Pátý domácí úkol
1. Dokažte, že odhad v Szemerédi-Trotterově větě je těsný: Nalezněte takové C > 0 a nekonečně mnoho hodnot m,n, pro které existují množina bodů P a množina přímek L v M2 takové, že \P\ = to, \L\ = n a I(P,L) = Cm2/3n2/3. Nápověda: Zkuste body a přímky umístit pravidelně.
2. Dokažte, že máme-li n různých bodů v rovině, tak počet dvojic bodů s jednotkovou vzdáleností je 0(n4/3). Nápověda: Kolem každého bodu nakreslete kružnici s poloměrem 1 a položte si otázku, jak moc se liší přímky a kružnice?
3. Najděte případ množiny n bodů v R4 takových, že počet jednotkových vzdáleností mezi nimi je 0(n2). (Připomenutí: f(n) = 0(n2) znamená, že existuje n0 e N a konstanty C\, C2 > 0 takové, že Cín2 < f(n) < C*2n2 platí pro všechna n > uq.)
Nápověda: |       x2, X3, x^jW = \Ac2 + x\ + x\ + x\.
4. Uvažme torus T := S1 xS1 s antipodální akcí —{x, y) := (—x, —y). Ukažte, že pro T neplatí analogie Lusternik-Schnirelmannovy věty: Najděte pokrytí T pomocí tří uzavřených množin A\,Ä2, A% takové, že v žádném Ai neleží dvojice antipodálních bodů x, —x.
1