Strukturovaný diskrétní dynamický lineární model populace
Leslieho model.
Model věkově strukturované populace. Můžeme jej použít např. pro modelování populace víceleté rostliny, populace ryb nebo i lidí. Obecně je tedy účelem modelu znát (diskrétní) vývoj struktury populace.
Koncepce:
Proměnnými budou jistě jednotlivé věkové třídy populace: x1,... xm. Populace se kontroluje po určitých pevných intervalech. Některé skupiny produkují nové jedince, a to s různou mírou reprodukce fc, > 0 (dospělí jedinci), jiné mají míru reprodukce nulovou, b{ = 0 (nedospělí jedinci). Po nějakém čase přechází určitá část dané třídy x' do následující třídy x'+1 (tyto míry přežití označíme pro každou třídu c(.)
EBl    Q 19
©Lenka Přibylová, 2013 EJ
Diagram:
Rovnice: b
íxn+l\ X2	Cl = 0	b2 0 C2	h ■ 0 ■ 0 •	bm—i bm\ 0 0 0 0	x2
W+i/		0	0 ■	cm-l     0 /	
Dostáváme lineární systém diferenčních rovnic s Leslieho maticí L a vektorem iterací struktury populace Xn = (xn, xn,..., x™), tj.
Xn_)_i = LXn.
Q  B H
©Lenka Přibylová, 2013 EJ
Věta: Předpokládejme, že pro matici L a 1 < i < m platí: bj > 0, existuje nějaké i tak, že b i > 0 a b{+i > 0, a 0 < c, < 1. Pak má matice L jedinou kladnou, tzv. striktně dominantní, reálnou vlastní hodnotu Ai > 0 a X^ má všechny složky kladné.
Poznámka 9. Protože je Ai striktně dominantní, bude pro velká n
Věková struktura populace se tedy stabilizuje proporcionálně vlastnímu vektoru X^j. Procentní vyjádření je tedy dáno normalizovaným vektorem
EBl    Q 19
©Lenka Přibylová, 2013 EJ