4,4,5) + r(0,0,l,-4)
a tedy    A0 - B0 = (-1, -3, -3, -5) + í(l, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) - r(0, 0,1, -4).
Dostáváme tedy soustavu rovnic:
{Ao-B0,Vl)
(A0-B0,v2) (A0-B0,v3)
2í   +2s 2í   +5s     +r — s    —17 r
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace
2     2       0      |     -2   \ 2     5        1      j     —1    1 —
0   -1   -17   |   -17 /
/ 1   1   0
-031 \ 0   0   1
z toho plyne r = 1, s = 0, t = —1. A tedy
A0 = (4,1,1,0) -(1,-1, 0,0) = (3, 2,1,0)
Bo = (5, 4, 4, 5) + (0,0,1,-4) = (5, 4, 5,1)
z toho plyne
Ao-ßo = (-2,-2,-4,-l)T
p(cr,p) = (IA0 - B0\\ =5.
Úloha 2: Určete vzdálenost rovin a : (4, 5, 3, 2) + í(l, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2, 1); r : (1, -2, 1, -3) + r(2, -2, 1, 2) + p(l, -2, 0, -1) v euklidovském prostoru E4.
0 0 0
-2
-1 -17
1    1 0   3
0 1
0   1    17
17
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
37
Řešení:
1. způsob:
Nejprve najdeme ortogonální doplněk součtu zaměření obou rovin
/ 1     2     2     2	1  o\
2     0     2     1	o
2-212	o
\ 1   -2   0   -1	1  o/
/ 1     2       2       2     |    0 \
0    -4    -2    -3    j    0
0     6       3       2     j    0
y 0    -4    -2    -3    |    0 /
/ 1    2    2    2
0    4    2    3
0    0    0    5
y 0    0    0    0
0\ 0
o o/
Z toho plyne, že x4 = 0, dále zavedeme parametr t, čili xa = t, x2 = —^t, %i = —t, zvolíme-li např. t = —2, dostáváme [Z (a) + Z(r)]± = [(2, 1, —2, 0)T], označme tento vektor u (Je vidět, že roviny jsou částečně rovnoběžné).
Nyní zvolíme libovolné body A G a, B G r, např. A = (4, 5, 3, 2)T, B = (1, -2, 1, -3)T, a označíme vektor A — B = x = (3,7, 2,5)T. Podle věty 4.5. je vzdálenost rovin rovna průmětu vektoru x do podprostoru [u]. Hledáme tedy kolmý průmět Px. Předpokládáme Px ve tvaru:
Px = au
9-9a
Px ± u    z toho plyne    (x, u) — a(u, u) = 0 0    a tedy    a = l    pak    P a; = w = (2,1, — 2, 0)T p(a, t) = \\Px\\ = 3
2. způsob:
Opět potřebujeme najít ortogonální doplněk součtu zaměření obou rovin, který jsme určili v předcházejícím výpočtu [Z(a) + Z(t)]1- = [(2,1, —2, 0)T], označme tento vektor u. Nyní hledáme body A0 G a a B0 G r jimiž se vzdálenost p(er, r) realizuje. Vektor A0 — B0 je kolmý k rovině a i r a tedy A0 — i?o G [-^(c) + Z(r)]-1-, tzn. je lineární kombinací vektoru báze [Z(a) + Z(r)]x
A0 — B0 = ku.
Dále víme:
4) = (4,5,3,2) + t(l,2,2,2) + s(2,0,2,l)
B0 = (1, -2,1, -3) + r(2, -2,1, 2) + p(l, -2, 0, -1)
a tedy    (4, 5, 3, 2)+í(l, 2, 2, 2)+s(2, 0, 2,1)-(1, -2,1, -3)-r(2, -2,1, 2)-p(l, -2, 0, -1) =
= fc(2,1,-2,0).
Dostáváme tedy soustavu rovnic:
2k      +p    +2r    -2s     -t     =    3
fc      -2p    -2r              -2í    =    7
-2fc               +r     -2s    -2í    =    2
-p    +2r    -ls    -2í    =    5
38
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace
/ 2	1	2	-2	-1    |	3\			/s	1      2-2-1	|	3   \	
1	-2	-2	0	-2	7			0-5-6     2     -3			11	
-2	0	1	-2	-2	2	r^		0     1      3-4-3			5	r^j
V o	-1	2	-1	-2	5 /        V 0   -1     2     -1   -2					1	5   /	
í2	1	2	-2	-1	I    3   \        / 2     1      2     -2   -					-1	1     3   \	
0	-5	-6	2	-3	11				0-5-6     2     -	-3	11	
0	0	9	-18	-18	36				0     0       1     -2   -	-2	4	
\o	0	1	-1	-1	2	y			v 0     0      0       1	1	-	2/
zvolíme např. t = 1, pak s = —3, r = 0, p = —4, k = 1. A tedy
Ao - Bo = lw = (2,1, -2, 0)T    z toho plyne
p(er, r) = ||w|| = 3 ,
dále můžeme taky určit body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje:
A0 = (4, 5, 3, 2) + (1, 2, 2, 2) - 3(2, 0, 2,1) = (-1, 7, -1,1)T
B0 = (1, -2,1, -3) - 4(1, -2, 0, -1) = (-3, 6,1,1)T
Zde by nás mohla zmást volba t = 1, zkusme tedy, co se stane, když zvolíme t = 2, pak s = —4, r = 0, p = —5, k = 1. Hodnota A; se nezměnila a nezmění se tedy ani hodnota vzdálenosti.
A          d    _ i„. _ /o   i        on\T
10
An
Bo = lw = (2,1, -2, 0)J    z toho plyne
p(er, r) = ||w|| = 3 ,
(4, 5, 3, 2) + 2(1, 2, 2, 2) - 4(2, 0, 2,1) = (-2, 9, -1, 2)T
Bo = (1, -2,1, -3) - 5(1, -2, 0, -1) = (-4, 8,1, 2)T
Jinou volbou se vzdálenost nezmění, pouze se změní body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje. To znamená, že vzdálenost se může realizovat v nekonečně mnoha bodech (to odpovídá nekonečně mnoha volbám parametru), což je způsobeno tím, že roviny jsou částečně rovnoběžné.
3. způsob:
Budeme potřebovat bázi součtu zaměření. Snadno zjistíme, že je to např. Z(a) + Z(t) =
[(1, 2, 2, 2)T, (2, 0, 2, 1)T, (2, —2, 1, 2)T], označme tyto vektory postupně V\, V2, V3.
Nyní hledáme body A0 G a a Bq G r jimiž se vzdálenost p(a, r) realizuje. Vektor A0 — B0
je kolmý k rovině o i r a tedy A0 — Bo je kolmý k Z (a) + Z(r), tzn. je kolmý k vektorům
báze Z(a) + Z(t), tedy A0 — B0 _L Vi, A0 — B0 _L w2, A> _ B0 _L w3.
Dále víme:
4) = (4,5,3,2) + t(l,2,2,2) + s(2,0,2,l)
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
39
4	8	-13	-4    |	-4
8	9	-8	-1	-15
13	8	-4	5     1	-31
Bo = (1, -2,1, -3) + r(2, -2,1, 2) + p(l, -2, O, -1) a tedy    A0 - B0 = (3, 7, 2, 5) + í(l, 2, 2, 2) + s(2, O, 2,1) - r(2, -2,1, 2) - p(l, -2, O, -1) Dostáváme tedy soustavu rovnic:
(Ao-Bo^n) = 0 (A0-B0,v2) = 0 (Ao-B0,v3)   =   0
13í +8s -Ar +5p = -31 8í +9s -8r -p = -15 At    +8s   -13r   -Ap   =    -A
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace
4     8     -13   -4 0   -7     18      7 0     8     -17   -8
4 8 -13 -4 | 0 -7 18 7 | 0     0      25      0|
z toho plyne r = 0, zvolíme p = 1, pak s = 2, í = —4. A tedy
A0 = (4, 5, 3, 2) - 4(1, 2, 2, 2) + 2(2, 0, 2,1) = (4, -3, -1, -A)T
B0 = (1, -2,1, -3) + (1, -2, 0, -1) = (2, -4,1, -4)T
z toho plyne
Ao-B0 = (2,l,-2,0)T
p(cr,r) = ||A, - B0\\ = 3.
Volba za p opět není jednoznačná, zvolíme-li jinak, dostaneme jiné body, ve kterých se vzdálenost realizuje, ale hodnota vzdálenosti se nezmění.
Úloha 3: Určete úhel přímky p : (1, 2, 3, 4) + t(—3, 15, 1, —5) a podprostoru B : (0, 0, 0, 0) + r(l, -5, -2,10) + s(l, 8, -2, -16) v E4.
Řešení: Označme vektor, který generuje zaměření přímky p, u a vektory, ktaré generují zaměření podprostoru B, postupně x, y. Podle věty 4.8. je úhel p a B roven úhlu, který svírá vektor u a jeho ortogonální projekce Pu do Z(B). Hledáme tedy Pu:
Pu = (i\x + (i2y
u — Pu ± B    z toho plyne    u — Pu ± x A u — Pu ± y
40
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(u,x)   —ai(x,x)    —a,2(x,y)   =   0 (u,y)   -ai{x,y)    -a2{y,y)   =   0
po vyčíslení skalárních součinů dostáváme:
-130   -130ai    +195a2   =    0 195     +195ai    -325a2   =   0.
Vyřešením této soustavy dostáváme (i\ = — 1, a2 = 0, a tedy
Pu = -x = (-1,5,2,-10)T
z toho plyne
cos (f)(p, B) <f>(p, B) --
\\Pu\\	/130 " V26Ö "	_V2
\\u\\		2
7V 4		
Úloha 4: Nalezněte odchylku <j) roviny o : (2, 1, 0, 1) + í(l, 1, 1, 1) + s(l, -1, 1,-1) a roviny r : (1, 0, 1, 1) + r(2, 2, 1, 0) + p(l, -2, 2, 0) v prostoru E4.
Řešení: Budeme postupovat podle definice 4.7. Nejprve budeme hledat průnik zaměření obou rovin Z (a) f] Z{f).
í(l, 1,1,1) + s(l, -1,1, -1) = r(2, 2,1, 0) + p(l, -2, 2, 0)
/l	1	-2	-1	o\		(l	1	-2	-1	o\
1 1	-1 1	-2 -1	2 -2	0 0	r-^   .  .   .   r^j	0 0	-2 0	0 1	3 -1	0 0
li	-1	0	0	o^		\0	0	0	0	0/
tzn. r = p a Z (o-) n Z(r) = [(1, 0,1, 0)T].
Dále musíme najít P = Z (a) n (Z (a) n Z(r))± a Q = Z (t) n (Z (a) n Z (r))-1. Jde vidět, že (Z(o-) n Z(r))x = [(1, 0, -1, 0)T, (0,1, 0, 0)T, (0, 0, 0,1)T]. Pak najdeme P:
h(l, 0, -1, 0) + fc2(0,1, 0, 0) + fc3(0, 0, 0,1) = í(l, 1,1,1) + s(l, -1,1, -1)
/l     0   0   -1    -1    |   0 \
0     10-1     1     jo
—1   0   0   —1    —i    i   0
\ o    oi-i    i    joy
r^j   •   •  •   r^j
/ 1   0   0   —1   —1   |   0 \
0   10-1     1     jo
0   0   1-1     i     jo
\ o   o o   i      i     j o y
Tzn. t = — s a P = [(0,1, 0,1)T], označme tento vekt Nyní najdeme Q:
or a.
fci(l, 0, -1, 0) + fc2(0,1, 0, 0) + fa(0, 0, 0,1) = r(2, 2,1, 0) +p(l, -2, 2, 0)
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
41
/   1     0   0	-2	-1	o\
0     1   0	-2	2	0
-10   0	-1	-2	0
/ 1   0   0   -2   -1
0   10-2     2 0   0   10      O
V  o   o   i    o     o    J   o y                   \ O  O  O    1     1
Tzn. r = —p a Q = [(1, 4, —1, 0)T], označme tento vektor b.
Úhel daných rovin je pak roven úhlu, který svírají vektory a a b.
0\ 0
o o/
COS(f) =
(a,b)
V^VlŠ     3
Cvičení
1.  V euklidovském prostoru E4 resp. E5 určete vzdálenost bodu A od podprostoru P.
(a)  A = (4,1, -4, -5); P : (3, -2,1, 5) + í(2, 3, -2, -2) + s(4,1, 3, 2)
(b)  A = (1, 1, -2, -3, -2); P : (3, 7, -5, 4, 1) + í(l, 1, 2, 0, 1) + s(2, 2, 1, 3, 1)
(c) A = (2, 1, -3, 4); P : 2xi - 4x2 - 8x3 + 13x4 + 19 = 0, xx + x2 - x3 + 2x4 - 1 = 0
(d) A = (1, -3, -2, 9, -4); P : xi - 2x2 - 3x3 + 3x4 + 2x5 + 2 = 0, Xi - 2x2 - 7x3 + 5x4 + 3x5 — 1 = 0
(e) A = (2, 1, 4, -5); P : (1, -1, 1, 0) + í(0, 1, 2, -2)
(f) A = (-9, 2, 1, -5); P : (1, 2, 0, 0) + í(-l, 1, 1, 3) + s(0, -2, 1, -1)
(g)  A= (4,2,-5,1); P : 2xi-2x2 + x3 + 2x4-9 = 0, 2xi -4x2 + 2x3 + 3x4 - 12 = 0 (h) A = (2, 1, -1, 0); P : 3xi + x3 - x4 + 6 = 0
2.  Určete vzdálenost přímek p, q v euklidovském prostoru En (pro n = 3, 4, 5).
(a) p:(9,-2,0) + í(4,-3,l); g:(0,-7,2) + s(-2,9,2)
(6,3,-3) + í(-3,2,4); (-l,-7,4) + s(-3,3,8)
(2,-2,l,7) + í(0,4,-2,-3); (3,0,0,-l) + s(-2,0,l,l)
(7,5,8,l) + í(2,0,3,l);
Xi — 4x3 + 7 = 0, x2 + 2x3 — 5 = 0, x4 — 3 = 0
(-3,2,3,3) + í(-l,l,l,0); (6,5,7,3) + r(0,0,-l,2)
3.  Určete vzdálenost přímky p a roviny r v euklidovském prostoru E4 resp. E5.
(a) p:(l,3,-3,-l) + í(l,0,l,l);
r : —Xi + X2 + X3 + X4 = 3; —3x2 + 2x3 — 4x4 = 4
(b)  p Q
(c)  p Q
(d)  p Q
(e)  p Q
42
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(b) p
(c) p
(5,4,4,5) + r(0,0,l,-4);
(4,l,l,0) + t(l,-l,0,0) + s(2,0,-l,0)
(l,6,-6,4) + í(l,-5,8,5);
(6, 3, -5, 5) + s(l, -2, 2, 2) + r(2, -1,-2,1)
4.  Určete vzdálenost rovin r a er v euklidovském prostorní^ resp. E5, je-li:
(a)   t : X\ + X3 + X4 — 2^5 = 2; X2 + 0:3 — £4 — £5 = 3; Xi — X2 + 2^3 — £5 = 3; a : (1, -2, 5, 8, 2) + í(0,1, 2,1, 2) + s(2,1, 2, -1,1)
(b)  r : X\ + X2 + 2^3 = 4; 2a; 1 + 3^2 + 4^4 = 9; o : X\ — 2x2 — 2a;4 = —25; X\ — x3 + X4 = 15
(c)  r : (5, 0, -1, 9, 3) + í(l, 1, 0, -1, -1) + s(l, -1, 0, -1,1); a : (3, 2, -4, 7, 5) + r(l, 1, 0,1,1) + w(0, 3, 0,1, -2)
(d)  r : (4, 2, 2, 2, 0) + í(l, 2, 2, -1,1) + s(2, 1, -2, 1,-1);
a : Xi — X2 = 0; Xi — X3 + X4 + X5 = —l; X3 + X4 — X5 = 4
(e) r : (0, 2, 6, -5) + í(-7, 1, 1, 1) + s(-10, 1, 2, 3);
a : X\ + 3^2 + X3 + X4 = 3; Xi + 3^2 — X3 + 2^4 = 5
(f) r : (-4, 3, -3, 2, 4) + í(2, 0, 1, 1, 1) + s(-5, 1, 0, 1, 1);
a : X\ — 2x2 + x3 — X4 + 3a;5 = 6; Xi — x3 — X4 + 3x5 = 0
5.  Určete odchylku (f> přímky p = {A, [u]} a podprostoru B v E4 resp. £"5.
(a)  u
(b)  w
(c)   w
(d)  u
(e)   w
(f)  u
(g)   M
(h) U (Í) U (j)   «
1, 0, 3, 0)T; B : (1,1,1,1) + í(l, 1, 4, 5) + s(5, 3, 4, -3) + r(2, -1,1, 2) 1,2,-2,1)T;5:(1,1,1,1) + Í(2,-2,1,-1)
1, 3, —1, 3)T; B : 3x\ + X3 — Ax^ = 0, 2x\ — x2 — 3x4 = —1
3,1, V2, -2)T- B : (1, 2,1, l)+í(-l, 1, -1, 0)+s(-l, 2, -2, l)+r(2, -1, 2,1)
2, 0, 2, -1)T; B :3xi- 2x2 + 2x3 + x4 = 7 2, 0, 0, 2,1)T; ß : xx + a;2 + x3 + a;5 = 7
0,1, -1, 0, 0)T; B : (2,1,1, 2, 2)+í(2,1, 0,1, -l)+s(3, 2, 0, 0, l)+r(0,1, 0,1, 0)+
p(l,0,0,l,3)
(3, 4, 4, 3)T; ß : (2, 0, 0,1) + í(-2, 0, -1, 0) + s(l, 0, 3, 0)
(3, 4, 4, 3)T; ß : (2, 9, 0, 6) + í(0,1, 0, 5) + s(0, 2, 0, -7)
1, -1,1, 3)T; B : (3,1, 4, 5) + í(2, -2, 3, 0) + s(-l, 1, -2, 0)
6.  V E3 určete odchylku rovin rau.
(a)  t : 2x - y + z - 1 = 0; a : x + y + 2z + 3 = 0
(b)  t :x + 2z-6 = 0; a :x + 2y-4 = 0
7.  Určete odchylku podprostoru r/ & v v E4 resp. E5.
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
43
(a)   r] v
(b)   r] v
(c)   r] v
(l,2,5,l) + í(l, l,0,0) + s(3,3,0,1) (l,5,4,l) + r(0,0,0,-l)+p(2,0,0,l)
(4,2,0,l,0) + ŕ(l,l,l,0,0) + s(2,2,2,0,3)
(1,1, 0,1, 0) + r(0,1, O, 0,1) + í>(1, 1,1,1, 0) + q(l, 1,1,1,1)
(7,3,5,l) + í(0,0, l,0) + s(2,2,1,0) (l,3,4,l) + r(l,0,0,0)+p(3,0,l,0)
8.   Na přímce p : x\ + %2 + x± — 7 = O, x\ + 2x^ + x± — 7 = O, 2xi — X2 + 3^3 + £4 — 9 = O nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů A = (—1,1,1,1)T a B = (3, —1, —2, 2)T v euklidovském prostoru £4.
9.   Na přímce p : x + y + 2z = 1, 3x + 4y — z = 29 nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů A = (3,4,11)T a B = (—5, —2, —13)T v euklidovském prostoru E3.
10.   Nalezněte podprostor C v E5, který prochází bodem Q = (1,0,1,0,1)T a je kolmý k podprostoru
19^1   +11x2   —4x3   +5^4   +£5   =   3 7^1     +2a;2                  +^4               =   1   •
11.   Nalezněte podprostor C v í^, který prochází bodem Q = (—1, 2, 5,1, 4)T a je kolmý k podprostoru B danému bodem A = (3, 2,1,1,2)T a vektory u = (7, 2,1,1, 3)T, W = (0,4,-2,l,-lf.
12.   Bodem Q = (2,1, —3)T v E3 veďte v rovině p : 3x — 2y + z = 1 přímku g, která je kolmá k přímce p : (4, 5, 3) + t(—6, 6, 1).
13.   V E3 nalezněte rovinu p rovnoběžnou s rovinou a : 3x — 6y — 2z + 14 = 0 a mající od ní vzdálenost 3.
14.   V E3 nalezněte rovinu p rovnoběžnou s rovinou a : 2x — 2y — z — 7 = 0a mající od ní vzdálenost 5.
15.   Jsou dány body A = (—4,1, 2) a B = (3, 5, —1) v E3. Určete bod C, víte-li, že střed dvojice bodů AC leží na přímce p : (1, 0,1) + í(l, 1, 0) a střed dvojice bodů BC leží v rovině p : x — y + 7z + 1 = 0.
16.   Napište rovnici geometrického místa bodů v E3 stejně vzdálených od bodu A = (a, f, a) a bodu B = (0, f, 0).
17.   Na přímce q : (1,-1,0) + í(l, — 2, — 3) v E3 určrte bod Q mající od roviny p : 2x -\- y — z -\- 2 = Q vzdálenost \/6.
18.   Na přímce q : x — y + z — 3 = 0;2x — 3y + 3z + 6 = 0 v E3 určete bod Q mající od roviny p : x — 2y -\- z — 2 = 0 vzdálenost -y=.
44                                                                         I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
19.   Najděte rovinu v E3 rovnoběžnou s rovinami p : 3x + 2y — 2z — 3 = 0 a a : 6x + 4y — Az + 1 = 0, která dělí vzdálenost mezi nimi v poměru 2:3.
20.   Odvoďte vztah pro vzdálenost bodu A = (yi,..., yn) od nadroviny N : a\X\ + • • • + anxn + a0 = 0 v En.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice                                                           45
5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE
Teorie
5.1.   Definice. Lineární operátor je lineární zobrazení <f> : V —► V, kde V je vektorový prostor.
5.2.  Definice. Nechť (f> : V —► V je lineární operátor, a = (t>i, t>2, • • •, vn) báze vektorového prostoru V. Pak matice operátoru (f> v bázi a je matice {(f>)a,a = (aíj), kde ve sloupci j jsou souřadnice vektoru (f>{vj) v bázi a.
5.3.  Věta. Nechť (f> : V ^ V je lineární operátor, a = (ví, v2, ■ ■ ■, w„), ß = (ui,u2, ■ ■ ■, un) jsou dvě báze vektorového prostoru V. Pak pro matice zobrazení <f> v bázích a a ß platí tento vztah:
kde {id)aß je matice přechodu od báze ß k bázi a.
5.4.   Definice. Řekneme, že matice A a. B jsou poáobné, existuje-li regulární matice P taková, že B = P"1 • A ■ P.
5.5.  Definice. Nechť V je vektorový prostor a <f> : V —► K je lineární operátor. Podprostor í/ C F se nazývá invariantní podprostor operátoru (f>, jestliže (f>{U) C [/.
5.6.  Definice. Vektor w ^ o, w G F, kde F je vektorový prostor, se nazývá vlastní vektor lineárního operátoru (f>, existuje-li číslo X E K takové, že
4>{u) = \u
Číslo A se pak nazývá vlastní číslo.
5.7.  Poznámka. Je-li matice lineárního zobrazení A, pak vlastní vektory x jsou nenulová řešení rovnic
Ax = Xx.
Tato soustava je ekvivalentní se soustavou
{A - XE)x = 0, což je homogenní soustava rovnic, která má nenulové řešení právě tehdy když
det{A - XE) = 0
5.8. Definice. Rovnice det(A — XE) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A.
46
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
5.9.  Věta. Vlastní čísla jsou právě kořeny charakteristické rovnice. Je-li číslo Ao vlastní číslo, pak vlastní vektory jsou řešením soustavy rovnic (A — XoE) = 0.
5.10.   Definice. Algebraická násobnost vlastního čísla je násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristické rovnice. Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze pod-prostoru Kei((f> — Aid).
5.11.  Věta. Je-li A = a + bi vlastní číslo reálné matice A s vlastním vektorem u = U\+iu2, kde U\,u2 G Rn, pak A = a — bi je taky vlastní číslo s vlastním vektorem ü = U\ — iu2.
5.12.   Poznámka. Podprostor generovaný vektory U\,u2 v Rn z předchozí věty je invariantní podprostor zobrazení <f>. Platí, že
A ■ (u\ + iu2) = (a + ib){u\ + iu2).
Rozepsáním na reálnou a imaginární část rovnice dostáváme
Zobrazení (f> má tedy v bázi [u\, u2] matici
• U\   =   aui	-bu2
■ u2   =   bu\	+au2   .
] matici	
í a   —b	\
y b    a	)■
Číslo a + ib můžeme napsat v goniometrickém tvaru a + ib = \/a2 + b2 (cos a + i sin a), pak má matice zobrazení tvar
/ o , 70 ( cos a   — sin a V a  + b2
sin a     cos a
Tento operátor působí jako otočení o úhel a složené se stejnolehlostí na dvourozměrném invariantním podprostoru zobrazení <f>.
5.13. Věta. Nectí <f> je lineární zobrazení a nectí a = (v\,v2,..., vn) je báze tvořená vlastními vektory příslušnými vlastním číslům \\, \2,..., \n. Pak matice lineárního zobrazení v této bázi má tvar
(4>)c
/Ai    0    ...    0   \
0    A2   ...    0
0     0    ...   Xn J
5.14.  Věta. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.
5.15.  Definice. Nechť U a V jsou dva euklidovské vektorové prostory. Zobrazení (f> : U V se nazývá   ortogonální, právě když ((f>(ui), (f>(u2)) = (u\, u2) pro \/u\, u2 G U.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
47
5.16.  Věta. Nectí (j) : U —► U je lineárni operátor. Pak <f> je ortogonální zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A-1 = AT.
5.17.  Definice. Matici A, pro kterou platí A~x = AT, nazýváme   ortogonální maticí
5.18.  Definice. Nechť U a V jsou dva unitární vektorové prostory. Zobrazení <f> : U —► V se nazývá  unitární právě když ((f>(ui), (f>(u2)) = (u\,u2) pro \/u\,u2 G U.
5.19.   Věta. Nectí (f) : í/ —► í/ je lineární operátor. Pak <f> je unitární zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A-1 = A  .
5.20.  Definice. Matici A, pro kterou platí A~l = A , nazýváme   unitární maticí.
5.21.   Věta. Je-li matice A unitární, pak | det A\ = 1 a její vlastní čísla mají absolutní hodnotu rovnu 1.
5.22.  Věta. Nectí (f) : U —► U je unitární zobrazení. Pak v U existuje ortonormální báze a tvořená vlastními vektory taková, že v  této bázi má matice zobrazení diagonální tvar
{4>)a,a =
/Ai    0    ...    0  \
0    A2   ...    0
\    0        0       ...     Xn   J
5.23. Poznámka. Každá ortogonální matice A je unitární. Má-li A reálná vlastní čísla, pak jsou to 1 nebo -1.
Má-li komplexní vlastní číslo a + ib, pak má také vlastní číslo a — ib, a protože |a + i6| = 1, tak a2 + b2 = 1. Je-li u\ + iu2 vlastní číslo, pak u\ — iu2 je také vlastní číslo. Z toho, že (u\ +iu2) ± («i — iu2) plyne, že ||«i|| = ||«2|| a «i _L u2. u\,u2 tedy tvoří ortogonální bázi dvourozměrného invariantního podprostoru.
A(u\ + iu2) = (a + ib)(u\ + iu2)
Z toho plyne
Au\ = au\ — bu2, Au2 = bu\ + au2 .
V bázi ui, u2 je tedy matice tohoto zobrazení (tuto bázi nazýváme kanonická báze)
a   —b\{ cos a   —sin a b    aj      y sin ck     cos ck
Toto zobrazení je tedy otočení o úhel ck .
Z toho plyne, že každá ortogonální matice řádu 3 reprezentuje geometricky otočení kolem
osy složené případně se symetrií podle roviny kolmé k této ose procházející počátkem.
48                                                                   I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
___________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru zadaného maticí
A =
ve standardní bázi.
Řešení: Podle věty 5.9. jsou vlastní čísla řešením charakteristické rovnice det(A — \E) = 0. Spočteme tedy tento determinant, položíme ho roven nule a řešíme charakteristickou rovnici.
/l-A     -1         1     \
det        -1     1-A       1         = 0
\   -1       -1     3-A/
z toho plyne
(1 - A)2(3 - A) + 1 + 1 + (1 - A) + (1 - A) - (3 - A) = 0
(1-A)(2-A)2 = 0
Jako řešení charakteristické rovnice dostáváme dvě vlastní čísla, Ai = 1 s algebraickou násobností 1, A2 = 2 s algebraickou násobností 2. Podle věty 5.9. jsou vlastní vektory řešením homogenní soustavy rovnic (A — \E) = 0.
Pro Ai = 1 má homogenní soustava tvar
0	-1  1	1  0
-1	0     1	1  0
-1	-1   2	1  0
1	0	-1	1  0
0	1	-1	1  0
0	-1	1	1  0
Zavedeme parametr t, X3 = t, pak X2 = t, x\ = t.
Řešením je podprostor generovaný vektorem (1, 1, 1)T, tedy podprostor vlastních vektorů
[(1,1, l)r]. Geometrická násobnost vlastního čísla Ai je 1. Pro A2 = 2 má homogenní soustava tvar
-1  1	1  0
-1  1	1  0
-1  1	1  0
-1	-1  1	1  0
0	0     0	1  0
0	0     0	1  0
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
49
Zavedeme parametry í a s, I3 = í, I2 = s, pak x\ = t — s.
Řešením je podprostor generovaný vektory (1, 0, 1)T, (—1, 1, 0)T, tedy podprostor vlastních
vektorů
[(1,0, If, (-1,1, Of].
Geometrická násobnost vlastního čísla A2 je 2 .
Všimněte si, že v bázi a :   [(1,1, lf, (1, 0, lf, (—1,1, Of] je matice daného lineárního zobrazení diagonální
10   0
0   2   0
0   0   2
Úloha 2: Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů matice
/    I       i      VI   \ A =
2        2 1        1
VŘ 2
zjistěte, jaké geometrické zobrazení euklidovského prostoru R3 popisuje lineární operátor daný touto maticí. Určete matici operátoru ve vhodné ortogonální bázi.
Řešení: Lehce ověříme, že A ■ AT = E a tedy matice A je ortogonální. Nejprve hledáme vlastní čísla, to znamená, že najdeme charakteristický polynom.
det
'   2 - A       2
1                   *             A
2            2 - A
2               2
V
Ví   \
2
_vl
2
-a(Í-a)» + I + I + (I-a) + Ia
-A3 + A2 - A + 1
Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla
Ai = 1        A2 = í        A3 = -í. Dále hledáme vlastní vektory, tj. řešíme vždy homogenní soustavu rovnic (A — XE) = 0. Pro Ai:
/
_i          1
2          2
1         _i
2               2 VI    VI
2           2
^     I    0 \
2         '      u
2 -1
0
V-^  ^   -1   1 o y
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(1,1, 0f ]. Pro A2 = i:
í
\
1
2
VŘ 2
1
2
VI
2
^      I    o \
2             I       w
_VI      I     Q
2          I       w
^r        -l
°/
2     i \-%
0
1
2
1-i
y/2- VŽt
VŘ 2
0
50
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(—1,1, V2i)T].
Podle věty 5.11. je podprostor vlastních vektorů pro A3 roven [(—1, 1, — \/2i)T].
Podle poznámky 5.21. zvolíme novou reálnou ortonormální bázi
a =
■f,f,o|   ,(0,0,lf
Protože A2 = i, tak cosck = 0 a siná = 1 z toho plyne, že se jedná o otočení o úhel | kolem osy dané směrem (1,1, 0)T, musíme ale ještě určit orientaci otočení. Z matice zobrazení je vidět, že druhý vektor báze se zobrazí na třetí vektor báze a třetí vektor báze se zobrazí na vektor opačný k druhému vektoru báze. Otočení je tedy ve směru od druhého ke třetímu vektoru báze. Tvar matice operátoru v nové bázi je
Úloha 3: Ve standardních souřadnicích napište matici zobrazení, které je otočení o úhel ^ kolem přímky x = 0, y — z = 0.
Řešení: Nejprve určíme matici v jisté ortonormální bázi ß, ve které má matice tvar
1      0            0
0   cos a   — sin a
0    sin CK       COSCK
Zobrazení je otočení kolem přímky x = 0, y — z = 0, první vektor báze ß tedy bude jednotkový směrový vektor této přímky (0, 2 ' 2 )T' ^^ ß doplníme na ortonormální bázi:
ß:
o,*4)T,L*-4\T,M«r
(0)
ß,ß
1	0	0        \	/l	0	0
0	cos |	-sinf       =	= °	0	-1
0	sin |	cos f    /	\o	1	0
Matice zobrazení ve standardní bázi pak je
(4>)e,e = (id)e>/? • (<j))ßß ■ (id)Äe = (id)e>/? • (<j))ßß ■ (id)Teß
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
51
kde (id)e>/3 je matice přechodu od báze ß k bázi e.
(id) 6,/? =
Z toho plyne
(0)e,e =
Cvičení
1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru daného matici:
A =
2
5
-1 -3
2 3
B =
■1     0
Ľ
7 -12 6 10 -19 10 12   -24   13
E
G =
H =
C =
F
1 =
4   -5   2 \	
5-7   3	
6-94/	
/ 3   -1   0	0   \
1     1     0	0
3     0     5	-3
\ 4   -1   3	"1/
4   2   -5 \	
6   4-9	
5   3-7/	
/l
J
\1
-1
1 \
-1 -1
1 J
2. V R3 určete podprostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě A = 3.
A
B
C
52
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
3. Zjistěte, zda je daná matice podobná diagonální matici nad poli Q, R, C. (To nastane právě tehdy, když vlastní vektory generují celý prostor.)
A =
5	2	-3
4	5	-4
6	4	-4
B =
4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic.
■1     1
A
0
2 0
B
1
4     7   -5 -4   5     0 1     9   -4 y	)	C	/ 4   2 =      64 \ 5   3	-5 -9 -7
tory matic.				
/   1      2 -1   -2 0      0 V   1      2	0 0 2 0	3   \ -3 0 3   )		
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice lineárního operátoru. U vlastního čísla určete jeho algebraickou a geometrickou násobnost a zjistěte, zda je matice podobná nějaké diagonální matici.
A =
1 0
D =
í -
1
0
V o
B =
C =
0
o
2 2
-1 1
0   \
-2 0
-1/
£ =
/ 2   0   2     0   \
12   2-2
0   0   2     0
y o o   i 2 y
6. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matice na parametrech a, b.
A
B
7.   Zjistěte, jak vypadají a jaká geometrická zobrazení určují všechny ortogonální matice řádu 2.
8.  Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů najděte matici lineárního operátoru ve vhodné bázi, pomocí které určíte, o jakou geometrickou transformaci se jedná, je-li operátor zadán ve standardní bázi maticí:
A
c = l
2 2
2 2
■1
2 2
B = \[	^ y/2	1 1 -V2	-V2 0
H	(   3	1 3	v^6 2
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
53
E
F
G
í   1
V
1     1
1   1    -1
-1  1    -1
-1  1     1
1 \
-1 1
-1/
H
(l     1       1
1     1     -1 1   -1     1
V i -i -i
2      2     -
-1     2
1   \
-1 -1
1   J
-1
1
4
-8 4 4 7 1     4
J
3 6
-2     6
3 6
K
3
V2          U          V2
1            4            1
3^2      3^2       3^2
2          _1          2
3               3          3
L
/
V
3           1         y^      \
4            4           4 1           3            V6 4           4             4 VE     VE        1
"4         4           2
9. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů zjistěte o jakou geometrickou transformaci euklidovského prostoru R3 se jedná.
A
'       w               2               2
VŘ      l        _I
2           2               2
V2        _1            1
2             2           2
V
	í	i 2	1 2	V2     \ 2		íl o	
B =		1 2	1 2	V2 2	c =	sx	0
	\	2	2	0       J		V! o	3 5
/
10. Najděte ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory a matici v této bázi unitárního operátoru daného maticí ve standardní bázi:
A - J-
C = h
l + i       1
-1     \-%
2 + 3?     -v^Š
v^      2-3?
5 = é
^-7S
4 + Zi        Ai
-At      A-?n 6 + 2i   —2 — 6i
í       1 -1    -í
11.   Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel 7T kolem přímky x — z = 0, y = 0.
12.   Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel | kolem přímky x + y = 0, z = 0, přičemž /(—l, 1,1) = (a, b, 0), kde a + b > 0.
13.   Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je symetrií podle roviny \/Šy — x = 0.
14.   Lineární zobrazení v R3 je otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1, 0)T takové, že /(l, —1, 0) = (0, 0, \/2). Najděte matici zobrazení ve standardní bázi.
15.   V Rn napište matici symetrie podle roviny kolmé k vektoru v v ortonormální bázi
[v,v2,...,vn].
J
54
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
16. Definujte na R3 dva skalární součiny (, }i a (, }2 tak, aby zobrazení (f> : (R3, (, }i) (i?3, (, )2), (j)(xi,X2, xa) = (xi + x2 + X3, -Xi + X2-, X3), bylo ortogonální.
6. Symetrické matice a metrická klasifíkace kuželoseček                                                      55
6. SYMETRICKÉ MATICE A METRICKÁ KLASIFIKACE KUŽELOSEČEK _________________________________________________________Teorie
6.1.  Definice. Reálná matice A se nazývá symetrická, právě když A = AT.
6.2.  Věta. Pro každou reálnou symetrickou matici A existuje ortogonální matice P tak, že P~l ■ A ■ P = PT ■ A ■ P je diagonální.
6.3.  Věta. Každá kvadratická forma f na euklidovském prostoru V má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f(x) = \\xf + A2X2 + • • • + A„:r2.
6.4.  Věta. (Metrická klasifikace kuželoseček) Nechť ve standardní bázi v R2 je kuželosečka zadaná rovnicí k(x) = anx\ + 2a\2X\X2 + 022^2 + 2a\X\ + 202^2 + ao = 0. Pak existuje ortonormální afínní báze, které říkáme kanonická báze, v níž je tato kuželosečka dána jednou z rovnic:
1.	e)2 + (f)2 + l =	= 0	prázdná množina
2.	(f)2 + (f)2 = o		bod
3.	(^)2 + (f)2-l =	= 0	elipsa
4.	(f)2-(f)2-l =	= 0	hyperbola
5.	(f)2-(f)2 = o		dvě různoběžky
6.	(^)2 - 2py2 = 0		parabola
7.	(f)2-l = 0		dvě rovnoběžky
8.	e)2+i = o		prázdná množina
9.	l/? = 0		přímka
Řešené příklady
Úloha 1: Najděte ortonormální bázi, v níž má matice zobrazení <f>(x) = A ■ x,
A
diagonální tvar.
56
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Řešení: Matice A je symetrická a podle věty 6.2. ji lze diagonalizovat tak, že na diagonále jsou vlastní čísla a báze, ve které má matice tento tvar, je tvořena vlastními vektory. Nejprve tedy řešíme charakteristickou rovnici:
(A-4)3-16-12(A-4) = 0
vlastní čísla tedy jsou Ai = 2, A2 = 8. Dále hledáme vlastní vektory.
Pro Ai = 2:
Zavedeme parametry t a s, X3 = t, X2 = s, pak x\ = — t — s, nezávislou volbou parametrů dostáváme, že podprostor vlastních vektorů je generován vektory (—1, 1,0)T, (—1,0, 1)T, užitím Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu a normováním dostáváme ortonormální bázi tohoto podprostoru:
1      1
T
1         1      2
v6     v6  v6
T
Pro A,
8:
-4     2 2     -4 2       2
-4
-2	1	1	0
0	-3	3	0
0	3	-3	0
Zavedeme parametr t , X3 = t, pak X2 = t, x\ = t, volbou parametru dostáváme, že podprostor vlastních vektorů je generován vektorem (1, 1, 1)T, normováním dostáváme ortonormální bázi tohoto podprostoru:
1      1      1 V3'V3'V3
T
diagonální tvar matice je
a to v bázi
^- -i- 0
1___1_   _2_\       í J_   J_      1   A
Ve'    Vě' Věj   ' VV3' V3' Vš)
T
6. Symetrické matice a metrická klasifíkace kuželoseček
57
Úloha 2: Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice
k : x\ + x\ + Ax\%2 + 2x\ + 1 = 0, popřípadě určete její střed, osy a načrtněte obrázek.
/ i   2 \
Řešení: Matice kvadratické formy jel             ) a ta se dá podle věty 6.3. napsat v dia-
gonálním tvaru s vlastními čísly na diagonále. Hledáme tedy vlastní čísla a vlastní vektory, charakteristická rovnice má tvar
(l-A)2-4 = 0.
Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory tedy jsou:
Ai = — 1         příslušný normovaný vlastní vektor je u = ( 2 > — 2
A2 = 3         příslušný normovaný vlastní vektor je v = ( 2 '  2 )
T T
Nyní přejdeme k bázi a = [u, v], ve které má matice kvadratické formy tvar
-1   0 0     3
Přitom matice přechodu od báze a ke standardní bázi e má tvar (id)e;Q, = I      2^     i
2~      ~2~
a souřadnice X\, x2 ve standardní bázi spočítáme ze souřadnic yi, y2 v bázi a takto:
xi   =    &yi    +^y2
Převedeme rovnici kuželosečky do nových souřadnic yi, y2:
k(y) : -y\ + 3y22 + y/2Vl +y/2y2 + l = 0 .
Nyní ještě posuneme střed soustavy souřadnic tak, aby ležel ve středu kuželosečky. Doplníme tedy na čtverce a zavedeme nové souřadnice.
r        _     „           V2      _      V^™           V2~               V2
Z\    —   y\    —g-    —    ~xi    —yX2    —2~
Z2     =     y2      -^      =      &X!      +^X2     +^
58
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Jedná se tedy o hyperbolu, jejíž osy jsou přímky zadané parametricky S + tu a S + tv. Střed má souřadnice (zi, z-i) = (0, 0), (yi, y-i) = (^, — ^ ) a (xi, x-i) = (4, —I).
Cvičení
1. Najděte diagonální tvar symetrické matice.
A
1    2
2    4
1
5
C
D
E
( 4   4   0   0 \
4   4   0   0
0   0   0   0
V o    o    o    o y
F
1  1	1\		
1  1	1		
1  1	1/		
/ 2	-1	0	0   \
-1	2	0	0
0	0	2	-1
V o	0	-1	2   /
2. Najděte diagonální tvar symetrické matice a bázi, ve které má matice tento tvar.
A
D =
B
6      2^ \ 2s/Ž      7     J
£ =
C
6
F =
G =
/ 3   1   0   0 \
13   0   0
0   0   0   0
y 0   0   0   0 )
H =
( -7   24     0      0   \
24     7      0      0
0      0    -7   24
\   0      0     24     7  /
3.  Určete o jakou kuželosečku se jedná, případně určete její střed, osy a nakreslete obrázek.
(a)   k:Axy + 3y2 + 6x + Vly - 36 = 0
(b)   k : x2 + 6xy + 9y2 - Ylx + 24y + 15 = 0
(c)   k : x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y - 3 = 0
4.  Určete typ a kanonickou rovnici kuželosečky, případně nakreslete obrázek.
(a)   k:3x2 + lOxy + 3y2 - 2x - Uy - 13 = 0
(b)   k : 25x2 - Uxy + 25y2 + 64a; - 64y - 224 = 0
(c)   k:Axy + 3y2 + 16a; + I2y - 36 = 0
(d)   k:7x2 + 6xy - y2 + 28a; + 12y + 28 = 0
6. Symetrické matice a metrická klasifíkace kuželoseček
59
(e) k : 19a;2 + 6xy + Íly2 + 38a; + 6y + 29 = O
(f) k:5x2- 2xy + 5y2 - Ax + 20y + 20 = O
(g)   k:9x2 - 2Axy + 16y2 - 20a; + 110y - 50 = O (h)   k:9x2 + Ylxy + 4y2 - 24a; - 16y + 3 = O
(i)   k : 16a;2 - 24a;y + 9y2 - 160a; + 120y + 425 = O
5.   Určete typ kuželosečky a délky jejích poloos.
(a)   k : 41a;2 + 24a;y + 9y2 + 24a; + 18y - 36 = 0
(b)   k :8x2 + 4xy + 5y2 + 16a; + 4y - 28 = 0
(c)   k :4x2 + 24xy + Íly2 + 64a; + 42y + 51 = 0
(d)   k : 12a;2 + 26a;y + 12y2 - 52a; - 48y + 73 = 0
6.   Ověřte, že daná kuželosečka je parabola a určete její parametr.
(a)   k:9x2 + 2Axy + 16y2 - 120a; + 90y = 0
(b)   k:9x2 - 2Axy + 16y2 - 54a; - 178y + 181 = 0
(c)   k :x2 -2xy + y2 + 6x- Uy + 29 = 0
(d)   k:9x2 - 6xy + y2 - 50a; + 50y - 275 = 0
7.   Určete typ kuželosečky, případně délky jejích poloos a střed.
(a)   k:3x2 + Sxy - 3y2 - 1 = 0
(b)   k:5x2 + 6xy + 5y2 - 32 = 0
(c)   k:\x2-xy + \y2 - V2x - V2y + 3 = 0
(d)   k : xy + 3a; — 2y — 6 = 0
(e)   k:6x2 + Axy + 6y2 - 16 = 0
(f)   k:5x2 + 6xy + 5y2 - 8 = 0
(g)   k : x2 + 2\ßxy - y2 - 2 = 0
8.   Najděte ortonormální bázi kvadratické formy f(x, y, z) = 17a;2 + 4a;y — 4xz + 14y2 + 8yz+ 14z2, ve které má forma diagonální tvar, na euklidovském prostoru R3 se standardním skalárním součinem vzhledem ke standardní (rovněž ortonormální) bázi. Přitom jedno z vlastních čísel matice kvadratické formy je 18.
9.   Najděte ortonormální polární bázi kvadratické formy f(x, y, z) = 3x2 —4:Xy, ve které má forma diagonální tvar, na euklidovském prostoru R3 se standartním skalárním součinem vzhledem ke standardní (rovněž ortonormální) bázi.
60
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
7. JORDÁNŮV KANONICKY TVAR
Teorie
7.1. Definice. Jordánova buňka dimenze A; je čtvercová matice řádu k tvaru
Jfc(A) =
/ A   1   0   ...   0 \ 0   A   1   ...   0
\0   0   0   ...   X J
7.2. Poznámka. Jestliže lineární zobrazení <f> : V —► V má v nějaké bázi a = (vi,v2, ■ ■ ■, vn) matici buňku (4>)a>a = ^fc(A), pak platí
4>(vi)  =	Xvi		(4>-	- Aid)t>i   =	:             0
0M  =	f i + Xv2		(<t>-	- Aid)ü2   =	:        Vi
0M  =	V2 + Aw3	z toho plyne	(<t>-	- Aid)ü3   =	--     v2
4>{Vk)    =    Vk-i + \vk
((f) - \iď)vk    =   vk.
Posloupnost vektorů ví, v2, ■ ■ ■, vk nazýváme řetězec pro vlastní číslo A. V příkladech hledáme obráceně nejdříve řetězec pro vlastní číslo A a platí, že vektory řetězce jsou lineárně nezávislé a v bázi jimi tvořené má operátor matici ((f>)a,a = Jk(X)-
7.3.   Definice. Matice je v Jordánově kanonickém tvaru, jestliže je blokově diagonální s bloky tvořenými Jordánovými buňkami.
7.4.  Věta. Nectí V je vektorový prostor nad polem K dimenze n a nectí <f> : V —► V je lineární operátor, jehož charakteristická rovnice má n kořenů (včetně násobnosti), potom existuje taková báze a ve V, že ((f))a,a Je matice v Jordánově kanonickém tvaru. Přitom tento tvar je určen jednoznačně až na pořadí Jordánových buňek.
7.5.  Věta. Pro výpočet Jordánova kanonického tvaru platí:
1.   Na úhlopříčce Jordánova kanonického tvaru jsou vlastní čísla lineárního operátoru, každé tolikrát, kolik je jeho algebraická násobnost.
2.   Jordánův kanonický tvar má tolik buněk, kolik existuje lineárně nezávislých vlastních vektorů.
3.   Velikost největší buňky pro vlastní číslo A je k právě tehdy, když k je nejmenší takové číslo, že hodnost matice (A — \E)k je rovna algebraické násobnosti vlastního čísla A.
7. Jordánův kanonický tvar                                                                                                     61
___________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: Najděte Jordánův kanonický tvar lineárního operátoru zadaného ve standardní bázi maticí
'32     -3
A=\   4   10   -12
3    6-7
Řešení: Charakteristická rovnice má tvar
(A - 2)3 = 0    z toho plyne    A = 2 .
Máme tedy jedno vlastní číslo, jehož algebraická násobnost je 3, na diagonále Jordánova
kanonického tvaru tedy budou podle věty 7.5. samé dvojky.
Podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu A = 2 je generován vektory:
u =(3,0,1)T    u = (-2,1,0)T
a podle druhého bodu věty 7.5. bude mít Jordánův kanonický tvar dvě buňky. Nyní jej už můžeme napsat:
'210
J=|   0   2   0
0   0   2
Dále musíme ale vypočítat ještě bázi, ve které má matice lineárního operátoru tento tvar. Pro druhou buňku podle poznámky 7.2. musíme najít řetězec vektorů báze. Pro první vektor báze, označme jej x, musí platit
(<f> - Aid)x = 0    z toho plyne    (A - 2E)x = 0 ,
x je tedy z podprostoru vlastních vektorů. Pro druhý vektor, označme jej y, pak musí platit
(A — 2E)y = x = au + bv.
Nevíme, na který vlkastní vektor se y zobrazí, musíme tedy psát x obecně jako lineární kombinaci vektorů báze podpostoru vlastních vektorů. Dále řešíme uvedenou soustavu rovnic (A — 2E)y = au + bv.
-3 -12 -9
Tato soustava má řešení pouze když:
3
-12a + 9b = 0 A -8a + 6b = 0    a tedy    a = -b
4
Zvolíme např. a = 3 a b = 4, pak řešením soustavy je např. vektor y = (1, 0, 0)T a vektor x = 3(3, 0,1)T + 4(-2,1, 0)T = (1, 4, 3)T
1	2	-3    |	3a -2b
0	0	o   1	-12a+ 96
0	0	o    1	-8a+ 66
62
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Třetí vektor báze z, příslušný druhé buňce velikosti jedna musí být podle poznámky 7.2. taky z podprostoru vlastních vektorů. Zvolíme jej tak, aby byl lineárně nezávislý s vektorem x i y, můžeme zvolit např. vektor u. Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordánův kanonický tvar, je:
a= [(1,4,3)T,(1,0,0)T,(3,0,1)T] .
Úloha 2: Najděte Jordánův kanonický tvar lineárního operátoru zadaného ve standardní bázi maticí
/   0     1   -1    1 \ -12-11 -1110      ' V-l    1     0     l J
Řešení: Charakteristická rovnice má tvar
(A - l)4 = 0    z toho plyne    A = 1
Máme tedy jedno vlastní číslo, jehož algebraická násobnost je 4, na diagonále Jordánova
kanonického tvaru tedy budou podle věty 7.5. samé jedničky.
Podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu A = 1 je generován vektory:
u=(l,l,0,0)T    u = (0,0,l,l)T
a podle druhého bodu věty 7.5. bude mít Jordánův kanonický tvar dvě buňky. Narozdíl od předchozího příkladu jej ale nemůžeme ještě napsat, neboť nevíme, jestli budeme mít dvě buňky velikosti dvě, nebo jednu buňku velikosti tři a jednu velikosti jedna.
Dále budeme počítat bázi, ve které má matice lineárního operátoru Jordánův kanonický tvar. Pro první buňku (nevíme jak je velká) podle poznámky 7.2. musíme najít řetězec vektorů báze. Pro první vektor báze, označme jej w, musí platit
(A - E)w = 0
w je tedy z podprostoru vlastních vektorů. Pro druhý vektor, označme jej x, pak musí platit
(A — E)x = w = au + bv.
Dále řešíme uvedenou soustavu rovnic
/ —1    1    —1    1    |    a \
—1    1    —1    1    j    a
-1    1     0     0    j    6      '
\ -1    1     0     0    I    b )
Tato soustava má řešení pro libovolná a, b, můžeme tedy zvolit dvě nezávislé volby a = 1, 6 = 0 a a = 0, b = 1, budeme mít tedy dvě buňky velikosti dvě. Přičemž dva z vektorů
7. Jordánův kanonický tvar
63
báze budou přímo vektory u, v.
Hledáme řetězec odpovídající první buňce, hledáme tedy řešení soustavy rovnic (A — E)x = u.
/ —1    1   —1    1    |    1 \
—1    1   —1    1    j    1
-11    o    o   i   0
\ -i  i   o   o  i o /
Řešením této soustavy je např. vektor x\ = (0, 0, —1, 0)T.
Dále hledáme řetězec odpovídající druhé buňce, hledáme tedy řešení soustavy rovnic (A — E)y = v.
/ —1    1   —1    1    |   0\ —1    1   —1    1    j   0
-11    o    oji \ -i i   o   oji/
Řešením této soustavy je např. vektor X2 = (—1, 0,1, 0)T. Jordánův kanonický tvar je:
/ 1   1   0   0 \
0   10   0
0   0   11
\ 0   0   0   1 /
Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordánův kanonický tvar, je:
a = [(1,1, 0, 0)T, (0, 0, -1, 0)T, (0, 0,1,1)T, (-1, 0,1, 0)T] .
Úloha 3: Najděte Jordánův kanonický tvar lineárního operátoru zadaného ve standardní bázi maticí
/   1     -3   0    3  \
-2   -6   0   13
0-313
\ -1   -4   0    8  /
Řešení: Charakteristická rovnice má tvar
(A - l)4 = 0    z toho plyne    A = 1
Máme tedy jedno vlastní číslo, jehož algebraická násobnost je 4, na diagonále Jordánova
kanonického tvaru tedy budou podle věty 7.5. samé jedničky.
Podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu A = 1 je generován vektory:
u = (0,0,l,0)J    u = (3,1,0,1)
64
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
a podle druhého bodu věty 7.5. bude mít Jordánův kanonický tvar dvě buňky, nevíme ale jak budou velké.
Dále budeme počítat bázi, ve které má matice lineárního operátoru Jordánův kanonický tvar. Pro první buňku (nevíme jak je velká) podle poznámky 7.2. musíme najít řetězec vektorů báze. Pro první vektor báze, označme jej w, musí platit
(A - E)w = 0 ,
w je tedy z podprostoru vlastních vektorů. Pro druhý vektor, označme jej x, pak musí platit
(A — E)x = w = au + bv .
Dále řešíme uvedenou soustavu rovnic.
/   0     -3   0    3    |    3b \
-2    -7   0    13    j    b
0     -3   0    3    |    a
\ -1    -4   0    7    |    b )
Z prvního a třetího řádku plyne, že tato soustava má řešení právě když a = 3b, můžeme zvolit jen jednu nezávislou volbu a, b, např. a = 3, b = 1, budeme mít tedy v Jordánově kanonickém tvaru jednu buňku velikosti tři a jednu velikosti jedna.
Řetězec odpovídající první buňce velikosti tři bude začínat vlastním vektorem w = 3u+v = (3,1, 3,1)T. Na vektor w se zobrazí druhý vektor řetězce, označíme jej x, pro který platí (A — E)x = w. Řešíme tuto soustavu rovnic.
/O     -3   0    3    |    3 \
-2    -7   0    13    |    1
0       —3     0      3      j     3
\ -1    -4   0    7    |    1 /
Řešením této soustavy je např. vektor xo = (3, —1, 0, 0)T. Na druhý vektor řetězce se však zobrazí třetí vektor řetězce, označme jej z. Nevíme ale na který vektor, který odpovídá řešení předchozí soustavy se vektor z zobrazí, musíme tedy obecně předpokládat
(A — E)z = x = Xo + cu + dv
kde c, d jsou libovolná reálná čísla. (Víme, že vektor x odpovídá řešení předchozí soustavy, neboť mu odpovídá vektor x0 a vektor cu + dv je vektor vlastní, který se zobrazí na nulový vektor, platí (A — E)(cu + dv) = o.)
Nyní řešíme uvedenou soustavu rovnic.
/O     -3   0    3    |    3 + 3d \
-2   -7   0   13   |    -l + d
0-3031        c
\ —1   —4   0    7    j         d      J
7. Jordánův kanonický tvar
65
Z prvního a třetího řádku plyne, že tato soustava má řešení pouze pro c = 3 + 3d, zvolíme např. d = 0 a c = 3. Pak vektor a; = xo + 3w    z toho plzne    a; = (3, —1, 3, 0)T. Vektor z je pak řešením soustavy (A — E)x = z.
( o
V-i
3	0	3     1	3   \
7	0	13   |	-1
3	0	3     1	3
4	0	7    1	o  /
Např. z= (4,-1,0, O)5
Čtvrtý vektor báze odpovídající druhé buňce bude vlastní vektor, který zvolíme tak, aby byl lineárně nezávislý na vektoru w, např. vektor u.
Jordánův kanonický tvar je:
J =
( 1    1   0   0 \
0    110
0   0   10
V o   o o i y
Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordánův kanonický tvar, je: a = [(3,1, 3,1)T, (3, -1, 3, 0)T, (4, -1, 0, 0)T, (0, 0,1, 0)T] .
Cvičení
1. Najděte Jordánův kanonický tvar matice.
A =
B =
D
E
4 1 -4	-5   7^ -4   9 osy	1
(	-2     8 -4    10 4     -8	6 6 -4
c =
F
4	6	M		
-3   -5		0		
-3   -6		i;	1	
/3		-i	1	-7\
	9	-3	-7	-1
	0	0	4	-8
	U	0	2	"4/
2. Najděte Jordánův kanonický tvar lineárního operátoru a bázi, ve které má matice operátoru tento tvar. Lineární operátor je zadán maticí ve standardní bázi:
A
B
66
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
C
/   O     1   -1   1 \ -12-11 -1110
V-l    1     O     1/
D
/6
7 8
Ví
-9      5    4 \
-13     8    7
-17    11   8
-2      13/
3. Najděte Jordánovy kanonické tvary matic řádu 3.
A
B
C
-3 -2
4      4
4. Najděte Jordánovy kanonické tvary matic řádu 4. /-13
5  4    2 \
o     -10    0
■30    12    9    5
V -12     6     4    1 /
/ 2   0    2     0   \
12    2-2
0   0    2     0
V 0   0   1     2   /
C =
/-l
1
0
0 0 2 -2 2 -1     1
-1
0 0
D
( 2   0     0     2 \
12-22
0   0     2     1
V 0   0     0     2 /
E
( 1   -6     3      3   \ 0-2     2      0 0     0-20
V 0     0       1     -2 /
/ 2     0
F
0 0
0
0   I
1    0
-1  1    o
■1/
\
3
G =
2 0 0
J =
i -l
0 0
V o
(1 1
0   2 0   0     2 V 0   0     0
-6   -9 0 2 0
-11 \ -2 1
2 y
H =
3 0
/ 1    -6
0    -2
0     0-2
\ 0     0      o
-2   2 \
0     2 2     1
2/
X =
/ -1    3    -6    3 \
0     2     0     1
0     0     2     2
\ o    o    o    2 y
3   \
2
1
"2/
L =
\ 0     0     0   2/
1
/ =
/-l
0 0
V o
■1   o
o o
2 2
■1     1
0
/ 1    -9
0    -2
0     0-2
y 0     0      0
6   -4 \
1 -2
"2/
M
/ 2   0   0     0   \
W
1   2   0	0
1    1   2	3
\ 0 0 0	
N
(   4       3
6       9
-3    -4
\   9       9
2     -3 \
4     -8
-1     4
6     -8 /
/   1
O
-3   0    3   \
-2   -6   0   13
0-313
\ -1   -4   0    8   /
5.   Napište všechny Jordánovy kanonické tvary matic s charakteristickým polynomem tvaru (A - 4)5.
6.   Napište všechny Jordánovy kanonické tvary matic s charakteristickým polynomem tvaru (A- l)3(A-3)5.