GONIOMETRICKÉ VÝRAZY
(Semináˇr z matematiky I - M1130/02 2017)
(1) Zjednodušte výrazy (uvažujte x,y ∈ R, pro nˇež jsou výrazy definovány)
(a)
1−sinx−cos2x+sin3x
sin2x+2cosx cos2x
[tgx]
(b)
sinx+sin3x+sin5x+sin7x
cosx+cos3x+cos5x+cos7x
[tg4x]
(c) cos4 x−sin4
x [cos2x]
(d) sinx·cosx(tgx+cotgx) [1]
(e)
1−tg2x
cos2x
1
cos2 x
(f) cos2x+sin2x·tgx [1]
(g)
cos2 x·tgx
1−cos2 x
[cotgx]
(h)
sinx+siny
cosx+cosy
tg
x+y
2
(2) Dokažte, že pro všechna x ∈ R, pro nˇež jsou následující výrazy definovány, platí:
(a) 2 sin6
x+cos6 x −3 sin4
x+cos4 x +1 = 0
(b) 2 cos2 x+cosx−1 = 2cos
3x
2
cos
x
2
(c)
2 sin2x−sin4x
2 sin2x+sin4x
= tg2x
(d) 1− sin6
x+cos6 x = 3sin2
x·cos2 x
(e)
sin4
x−cos4 x+cos2 x
2(1−cosx)
= cos2 1
2
x
(f)
1+tgx
1−tgx
= tg
π
4
+x