MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, učitelské studium
vzorová písemka při zkoušce
I. část
1. Načrtněte grafy následujících funkcí (do samostatných obrázků)
f : y = (−x)
2
3 , g : y = 2 arctg |x|.
2. Určete definiční obor D funkce f : y = ln(1 + cos x) a rozhodněte, zda je
a) periodická, b) sudá, c) na D shora ohraničená.
3. Udejte příklad posloupností {an}∞
n=1 a {bn}∞
n=1, jež splňují rovnosti lim
n→∞
an = 0,
lim
n→∞
bn = −∞ a lim
n→∞
anbn = 2. Pokud takový příklad neexistuje, vysvětlete.
4. Výrokem s kvantifikátory a nerovnostmi zapište, co znamená lim
x→−∞
f(x) = 1.
Pak udejte příklad vyhovující racionální funkce f.
5. K funkci f : y = π+2 arcsin x určete inverzní funkci g (předpis y = g(x), definiční
obor a obor hodnot).
6. Určete (pokud existují) limity těchto posloupností
a) 3
√
n2+5n
√
n2+3n
∞
n=1
, b)
4n
+ 2 · (−3)n
(3 · 2n + 4)2
∞
n=1
.
7. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f : y =
9
4 − x2
s bodem dotyku [1, ?].
8. Přímo z definice vypočtěte derivaci funkce f : y = x(x + 1) v obecném bodě x0.
9. Napište tvar rozkladu na parciální zlomky (s neznámými koeficienty, které nemusíte
počítat) pro funkci
f : y =
x3
+ 1
x4 − 2x2 − 8
.
II. část
1. Derivujte a výsledek vždy upravte:
a) f : y = ln
1 − sin x
1 + sin x
, b) g : y = arctg
1
x2 − 2
.
2. Vypočtěte limity (a, b jsou daná čísla):
a) lim
x→a
(a2
− x2
) tg
πx
2a
, b) lim
x→+∞
(x + a)(x + b) − x .
3. Vyšetřete průběh funkce f : y =
x − 2
√
x2 + 1
. K přibližnému určení významných
hodnot využijte
√
5
.
= 2,2,
√
41
.
= 6,4.