Minule jsme si definovali, co to je topologický prostor, dnes se podíváme na metodu, která umožňuje popsat velké množství těchto prostorů. Této metody nejprve využijeme k definici několika topologických prostorů, které budeme v příštích hodinách potřebovat. Dále zobecníme nerovinnost K§ do vyšších dimenzí. Popisu topologických prostorů později využijeme ke klasifikaci všech souvislých kompaktních dvoudimenzionálních variet.
Nejprve si však dokážeme jednu dělicí větu.
Věta 1. Jsou-li A, B dvě uzavřené konvexní množiny v Rd, z nichž aspoň jedna je kompaktní, tak AOB = 0 právě tehdy, když existuje nadrovina h, která je striktně odděluje. (Tj. taková nadrovina h, že celá množina A leží v otevřeném poloprostoru hr a celá množina B leží v otevřeném poloprostoru h+.)
Tato věta se používá například v lineárním programování k důkazu Farkasova lemmatu. My se s její pomocí podíváme na vícedimenzionální analogie nerovinných grafů K5 a K3 3.
Důkaz. Buď £ := inf{dist(a, b) | a G A, b G B}. Jelikož alespoň jedna z množina A, B je kompaktní a obě jsou uzavřené, existují takové body a G A, b G B, že dist(a, b) = í.
Nyní stačí definovat h jako nadrovinu kolmou na úsečku ab (se správnou orientací) a procházející středem této úsečky.
Domácí úkol 1: Dokažte, že takováto nadrovina skutečně striktně odděluje A a B. □
Konstrukce topologických prostorů
Naším cílem je stavebnice, která
• umožní vytořit velké množství topologických prostorů,
• má jednoduché dílky a
• jednoduchý popis jak dílky spojovat.
Jednou z takových stavebnic jsou simpliciální komplexy. Dílky této stavebnice jsou simplexy (srovnej anglické simple).
Definice 2. fc-dimenzionální simplex je konvexní obal1 (k+ 1) afinně nezávislých bodů.2 Tyto body se nazývají vrcholy simplexu. Simplexy se často značí malými řeckými písmeny u,T,p. Standardní d-simplex je      := conv(ei, e?, e^, ■ ■ ., e<j+i) C
Stěnou simplexu u rozumíme každý simplex conv(_F'), kde F' je podmnožina vrcholů u. Dle definice je tedy 0 stěna každého simplexu u.
/j-dimenzionální simplexy: OD     bod (vertex) 2D     trojúhelník (triangle) -ID    prázdná množina
ID   hrana, úsečka (edge, segment) 3D    čtyřstěn (tetrahedron) 4D   pentatop/pentachoron/...
Nyní již známe základní dílky naší stavebnice a můžeme se zabývat tím, jak je spojovat. Nejjednodušší popis spojení poskytují tzv. simpliciální komplexy, u kterých již výběr dílků samotných určuje jejich napojení. Jinou možnost spojování nabízí tzv. A-komplexy, u nichž výslovně specifikujeme, které strany simplexu a jakým směrem k sobě slepit. To již vyžaduje jisté "ohýbání" našich dílků. Platí, že topologický prostor je homeomorfní simplicálnímu komplexu právě tehdy, když je homeomorfní A-komplexu. A-komplexy mají tu výhodu, že obsahují méně stěn, počítá se s nimi tedy lépe. Pro teoretické účely a definice jsou však výhodnější simpliciální komplexy, u kterých odpadá nutnost specifikovat lepení stěn k sobě. Dalším zobecněním pak jsou CW-komplexy, ve kterých prvně spojíme simplexy dimenze < k, a pak na tyto simplexy induktivně nalepíme simplexy dimenze (k + 1), přičemž máme jediný požadavek na lepicí zobrazení: spojitost.
-'-Konvexní obal dává smysl pouze v afinních prostorech nad uspořádanými tělesy či jejich zobecnění — abstraktních konvexních prostorech.
2Tj. bodů, které neleží v žádném afinním podprostoru dimenze (k — 1).
1
Obrázek 1: Stavebnice simpliciální komplexy. Vybudujte (téměř) cokoli! Díly všech celých dimenzí > —1. Nejdou ohnout ani zničit! Nepodléhají opotřebení! Nově: řazeno do průhledných krabic dle dimenze.
Definice 3. Geometrický simpliciální komplex K je množina simplexů v reálném vektorovém prostoru X, splňující:
1. Je-li a G K, tak i každý stěna t simplexu a leží y K a
2. jsou-li a, t G K, tak a n t je stěna simplexu a i stěna simplexu t.
Rozlišujme prázdný simpliciální komplex 0 a simpliciální komplex obsahující pouze prázdný simplex {0}!
Tři z těchto obrázků reprezentují simpliciální komplexy a dva ne. Dovedete určit které to jsou?
Obrázek 2: Simpliciální komplexy Nyní se podíváme na základní pojmy které jsou se simpliciálními komplexy spojeny.
Základní pojmy u simpliciálních komplexů
Každý simplex a G K nazýváme stěna K (face of K). Dimenze K je nejvyšší dimenze stěny K (či oo). Simpliciální komplex dimenze 1 se nazývá graf.
Názvy stěn
Stěny dimenze 0 se nazývají vrcholy K (vertices of K) a značí V(K). Stěny dimenze 1 jsou hrany (edges). Maximální stěny se nazývají fasety (facets). Stěnám kodimenze3 1 se v angličtině říká ridges, český ekvivalent chybí. Stěnou stěny a G K rozumíme každý simplex t C a. Nadstěnou stěny (coface) a G K rozumíme každý simplex t D a.
Homogenní komplexy
Simpliciální komplex K je homogenní (pure či homogeneous), pokud všechny jeho fasety mají stejnou dimenzi.
Topologický prostor a triangulace
Je-li K geometrický simpliciální komplex, tak klademe ||Ä"|| := [j K, jde tedy o množinu všech bodů obsažených v nějakém simplexu v K. Jedná se o topologický prostor s topologií zděděnou z příslušného
3Stěnou kodimenze 1 komplexu K rozumíme takovou nefasetu t, jejíž nadstěny jsou pouze fasety a ona samotná.
2
reálneho vektorového prostoru X, ve kterém žijí simplexy K. Je-li Y topologický prostor homeomorfní ||Ä"||, tak o K mluvíme jakožto o triangulaci Y a, Y nazýváme triangulovatelný4.
Konstrukce Podkomplexy
Podkomplex K je každá podmnožina L simpliciálního komplexu K, která je sama simpliciálním komplexem. Je-li V' podmnožina vrcholů K, tak indukovaný podkomplex K (V') jest {cr n V | cr g K}. Existuje-li nějaká množina vrcholů V' taková, že L = K (V') je L úplný (full) podkomplex K, lze se však setkat i s označením indukovaný. Všechny stěny K dimenze < k tvoří tzv. fc-skeleton K^-k\
Spojení
Jsou-li K a, L dva simpliciální komplexy můžeme definovat jejich spojení (join) K * L. Je-li \\K\\ c X = Rk a ||L|| c Y = R1, můžeme X a Y vnořit jakožto dva mimoběžné prostory do Mfe+Í+1. Simplexy K * L pak definujeme jakožto {conv(er U t) | cr g K, t g L} v tomto vnoření.
Pro L bod nazýváme spojení K * L kužel (cone) CK. Pro L dva body mluvíme o suspenzi SK.
Podrozdělení
Simpliciální komplex L je podrozdělením (subdivision) komplexu K, pokud ||L|| = ||Ä"|| a každá stěna L je obsažena v nějaké stěně komplexu K. Speciálním případem je barycentrické podrozdělení (barycentric subdivision) sdK. Barycentrum fc-simplexu a = conv(v0,..., v^) je bod v = ^rj-j- j^ÍLo vi- Barycentrické podrozdělení komplexu K se nejsnáze konstruuje rekurzivně: Barycentrické podrozdělení O-skeletonu je 0-skeleton sám. Pro konstrukci barycentrického podrozdělení (/j+l)-skeletonu přidáme barycentra (k + l)-simplexů a tyto spojíme se simplexy podrozdělujícími hranice příslušných simplexů.
Lokální vlastnosti
Lokální vlastnosti simpliciálních komplexů se popisují obzvláště dobře. Link, hvězda, uzávěr
Představme si, že máme malého panáčka, kterého můžeme postavit do libovolné stěny našeho simpliciálního komplexu a který když se rozhlédne, vidí jenom skrz simplexy, ve kterých stojí. Horizont, který tento panáček uvidí, se nazývá link. Link nám popisuje, jak složité je okolí stěny a. Jedná se vlastně o průnik male "sféry se středem cr" s komplexem K. Link lkif cr stěny cr je
lkKcr := {conv(V(r) \ V (a)) \ t g K A cr c t}.
Jedná se o simpliciální podkomplex K. Speciálním případem je \\ík 0, který se dle definice rovná K. Nechceme-li kvůli přehlednosti psát K do dolního indexu použijeme zápis lk(_ftT, cr), tedy např. lk(C-KT' * SL * A„, A„).
Pro úplnost dodáváme, že vše co náš panáček může vidět (bez horizontu) se nazývá hvězda stěny cr (star of cr). Tedy st^ cr:={t|tg-fiTAcrC t}. Hvězda ovšem není simpliciální komplex.
Je-li S q K nějaká množina simplexů, tak její uzávěr (closure) S či Cl S je nejmenší simpliciální podkomplex K obsahující S. Speciálním případem je ster, uzavřená hvězda stěny cr, jedná se o body, které náš panáček může vidět, počítáme-li i jeho horizont. Můžeme si rozmyslet, že link cr je uzavřená hvězda cr, ze které odebereme hvězdy všech podstěn cr.
4Ne všechny prostory jsou triangulovatelné. Dokonce existuje kompaktní 4D varieta Eg, která není triangulovatelná a stejně tak existují netriangulovatelné kompaktní variety všech dimenzí d > 5 (Ciprian Manolescu: Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture, 2016.)
3
Simpliciální zobrazení
Simpliciální zobrazení je zobrazení /: \\K\\ —> \\L\\ mezi dvěma simpliciálními komplexy, jež posílá vrcholy na vrcholy a jehož restrikce na libovolný simplex je lineární. Je-li /: \\K\\ —> \\L\ \ spojité zobrazení, nazýváme každé simpliciální zobrazení /a-K^L splňující f(st(v)) C st(/a(f)) simpliciální aproximací /. Simpliciální aproximace f a je homotopicky ekvivalentní /. Ne vždy musí simpliciální aproximace spojitého zobrazení mezi dvěma komplexy K a L existovat. Lze však ukázat, že pro dostatečně velké to, n (závisející na /) bude existovat simpliciální aproximace z sdm K do sd™ L.
Globální vlastnosti f-vektor a h-vektor
Počet stěn dimenze k se značí5 fk+i(K) (k > — 1). Pokud je K jasné z kontextu, lze toto zkrátit na fk- Dle definice je f0 = 1 právě tehdy, když je K neprázdný. Počty stěn se obvykle řadí za sebe to tzv. f-vektoru (fo,h,h,      fd+i), kde d = dimK.
Lze se však také setkat s tzv. f-polynomem Fk(x) := foxd+1 + fixd + /2^d 1 + ... + fd+i^0-Pokud do /-polynomu Fk dosadíme x — 1, dostaneme polynom y x s jinými koeficienty Fk(x — 1) := hQXd+1 + h\xd + ... + hdx + hd+i, vektor (ho, h\, fi2, ■ ■ ■, hd+i) se nazývá /i-vektor komplexu K.
Domácí úkol 2: Najděte větu, která charakterizuje /-vektory simpliciálních komplexů. Svaz stěn
Stěny simpliciálního komplexu jsou částečně uspořádané inkluzí. Pokud K není simplex, tak tato uspořádaná množina nemá nej větší prvek. V tom případě si nej větší prvek přidáme: budiž onen simplex K samotný největším prvkem. A ejhle, tato uspořádaná množina je svazem. Nazveme ho svaz stěn F(K).
V tomto svazu vrcholy odpovídají atomům, a fasety koatomům.
Simplex jakožto simpliciální komplex
Z předchozího odstavce vyplývá, že pokud používáme terminologii simpliciálních komplexů pro fc-simplex, jsou fasety stěny dimenze k—l a, anglický termín ridge odpovídá stěnám dimenze k — 2. (V jistém smyslu nás samotný simplex nezajímá, raději studujeme jeho plášť.)
Okruh stěn (Face ring)
Též nazývaný Stanley-Reisnerův okruh (Stanley-Reisner ring).
Jedná se o další způsob, jak zakódovat informaci o stěnách. Tentokrát algebraicky. To nám umožní používat na simpliciální komplexy algebraickou mašinérii (lokalizace, Krullova dimenze, ...). Nechť A je simpliciální komplex a k nějaké komutativní těleso. Nechť vrcholy A jsou vi, v2,..., vn. Můžeme zvážit okruh R = k[v1; v2, .. ., vn] všech polynomů nad k s neznámými v1; v2,. .. , vn. V tomto okruhu sedí ideál stěn (či též Stanley-Reisnerův ideál) /a, generovaný nestěnami, tedy přesněji řečeno součiny proměnných Iliejv vit ^e N <ZV, N ý: K (/a je samozřejmě generovaný minimálními nestěnami).
Okruh stěn (Stanley-Reisnerův) k[A] pak jest faktor R/Ia-
Nehledíme-li na homeomorfismus, lze ||Ä"|| popsat jen na základě toho, které simplexy jsou spolu spojené.
Definice 4. Abstraktní simpliciální komplex K je množina konečných množin splňující: • Je-li F e K a F1 C F, tak F1 e K. (Jinými slovy K je dolu uzavřená).
V tomto kontextu množinu F E K velikosti (k + 1) nazýváme fc-simplex nebo fc-dimenzionální simplex.
I zde důsledně rozlišujme prázdný simpliciální komplex 0 a simpliciální komplex obsahující pouze prázdnou množinu {0}, spoustu tvrzení a důkazů pak budeme moci formulovat snadněji.
5/fe tedy označuje počet stěn, co mají k vrcholů.
4
Konstrukce Řetězcový komplex
Pro každou uspořádanou množinu P můžeme definovat tzv. řetězcový komplex A(P).
A(P) := {X C P | X je lineárně uspořádaná}. Zjevně se jedná o abstraktní simpliciální komplex.
Realizace
Každému geometrickému simplexu K můžeme přiřadit abstraktní simpliciální komplex K', nazývaný schéma vrcholů (vertex scheme). Jeho stěny budou některé podmnožiny vrcholů K', konkrétně ty podmnožiny F, pro něž conv F G K. Obráceně lze každému abstraktnímu simpliciálnímu komplexu přiřadit geometrický simpliciální komplex: Je-li K' konečný6, můžeme předpokládat, že jeho vrcholy (až na přejmenování) jsou ei, e?,..., en. Simplexy v geometrickém komplexu K pak definujeme jako conv F pro F G K'. Až na homeomorfismus a přejmenování vrcholů jsou tyto operace navzájem inverzní.
Můžeme tedy všechny pojmy, které jsme definovali pro geometrické simpliciální komplexy, přenést na abstraktní simpliciální komplexy a naopak. Nebudeme tedy již rozlišovat mezi abstraktními a geometrickými simpliciálními komplexy.
Odpovídá-li geometrický komplex K abstraktnímu komplexu K', říkáme, že K realizuje K'.
Domácí úkol 3: Dokažte, že A(F(K)) = sdK. Zajímavé simpliciální komplexy
Nyní si zadefinujme několik simpliciálních komplexů. Ještě předtím si ale řekněme, co znamená slovíčko antipodální. Dva body x a y nazveme antipodální, pokud x = —y.
/j-skeleton n-simplexu je tvořen všemi stěnami A„, které mají dimenze < k, jelikož 1-skeleton n-simplexu je úplný graf Kn+i s (n+ 1) vrcholy, jedná se o zobecnění úplných grafů do vyšších dimenzí. Zjevně je A„ homeomorfní n-dimenzionální kouli a dAn jest až na homeomorfismus sféra dimenze n—1.
Hranice crosspolytopu (Boundary of a crosspolytope) v Rd je (d — l)-dimenzionální komplex v Rd. Jeho vrcholy jsou V = {ei, — ei, e2, — e2,..., e<j, — e<j}. Simplexy hranice crosspolytopu jsou tvořeny takovými podmnožinami F <ZV, které neobsahují dvojice antipodálních vrcholů. Zjevně je hranice crosspolytopu izomorfní (d— 1)-dimenzionální sféře. Na rozdíl od hranice simplexu je však symetrická vůči reflexím podél souřadnicových nadrovin a vůči zobrazení x t—> —x, čehož jde často využít.
Šachovnicový komplex Am „. Vrcholy tohoto komplexu jsou políčka na šachovnici mxn. Simplexy tohoto komplexu jsou takové množiny políček, že pokud na políčka z této množiny umístíme věže, tyto věže se nebudou navzájem ohrožovat. Všimněme si, že Am „ = A„m. a že pro K = Amrrt+i je každá (dimA" — l)-stěna obsažena přesně ve dvou fasetách.
Viděli jsme, že každý konečný komplex K lze realizovat v Rn, kde n je počet vrcholů K. Lze to však udělat i lépe; abychom to dokázali, zadefinujeme nejprve jeden pojem, který se nám bude hodit i později.
Definice 5. Momentová křivka 7 v Rd je zobrazení 7: R —>• Rd, 7(4) := (ŕ, t2, t3,..., td).
Lemma 6 (Vlastnosti momentové křivky). Každá nadrovina h protne momentovou křivku nejvýše v d bodech. Navíc protne-li ji přesně v d bodech, není v žádném bodě tečnou nadrovinou 707 tedy v každém bodě průniku prochází z jedné strany h na druhou.
Z toho vyplývá, že každých < d + 1 bodů na momentové křivce je afinně nezávislých (jinak bychom je mohli doplnit body 27 na (d + 1) bodů ležících na společné nadrovině.)
Důkaz. V souřadnicích má h tvar a\X\ + a^x^ + .. . + a^Xd — 6 = 0. Body na momentové křivce mají souřadnice (ŕ, t2, ... , td). Každý bod momentové křivky na h tedy řeší rovnici ait+a2t2 +. . . + adtd — b = 0 a ta má jakožto nenulová rovnice stupně d nejvýše d řešení. Pokud má přesně d řešení, tak nemá násobné
6Pokud K' konečný není, zkonstruujeme geometrický simpliciální komplex jakožto "limitu" geometrických simpliciálních komplexů realizující konečné podkomplexy K'. Jelikož nekonečné komplexy nebudeme potřebovat, upouštíme od přesného popisu technického limitního kroku.
5
kořeny, tedy polynom a\t + o^t2 + .. . + adtd — 6 = 0 mění znaménko v každém takovém bodě, neboli 7 přechází z jedné strany h na druhou. □
O množině bodů v Rd řekneme, že je v obecné poloze, pokud žádných k + 1 bodů neleží v afinním podprostoru dimenze k—l, pro každé k < d. Jakákoli podmnožina momentové křivky poskytuje konkrétní příklad množiny bodů v obecné poloze. Momentová křivka je nejjednodušší křivka s touto vlastností, ale existují i další (rj: R+ —>• Rd, t     (|, .. ., -j-^), či (í/ : (—ir, ir), t >->• (siní, cosi, sin 2t, cos 2t,. ..).)
Věta 7. Každý simpliciálnt komplex K dimenze d lze realizovat v R2d+1.
Důkaz. Umístíme-li vrcholy K do obecné polohy v Rd, tak se žádné dvě d-stěny nemohou protnout mimo sdílené vrcholy (věta o dimenzi spojení a průniku), můžeme tedy beze strachu doplnit kýžené simplexy. □
6