Domácí úloha z 26. října 2017 (odevzdává se 2. listopadu 2017)
Uvažme okruh Z[i
√
5] = {a + bi
√
5; a, b ∈ Z} (s operacemi obvyklého sčítání a násobení
komplexních čísel, jako vždy i2 = −1). V tomto okruhu jsou dány množiny I, J takto:
I = {a + bi
√
5; a, b ∈ Z, a + 3b je dělitelné číslem 7},
J = {a + bi
√
5; a, b ∈ Z, a + 13b je dělitelné číslem 29}.
1. Dokažte, že I a J jsou ideály okruhu Z[i
√
5], a to nejlépe tak, že ukážete, že se jedná
o jádra vhodných homomorfismů okruhů.
2. Rozhodněte, zda některý z ideálů I, J je prvoideál okruhu Z[i
√
5].
3. Rozhodněte, zda některý z ideálů I, J je maximální ideál okruhu Z[i
√
5].
4. Rozhodněte, zda některý z ideálů I, J je hlavní, a pokud ano, pokuste se najít jeho
generátor. (Nápověda: Podobně jako na cvičení uvažte normu N : Z[i
√
5] → N ∪ {0}, jež
je daná předpisem N(a + bi
√
5) = a2 + 5b2 pro všechna a, b ∈ Z. Určete hodnotu, kterou
by mohla norma případného generátoru nabývat. Následně se pokuste najít prvek ležící
v daném ideále, jehož normou je právě tato hodnota. V případě, že takový prvek najdete,
ověřte, zda se jedná o generátor.)
1