Domácí úloha 1
Úloha 1. Buď X ⊆ R2
množina konečné Lebesgueovy míry µ(X). Dokažte, že existují dvě
přímky p ⊥ q, které rozdělují rovinu na kvadranty A1, A2, A3, A4 tak, že µ(Ai∩X) = 1
4
µ(X),
i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Úloha 2. Nechť X, Y ⊆ R2
jsou množiny konečné Lebesgueovy míry µ(X), µ(Y ). Dokažte,
že existuje přímka p rozdělující rovinu na poloroviny p+
, p−
tak, že µ(p+
∩ X) = 1
2
µ(X) a
µ(p+
∩ Y ) = 1
2
µ(Y ).
Úloha 3. Dokažte, zobrazení f : R → R je spojité (topologicky) právě když je spojité
( − δ).
Úloha 4. Dokažte, že otevřený interval (a, b) ⊆ R a polouzavřený interval [c, d) ⊆ R
nejsou homeomorfní.
datum odevzdání – do 5 .10. 17:00
1