LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA
Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy jsou například fotografie. Abychom dostali názorný obraz odpovídající tomu, co vidí lidské oko, je třeba zavést na středové promítání jisté omezující podmínky.
1. Pozorovaný objekt leží uvnitř rotační kuželové plochy, která má vrchol ve středu promítání, osu kolmou k průmětně a vrcholový úhel v rozmezí 40° - 50°. Tato kuželová plocha se nazývá zorné pole (zorná kuželová plocha). Průmětnu protíná v zorné kružnici kz o středu v hlavním bodě a její poloměr je maximálně r = d tg25° (přibližně d/2) a jelikož objekt leží v zorném poli, tak průmět objektu leží uvnitř zorné kružnice. Dále označíme-li n největší průčelný rozměr objektu a v vzdálenost objektu od střed promítání, pak n<v<3n. První nerovnost plyne z toho, že objekt leží v zorném poli. Kdyby neplatila druhá nerovnost, byl by pozorovatel od objektu příliš daleko a průmět by se blížil rovnoběžnému promítání.
2. Pozorovatel je od objektu vzdálen aspoň 21 cm (mez zřetelného vidění).
3. Je dána pevná vodorovná rovina %, na které leží pozorovaný předmět a většinou i pozorovatel.
Středové promítání, které splňuje podmínky 1, 2, 3 se nazývá lineární perspektiva. Zavedeme následující označení:
Průmětna p - většinou svislá, oko S - střed promítání, hlavní bod H - pravoúhlý průmět S do p, distance d- velikost úsečky SH, osa perspektivy s - přímka SH, základní rovina % - pomocná rovina z podmínky 3, základnice z - průsečnice p a%, stanoviště S7- pravoúhlý průmět S do %, obzorová rovina %' - směrová rovina roviny %, horizont h - průsečnice %' a p, hlavní vertikála v - přímka v p procházející H kolmo k z, základní bod Z - průsečík vaz, výška perspektivy - vzdálenost z od h, levý, pravý resp. horní, dolní distančník D', Df, Dh, Dd - průsečíky distanční kružnice s h resp. v, hloubkové přímky - přímky kolmé k p, středový průmět bodu A do p označíme As a budeme ho nazývat perspektivou bodu A. Středový průmět bodu Ai (pravoúhlý průmět A do %) označíme Ais a nazveme ho perspektiva půdorysu. (Nezaměňovat s půdorysem perspektivy!)
Daný objekt můžeme perspektivně zobrazit buď s využitím jiné zobrazovací metody, pak se lineární perspektiva nazývá vázáná, nebo jen s využitím metod středového promítání, pak se perspektiva nazývá volná.
Vázaná perspektiva (nepřímé metody)
Historicky nejstarší nepřímou metodou je průsečná metoda. Objekt je zadán pomocí Mongeovy projekce a perspektiva objektu se sestrojuje rovněž využitím prostředků Mongeovy projekce. Daný objekt je postaven na %, perspektiva je dána průmětnou p, okem a základní rovinou, kterou je půdorysna. Průmětnu volíme podle toho, která část objektu má být viditelná. Oko S volíme tak, aby půdorys osy s ležel uvnitř ostrého úhlu daného styčnými přímkami vedenými zS(k půdorysu objektu. Výška perspektivy by měla odpovídat výšce pozorovatele a vzdálenost oka od objektu je větší než největší průčelný rozměr objektu. Perspektivní obraz objektu tvoří perspektivy všech jeho bodů, tj. středové průměty z S do p. Průmětnu p přemístíme (není rovnoběžná s % ani v, proto žádný pravoúhlý průmět perspektivy nesplývá s perspektivou). V nákresně zvolíme horizont h a hlavní bod H na h, rovinu p pak přemístíme tak, aby horizont resp. hlavní bod přešel do zvolené přímky resp. bodu. Středový průmět bodu A z S do roviny p označíme As. Dále označme Ä průsečík první promítací přímky bodu As s horizontem h. Vzhledem k poloze první promítací přímky a horizontu vzhledem k průmětnám platí IHiA'il=IHA'l, IA'2AS2I=IA'ASI. Odtud vyplývá i konstrukce perspektivy. Sestrojíme na h bod A 'tak, aby platilo IHiA'il=IHA'l (zachováme orientaci) a na kolmici k h v bodě A' sestrojíme bod As tak, aby IA'2AS2I=IA'ASI. Další body sestrojíme stejně. Ke konstrukci můžeme také využít úběžníků přímek rovnoběžných s %. (Oběžníky přímek rovnoběžných s % leží na horizontu.) Sestrojíme
1
například úběžníky 1U, 2U přímek AB, BC a při konstrukci perspektiv dalších bodů můžeme využít toho, že středové průměty navzájem rovnoběžných přímek mají společný úběžník.
d C 2
Obr.l Pruse ční metoda
Další nepřímou metodou je stopníková metoda. Opět vycházíme z Mongeovy projekce, ovšem tentokrát volíme objekt vzhledem k soustavě souřadnic tak, aby půdorys byl nad osou x a nárys pod osou x. Objekt stojí na základní rovině (tentokrát ji označíme Q rovnoběžné s %. Průmětnu
2
p ztotožníme s nárysnou, perspektiva tedy tentokrát splyne se svým nárysem. Dále zvolíme oko S a horizont h, výška perspektivy by opět měla odpovídat výšce pozorovatele. Aby se nepřekrýval nárys objektu v Mongeově projekci s perspektivou, posuneme nárys ve směru osy x a otočíme do průčelně polohy. Nárys a půdorys si sice neodpovídají v Mongeově projekci, ale pro konstrukce má nárys jen pomocnou roli. Půdorys objektu umístíme tak, aby úběžník aspoň jednoho směru ležel v nákresně. (Například úběžník Lř přímky a= AB.) Sestrojíme hlavní bod a úběžníky některých vodorovných přímek. Sestrojíme perspektivu bodu A. Bod A leží na vodorovné přímce a, její nárys je rovnoběžný s osou x. Určíme nárysný stopník Na přímky a. Na leží v v (tedy i v p) a splývá se středovým průmětem. Perspektiva a5 přímky a je přímka lfs Na. Na ní leží perspektiva bodu A. Tu sestrojíme takto. Promítneme bod A z S do p, půdorys As1 perspektivy As leží na ose x, a protože nárys perspektivy splývá s perspektivou leží A5 na ordinále a na přímce a5. Další body doplňujeme stejně, pokud máme na nákresně úběžníky dalších přímek, můžeme využít i jich.
Obr.2 S topinková metoda.
Pro konstrukci složitějších půdorysů můžeme využít další nepřímou metodu a to tzv. incidenční měřítko. Tato metoda využívá Pappovy věty (dvojpoměr se středovým promítáním zachovává). Objekt uzavřeme do kvádru a do jeho stěn pravoúhle objekt promítneme. Kvádr je dán nárysem a bokorysem libovolně v průmětně. Bod X objektu nejprve pravoúhle promítneme do bodu 'X ležícího ve stěně ABFE a do bodu "Xležícího ve stěně BCGF. Bod 'Xpravoúhle promítneme do bodu Xi na přímce AB a do bodu X2 na přímce BF. Bod "Xpravoúhle promítneme do bodu X3 na přímce BC. Sestrojíme perspektivu kvádru pomocí některé nám zatím známé metody. (V obrázku není znázorněno.) Sestrojíme vhodně přímky A'S', B"F", B'"C", které jsou po řadě projektivní aAB, BF, BC, tak, aby platilo IA'B'l=IAsBřl atd. Víme, že projektivita je dána třemi odpovídajícími si páry bodů, sestrojíme proto ještě perspektivy středů P, R, Q úseček AS, BF, BC. (Například pomocí úhlopříček). Můžeme sestrojit bod X'odpovídající vdané projektivitě bodu JO, bod X"odpovídající bodu X2 i bod X '" odpovídající bodu X3. (Projektivity v obrázku jsou doplňovány užitím direkční osy, průsečíky přímek AB'a A'B, BP'a B'Patd. leží na direkční ose.) Protože platí Pappova věta, platí IAsXis 1=1 A'X'1 atd. a na perspektivě hran kvádru získáme perspektivy bodů X, Body X, jsme získali pravoúhlým promítáním bodu Xúo stěn a hran kvádru a jelikož známe úběžníky hran můžeme sestrojit perspektivu bodu X.
3
Obr.3 Incidenční měřítko
Nepřímé metody se používají především v případech, když známe sdružené průměty objektu. Neznáme-li je podrobně a chceme-li perspektivní obraz průběžně doplňovat, opravovat apod., používáme přímé metody.
Volná perspektíva (přímé metody)
a /
Volná perspektiva využívá středového promítání (přizpůsobenému podmínkám 1, 2, 3) a jeho vlastností ke konstrukcím perspektiv objektů. Některé konstrukce středového promítání jsou přizpůsobeny. Často je třeba nanést úsečku dané délky na danou přímku (většinou horizontální nebo vertikální). Ze středového promítání známe konstrukci pro určení skutečné
velikosti   úsečky,   tuto   konstrukci u H h
aplikujeme na lineární perspektivu. -tt--
Nejprve určíme skutečnou velikost / "\ ,,--''"''/''
úsečky ležící v základní rovině %. / \
Oběžníky všech přímek rovnoběžných s % leží na horizontu, stopníky na základnici. Mohou nastat dva případy. Přímka, na níž úsečka leží, je rovnoběžná se základnici z a její a2 úběžník a stopník je nevlastní, nebo úběžník přímky je vlastní. Nejprve určíme skutečnou velikost úsečky rovnoběžné se základnici z. Jestliže je úsečka rovnoběžná se z, je rovnoběžná i s průmětnou p, proto velikost pravoúhlého průmětu úsečky AS do pje skutečnou velikostí úsečky AS. Pravoúhle promítací přímky do p jsou hloubkové přímky, jejich úběžník je hlavní bod. Promítneme-li z H body As, S5 na základnici do bodů A2, B2, je úsečka A2B2 pravoúhlým průmětem AB do p. Nechť U je libovolný bod ležící na horizontu h. Promítneme-li z U body As, Bs na z do bodů A', B' (y prostoru promítáme AB na z přímkami směru US), je zřejmé, že IA'B'I=IA2B2I=IABI. (viz obr.4)
Obr.4
Jestliže není úsečka AB rovnoběžná se z, je úběžník aU přímky a=AB vlastní a použijeme upravenou konstrukci pomocí dělicí kružnice. Perspektivu máme zadánu některým z distančníků, předpokládejme např. dolním distančníkem Dd. Středový průmět směrové přímky a' přímky a je horizont h, sklopíme a' (známe-li D" je (a')=?UDd). Kružnice se sředem Lľ a poloměr ľUDdl\e dělicí kružnice. Na ní nebudeme vybírat libovolný bod, ale zvolíme jeden její průsečík s horizontem.
Označíme jej Da a nazýváme jej dělicí bod přímky a. Spojnice bodu Da a U je horizont, rovnoběžka vedená stopníkem je základnice. Promítneme-li z Da body A5^ na základnici do bodů A B je tedy IABI=IA'B'I. (viz obr.5)
Da			H	aus/	h
		"\ B		/	
	\    s \			/	
	\	A'	/	B'	z
					
Obr.5
Sestrojíme čtverec v základní rovině % se středem O a vrcholem A, perspektiva je dána horizontem, základnici a dolním distančníkem. K sestrojení můžeme buď využít otočení % do průmětny (konstrukce pomocí kolineace, kterou známe ze středového promítání), nebo nanášení úseček dané délky podle předchozího. Pomocí otočení: Nejprve sestrojíme střed kolineace S0 (otočením směrové roviny Ti'do průmětny). Stopa roviny % je základnice z, úběžnice je horizont h, kolineace je tedy dána středem S0, osou z, a úběžnicí h. Sestrojíme body A0, O0 (obrazy As, O5 vdané kolineaci), doplníme na čtverec a určíme kolineární obrazy zbývajících bodů. (viz obr.6)
5
Dh=S0
Jiná konstrukce: Přímka a=OA leží v %, její úběžník Lř je průsečík a5 s h. Určíme dělicí bod přímky a, z něj promítneme As a O5 do bodů A'a O na základnici. Určili jsme velikost poloviny úhlopříčky, sestrojíme (souměrný O' s A~), z promítneme na a5 do bodu C5. Přímka b=OB je kolmá na a, její úběžník určíme sklopením směrové roviny %' do průmětny (platí - (a') je kolmá na (b) a a'=LřDd, b
=UbDd.) Na přímce b sestrojíme(stejnou konstrukcí) body B, D tak, aby platilo IDOI=IBOI=IAOI=ICOI. (viz obr.7)
Obr.6
Leží-li úsečka na svislé přímce,
je rovnoběžná s průmětnou a velikost úsečky je rovna velikosti pravoúhlého průmětu. Mějme dánu úsečku AB ležící na svislé přímce a. Pravoúhlé a středové průměty bodů leží na ordinále.
Předpokládejme, že známe (příp.
sestrojíme) průsečík P přímky a se základní rovinou %. P2pak leží na z a na ordinále (tj. na přímce FTf). Protože je a kolmá k %, je a2rovnoběžná s a5. Určíme A2B2a získali jsme skutečnou velikost úsečky AS. Je zřejmé, že pokud vybereme libovolný bod U na horizontu, z něj promítneme P do P'na základnici, sestrojíme přímku a'rovnobežnou s a5 a na ni promítneme z U body A, Sdo bodůA', B', pak platí IABI=IA2B2I=IA'B1. (viz obr.8)
6
Pomocí předchozích konstrukcí určujeme skutečnou velikost úsečky AB_ ležící na obecné přímce a. Máme dán perspektivní průmět as přímky a a perspektivu půdorysu a*, a* leží v %, pomocí dělicího bodu určíme skutečnou velikost úsečky A1B1 (pravoúhlý průmět AB do ai.). Určíme velikost úseček AA1, BB1 (například promítnutím z bodu a1U). Sestrojíme ve skutečné velikosti lichoběžník AA1B1B a máme skutečnou velikost úsečky AS. (viz obr.9)
A2		A	A'
B2		B ps	B'
Obr.8			P' z
A"	s A			
B"	1 ^ \ s			
				/ B:-
Redukce distance
Abychom pro perspektivní obraz využili co největší část nákresny, je třeba volit větší distanci a pak vychází distančníky i dělicí body mimo nákresnu. Tento problém řešíme pomocí tzv redukce distance. V prostoru uvažujeme stejnolehlost se středem H a koeficientem k (aby metoda měla požadovaný efekt je k větší než nula a menší než 1). V této stejnolehlosti se střed promítání S zobrazí do bodu Sk, bod A do bodu Ak a středový průmět As bodu A se zobrazí do Ask.      (viz      obr. 10)
Z vlastností stejnolehlosti je zřejmé, že Ask\e také průmět bodu A* do průmětny p z bodu Sk.
Této metody využíváme především pro konstrukci perspektiv půdorysů objektů. Řešíme například takovéto úlohy: Na přímku a ležící v % naneste od bodu A úsečku dané velikosti v, úběžník aLř přímky a leží mimo nákresnu. Zvolíme vhodnou stejnolehlost, např. s koeficientem 1/3, střed je H. Sestrojíme obraz daných objektů v této stejnolehlosti (základnici ' z1/3,   přímku   a1/3).   Pro   přímku a1/3
sestrojíme dělicí bod a naneseme pomocí něj na přímku a1/3 od bodu A1/3 úsečku délky v1/3. Její druhý
Obr.9
			
H		sk	S
% *k			
Obr. 10
7
koncový bod B1/3 zobrazíme ve stejnolehlosti do bodu S5 na přímku ď, úsečka AB má požadovanou délku v. (viz obr.11)
Metodu redukce distance užíváme většinou pro konstrukci dělicích   bodů a pomocí nich pak konstrukci provádíme v původní perspektivě.
Například jako v této úloze:
Sestrojte perspektivu krychle, jejíž stěna ABCD leží v ti, jsou-li dány vrcholy
A, B, perspektiva je dána horizontem, základnicí a distancí. Užijeme například redukce s koeficientem 1/4 a určíme například horní distančník D\4. Pro přímku a=AB známe úběžník aU, sestrojíme přímku am, její úběžník i dělicí bod a body Am, Bm. Sklopením obzorové roviny %' určíme úběžník přímky bm, která prochází bodema je kolmá na přímku a1/4. Na ní určíme bod D1/4 (vrchol čtverce). Sestrojíme přímku bLřAs (rovnoběžná s bUsV4As1/4) a přímku "LřB5 (rovnoběžná sbUs1/4Bs1/4). Sestrojíme bod Ds na a5 (pomocí stejnolehlosti). Bod C je průsečíkem přímek DC a BC, DC je rovnoběžná s AB (mají společný úběžník). Užitím redukce distance jsme sestrojili stěnu krychle ležící v %, hrany kolmé k % sestrojíme už v původní perspektivě. Hranu ASES promítneme například z bodu aLř do úsečky A'E' (platí IA'E'I= 4IA'vtB'iJ). Protože úběžník přímky AD je nedostupný, je třeba ještě nanést velikost hrany krychle na některou další svislou přímku (například procházející bodem C, na obrázku je sestrojen bod G, hrana CG se promítá z průsečíku AC s horizontem.) (viz obr.12)
8
Metoda hloubkových přímek
Aplikujeme-li metodu redukce distance na hloubkové přímky, konstrukce se zjednoduší. Předpokládejme, že a je hloubková přímka, Na její stopník, A její další bod. Perspektiva je dána horizontem, základnicí a levým distančníkem. Zvolme stejnolehlost se středem H a koeficientem k. D' se zobrazí do D'k, ař prochází středem, je slabě samodružná. Sestrojme přímku D'kAs a označme A'k
její průsečík se z. A 'je průsečík D'AS se z (úsečka NaA'
určuje skutečnou velikost úsečky NaA). obr. 13)
(viz
Trojúhelníky NaA \AS a HD'kAs a trojúhelníky NaA'As a H&AS jsou podobné. Platí tedy IHD'l=klHD'kl a proto také INaA'l=klNaAy. Na hloubkovou přímku lze tedy úsečku dané délky nanášet z redukovaného distančníku. Chceme-li úsečku délky v, od daného bodu S, promítneme S5 z redukovaného distančníku do B' na základnici, naneseme úsečku délky v.k a koncový bod promítneme zpět.
Obr. 13
Z uvedeného zjednodušení pro hloubkové přímky je pak uvedena další metoda pro nanášení úsečky dané délky na přímku ležící v ti, tzv metoda hloubkových přímek. Nechť p je přímka ležící v tc, A, B dva její body. Body A, B vedeme hloubkové přímky a, ba sestrojíme perspektivy přímek i bodů. Označme p'směrovou přímku přímky p, PU úběžník přímky p, Na, N" po řadě stopníky přímek a, b. Trojúhelníky NpNaA, NpNbB, pLřHS jsou podobné, (viz obr. 14)
Perspektivu mějme dánu horizontem, základnicí a dolním distančníkem. Platí /^S/^l^D"/, z podobnosti trojúhelníků máme lABhl^N^rLřShrLřHI a tedy také IABI:INaN"l=lpUsDdl:lpUsHI. Sestrojíme trojúhelník HRQ podobný trojúhelníku HpUsDd tak, aby platilo INaNbl=IHRI. Pak také bude platí IRQI=IABI. (Známe-li body A, B a hledáme skutečnou velikost úsečky AB je konstrukce trojúhelníku HRQ triviální, nanášíme-li od bodu A úsečku dané délky v, musíme sestrojit pravoúhlý trojúhelník HRQ, známe-li pravý úhel a velikost přepony.) (viz obr.15)
9
Obr. 15
Perspektiva složitějších půdorysů
								/
								
			\					
								
a/								
/i ' 1								
Pro složitější půdorysy jsou někdy uvedené metody příliš náročné, proto se používá tzv gratikoláže. Půdorys pokryjeme dostatečně hustou čtvercovou sítí (viz obr. 16) a sestrojí se perspektiva této sítě. Perspektiva půdorysu se pak určuje bodově. Body půdorysu pak můžeme promítat například hloubkovými přímkami na průčelné přímky sítě (bod A), promítnutím průčelnou přímkou na hloubkovou přímku (případně na úhlopříčku a poté hloubkovou přímkou na průčelnou, bod S), případně kombinací těchto metod, (viz obr. 17)
10
Osvětlení a zrcadlení v perspektivě
Pro zvětšení názornosti perspektivního obrazu používáme rovnoběžného osvětlení nebo zrcadlení. Rovnoběžné osvětlení je dáno směrem s, uvažujme ještě pravoúhlý průmět Si směru s do základní roviny %. Oběžníky přímek směrů s a s7 po řadě označíme R5 a Rf. (Je zřejmé, že Rf leží na h a přímka R*Ris je kolmá na h.). sestrojujeme-li vržený stín A' bodu A do %, vedeme bodem A přímku směru s a určíme její průsečík s %, tzn., že A 'je průsečík přímek směrů sast vedených body A a Al Pro perspektivní průměty je tedy A * průsečík přímek Asf^ aA^Ri5. (viz obr. 18)
A'
				^^^^ v H	h S
A		"ľ		/ ^^^^	
s/					
-*^T Ai					
Obr. 18			/ z'®		
Na obrázku (obr.19) je sestrojeno osvětlení jednoduchého útvaru, stínu vržené na sebe se jako vždy určí pomocí zpětných paprsků. Konstrukce je obdobná jako u rovnoběžných projekcí, pouze navzájem rovnoběžné přímky prochází jedním úběžníkem.
Zrcadlení se používá nejčastěji podle vodorovné roviny (vodní hladina). Využíváme známé vlastnosti světelných paprsků, úhel dopadu paprsků jdoucích od předmětu do oka se rovná úhlu odrazu, tedy kromě bodu A vidíme z oka S také bod Az souměrně sdružený s bodem A podle roviny zrcadla (nejčastěji %). Tj. platí IAAil=IAiAJ, IAsAisl=IAisAzsl. Označíme-li Sz bod souměrně sdružený s okem S podle roviny zrcadla a P průsečík přímky ASZ s rovinou zrcadla, pak perspektivní průmět P5 bodu P splývá s perspektivním průmětem Az zrcadleného bodu Az. (viz obr.20)
11
Obr.20
12
Na obrázku je zobrazen kvádr stojící na n a jeho zrcadlení ve vodní hladině (část roviny %). Zobrazujeme jen viditelné části.
Obr.21 Zře adie ní kvádru v line ámí pe rspe knvě
Průčelná (jednoúběžníková) perspektiva
Mějme dán objekt, jehož perspektivu chceme sestrojit a zvolme pravoúhlý souřadnicový systém s osami 1x, 2x, 3x, které jsou rovnoběžné s hranami daného objektu. (Daný objekt můžeme také, podobně jako při použití incidenčního měřítka, obalit vhodným kvádrem, souřadnicové osy pak budou splývat s hranami kvádru.) Perspektiva je dána horizontem, základnicí a některým z distančníků. Osy označme tak, aby 1x, 2x ležely v základní rovině. Takto zvolený souřadnicový systém nazýváme přidružený k danému objektu. Protože
průmětna p je zatím volena tak,
Obr.22 JediiDŮběšrdkoviá perspektiva
13
aby byla kolmá k základní rovině %, je osa 3x rovnoběžná sp. Je-li s p rovnoběžná i další z os (např. 1x), pak je objekt v průčelně poloze a zobrazujeme jej v tzv průčelně perspektivě. Pouze osa 2x má vlastní úběžník (je hloubková přímka, úběžník je H), proto je tato perspektiva také nazývána jednoúběžníková. Souřadný systém vytvoří čtvercové sítě, sestrojíme perspektivu některých těchto sítí. Průčelná perspektiva se používá nejčastěji pro zobrazování interiérů v bytové architektuře, sestrojujeme sítě ve třech vhodných rovinách (podlaha a dvě protější stěny kolmé k p.) Osu 1x ztotožníme se základnicí z (leží vp, jednotky na ni nanášíme ve skutečné velikosti), osu 3x vedeme libovolným vhodně zvoleným bodem Pna z (leží rovněž v p, jednotky ve skutečné velikosti.) Osa 2xje hloubková přímka, její perspektiva je přímka PH. (Jednotky na ni nanášíme pomocí levého nebo pravého distančníku.) Sestrojíme sítě (jednotkami na osách vedeme rovnoběžky se zbývajícími osami) a s využitím sítí zakreslíme inteiér.
Nárožní (dvojúběžníková) perspektiva
Zobrazovanému objektu opět přiřadíme přidružený souřadnicový systém tak, aby osa 3x byla rovnoběžná s průmětnou p. Osy 1x a 2x leží v71, ovšem žádná není rovnoběžná s p. Objekt je v nárožní poloze a zobrazujeme jej v tzv. nárožní perspektivě. Protože osy 1xa 2xmají úběžníky 1U, 2U nazýváme někdy tuto perspektivu dvojúběžníková. Zobrazujeme opět čtvercové sítě vhodných rovin a pomocí nich sestrojujeme perspektivu objektu. Nárožní perspektiva se používá především pro zobrazování budov, ulic, komunikací apod. (rozsáhlejší objekty). Protože pozorovatel a objekt stojí na základní rovině, půdorys objektu je vidět pod malým úhlem a tedy velmi zkresleně a při konstrukcích může docházet k větším nepřesnostem. Pro konstrukci čtvercové sítě v půdorysu (a tím i celého půdorysu) používáme tzv. sníženého (sklepního) půdorysu. Zvolíme pomocnou rovinu 1ti rovnoběžnou s % ("pod" rovinou %) a půdorys pravoúhle promítneme do V. Je zřejmé, že perspektiva původního půdorysu a sníženého půdorysu si odpovídají v pravoúhlé afinitě s osou h.
7t'		h	e
71			
71			-* Z
Při
konstrukci perspektivy objektu sestrojíme perspektivu sníženého půdorysu (čtvercovou síť) a dále čtvercové sítě dané např. rovinami (1x3x) a
(2x3x). Zvolíme bod Pna z a osu 3xprocházející P. (Jednotky na ní budou opět ve skutečné velikosti) Osy 1x a 2x budou procházet bodem p jejich perspektivy budou přímky P1U, P2U, kde 1U, 2L/jsou os 1x, 2x, jeden zvolíme, druhý sestrojíme pomocí sklopení obzorové roviny. Jednotky na osách 1x, 2x sestrojujeme s pomocí jejich dělicích bodů D1, D2. (Známe např. dolní distančník.) Čtvercovou síť sklepního půdorysu můžeme sestrojit buď tak, že sestrojíme na ose 'x jednotky (pomocí dělicího bodu D\ promítáním na z) a ty afinně zobrazíme na V, nebo lze z bodu D1 promítnout přímo na 1x' jednotky ze z'. Z vlastností afinity je zřejmé, že dostáváme tytéž body. (viz obr.24)
Obr.23 S nížený (skle pro) půdorys
14
Obr.24
Perspektiva kružnice
Ve středovém promítání se kružnice, která neleží ve středově promítací rovině rovině, zobrazí jako regulární kuželosečka. Středový průmět kružnice k je řez kužele s vrcholem S a řídící kružnicí k průmětnou. V lineární perspektivě požadujeme, aby zobrazované objekty ležely v zorném poli, tj. uvnitř zorného kužele. Promítací kužel kružnice k leží uvnitř zorného kužele a jeho řez rovinou p (průmětna) je elipsa, příp. kružnice. Kružnici v obecné poloze lze zobrazit stejně jako ve středovém promítání, otočením roviny kružnice do průmětny a užitím kolineace. V lineární perspektivě se nejčastěji zobrazují kružnice ve vodorovné nebo svislé poloze, pro tyto případy ukážeme konstrukci perspektivy kružnice. Kružnici k opíšeme dva čtverce ABCD a MPQR tak, aby jejich body dotyku (ozn. je 1, 2,8) tvořily pravidelný osmiúhelník, (viz obr.25)
Obr.25
Nejprve zobrazíme kružnici ve vodorovné rovině, např. v základní rovině %. Mějme dán střed O kružnice k a poloměr r. Perspektiva je opět zadána horizontem, základnicí a některým distančníkem. Opsané čtverce sestrojíme tak, aby strana AB byla rovnoběžná se z. Sestrojíme perspektivy obou čtverců a do nich vepíšeme elipsu (Známe pro ni osm tečen s body dotyku.) Strany
15
nebo úhlopříčky zvolených čtverců jsou buď průčelně nebo hloubkové přímky, úsečky dané délky od bodu O na ně nanášíme podle známých konstrukcí.
Obr.2Ě Perspektiva brusnice ležící v základní rovině
Ve svislé rovině se většinou nezobrazují celé kružnice, pouze jejich části (např. ozdobné štíty domů). Zobrazíme půlkružnici ve svislé rovině o, která bude dána stopu a úběžnicí. Protože je o kolmá k ti, je stopa i úběžnice kolmá k h. (Perspektiva je zadána stejně jako v předchozím příkladě.) Čtverce dané kružnici opíšeme tentokrát tak, aby strana CD byla rovnoběžná s %. Kružnice je dána středem O (neleží v %) a poloměrem. Přímka p=PR prochází O a je rovnoběžná s %. Promítneme p pravoúhle do roviny %, pravoúhlý průmět označíme p7. Úsečky dané délky nanášíme na přímku ležící V7c, tedy na p1 a promítáme zpět na p. Známými konstrukcemi sestrojíme perspektivy čtverců a vepíšeme elipsy.
Obr.27 Perspektiva kružnice ležící ví svislé rovině
16
Kružnici lze sestrojit také užitím otočení roviny do p, některé konstrukce se zjednoduší díky tomu, že rovina oje svislá. Otočené vodorovné přímky jsou rovnoběžné se z, zjistíme vzdálenost bodu O od nárysné stopy (osa kolineace) a sestrojíme na p0 bod O0. Vzdálenost opět zjišťujeme na přímce p7. Sestrojíme otočenou půlkružnici a perspektivu některé další svislé přímky, např. procházející bodem D. Na pí naneseme vzdálenost této svislé přímky od nárysné stopy roviny o. Perspektivy vodorovných přímek mají společný úběžník, můžeme sestrojit Ľ^C5, 7S6S, odpovídající si přímky se samozřejmě protínají na ose kolineace. Bod D leží na svislé přímce, jejíž vzdálenost od nárysné stopy určíme v otočení, sestrojíme perspektivu svislé přímky . Dále např. bod 3 je průsečík vodorovné přímky CD a svislé přímky jdoucí bodem O. Můžeme sestrojit např. bod Q, jako průsečík vodorovné a svislé přímky, známe průsečík přímky Q0Ro s osou kolineace, sestrojíme perspektivu přímky QR atd. (viz obr.28)
Perspektivní axonometríe (trojúběžníková perspektiva)
Při konstrukci perspektivy rozsáhlejších komplexů budov, náměstí, objektů s nádvořím apod., metodami dosud používanými, se jednotlivé části překrývají a výsledný obrázek není názorný, nevidíme vše, co potřebujeme. Abychom dostali názornější obrázky, zvolíme tentokrát průmětnu p šikmou. Objekt bude opět stát na základní rovině % a přiřadíme mu přidružený souřadnicový systém stejně jako v průčelné a nárožní perspektivě. Na obrázku je volen počátek P přidruženého souřadnicového systému v %, osy 1x a 2x leží rovněž v % a žádná z os není tentokrát rovnoběžná s průmětnou. Označme 'N stopníky os 'x a 'Us úběžníky os 'x. Vzhledem k tomu, že průmětna není svislá, neleží hlavní bod na horizontu, horizont je průsečík obzorové roviny s p, tj. h-Lľ2^. Trojúhelník 1N2N3N nazýváme stopníkový trojúhelník a trojúhelník 1Us2Us3Us se nazývá úbežníkový trojúhelník. Z ortogonální axonometrie víme, že trojúhelník 1N2N3N je ostroúhlý a průsečík výšek je pravoúhlý průmět počátku do průmětny, tj. P2. Směrové přímky os 'x protínají průmětnu v úběžnících, opět trojúhelník 1Us2Us3Us je ostroúhlý a průsečík jeho výšek je pravoúhlý průmět průsečíky přímek 'x', tj. hlavní bod. Protože 'xje rovnoběžné a 'x'jsou odpovídající si strany stopníkového a úběžníkového trojúhelníku rovnoběžné, tzn., že si odpovídají v nějaké homotetii. Protože spojnice odpovídajících si bodů prochází středem homotetie je středový průmět P5 počátku P středem homotetie. (Střed homotetie může být i nevlastní, tak by si ovšem trojúhelníky odpovídaly v posunutí, středový průmět počátku by byl nevlastní, což by znamenalo, že leží v centrální rovině a tedy mimo zorný kužel. Pokud by P=S, pak by trojúhelníky splynuly, průmětem os by byly body a bod P by opět neležel uvnitř zorného kužele. Střed homotetie je tedy vlastní, což znamená, že trojúhelníky si odpovídají ve stejnolehlosti se středem F\) Osy protínají průmětnu ve třech bodech, proto se tato perspektiva nazývá buď trojúběžníková perspektiva nebo také perspektivní axonometrie.
17
Obr.29 T rojůbě žnĹboviá peispektivia
18
Sestrojíme perspektivu přidruženého souřadnicového systému. Zvolme si v nákresně (ztotožníme ji s průmětnou p) dva stejnolehlé trojúhelníky 1N2N3N, 1Us2Us3Us. Průsečík výšek v úběžníkovém trojúhelníku je hlavní bod, jeho vzdálenost od průmětny je distance. Tu určíme stejně jako v ortogonální axonometrii, například sklopením pravoúhle promítací roviny přímky 3x'. Známe distanci, sestrojíme distanční kružnici kd. Průsečík přímek 1x=1N1Lř2, 2x=2N2Lř2 a 3x=3N3Us2(stfed stejnolehlosti) je bod P5. Naneseme jednotky na jednotlivé osy a sestrojíme čtvercovou siť. Jednotky nanášíme užitím dělicí kružnice. (Například pro osu 1x, sklopíme její směrovou přímky V do průmětny a dělicí kružnice je kružnice se středem 1Lľ a poloměrem 1Lľ[SJ). Pomocí čtvercové sítě sestrojíme perspektivu podobně jako v průčelné či nárožní perspektivě. Ukázali jsme, že zadáním stopníkového a úběžníkového trojúhelníku je perspektivní axonometrie jednoznačně určena.
Je-li objekt zadán sdruženými obrazy v Mongeově projekci, lze sestrojit jeho obraz v perspektivní axonometrii také metodami vázáné perspektivy, průmětna p však není svislá. Mějme dán objekt sdruženými obrazy v Mongeově projekci stojící na % v průčelné poloze (je mu přiřazen přidružený souřadnicový systém) , průmětna p je určena stopami. Střed promítání se volí podobně jako v případě, že průmětna je svislá. (Objekt v zorném poli, S volíme podle toho, co má být vidět atd.) Zvolme pravoúhlý souřadnicový systém přidružený k danému objektu podle předchozího, jeho počátek položme do bodu P, P je půdorysný stopník osy s perspektivy. Průsečíky souřadnicových os 1x, 2x, 3xs rovinou p tvoří stopníkový trojúhelník. Body % 2X leží v půdorysně, tj. na půdorysné stopě roviny p, přímka ^X?X je rovnoběžná s nárysnou, tj. je to hlavní přímka druhé osnovy roviny p. Středem S promítání vedeme směrovou přímku 1x' osy 1x a určíme úběžník osy 1x (průsečík 1x' s p). Rovinu p otočíme kolem půdorysné stopy do % a určíme otočený stopníkový trojúhelník 1X02X03X0 a otočený úběžník 1Lř0 Průsečík H0 jeho výšek je otočený hlavní bod H. Perspektivní průmětnu přemístíme. Sestrojíme stopníkový trojúhelník, hlavní bod a úběžník osy 1x, skutečné velikosti úseček zjistíme z otočení. R splývá s bodem H, P5 je střed stejnolehlosti, sestrojíme úběžníkový trojúhelník stejnolehlý se stopníkovým trojúhelníkem. Sestrojíme perspektivu bodu V tělesa. Bod V pravoúhle promítneme do bodu Ví v souřadnicové rovině Vx a do bodu V'2 v souřadnicové rovině Vx. Bod Ví promítneme směrem rovnoběžným s 1x do bodu 1 na přímku 1^X a směrem rovnoběžným s 2x do bodu 2 na přímku 1^X. Přímka 1^X leží v perspektivní průmětně, úsečky jsou na této přímce ve skutečné velikosti, body 1, 2 přeneseme do perspektivního obrázku. Spojíme je s příslušnými úběžníky (sestrojíme perspektivy přímek rovnoběžných s 1x, 2x) a dostaneme perspektivu VY bodu V'i. Podobně promítneme bod V'2 směrem rovnoběžným s V do bodu 3 na přímku 1^X. Bod 3 můžeme přenést přímo, přímka WX\e rovnoběžná s nárysnou a leží v perspektivní průmětně. Promítneme také V'2 směrem rovnoběžným s 3xúo osy 1x, bod 4 leží na přímce 2V'i. Bod 4S spojíme s úběžníkem 3U (přímka směru 3x), bod 3 spojíme s úběžníkem 1U (přímka směru 1x). V průsečíku těchto přímek je perspektiva VY bodu V'2. Bod V leží na přímce směru 3x procházející Vj a na přímce směru 2x procházející V'2. Pro konstrukci zbývajících bodů užíváme uvedený postup v kombinaci s využitím úběžníků souřadnicových os. (viz obr.30)
19
20