Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Brno, 2017 Předmluva Text pokrývá látku, která je přednášena v učitelském studiu matematiky v předmětu M5510 "Teorie kuželoseček a kvadrik". Přednáška vyžaduje předběžné znalosti lineární analytické geometrie v rozsahu skript Horák, Janyška [6] nebo učebnice Sekanina a kol. [12]. Obsahem textu je analytický přístup ke studiu kuželoseček (respektive kvadrik) v projektivní, afinní a euklidovské rovině (respektive prostoru). K ucelenému výkladu jsou potřebné některé kapitoly z algebry, které nejsou součástí povinného kurzu, proto jsme do textu zařadili tyto kapitoly v nezbytném minimálním rozsahu. Jde o komplexní rozšíření vektorového a afinního prostoru (Kapitola 1), projektivní rozšíření afinního prostoru (Kapitola 2) a konečně o úvod do teorie bilineárních a kvadratických forem (Kapitola 3). Těžiště textu je v Kapitole 4 (analytická teorie kuželoseček) a v Kapitole 5 (analytická teorie kvadrik). I když je náš přístup analytický, snažíme se co nejvíce zdůraznit geometrické vlastnosti definovaných pojmů. K tomu slouží i řada obrázků. Pro přehlednost textu jsou definice vyznačeny rámečkem a konce důkazů (respektive poznámek) jsou označeny symboly □ (respektive <)). Na konci každého paragrafu jsou uvedeny řešené příklady typické pro daný paragraf a v každé kapitole je zařazen paragraf s příklady na procvičení. V Brně, 2017 Kapitola 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENI PROSTORU Až dosud jsme v analytické geometrii uvažovali všechny prostory (vektorové, afinní, euklidovské) pouze nad tělesem reálných čísel. Pro potřeby teorie kuželoseček a kvadrik se však reálné prostory jeví jako nedostatečné. Ukážeme si, proč. V lineární geometrii, např. v euklidovské rovině, platilo, že dvě souřadnicové lineární rovnice určují stejný geometrický objekt (nadrovinu) tehdy a jen tehdy, liší-li se o nenulový násobek. Mějme ale dvě rovnice 2. stupně kde [x; y] jsou souřadnice bodu v rovině vzhledem k nějakému ortonormálnímu re-péru. Je zřejmé, že oběma rovnicím vyhovují pouze souřadnice počátku, tj. určují stejnou množinu v euklidovské rovině, a přitom není rovnice (2) násobkem rovnice (1). V této kapitole proto zavedeme takzvané komplexní rozšíření reálného prostoru tak, abychom docílili toho, že i dvě rovnice 2. stupně určují tutéž množinu právě tehdy, liší-li se o nenulový násobek. 1 Komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru Předpokládejme, že V je vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem reálných čísel. Podobným způsobem, jako se v teorii čísel sestrojí komplexní rozšíření tělesa reálných čísel v těleso komplexních čísel, sestrojíme i komplexní rozšíření vektorového prostoru V. Uvažujme množinu U x U a definujme na ní operaci sčítání a násobení komplexním číslem následujícím způsobem x2 + y2 = 0 , 2x2 + 3y2 = 0 (1) (2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a + i/3)(a, b) = (aa — /3b, ah + /3a). (1.1) (1.2) 1 1. Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostoru 2 Snadno se ověří, že V x V spolu s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly definovanými (1.1) a (1.2) je vektorovým prostorem nad tělesem komplexních čísel C. Definice 1.1. Množinu V x V s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly definovanými vztahy (1.1) a (1.2) budeme nazývat komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru V a označovat Vc. Uvažujme podmnožinu M = {(u, o) G V x V} C Vc. Snadno ověříme, že M je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly. Uvažujme zobrazení V na M, které přiřadí vektoru u E V vektor (u, o) G M. Toto zobrazení je izomorfizmem vektorového prostoru V na M. Při ztotožnění U a M tedy dostáváme, že U C Vc. Poznámka 1.1. U je podmnožina ve Vc, ale ne vektorový podprostor, protože V je definováno nad IR a Vc nad C. 0 Nyní můžeme každý vektor (u, v) G Vc psát následujícím způsobem (u, v) = (u, o) + (o, v) = (u, o) + ž(v, o) = u + zv . Vektor u G U budeme nazývat reálnou složkou (částí) a vektor v G U imaginární složkou (částí) vektoru w = u +žv G Vc a označovat u = JHe(w), v = Jm(w). Nulovým vektorem Vc je (o, o) = o + io = o. Věta 1.1. Vektory Ui,... , G V jsou lineárně nezávislé v prostoru V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně nezávislé v prostoru Vc. Důkaz. Je zřejmé, že jsou-li ui,..., G V lineárně závislé ve V, jsou i lineárně závislé ve Vc. Nechť jsou ui,..., lineárně závislé ve Vc. Potom existují komplexní čísla aj + i(3j, j = 1,..., k, taková, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí k tj. k k ^n;u; ■ ;;u; = O. Musí tedy platit 2\ľj=i ajuj = ° a současně Y^=i fijuj = °j přičemž alespoň jedno aj G ÍR nebo (33 G É je nenulové, což znamená, že vektory ui,..., jsou lineárně závislé ve V. Dokázali jsme tedy, že ui,..., jsou lineárně závislé ve V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně závislé ve Vc, což je tvrzení ekvivalentní tvrzení Věty 1.1. □ Věta 1.2. Každá báze prostoru V je i bází prostoru Vc. 1. Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostoru 3 Důkaz. Nechť ui,..., u„ je báze vektorového prostoru V. Potom ui,..., u„ jsou lineárně nezávislé ve Vc a musíme dokázat, že ul5..., u„ je systém generátorů Vc. Buď x + iy G Vc libovolný vektor. Potom existují reálná čísla x±,..., xn, yi,... ;yn tak, že x = Yľj=ixjuv y = ^2^=1 Vjuj- Odtud n n n j=i j=i j=i což dokazuje naši Větu 1.2. □ Definice 1.2. Každá báze prostoru Fc, která je současně i bází V, se nazývá reálná báze. Věta 1.3. Buď U podprostor vektorového prostoru V. Potom Uc je podprostorem vektorového prostoru Vc. Důkaz. Věta 1.3 je přímým důsledkem definice komplexního rozšíření vektorového prostoru. □ Definice 1.3. Podprostor W vektorového prostoru Vc, který je komplexním rozšířením podprostoru U Q V, se nazývá reálný podprostor a označujeme ho Uc. Ne každý podprostor ve Vc je reálný, ale každý podprostor ve Vc obsahuje nějaký reálný podprostor, minimálně triviální podprostor {o}. Vektory u + zv a u — zv se nazývají vektory komplexně sdružené. Je-li w G Vc, budeme komplexně sdružený vektor označovat w. Je-li W C Vc vektorový podprostor, je W = {w|w G W} vektorový podprostor nazývaný komplexně sdružený podprostor k podprostoru W. Pro komplexně sdružené vektory ve Vc platí vztahy obdobné vztahům pro komplexně sdružená čísla. Pro w, w' G Vc, k G C, platí w + w' = w + w', kw = k w . kde k je komplexně sdružené číslo k číslu k. Dále platí £He(w) = |(w + w), Jtn(w) = i(w - w). Věta 1.4. Vektorový podprostor W C Vc je reálný právě tehdy, když W = W. Důkaz. "=>"Nechť W je reálný podprostor ve Vc, tj. W = {w = u + zv, u, v G U} = Uc pro nějaký podprostor U C V. Je zřejmé, že pro každé w G W je i w G W, a tedy W = W. _ "<í=" Nechť W = W. Potom pro Vw G W je i w G W, a tedy i reálné vektory £He(w) G W. Množina U = {9lc(w)} je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly, a tedy je podprostorem ve V. Protože Jtn(w) = 9lc(—žw), je {Jm(w)} C U a w = íHc(w) + žJm(w). Potom W = UC. □ 1. Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostoru 4 Důsledek 1.1. Nechť W je podprostor ve V . Potom maximální reálný podprostor obsažený v W je W P W. o Při určování maximálního reálného podprostoru v podprostoru W C Vc postupujeme podle Důsledku 1.1. Při praktickém výpočtu postupujeme podle způsobu zadání W. Je-li W = L(wľ,..., wfc), určíme W = L(wľ,..., wfc) a W P W. Je-li dimW^ = dimW^ Pl W, je W reálný podprostor. Je-li podprostor W vzhledem k nějaké reálné bázi Vc zadán obecnými rovnicemi aiixi + aí2x2 H----+ aínxn = 0 , ; (i-3) a(n-k)íxí + a(n-k)2x2 + ' ' ' + a(n-k)nxn = 0 , al3 E C, je obecné vyjádření podprostoru W änxi + äi2x2 H----+ äínxn = 0 , ; (i-4) ä(n-k)lXl + ä(n-k)2x2 H----+ ä(„_fc)nX„ = 0 . Potom WílW je společným řešením soustav (1.3) a (1.4). Je-li W reálný podprostor, musí existovat takové jeho obecné vyjádření (1.3), že al3 E R. Věta 1.5. Nechť V a U jsou reálné vektorové prostory a ip : V —> U je lineárni zobrazení. Potom existuje právě jedno lineárni zobrazení ipc : Vc —> Uc takové, že pro každý vektor -k E V je <^>c(x) = v?(x). Je-li lineárni zobrazení (p prosté, je i lineárni zobrazení ipc prosté a je-li

U je lineárni zobrazení. Definujme zobrazení pP z Vc do Uc vztahem c(x) = v?(x) pro každý vektor x E V. Ověříme, že p)c je lineárni zobrazení. Necht x^ + íy^ E Vc, je surjektivní zobrazení. Necht x' + iy' G Uc je libovolný vektor. Protože ip je surjektivní zobrazení, existují vektory x, y G V takové, že v?(x) = x' a y?(y) = y'. Potom y?c(x + -íy) = x' + zy', a tedy i ipc je surjektivní. □ Definice 1.4. Zobrazení y?c definované ve Větě 1.5 se nazývá komplexní rozšíření lineárního zobrazení ip. Nechť vi,..., v„ je báze vektorového prostoru V a ui,..., um je báze vektorového prostoru U. Nechť vzhledem k těmto bázím má lineární zobrazení ip z V do U matici Av. To znamená, že má-li x G V souřadnicové vyjádření x = X]Vi + • • • + xn~vn a vektor y?(x) G U souřadnicové vyjádření y?(x) = x^ui + • • • + x'mum, potom x[ = anxi + aí2x2 + x'2 = a2ixi + a22^2 + al3 G IR, což píšeme maticově, při ztotožnění vektoru se sloupcovou maticí jeho souřadnic, ve tvaru y?(x) = Av~x.. Protože každá báze prostoru V je i bází prostoru Vc a podobně, každá báze prostoru U je i bází prostoru Uc, můžeme vyjádřit i matici Avc vzhledem k bázím vi,..., v„ a ui,..., um. Věta 1.6. Pro libovolné lineární zobrazení ip z V do U jsou matice Av a Avc vzhledem k reálným bázím v Vc a Uc totožné. Důkaz. Nechť v bázích vi,..., v„ ve V a ui,..., um v U je Av matice lineárního zobrazení p> z V do U. Podle (1.5) je y?c(x + iy) = y?(x) + *V(y) = ^x + ^A^y = Av(x + iy). □ Poznámka 1.2. Je třeba si uvědomit, jaký je rozdíl mezi souřadnicovým vyjádřením libovolného lineárního zobrazení z Vc do Uc a komplexním rozšířením lineárního zobrazení z V do U. Zatímco matice komplexního rozšíření reálného lineárního zobrazení vzhledem k reálným bázím je definována nad IR, je obecně matice libovolného lineárního zobrazení z Vc do Uc definována nad C. <) Úloha 1.1. Ověřte, zda podprostor W ve určený vektory Ui = (1; 1 + i; 1 — i) a U2 = (1 + i; 0; 2 + 2i) je reálný. V případě, že ano, určete nějakou jeho reálnou bázi. Řešení: Stačí ověřit, jaká je dimenze podprostoru W Pl W. Protože hodnost matice sestavené ze souřadnic vektorů ui, U2, Ui a U2 je rovna dvěma a protože 2. Komplexní rozšíření reálného afínního prostoru 6 dimVU = 2 = dimVU, je dim(W^ n W) = 2, tedy W = W a W je reálný. Reálnou bázi tvoří např. vektory SHe(iii) = (1; 1; 1) a Jm(ui) = (0; 1; —1). Úloha 1.2. Nechť podprostor W ve V3C je v nějaké reálné bázi zadán obecnou rovnicí W : (1 + 2i)xx + 3ix2 + (2 - 2i)x3 = 0. Určete maximální reálný podprostor ležící v W. Řešení: Obecné rovnice komplexně sdruženého podprostoru W jsou W:(l- 2i)x1 - 3ix2 + (2 + 2i)x3 = 0 . Maximální reálný podprostor v W je W n W, který je řešením soustavy rovnic (1 + 2i)xx + 3ix2 + (2 - 2i)x3 = 0 , (1 - 2i)xx - 3ix2 + (2 + 2i)x3 = 0 . Obecné řešení této soustavy je reálný jednodimenzionální podprostor generovaný vektorem (—2; 2; 1). 2 Komplexní rozšíření reálného afinního prostoru V předchozím kurzu analytické geometrie jsme zavedli reálný n-rozměrný afinní prostor jako uspořádanou trojici (A., V, ~^), kde A je neprázdná množina bodů, V je n-dimenzionální reálný vektorový prostor zaměření ěl ^ : A X A —> V je zobrazení splňující dva axiomy afinního prostoru. Nyní tento prostor rozšíříme v komplexní afinní prostor. Věta 2.1. Bud'Ac = AxV a zobrazení: Ac X Ac —> Vc (komplexnírozšíření prostoru V) definované vztahem kde X, Y G A, u, v G V. Potom trojice (Ac, Vc, ~^c) je komplexní afinní prostor. Důkaz. Musíme dokázat, že pro zobrazení (2.1) platí axiomy afinního prostoru. Nechť je dán libovolný prvek (X, u) G Ac a libovolný vektor w = wx + iw2 G Vc. Potom existuje jediný prvek (V, v) G Ac takový, že je splněno (2.1). Konkrétně Y = X + wi av = u + w2. Dále pro libovolné tři prvky (X, u), (Y, v), (Z, w) G Ac platí (X, u)(y, v)C + (F, v)(Z, w)c = xÝ+i(v-u)+YZ+i(w-v) = XZ+i(w-u) = (X, u)(Z, wj, a tedy (AC,VC,^C) je afinní prostor nad tělesem komplexních čísel Dále budeme body A G A ztotožňovat s prvky (A, o) G Ac. Při tomto ztotožnění můžeme A považovat za podmnožinu v Ac, která ovšem není afinním podprostorem. (2.1) C. □ 2. Komplexní rozšíření reálného afínního prostoru 7 Definice 2.1. Komplexní afinní prostor A sestrojený ve Větě 2.1 nazýváme komplexní rozšíření reálného afinního prostoru A. Úmluva. Jsou-li (X, u), (Y, v) g „4c,w g Yc, budeme místo (X, u)(Y, v)c = w psát (Y, v) = (X, u) + w, což je ekvivalentní rovnostem Y" = X + wi, v = u + W2, kde w = wi + řw2. Při ztotožnění X g A s (X, o) g -4C a u g Y s (u, o) g Yc můžeme každý prvek (X, u) g Ac psát ve tvaru (X, u) = (X, o) + (o, u) = X + iu. Tedy každý bod (X, u) g A^ můžeme psát, při pevně zvoleném P g An, ve tvaru kde vektor v je jednoznačně určen podmínkou X = P + v. Zvolme nyní v afinním prostoru A afinní souřadnou soustavu afinním repérem Podle Věty 1.2 určuje repér (2.2) afinní souřadnou soustavou také v Ac a takovou afinní souřadnou soustavu budeme nazývat reálná afinní souřadná soustava. To znamená, že vzhledem k repéru (2.2) můžeme každému bodu X + iu g Ac přiřadit uspořádanou n-tici komplexních čísel [x± + iui,..., xn + iun] takovou, že x + iu = p + J2t =i(xj + íuj)uv kde [xi;... ;xn] jsou souřadnice bodu X g A v afinní souřadné soustavě určené repérem (2.2) a (ui; ... ; un) jsou souřadnice vektoru u g Y v bázi Ui,.. ., u„. Bod IgÍ má vzhledem k (2.2) stejné souřadnice v A i v Ac. Navíc X g Ac leží v A právě tehdy, jsou-li jeho souřadnice vzhledem k reálné afinní souřadné soustavě určené repérem (2.2) reálná čísla. Definice 2.2. Buď B afinní podprostor v A a VY jeho zaměření. Potom množinu B X W nazýváme komplexní rozšíření podprostoru B a značíme ji Bc. Je zřejmé, že B je afinním podprostorem v A . Obráceně ale neplatí, že každý afinní podprostor v Ac je komplexním rozšířením nějakého afinního podprostoru v A. Například bod X + iu g Ac je afinním podprostorem v Ac a pro u/o není komplexním rozšířením žádného podprostoru v A. Afinní podprostor v Ac, který vznikl jako komplexní rozšíření afinního podprostoru v A, budeme nazývat reálný afinní podprostor. Ke každému bodu X + iu g Ac můžeme sestrojit bod X — iu g Ac. Tento bod budeme nazývat komplexně sdružený k bodu X + iu. Jsou-li dva body z Ac navzájem komplexně sdruženy, pak jejich souřadnice v libovolné reálné afinní souřadné soustavě v Ac jsou uspořádané n-tice navzájem komplexně sdružených čísel. Je-li B afinní podprostor v Ac určený bodem B g Ac a zaměřením W c Yc, je podprostor určený bodem B a zaměřením W afinní podprostor komplexně sdružený P + v +iu {P;uu... (2.2) 2. Komplexní rozšíření reálného afínního prostoru 8 k afinnímu podprostoru B a budeme ho označovat B. Podprostor B je reálný právě tehdy, je-li B = B. Obecně mohou podprostory B = {B, W} a B = {B, W} mít nejrůznější vzájemné polohy. Mohou být mimoběžné, rovnoběžné i různoběžné. V případě, že jsou různoběžné, je jejich průnik reálný podprostor. Určování vzájemných poloh, průniku a součtu podprostoru je stejné jako v reálném případě. Věta 2.2. Mějme dány reálné afinní prostory An a Am a afinní zobrazení f : An —> Am. Potom existuje právě jedno afinní zobrazení fc : A^ —> Am takové, že fc(X) = f(X) pro každý bod X G An. Důkaz. Zvolme libovolný bod P G An a označme P' = f(P) G Am. Potom f[P + u) = P' + (ff(u), kde iff je asociované lineární zobrazení ze zaměření An do zaměření Am. Máme jednoznačně určené zobrazení fc : A^ —> Am, které zobrazí bod (P + u, v) z A^ na bod P' + <^>j(u + žv), kde : xi = 1 + t + žs, X2 = it, X3 = i + s, X4 = (1 + i) + (2 + ž)í. { a) 2xi — X2 + X3 = 0, 3xi + X2 + 5x4 = 0, b) bod [Í;I;-|;-|],C) bod [2; §; §; |] } 3.10. Určete vzájemnou polohu podprostoru v : a) BaC jsou podprostory z cvičení 3.9, b) B je podprostor z cvičení 3.9 a C : X = [1; 0; 0; 1] + t(0; 1; 1; i). { a) podprostory se protínají v přímce, b) podprostory se protínají v bodě [1; ^(l + 21z); ^(l + 21z); ^(-8 + ž)] } 3.11. Nechť ip a ip jsou lineární zobrazení z reálného vektorového prostoru V do reálného vektorového prostoru U. Dokažte, že zobrazení $ z Vc do ?7C definované předpisem $(x + žy) = y?(x) — i/>(y) + i( Am afinní zobrazení a ip : Z(An) —> Z(Am) lineární zobrazení, je 1 . j^-n —r s\m zadané předpisem F(P + u + iv) = f(P) + ^/(u) - ^(v) + i( Poznámka 4.2. Přesněji by mělo být řečeno, že projektivním prostorem je dvojice (Vn, Vn+i). Pokud nemůže dojít k záměně vektorového prostoru Vn+i, budeme psát jen Vn- <> 12 4. Projektivní prostory 13 Definice 4.2. Body A\ = {ai),...,Ak = (afc) nazveme lineárně nezávislé (závislé), jestliže jsou lineárně nezávislé (závislé) vektory ai,...,afc. Řekneme, že bod A = (a) je lineární kombinací bodů A\,. .. ; Ak, jestliže vektor a je lineární kombinací vektorů ai,..., a^. Je-li a = a±ai + ... + akak, píšeme formálně A = ol\A\ + ... + akAk._ Poznámka 4.3. Z vlastností vektorových prostorů vyplývá, že v Vn existuje nejvýše in + 1) lineárně nezávislých bodů. <) Poznámka 4.4. Lineárně nezávislé body budeme také nazývat body v obecné poloze. 0 Definice 4.3. Aritmetickou bází projektivního prostoru Vn rozumíme libovolnou bázi Ui, ..., ura+i vektorového prostoru Vn+i. Geometrickou bází (projektivním re-pérem) prostoru Vn rozumíme libovolnou in + 2)-tici bodů {0\,.. . ; On+i, E) takových, že libovolných in + 1) z nich je lineárně nezávislých. Body 0\,... ; On+i nazýváme základní body a bod E jednotkový bod geometrické báze. Věta 4.1. Je-li Ui, ..., ura+i aritmetická báze prostoru Vn, potom ((ui),..., (un+i), (Ui + . . . + Un+i)) je geometrická báze Vn. Důkaz. Stačí ukázat, že pro libovolné i je ul5..., Uj_i, ul+1,..., ura+1, Ui+... +ura+1 soustava nezávislých vektorů. Nechť tedy «iUi + ... + aj.iUj.i + amul+i + . .. + an+iun+i + an+2(ui + ... + un+i) = o «i,.. ., an+2 G T. Vektory ui,.. ., ura+i jsou lineárně nezávislé, a tedy musí být «i + an+2 = .. . = oíj-i + an+2 = an+2 = al+1 + an+2 = ... = an+1 + an+2 = 0, odtud oi\ = .. . = oíí-i = ckj+i = . .. = an+\ = —an+2 = 0. □ Věta 4.2. Je-li {0\,. .. ;On+i,E) geometrická báze Vn, pak existuje aritmetická báze ui, ..., un+i taková, že 0\ = (ui), ..., On+1 = (un+i), E = (ui+ ... + un+i). Je-li vi, ..., vra+i jiná aritmetická báze s touto vlastností, pak existuje a £ T, a / 0, takové, že ~vl = aut, i = 1,... , n + 1. Důkaz. Nechť (Oi,... ; On+i, E) je geometrická báze. Uvažujme libovolné aritmetické zástupce wi,... , wn+i, w těchto bodů. Vektory wi, ..., wra+i musí být lineárně nezávislé, a tedy w = ciwi + • • • + cn+iwn+i. Navíc všechny koeficienty q jsou nenulové. Kdyby se totiž Q = 0 pro některé i, potom by byly body 0\,.. . ; Ol-\, Ol+i, ..., On+i, E lineárně závislé, což je spor s předpokladem, že {0±;... ; On+i, E) tvoří geometrickou bázi. Položme nyní Uj = c,w„ u = w. Potom je Ol = (uj) a E = (u) = 4. Projektivní prostory 14 (ui + ... + Ujj+i). Je-li vi,..., vra+i jiná aritmetická báze s uvedenou vlastností, je vi = «iUi,... , vn+i = an+iun+i, vi + . .. + vn+i = an+2(ui + ... + un+i). Odtud dostaneme «iUi + . .. + an+1un+1 = an+2(ui + .. . + un+i) a z nezávislosti vektorů ui,..., ura+i je «i - OLn+2 = ... = an+1 - an+2 = 0 , tedy cti = . .. = an+i = an+2 = a. □ Definice 4.4. Nechť X G Vn je bod, (Oi,... ; -B) je geometrická báze Vn taková, že Oi = (ui),..., On+\ = (ura+i), E = (ui + ... + un+i). Nechť X = (x), kde X = XiUi + . . . + Xn+1un+1 Xj G T. Potom uspořádanou (n+l)-tici (x±, ..., xn+i) prvků z T nazveme projektivními homogenními souřadnicemi bodu X vzhledem ke geometrické bázi (Oj, ■ ■ ■ , On+l, E)._ Věta 4.3. Nechť bod X G Vn má vzhledem k libovolné geometrické bázi (Oi;... ; On+i, projektivní homogenní souřadnice (xi, ... ; xn+i). Potom (i) alespoň jedno z čísel xi;... ; xn+i je nenulové, (ii) (yi, ... ; yn+i) jsou také projektivní homogenní souřadnice bodu X vzhledem ke geometrické bázi (Oi; ... ; On+i, E) tehdy a jenom tehdy, když existuje a £ T, a / 0, takové, že yt = ai„ i = 1, ..., n + 1. Důkaz, (i) Je-li X = (x), je x ^ o, a tedy alespoň jedna souřadnice vektoru x vzhledem k aritmetické bázi ui,..., ura+i generované geometrickou bází (Oi;... ; On+i, E) musí být nenulová. (ii) Je-li X = (x) a současně X = (y), existuje takový nenulový prvek (3 z T, že y = /3x. Dále můžeme uvažovat jinou aritmetickou bázi vi,..., vn+i generovanou geometrickou bází (Oi;... ; On+i, E). Podle Věty 4.2 existuje nenulové 7 G T takové, že Vj = 7Uj. Potom y = yiVi H-----h y„+ivn+i je ekvivalentní x = ^(yiUi H-----h yn+1un+1) a odtud vyplývá yl = axt, kde a = □ Věta 4.4. Body Ai, ... ; Ak jsou lineárně nezávislé tehdy a jenom tehdy, když matice, jejíž řádky či sloupce tvoří souřadnice bodů A±;. .. ; Ak vzhledem k nějaké geometrické bázi, má hodnost k. Důkaz. Převede se na lineární nezávislost aritmetických zástupců. □ Definice 4.5. Nechť (Vn, Vn+i) je projektivní prostor a Wk+i je (k + l)-rozměrný podprostor ve Vn+i, pak množinu všech bodů projektivního prostoru Vn, jejichž aritmetičtí zástupci patří do Wk+i, nazveme k-rozměrným projektivním podpro-storem prostoru Vn. Jednorozměrný podprostor nazýváme přímka^ dvourozměrný rovina a in — l)-rozměrný nadrovina v Vn. 4. Projektivní prostory 15 Věta 4.5. Nechť (Qk, Wk+i) a (IZi, t/z+i) jsou dva podprostory projektivního prostoru (Vn, Vn+i). Pak platí: (i) množina Qk + Tli = {(u)|o / u£ Wk+i + ř/z+i} je projektivním podprostorem v Vn, (ii) Qfc H 7?./ je projektivním podprostorem v Vn, přičemž Qk^ilZi = {(u) |o ^ u G %inf/w}- Důkaz. Vyplývá okamžitě z definice projektivního podprostoru. □ Poznámka 4.5. Při označení z Věty 4.5 nazýváme podprostor Qk + 7?./ součtem (spojením) a Qfc H 7£/ nazýváme průnikem projektivních podprostoru Qk a 7?./. Z vlastností součtu a průniku vektorových podprostoru je zřejmé, že Qk + TZi obsahuje jako podmnožinu množinové sjednocení Qk a IZi. Dále platí dim(Qfc + IZi) = /c + /-dim(Qfcn7e/). 0 Věta 4.6. Nechť Qk je k-rozmčrný podprostor v Vn. Pak (i) v Qk existuje k + 1 lineárně nezávislých bodů, (ii) libovolných l > k + 2 6oíM z je lineárně závislých, (iii) jsou-li A\ = (ai),.. ., .<4fc+i = (a^+i) lineárně nezávislé body z Qk a X = (x) G Vn, pak X E Qk právě tehdy, když x = A^ +. .. + Afc+1afc+1 pro nějaká A, G T a alespoň jedno Aj ^ 0. Důkaz. Vlastnosti (i) a (ii) jsou zřejmé z lineární nezávislosti aritmetických zástupců. (iii) Nechť Qk má aritmetický základ Wk+i- Potom ai,...,afc+i je báze Wk+i a tedy, je-li X = (x) G Qk, jex ^ o G Wk+i a existují Aj G T,i = 1,.. ., k + 1 taková, že x = X^=i a alespoň jedno Aj je nenulové. □ Každý bod X G Qk lze napsat formálně jako X = AiAi + • • • + Xk+iAk+i, (4.1) kde Ai;... ;Ak+i jsou libovolné lineárně nezávislé body z Q^. Takovéto zadání k-rozměrného podprostoru pomocí lineárně nezávislých bodů budeme nazývat parametrické zadání podprostoru Qk- Poznámka 4.6. Je-li bod X G Qk vyjádřen jako v (4.1), budeme říkat, že X je projektivní kombinací lineárně nezávislých bodů A±;... ; Ak+i- Všimněme si, že u projektivní kombinace bodů klademe na koeficienty Aj G T, í = 1,..., /c + 1, jedinou podmínku, a to, aby alespoň jedno Aj bylo nenulové. To je rozdíl proti afinní kombinaci bodů, kterou známe z afinní lineární geometrie, kde byla podmínka, aby součet koeficientů byl roven jedné. Parametrického zápisu projektivního podprostoru budeme často používat v případě jednodimenzionálního podprostoru, tj. přímky. Je-li přímka p určena body A, B E Vn, A ^ B, potom X E p právě tehdy, když X = aA +I3B a alespoň jedno z čísel a, (3 je různé od nuly. <) 4. Projektivní prostory 16 w Věta 4.7. Necht Vn je projektivní prostor a {0±; ... ; -B) je jeho geometrická báze. f au ■ ■ ■ Qlra+l^ (i) Nechť M = \ _ _ _ \ je matice nad T, h(M) < n. Potom množina \an ... ain+iJ všech bodů X zVn, jejichž projektivní homogenní souřadnice (xi,. .. ;xn+i) vzhledem ke geometrické bázi {Oi, ... ; On+i, E) vyhovují homogenní soustavě rovnic M : = : , (4.2) \xn+i J tvoří in — h(M))-rozměrný podprostor v Vn. (ii) Každý podprostor v Vn lze zadat způsobem popsaným v (i). Důkaz. Ad (i). Nechť 0% = {uí),E = {^2lul). Potom množina vektorů x G Vn+i, jejichž souřadnice vzhledem k bázi ui,..., ura+i vyhovují soustavě (4.2), tvoří ((n + 1) — /?.(M))-rozměrný podprostor W C Vn+i, který určuje in — /?.(M))-rozměrný podprostor QcPn. Ad (ii). Tato část byla dokázána v lineární algebře, kde bylo dokázáno, že každý podprostor vektorového prostoru se může v souřadnicích zadat jako řešení homogenní soustavy rovnic. □ Vyjádření podprostoru Q popsané v předchozí větě se nazývá obecným vyjádřením podprostoru. Jako důsledek Věty 4.7 dostáváme, že obecné vyjádření nadroviny, tj. podprostoru dimenze in — 1), je aixi H-----h an+ixn+i = 0, (aľ,... , an+1) ^ (0,.. ., 0). Poznámka 4.7. Všimněme si, že na rozdíl od obecného vyjádření podprostoru v afinním nebo euklidovském prostoru, je obecné vyjádření podprostoru v projektivním prostoru dáno homogenními rovnicemi. <) Poznámka 4.8. Z předchozího obecného vyjádření nadroviny okamžitě vyplývá, že dvě nadroviny v Vn buď splývají (v tom případě se jejich obecné rovnice liší o nenulový násobek), nebo mají společný podprostor dimenze in—2). V projektivním prostoru tedy není definován pojem rovnobežnosti nadrovin. <) Přechod od jednoho typu zadání podprostoru k druhému je následující. Nechť /c-rozměrný podprostor Qk je zadán obecným vyjádřením (4.2). Potom každé řešení soustavy (4.2) je tvaru x = ciUi + ... + c^+iUfc+i, kde ui,..., u^+i je fundamentální systém řešení (4.2). Potom X = ci(ui) + ... + Cfc+i(ufc+i) je parametrické vyjádření Qk- Opačně, je-li zadáno parametrické vyjádření, musíme k danému fundamentálnímu systému řešení nalézt příslušný homogenní systém rovnic. Z algebry víme, že to 4. Projektivní prostory 17 lze provést vždy a tento systém rovnic je potom obecným vyjádřením podprostoru Mějme nyní dvě geometrické báze v Vn (Oi;... ;On+1,E), {0[,...,0>n+1,E>) (4.3) (4.4) takové, že O, = {et),E = e*), O- = (e-), E' = e-). Potom vektory ei,..., en+i a e'l5..., e'n+1 tvoří dvě báze ve Vn+i, a tedy každý vektor je lineární kombinací vektorů el5..., era+1. Maticově to můžeme zapsat formálně ve tvaru (e[ ... e'n+l) = (ei---e„+i)Q, (4.5) kde matice Q je takzvaná matice přechodu od báze el5..., era+1 k bázi e'l5..., e'n+1 a je tvořena souřadnicemi vektorů vzhledem k druhé bázi ei,... ,en+i uspořádanými do sloupců. Potom vektor x G V, který generuje bod X G Vn, můžeme vzhledem k první bázi vyjádřit maticově jako x = (ei. ..en+1) a vzhledem k druhé jako X — (el • • • en+l) ( Xl \ \Xn+l) Í ^ \ \Xn+l J Dosadíme nyní za (e^ ... e'n+1) z (4.5) a dostaneme x = (ei... en+1) ( X[ \ \Xn+lJ Máme tedy dvě vyjádření vektoru x vzhledem k první bázi. Protože souřadnicová vyjádření bodu X vzhledem k téže geometrické bázi se mohou lišit o nenulový násobek, dostaneme ( X1 \ ( \ = OL Q \Xn+l) \Xn+lJ a / 0 £ T. Matice a Q se nazývá matice přechodu od první geometrické báze k druhé geometrické bázi. V jejich sloupcích jsou souřadnice bodů 0\ vyjádřené vzhledem 4. Projektivní prostory 18 ke staré geometrické bázi. Matice a Q je určena až na nenulový násobek. Budeme-/ x1 \ li w = značit sloupcovou matici projektivních homogenních souřadnic ( x'i \ vzhledem k nové geomet- vzhledem ke staré geometrické bázi a (Xr) = \Xn+lJ rické bázi, je (X) = aQ(X') maticový zápis transformačních rovnic v projektivním prostoru. Úloha 4.1. V V'i je dána geometrická báze (0\, 02, Os, O4, E). Určete obecné i parametrické vyjádření roviny procházející body 0\ = (1;0;0;0), 02 = (0;1;0;0) a A = (2; 1; 1; —1). Řešení: Parametrické vyjádření p = (0±, 02, A) je p : X = ol\0\ + «202 + ol^A, tj X\ = Ol\ + 2«3 , x2= a2 + a3 , X3= D>3, X4 = —«3 . Obecná rovnice má tvar p : a\X\ + 02^2 + 03^3 + 042:4 = 0. Souřadnice 0\,02, A musí být řešením, tedy ai =0, a2 = 0, 1a\ + a2 + 03 — 04 = 0 . p : X3 + X4 = 0 . Odtud Poznámka: Obecná rovnice roviny v V3, která je určena body At = (au, al2, al3, a^), í X\ X2 X3 X4 \ /X\ X2 X3 X4 \ i = 1,2, 3, je také det -X3 — x4 = 0. flll a12 a13 a14 Q21 Q22 Q23 a24 VQ31 «32 033 «34/ 0. Odtud p : det 10 0 0 0 10 0 V2 1 1 -V Úloha 4.2. V P3 je dána geometrická báze (Oi,02,Oz,04,E). Určete transformační rovnice při přechodu k nové geometrické bázi 0[ = (1; 1; 0; 0), 0'2 = (0; 1; 1; 0), 03 = (0; 0; 1; 1), 0'4 = (0; 0; 0; 1), E' = £Í=i 0't. 5. Přechod od projektivního prostoru k afínnímu 19 Řešení: Vzhledem k první bázi máme X = X1O1+X2O2 + X3O3 + X4O4. Vzhledem k nové bázi je X = x\0\ + x2(32 + x'30'3 + x\0\ a dosazením dostaneme X = x'10[ + x2(32 + x'30'3 + x'40'4 = = + 02) + x'2{o2 + o3) + 4(o3 + o4) + 404 = = xíOi + + x2)02 + {x'2 + a:3)C>3 + (x'3 + x^C^ . Tedy X má vzhledem ke staré bázi také souřadnice X = ( Protože bod je svými projektivními homogenními souřadnicemi dán až na nenulový násobek, jsou transformační rovnice tvaru xi = ax'ľ, x2 = ax'ľ + ax2 , x 3 = ctx2 + ax3 , x 4 = ax3 + ax'4 , kde a / O £ T. 5 Přechod od projektivního prostoru k afinnímu Nechť Vn je n-rozměrný projektivní prostor a Vn+i jeho aritmetický základ. Nechť Aí je nadrovina (tj. podprostor dimenze (n — l)) v Vn určený vektorovým podprostorem Un c Vn+i. Dále budeme Aí nazývat nadrovinou nevlastních bodů. Zvolme geometrickou bázi Oi,... ;On G A/", On+i,E 0 A/", 0% = (eA, E = (Ž2í Gj), "i = 1, • • •, íT- + 1. Označme An := Vn — Aí. Potom ve zvolené geometrické bázi má Aí obecné rovnice xn+i = 0. Nechť X = (x), Y = (y) G An. Potom x = xiei H-----h xn+1en+1, xn+1 ^ 0 , y = Vi^i H-----h y„+ien+i, yn+1 ^ 0 . Položme xl = = i = 1,... ,n, a XY* = (yx-xi)ei +... + (yn-xn)en. Je zřejmé, že je takto definováno zobrazení ~^ : An x An —> Un. Aby trojice (An, Un, ~~*) tvořila afinní prostor, musíme dokázat, že platí následující axiomy afinního prostoru 1. pro každý bod X z An a každý vektor u z Un existuje právě jeden bod Y z An takový, že XÝ = u, 2. pro každé tři body X, Y, Z z A platí XÝ + YZ = XZ. Ad 1) Nechť X = (xi,..., xn+i), u = aiei + • • • + anen. Hledáme Y G An tak, aby AľY = u, tedy aby Ví 1 ---= a j, z = 1,.. ., n . Un+l xn+l 6. Projektivní rozšíření afínního prostoru 20 Známe-li x±,... , xn+i a ol\, • • •, in, jsou těmito rovnicemi určeny yi,.. ., yn+i až na nenulové násobky, a tedy bod Y je určen jednoznačně svými projektivními homogenními souřadnicemi. Ad 2) Pro každé tři body X,Y, Z E An o souřadnicovém vyjádření X = (xi,. .. ; xn+1), Y = (yi,. .. ; yn+i), Z = (zi,.. . ; zn+1) máme XY YÉ = Vn+1 xn+l Vn+1 xn+l zi yi zn yr< zn+l y-n+1 zn+l , zl xl zn xn \ X Z zn-\-l xn-\-l zn-\-l xn-\-l Tedy (An, Un, ~~*) je afinní prostor se zaměřením Un a protože dimenze Un je rovna n, je i dimAn = n. Přitom geometrická báze (0\;... ; On+i, E) přejde v afinní repér (On+i, e±,..., en). Je-li bod X ^ Aí s projektivními homogenními souřadnicemi (xi,.. . ;xn+i), potom jeho souřadnicové vyjádření vzhledem k odpovídajícímu afinnímu repér u je , . . . , . Je-li X = (xi;... : xn, 0) G Áí v projektivních Xn + l Xn + 1 homogenních souřadnicích, potom mu odpovídá v indukované afinní souřadné soustavě směr generovaný vektorem (xi,.. . ; xn) ze zaměření Un. Poznámka 5.1. Popsaná konstrukce závisela v podstatné míře na zvolené geo- metrické bázi. Dá se ovšem ukázat, že ať zvolíme body 0\,... ; On G Áí jakkoliv, vzniká popsanou konstrukcí afinní prostor totožný s předchozím. 6 Projektivní rozšíření afinního prostoru Nechť An = (An, Vn, ~~*) je n-rozměrný afinní prostor. Označme ÁÍa množinu všech jednodimenzionálních podprostorů (směrů) Vn, tj. ÁÍa = {(u)|u 7^ o, u G V} je (n — l)-rozměrný projektivní prostor. Položme Vn = An U ÁÍa- Máme tedy v Vn dva druhy bodů. Ty, které patří do An, budeme nazývat vlastní body a ty, které patří do Na, budeme nazývat nevlastní body. Dokážeme nyní, že Vn je n-rozměrný projektivní prostor. Definujme Wn+i = Vn © (e), e ^ Vn, vektorový prostor dimenze (n + 1) a V'n jím určený n-rozměrný projektivní prostor. Musíme dokázat, že Vn a T~"n jsou izomorfní. Uvažujme zobrazení 1 : Vn —> T"n definované následujícím způsobem i(X) = (e + OŘ) proX G An a pevný bod O G An t((x)) = (x) pro (x) G Ma ■ Nyní musíme dokázat, že l je bijekce. 6. Projektivní rozšíření afínního prostoru 21 1) Injektivnost. Na AOi jde o identitu, a tedy o prosté zobrazení. Nechť X, Y G An jsou dva body takové, že l(X) = l(Y). Potom (e + 0~Ř) = (e + 0~Ý), a tedy existuje a/0 takové, že a(e + OV) = e + 01^ a odtud (1 — a) e + aXÔ + 01^ = o. Součet V © {e} je přímý, a tedy (1 — a)e = o a aXÓ + OY = o. Odtud, protože e o, je a = 1 a + OY = XY = o, což implikuje X = Y. Je tedy t prosté i na An. Pro X G An a F G A/^ je z definice i(X) ^ l(Y), a tedy l je prosté zobrazení. 2) Surjektivnost. Nechť w G Wn+i- Potom existují v G Vn a (3 G T taková, že w = v + /3e. a) Nechť (3 = O, potom w = v a t((v)) = (w). b) Nechť ^ O a nechť l£ A. tak, že ÔX = ^v. Potom = (e + OX) = (e + i v) = (/3e + v) = (w). Protože w G Wn+i bylo libovolné, je surjektivnost l dokázána. Definice 6.1. Projektivní prostor Vn = An U Aí^ budeme nazývat projektivní rozšíření afinního prostoru An a označovat An. Nechť Bk = (Bk,Uk,^) je /c-rozměrný podprostor afinního prostoru An. Potom projektivní rozšíření Bk = Bk U A/g afinního prostoru Bk je /c-rozměrným projektivním podprostorem v projektivním rozšíření An = An U AOi afinního prostoru An- Nechť {P;e1,...,en) (6.1) je afinní repér v An. Potom «ei),...,)) (6.2) je geometrická báze projektivního prostoru An. Je-li bod X G An vlastní, tj. leží-li v An, jsou jeho souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (6.1) označovány x\,.. . ; xn-Tyto souřadnice budeme nazývat afinní nehomogenní souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Vzhledem k indukované geometrické bázi (6.2) má potom bod X = (e + PŘ) indukované projektivní homogenní souřadnice (x\; ... ;xn, 1), které jsou ale určeny až na nenulový násobek, a tedy jakákoliv uspořádaná in + 1)-tice ixi,... ;xn+i) prvků z T takových, že xn+i / O a i; = ^-j- je homogenními projektivními souřadnicemi vlastního bodu X G An určenými afinním repérem (6.1). Tyto souřadnice budeme nazývat afinní homogenní souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Nechť nyní X G An je nevlastní bod, tj. X = (x), kde x je nenulový vektor ze zaměření An. Potom vzhledem k afinnímu repéru (6.1) má vektor x souřadnice (xi,... ;xn) a v indukované geometrické bázi (6.2) na An je bod X = (x + Oe) vyjádřen souřadnicemi (xi,... ; xn, 0), které budeme nazývat afinními homogenními souřadnicemi nevlastního bodu vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Zavedení afinních homogenních souřadnic nám tedy umožňuje pracovat souřadnicově i s nevlastními body, což nehomogenní souřadnice neumožňovaly. 7. Cvičení 22 Úloha 6.1. Vzhledem k afinnímu repéru {P; e±, e2, 63) v A3 je dána přímka p obecným vyjádřením p : 2x + y — z — 2 = 0; x — y + z + 1 = 0. Určete rovnice přímky p v indukovaných afinních homogenních souřadnicích a určete souřadnice nevlastního bodu přímky p. Řešení: V rovnicích přímky p položíme x = — ,y = — , z = ^ a rovnice vyná-sobíme x4. Dostaneme obecné rovnice přímky p ve tvaru p : 2x\ + X2 — X3 — 2x4 = 0; x\ — X2 + X3 + X4 = 0. Nevlastní bod přímky p je průnikem přímky p s nevlastní rovinou X4 = 0. Dosazením X4 = 0 do homogenních rovnic přímky dostaneme Poo = (0;1;1;0). 7 Cvičení 7.1. V V-i je dána geometrická báze (Oi, O2, O3, O4, E). a) Určete obecné vyjádření rovin O1O2O3, O1O2E, O3O4E, b) Určete parametrické i obecné vyjádření přímek O1O2, 0±E, O4E. { a) O1O2O3 : X4 = 0, Oi02^ : x3 - x4 = 0, 0304£ : Xi — X2 = 0, b) O1O2 parametricky x\ = r,x2 = s,x3 = 0,x4 = 0, obecně X4 = 0, X3 = 0; 0\E parametricky x\ = r + s, x2 = s, X3 = s, x4 = s, obecně x2 — x4 = 0, x3 — x4 = 0; O4E parametricky x\ = s, X2 = s, X3 = s, x4 = r + s, obecně xi — X2 = 0, x\ — X3 = 0 } 7.2. V V'i je dána geometrická báze (Oi, O2, O3, O4, -B) a vzhledem k ní body A = (-3; 5; 15; 1), B = (0; 0; 7; 1), C = (2; -1; 4; 1), D = (4; -3; 0; 1). Ověřte, že přímky AB a C-D mají společný bod a určete jeho souřadnice. {P = (-3;5;22;2)} 7.3. V V3 je dána geometrická báze (Oi, O2, O3, O4, E) a vzhledem k ní bod A = (2; 3; 1; 1) a přímky p : x\ + X2 = 0, x\ — X2 + X3 + 4x4 = 0, g : x\ + 3x2 — x4 = 0, X2 + X3 — 2x4 = 0. Určete rovnice přímky, která prochází bodem A a protíná přímky p,q. { x\ — 9x2 + 5x3 + 20x4 = 0, x\ — 2x2 — 5^3 + 9x4 = 0 } 7.4. V V-i je dána geometrická báze (Oi, O2, O3, O4, E) a vzhledem k ní body A = (2; 3; 0; —4), B = (0; 3; —4; 0), rovina p : x\— 2x3 + 3x4 = 0 a přímka p : 2x\ — 3x3 = 0, x\ + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 0. Určete parametrické rovnice přímky, která leží v rovině p a protíná přímky AB a p. { X = a(45; -36; 30; 5) + /3(8; 27; -20; -16) } Kapitola 3 BILINEÁRNl A KVADRATICKÉ FORMY V této kapitole se budeme zabývat úvodem do algebraické teorie bilineárních a kvadratických forem, které jsou algebraickým základem analytické teorie kuželoseček a kvadrik. 8 Bilineární formy Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T, kde T je těleso reálných nebo komplexních čísel. Definice 8.1. Zobrazení / : V x V —> T se nazývá bilineární forma na vektorovém prostoru V, jestliže pro každé tři vektory x, y, z G V a každé a G T platí (1) /(x + y,z) = /(x,z) + /(y,z), (2) /(x,y + z) = /(x,y) + /(x,z), (3) /(ax, y) = /(x, ay) = a/(x, y)._ Podmínky (l)-(3) se dají také vyjádřit tak, že při pevně zvoleném vektoru u E V jsou zobrazení /(—, u) : ľ-í>Ta/(u, -) : V —> T lineární. Je tedy / lineární v obou složkách a takovéto zobrazení se nazývá bilineární zobrazení. Poznámka 8.1. Podmínky (l)-(3) z Definice 8.1 se dají vyjádřit ekvivalentně také podmínkami (ľ) /(aixi H-----h afcXfc, y) = «i/(xi, y) + .. . + afc/(xfc, y), (2') /(x, aiyi H-----h akyk) = ai/(x, yi) H-----h afc/(x, yfc). <> Poznámka 8.2. Zúžení bilineární formy / na podprostor V je bilineární forma na V. 0 Příklad 8.1. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru je příkladem bilineární formy. Příklad 8.2. /(x,y) = 0, Vx, y E V, je takzvaná nulová bilineární forma. 23 8. Bilinear ní formy 24 Příklad 8.3. Nechť V = R2, zobrazení fl : M2 x IR2 —> R zadaná předpisem /i(x, y) = xiyi - 2x21)2 + 3xiy2 , Í2(x,y) = x1y1 + x2y2, /3(x, y) = xiyi + xxy2 + x2yi + 2x2y2, /4(x,y) = xxy2 -x2yi, jsou bilineární formy na V. Zobrazení /s(x,y) = x2 -yi + xľy2 není bilineární formou. Definice 8.2. Řekneme, že bilineární forma / na V je symetrická, respektive antisymetrická, jestliže pro každé dva vektory x, y G V platí /(x,y) = /(y,x), respektive /(x,y) = -/(y,x). Příklad 8.4. Skalární součin je příkladem symetrické bilineární formy. Bilineární formy /2 a Í3 z Příkladu 8.3 jsou symetrické bilineární formy, zatímco /4 je antisymetrická bilineární forma. Definice 8.3. Součtem bilineárních forem /, g na V, respektive násobkem bili- neární formy / prvkem a G T, nazýváme zobrazení h : V x ľ -> T, respektive k : V x V —> T, taková, že pro Vx, y G V ^(x,y) = /(x,y) + ^(x,y), respektive /c(x,y) = a/(x,y). Značíme potom h = f + g, k = af. Poznámka 8.3. Součet i násobek bilineárních forem na V jsou opět bilineární formy na V a prostor bilineárních forem na F je vektorovým prostorem nad tělesem T. (} Věta 8.1. Ke každé bilineární formě f na V existují právě jedna symetrická bilineární forma f s a právě jedna antisymetrická bilineární forma f a na V takové, že /(x,y) = /5(x,y) + /A(x,y). Důkaz. Pro každé x, y G V položme /s(x,y) = i(/(x,y)+/(y,x)), /A(x,y) = i(/(x,y)-/(y,x)). Je zřejmé, že f g je symetrická a f a je antisymetrická bilineární forma a že / = Js+Ja- 8. Bilinear ní formy 25 Nechť existuje jiná symetrická bilineární forma f's a antisymetrická bilineární forma f'A takové, že / = f's + f'A. Potom /(y,x) = ^(x,y)-/;(x,y), /(x,y) = ^(x,y)+/;(x,y). Sečtením dostaneme /^(x, y) = ^(/(x,y) + /(y,x)) = /s(x, y). Podobně odečtením dostaneme f'A = f a. □ Nechť ui,..., u„ je libovolná báze ve V. Potom x = xiiii + • • • + xnun, y = y±Ui + • • • + ynun, kde xl, yl 6 T. Dosazením dostaneme Označme a^- = /(uj, u^) a uvažujme matici Af = (%)• Potom můžeme psát /(x,y) = E ■iVo- (8.11 Definice 8.4. (8.1) je souřadnicovým vyjádřením bilineární formy / v bázi Ui, ..., u„ a matice A f = (/(lij, u^)) se nazývá matice bilineární formy f v bázi Ui, ..., u„. Poznámka 8.4. Bilineární forma / je symetrická (antisymetrická) bilineární forma právě tehdy, je-li A f symetrická (antisymetrická) matice. <) Souřadnicové vyjádření vektoru x = (xi,. .. ;xn) vzhledem k libovolné bázi . Potom bilineární formu / Ui,..., u„ budeme ztotožňovat s maticí (x) = můžeme psát maticově ve tvaru /(x,y) = (xi ...xn) (aió) (yi\ W = x Příklad 8.5. V kanonické bázi na IR2 jsou matice bilineárních forem fi,..., f± z Příkladu 8.3 0 -2J ' A^= (o l) ' Ak = (l 2 -1 0/ ' Definice 8.5. Hodností bilineární formy f rozumíme hodnost matice formy A f v libovolné bázi. Je-li A f regulární matice, nazýváme bilineární formu / regulární, je-li A f singulární, nazýváme i bilineární formu / singulární. 8. Bilinear ní formy 26 Věta 8.2. Hodnost bilineární formy nezávisí na zvolené bázi. Důkaz. Mějme na V dvě báze Ui, ..., u„, Vl, • • •, v„ / ul\ ( u'l\ a (u)(2) = a nechť (u)^ = \un) (8.2) (8.3) jsou příslušná souřadnicová vyjádření vv vektoru u vzhledem k těmto bázím. Nechť Q je matice přechodu od báze (8.2) k bázi (8.3), tj. pro souřadnice vektoru u platí — n — v Potom bilineární forma / má vyjádření /(x, y) = ixi. .. xn) Af fyi\ (yi\ bázi (8.2) a /(x,y) = K-.-O Bf v bázi (8.3). Dosazením transformačních rovnic \y'n) do vyjádření formy v bázi (8.2) a porovnáním s vyjádřením v bázi (8.3) dostaneme Bf = QTAfQ, kde QT je transponovaná matice k matici Q. Potom h(Bf) = h(Af), protože Q je regulární matice. □ Definice 8.6. Nechť / je symetrická bilineární forma na V. Singulárním vektorem formy / rozumíme vektor y takový, že /(x, y) = 0 pro každý vektor x G V. Poznámka 8.5. V případě, že / není symetrická bilineární forma, musíme definovat zvlášť levé a pravé singulární vektory. <) Vyjádříme-li bilineární formu /(x, y) v libovolné bázi, dostaneme z podmínky M /(x, y) = (xi ...xn) Af = 0 pro každý vektor x soustavu homogenních lineárních rovnic aiiž/i H-----h alny„ A* = o 0 0 (8.4) a-nWi H-----1- annyn kterou musí splňovat souřadnice singulárního vektoru y. Singulární vektory tedy tvoří podprostor ve V, jehož dimenze je n — h(Af). 8. Bilinear ní formy 27 Věta 8.3. Nechť V je reálný vektorový prostor a Vc jeho komplexní rozšíření. Ke každé bilineární formě f na V existuje právě jedna bilineární forma fc na Vc taková, žef\V = f. Důkaz. Existence. Nechť x = xi + 2x2, y = yi + iy~2 £ Vc jsou dva vektory Definujme /c(x, y) = /(Xl, yi) - /(x2, y2) + i(/(Xl, y2) + /(x2, yi)) . Snadno se vidí, že je takto definovaná bilineární forma na Vc taková, že fc\V = f. Jednoznačnost. Je-li g jiná bilineární forma na Vc taková, že g\V = f, potom z linearity dostáváme y) = #(xi, yi) - #(x2, y2) + i(^(xi, y2) + #(x2, yi)) a odtud plyne g = fc. □ Definice 8.7. Bilineární forma fc na Vc definovaná ve Větě 8.3 se nazývá komplexní rozšíření reálné bilineární formy /. Nechť Ui,..., u„ je báze V. Ve Větě 1.2 jsme dokázali, že ui,..., u„ je současně i bází ve Vc. Je-li /(x,y) bilineární forma na V , která má v bázi Ui,..., u„ souřadnicové vyjádření /(x,y) = Yľij=iavxiyv P°ťom souřadnicové vyjádření fc v této bázi je totožné. Pouze souřadnice xt a y3 mohou nyní být komplexní čísla. Tedy v libovolné reálné bázi ve Vc má matice fc reálné koeficienty, na rozdíl od matice libovolné bilineární formy na Vc, která má matici definovanou obecně nad komplexními čísly. Úloha 8.1. Nechť je v bázi ui,..., 114 na V4 dána bilineární forma / souřadnicovým vyjádřením /(x, y) = -xm + + x2Vi + x2y2 + x2y4 - x3y4 + x4y3 . Určete matici a hodnost formy. Řešení: Koeficienty al3 matice A f formy jsou koeficienty u x^y Potom A f = /O -1 1 0 \ , h(f) = h(Af) = 4. 110 1 0 0 0 -1 \o o 1 o) Úloha 8.2. Pro bilineární formu / z Úlohy 8.1 určete bilineární formy f^ a fg. Určete jejich matice a hodnost. Řešení: Podle Věty 8.1 je A(x,y) = i(/(x,y)-/(y,x)) = = ~xiy2 + x2yi + lxľy3 - ^x^ + x4y3 - x3y4 + \x2y4 - \x4y2. 8. Bilinear ní formy 28 Odtud AÍA = \{Af-ATf) = -1 \ °\ 1 0 0 1 2 1 2 0 0 -1 -\ 1 M/a) = 4. Podobně /s(x,y) = ±(/(x,y) + /(y,x)) = /O 0 Odtud Afs = l(Af + Aj) 0 1 0 i 1 o o o \o \ o oy , M/s) = 4- Úloha 8.3. Pro bilineární formu j\ z Příkladu 8.3 určete její souřadnicové vyjádření a matici v nové bázi vi = (3; —1), v2 = (1; —1) na IR2. Řešení: a) Transformační rovnice přechodu k novým souřadnicím jsou tvaru x2 = 30 -\ yi = 2/2 = 3yi "ž/2, -y'2- -2x[y[ - 2x'2y[ - 8x[y'2 - Ax'2y'2 , -i — ^2i y2 — -~V\ Přímým dosazením dostaneme /i(x, y) = xxyx - 2x2y2 + 3xiy2 a matice formy v nové bázi je ^ ^ b) Maticový zápis. Transformační rovnice přechodu k nové bázi jsou 3 1 -1 -1 Dosazením do maticového vyjádření formy A(x,y) = {xi x2) Q dostaneme A(x,y) = (x[ x'2) -1 -1 c) Matice bilineární formy je (al0 = f(\~l,~vA). Přímým dosazením souřadnic vektorů Vj do souřadnicového vyjádření formy dostaneme opět požadovanou matici. Úloha 8.4. V bázi Ui, 112,113 na V3 je dána symetrická bilineární forma / souřadnicovým vyjádřením /(x, y) =Ax1y1 + 5xľy2 + 3xiy3 + 5x2yi - 6x2y2 + 16x2y3 + 3x3yi + 16x3y2 - 10x3y3 9. Kvadratické formy 29 Určete její hodnost a singulární vektory. /4 5 3 Řešení: Matice formy je Af= 5—6 16 ] . Potom h(f) = h(Af) = 2. Podle \3 16 -10, (8.4) tvoří singulární vektory / podprostor řešení soustavy homogenních lineárních rovnic 4xi + 5x2 + 3^3 = 0 , 5xi — 6x2 + 16x3 = 0, 3xi + 16x2 — IOX3 = 0. Podprostor řešení je jednodimenzionální podprostor generovaný vektorem (—2; 1; 1). 9 Kvadratické formy Definice 9.1. Zobrazení F : V —> T se nazývá kvadratická forma na vektorovém prostoru V, jestliže existuje bilineární forma / taková, že pro každý vektor x G V je -F(x) = /(x, x). Říkáme potom, že bilineární forma / určuje kvadratickou formu F. Příklad 9.1. Nulová kvadratická forma (tj. -F(x) = 0 pro všechna x) je určena libovolnou antisymetrickou bilineární formou. Příklad 9.2. Je-li V reálný euklidovský vektorový prostor, je zobrazení "velikost vektoru na druhou "kvadratickou formou určenou skalárním součinem. Podobně jako pro bilineární formy můžeme definovat součet kvadratických forem a součin kvadratické formy s prvky z T. (F + G)(x) = F(x) + G(x), («F)(x) = aF(x). Věta 9.1. Ke každé kvadratické formě existuje právě jedna symetrická bilineární forma, která ji určuje. Důkaz. Existence. Nechť kvadratická forma F je určena bilineární formou /. Potom / = Ía + f s a máme F(x) = /(x, x) = /A(x, x) + /s(x, x) = /s(x, x). Jednoznačnost. Nechť / je symetrická bilineární forma určující F. Pak F(x + y) = /(x + y, x + y) = /(x, x) + 2/(x, y) + f (y, y), a tedy /(x,y) = i{F(x + y)-F(x)-F(y)}, což je jednoznačně určená bilineární forma. □ 9. Kvadratické formy 30 Definice 9.2. Symetrická bilineární forma / určující kvadratickou formu F se nazývá polární bilineární forma k F. Dále automaticky pro danou kvadratickou formu F je f její polární bilineární forma. Příklad 9.3. Skalární součin je polární bilineární forma ke kvadratické formě dané velikostí vektoru na druhou. Definice 9.3. Hodností kvadratické formy rozumíme hodnost příslušné polární bilineární formy. Říkáme, že kvadratická forma je regulární (singulární), je-li regulární (singulární) příslušná polární bilineární forma. Singulárním vektorem kvadratické formy rozumíme singulární vektor příslušné polární bilineární formy. Nechť Ui,..., u„ je báze V a -F(X) = /(X> X) = (Xi . . . Xn) (dij) = MTAFM \x„J je souřadnicové vyjádření kvadratické formy F, kde Ap je symetrická matice nazývaná matice kvadratické formy F v bázi ul5. .., u„. Souřadnicově můžeme také psát F(x) = (anxi H-----h aínxn)xi -\-----h {aníxi -\-----h annxn)xn = = Fi(x)xi H-----h F„(x)x„, kde -Fj(x) = (ZjiXi + • • • + amxn je takzvaná í-tá lineární forma přidružená (asociovaná) k F. Ze souřadnicového vyjádření pro singulární vektory bilineární formy dostaneme, že vektor x je singulárním vektorem kvadratické formy F právě tehdy, když anxi + • • • + aínxn = 0, (9.1) to jest právě tehdy, když -Fi(x) = 0,..., Fn(x) = 0. Definice 9.4. Bázi ui,..., u„ vektorového prostoru V nazýváme polární bází^ kvadratické formy F, jestliže pro každé í, j = 1,... ,n, í ^ j, platí /(uj, Uj) = 0. Věta 9.2. Ke každé kvadratické formě existuje polární báze. 9. Kvadratické formy 31 Důkaz. Je-li F nulová forma, pak každá báze je polárni. Nechť tedy F není nulová kvadratická forma na V. Dále budeme postupovat matematickou indukcí. 1. Nechť n = 1. Potom každá báze je polárni. 2. Nechť věta platí pro (n — 1). Ve Vn zvolme Ui tak, aby -F(ui) ^ 0. Množina vektorů splňujících /(x, Ui) = 0 je in — l)-dimenzionální podprostor ve V. Označme jej V\. Potom zúžení F\V± je kvadratická forma na (n — l)-dimenzionálním prostoru V\ a podle indukčního předpokladu existuje ve V\ polární báze -F|Vi. Označme j i U2,..., u„. Snadno se vidí, že ui,..., u„ je polární bází F na V. □ Algoritmus hledání polární báze Předpokládejme, že F není nulová kvadratická forma. Potom existuje vektor Ui G V takový, že -F(ui) ^ 0. Množina vektorů splňujících /(x, ui) = 0 je (n — 1)-dimenzionální podprostor ve V. Označme jej V\. Ve V\ vybereme libovolný vektor U2 takový, že F(u2) 7^ 0. Pokud takový vektor neexistuje, doplníme vektor Ui na bázi vektory z V\ a taková báze již je polární. Pokud existuje vektor U2 G V\ takový, že F{xsľi) 0, uvažujeme množinu vektorů splňujících /(x, Ui) = 0,/(x, 112) = 0. Tato množina je (n — 2)-dimenzionálním podprostorem ve V a označíme ji V2- Pokud všechny vektory z V2 nulují formu F, doplníme Ui, U2 na bázi vektory z V2. Pokud existuje vektor U3 G V2 takový, že F(113) 7^ 0, uvažujeme množinu vektorů V3 splňujících /(x, Ui) = 0, /(x, U2) = 0, /(x, 113) = 0. Tato množina je (n — 3)-rozměrným podprostorem ve V a další vektor do hledané báze bereme z tohoto prostoru. Tímto způsobem pokračujeme tak dlouho, dokud pro nějaké k nejsou všechny hodnoty formy F na vektorech z Vk nulové. Snadno se vidí, že matice kvadratické formy je diagonální tehdy a jenom tehdy, je-li odpovídající báze V polární. Souřadnicový tvar kvadratické formy s diagonální maticí se nazývá kanonický tvar. V souřadnicovém vyjádření má potom Věta 9.2 tvar následující Věty 9.3. Věta 9.3. Ke každé kvadratické formě n existuje taková lineární transformace souřadnic n 1,.... n že souřadnicové vyjádření F v souřadnicích yi, ■ ■ ■ ; yn je tvaru n F(X) = i=l tj. matice B p kvadratické formy F je diagonální. 9. Kvadratické formy 32 Algoritmus hledání polární báze potom odpovídá hledání takové lineární transformace souřadnic xl = Y2™=1qijyj, že v souřadnicích yl má forma diagonální matici. Tuto lineární transformaci hledáme následujícím způsobem: Nechť má nenulová kvadratická forma v nějaké bázi souřadnicové vyjádření n a) Předpokládejme, že existuje takové i, že au 7^ 0. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že je to au. Potom -F(x) = — (anxi H-----h alnxn)2 + 2a23^2^3 + • • • au Označme yi = onii + • • • + ainxn, yi = X2, . . ., yn = xn. V nových souřadnicích yi, ■ ■ ■ ;yn je F(x) = — y\ + G, au kde G je kvadratická forma in — 1) proměnných y2, . . . ,yn. Dále pokračujeme obdobným způsobem při úpravě kvadratické formy G a po konečném počtu kroků dostaneme kanonický tvar formy. Hledaná lineární transformace souřadnic je potom složením dílčích transformací. b) Nechť všechna au = 0. Potom existuje al3 7^ 0 pro í 7^ j. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že a\i 7^ 0. Potom lineární transformace x\ = yi + 2/21 X2 = y± — í/2) xk = yk, k = 3,..., n, převede kvadratickou formu na tvar -F(x) = (212(2/1 — 2/2) + •••) coz Je tvar z případu a) a dále můžeme postupovat výše popsaným algoritmem. Definice 9.5. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru. Říkáme, že F je a) pozitivně definitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) > 0, b) pozitivně semidefinitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) > 0, c) negativně definitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) < 0, d) negativně semidefinitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) < 0, e) existují-li vektory y, z G V takové, že F(y) > 0 a F (z) < 0, říkáme, že F je indefinitní. Typ kvadratické formy se snadno pozná, je-li forma vyjádřena v polární bázi, tj. je-li její souřadnicový zápis v kanonickém tvaru F(x) = aiix\ H-----h annx\ . Potom kvadratická forma F je pozitivně definitní, je-li au > 0, pozitivně semidefinitní, je-li Qjj > 0, negativně definitní, je-li aM < 0 a negativně semidefinitní, je-li 9. Kvadratické formy 33 (íu _ O pro všechna i = 1,..., n. Forma je indefinitní, existují-li koeficienty au > 0 a aJ3 < 0. Pro nenulové koeficienty aM v kanonickém tvaru kvadratické formy můžeme provést transformaci souřadnic 1 x i /. , Vi • v K*! V nových souřadnicích jsou potom všechny koeficienty u 2. mocnin souřadnic 1, -1, případně 0. Vhodnou permutací souřadnic docílíme toho, že souřadnicové vyjádření kvadratické formy je tvaru r/ \ 2 i 2 2 2 nx) = ví + • • • + yP - yP+i - ■ ■ ■ - yP+q, p + q < n. Tento tvar se nazývá normální tvar kvadratické formy. Dvojice (p, q) se nazývá signatura kvadratické formy. Polární bázi, ve které má kvadratická forma normální tvar, budeme nazývat normovanou polární bází. Následující věta je nej důležitější větou algebraické teorie kvadratických forem a nazývá se věta o setrvačnosti kvadratických forem. Věta 9.4. Normální tvar kvadratické formy nezávisí na lineární transformaci souřadnic, která převádí danou kvadratickou formu do normálního tvaru. □ Poznámka 9.1. Jinak řečeno, předchozí věta říká, že signatura kvadratické formy je jednoznačně určena kvadratickou formou a ne jejím souřadnicovým vyjádřením. Máme-li tedy dvě kvadratické formy vyjádřeny v souřadnicích a mají-li tyto formy stejnou signaturu, jedná se vlastně o tutéž formu vyjádřenou v různých bázích. <) Věta 9.5. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru V, pak existuje právě jedna kvadratická forma Fc na Vc taková, že FC\V = F. Důkaz. Vyplývá přímo z obdobné věty pro polární bilineární formu. □ Definice 9.6. Kvadratická forma Fc na Vc definovaná ve Větě 9.5 se nazývá komplexní rozšíření reálné kvadratické formy F. Úloha 9.1. V kanonické bázi na IR3 je dána kvadratická forma F. Určete její matici, hodnost a je-li forma singulární, určete její singulární vektory: a) -F(x) = x\ + x\ — 2x\X2 + 2x1X3 + IOX2X3 , b) -F(x) = X1X2 + X2X3 . í1 -1 *\ Řešení: a) Matice kvadratické formy je Ap =1—1 0 5 1. Potom h(F) = V 1 5 V h(Ap) = 3, forma je regulární a nemá nenulové singulární vektory. 9. Kvadratické formy 34 b) Matice kvadratické formy je AF = | 0 \ . Potom h(F) = h(AF) = 2 Vo i o) a forma je singulární. Podprostor singulárních vektorů je řešením homogenní soustavy rovnic \x2 = 0, \x\ + \XZ =0, \x2 = 0. Řešením je podprostor L((l; 0; —1)). Úloha 9.2. Určete normální tvar kvadratických forem z Úlohy 9.1. Určete normovanou polární bázi, ve které má F normální tvar, a transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi. Řešení: I. metoda: a) V IR3 vybereme vektor ux tak, aby -F(ui) ^ 0. Zvolme ux = (1;0;0). Potom -F(ui) = 1. Určíme podprostor V\ jako podprostor řešení rovnice /(ui,x) = 0, tj. řešení homogenní rovnice x\ — x2 + X3 = 0 . Dostaneme Ví = L((l; 1; 0), (-1; 0; 1)). Zvolme u2 = (-1;-1;0), potom F(u2) = —1. Určíme podprostor V2 jako prostor řešení rovnic /(ul5x) = 0, /(u2,x) = 0, tj. soustavy homogenních rovnic xi — x2 + X3 = 0 , —x2 + 6x3 = 0 . Dostaneme V2 = L((5; 6; 1)). Protože F((5; 6; 1)) = 36, zvolíme u3 = |(5; 6; 1). Báze Ui, u2, U3 je normovaná polární báze a rovnice kvadratické formy F v této bázi jsou ^(y) = yi2-y22 + y3- Provedeme proto volbu nové báze vi = Ui, v2 = 113, V3 = u2, ve které má forma F rovnice F(t) = 4+4-4. Transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi vii v2, V3 jsou potom X\ b) Protože F((1;0;0)) = 0, zvolíme ux = (1;1;0). Máme F(ux) = 1 a V\ je prostor řešení rovnice xi + x2 + x3 = 0 , 9. Kvadratické formy 35 tj. Vi = L((l; -1; 0), (1; 0; -1)). Zvolme u2 = (1; -1; 0). Máme F(u2) = -1 a V2 je řešením homogenní soustavy xi + x2 + x3 = 0 , —x\ + x2 — x3 = 0 . F2 = L((l; 0; —1)) a F((l; 0; —1)) = 0. Zvolíme u3 = (1; 0; —1) a báze ui, u2, u3 je normovaná polární báze, ve které jsou rovnice kvadratické formy ^(y) = vi - vi ■ Transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi Ui, u2, U3 jsou potom 'zA /ll 1 \ fyi X2 = 1 -1 Oh/2 Kx3J \0 0 -1/ Vy3y II. metoda: a) Protože au ^ 0, upravíme rovnici kvadratické formy tak, že všechny členy obsahující x\ budou v druhé mocnině trojčlenu, tj. F(x) = (x1 — x2 + x3)2 — x\ + 12x2x3 . Transformace y1 = x1 -x2 +x3, ž/2 = x2, V3 = X3 převede formu na tvar ^(y) = vi - vi + I2y2y3, který můžeme dále upravit ^(y) = yi2-(-y2 + 6y3)2 + 36y32. Transformace Z2 = -yi +6y3, z3 = y3 převede formu na tvar F (z) = z\ - z\ + 36z2, který znormujeme transformací zi= h, Z2= t3, Z'i = qÍ2 , 9. Kvadratické formy 36 takže výsledný tvar bude F(t) = ŕ1 + ŕ2-ŕ3. Postupným skládáním dílčích transformací dostaneme celkovou transformaci a odtud je zřejmé, že normovaná polární báze je tvořena vektory vi = (1;0;0), v2 = (|;l;i), v3 = (-l;-l;0). b) Protože všechna au = 0 a 023 7^ 0, zvolíme transformaci xi= yi, X2 = ž/2 +2/3 , %3 = ž/2 -Z/3 ) která převede formu na tvar ^(y) = yw2 + yw3 + yl~yh který upravíme na tvar ^(y) = (\yi + y2)2 - (\yi - y3)2 • Potom transformace h = \v\ +y2, h = \y\ -z/3, převede formu na konečný tvar F(t) =t\-t\. Transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi Ui, U2, U3 jsou potom a příslušná normovaná polární báze je Ui = (0;1;1), U2 = (2; — 1; — 1), U3 = (2;0;—2). Poznámka 9.2. Všimněme si, že v Úloze 9.2 jsou v případě a) výsledné transformace v obou metodách shodné. To je proto, že jsme v 1. metodě volili vektory do polární báze tak, aby odpovídaly příslušným postupným transformacím souřadnic, které jsme prováděli ve 2. metodě. V případě b) jsme v 1. metodě zvolili jinou polární bázi, která neodpovídá transformaci souřadnic z 2. metody. Výsledný normovaný tvar rovnic kvadratické formy je ovšem shodný, což odpovídá větě o setrvačnosti kvadratických forem. 10. Ortogonální transformace kvadratické formy 37 10 Ortogonální transformace kvadratické formy V této části skript nechť Vn je n-rozměrný euklidovský vektorový prostor, tj. Vn je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Připomeňme, že skalární součin je zobrazení (-, -)-.VnxVn^R takové, že (u,v) = (v,u), (u + v, w) = (u, w) + (v, w) , (au, v) = (u, av) = a(u, v) , (u, u) > 0, (u, u) = 0 <ř» u = o . Je tedy skalární součin symetrická bilineární forma na Vn taková, že odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Normovaná polární báze příslušná ke kvadratické formě, která je určena skalárním součinem, se nazývá ortonormální báze. Připomeňme, že v libovolné ortonormální bázi má skalární součin souřadnicové vyjádření (u, v) = uivi H-----h unvn , kde u = (-ui,..., un), v = (vi,..., vn). Ve shodě s Částí 8 můžeme psát maticově (u, v) = (\i)TEn(y) = (u)T(v), kde En je jednotková matice řádu n a vektory jsme ztotožnili se sloupcovými maticemi jejich souřadnic. Nechť nyní F je libovolná kvadratická forma na Vn. Zajímá nás, zda existuje ortonormální báze Vn taková, že v ní má F kanonický tvar. Odpověď je kladná. Důkaz existence i algoritmus hledání ortonormální báze, která je současně polární vzhledem k F, je založen na dvou větách z teorie matic (nebo ekvivalentně z teorie lineárních zobrazení). Nejdříve si připomeneme základní pojmy. Nechť A je libovolná reálná čtvercová matice řádu n. Mějme na Vn pevně zvolenou bázi. Nenulový vektor u = (ui,...,un) se nazývá vlastním vektorem matice A, jestliže jeho souřadnice jsou řešením soustavy rovnic allxl + ' ' ' + dlnxn = ^1 i (10.1) pro nějaké A G IR. Maticově můžeme soustavu (10.1) zapsat A(u) = \En(u), což upravíme na tvar (A-XEn)(u) = (o). (10.2) Protože podle předpokladu je u nenulový vektor, má soustava (10.2) nenulové řešení právě tehdy, když \A-XEn\=0. (10.3) 10. Ortogonální transformace kvadratické formy 38 Rovnice (10.3) je polynomiální rovnicí vzhledem k A a nazývá se charakteristická rovnice matice A. Kořeny charakteristické rovnice se nazývají vlastní (charakteristická) čísla (hodnoty) matice A. Dosadíme-li reálné vlastní číslo do soustavy (10.1), je řešením homogenní soustavy (10.1) nenulový podprostor Vn. Každé nenulové řešení bude vlastním vektorem příslušným pro danou vlastní hodnotu. Každý vlastní vektor určuje jednodimenzionální podprostor vlastních vektorů, který nazýváme vlastní směr určený maticí A. Pro studium kvadratických forem na euklidovském vektorovém prostoru mají zásadní význam následující dvě tvrzení z teorie matic, která si zde uvedeme bez důkazu. Věta 10.1. Nechť A je symetrická reálná matice řádu n. Pak všechny kořeny charakteristické rovnice \A — \En\ = 0 jsou reálné. □ Poznámka 10.1. Protože v dimenzi 2 je charakteristická rovnice kvadratická, dokázali bychom Větu 10.1 v dimenzi 2 snadno z elementárních vlastností kvadratické rovnice. Tento důkaz provedeme později v kapitole o kuželosečkách. <) Věta 10.2. Nechť A je symetrická reálná matice řádu n a X je k-násobný kořen její charakteristické rovnice. Pak podprostor řešení homogenní soustavy pro výpočet vlastních vektorů příslušných A má právě dimenzi k. □ Věta 10.3. Nechť u, v jsou vlastní vektory, které přísluší různým vlastním číslům Xi, ^2 symetrické matice A. Pak u, v jsou kolmé, tj. (u, v) = 0. Důkaz. Protože A je symetrická matice, je (A(u),v) = (u,A(v)), kde jako A(u) rozumíme vektor, jehož souřadnice dostaneme vynásobením matice A sloupcovou maticí souřadnic vektoru u. Jestliže u je vlastním vektorem pro Ai, je A(u) = Ai(u) a podobně A(v) = A2(v). Odtud 0 = (A(u), v) - (u, A(v)) = Ai(u, v) - A2(u, v) = (X1 - A2)(u, v) a protože (Ai — A2) ^ 0 (z předpokladu, že Al5 A2 jsou různá čísla), je (u, v) = 0. □ Na základě Vět 10.1 - 10.3 nyní dokážeme, že ke každé kvadratické formě F na,Vn existuje ortonormální polární báze. Nechť AF je matice F v libovolné ortonormální bázi. AF je symetrická a podle Věty 10.1 jsou všechny kořeny charakteristické rovnice pro AF reálná čísla. Ukážeme si navíc, že charakteristická čísla nejsou závislá na zvolené ortonormální bázi. Věta 10.4. Nechť Ap a Bp jsou matice kvadratické formy F ve dvou různých ortonormálních bázích na Vn. Pak \AF — \En\ = \BF — \En\. Důkaz. Podle důkazu Věty 8.2 je Bp = QTApQ, kde Q je matice přechodu od první báze k druhé bázi. Protože jsou naše báze ortonormální, je Q ortonormální matice, tj. QT = Q'1 a \Q\ = ±1. Tedy BF = Q^ApQ. Potom \BF - \En\ = IQ^ApQ-XQ^EnQl = IQ-^Ap-XEM = IQ"1! |AF-A£„|\Q\ = \AF-XEn\. O 10. Ortogonální transformace kvadratické formy 39 Poznámka 10.2. Z Věty 10.4 vyplývá, že charakteristická rovnice matice kvadratické formy je stejná v libovolné ortonormální bázi, můžeme tedy hovořit o charakteristické rovnici kvadratické formy. Dále je zřejmé, že i všechny kořeny charakteristické rovnice jsou nezávislé na zvolené ortonormální bázi a jsou to čísla, která jsou jednoznačně přiřazena dané kvadratické formě. Budeme je nazývat charakteristická čísla kvadratické formy. <) Věta 10.5. Ke každé kvadratické formě F na euklidovském vektorovém prostoru Vn existuje taková ortonormální báze Vn, že v ní má F kanonické rovnice tvaru F(x) = \lX\ + ■■■ + \nx2n , (10.4) kde Aj, i = 1,.. ., n, jsou charakteristická čísla kvadratické formy F. Důkaz. Zvolme libovolnou ortonormální bázi na Vn a určeme charakteristická čísla Aj kvadratické formy F, tj. matice AF. Protože AF je symetrická, jsou podle Věty 10.1 všechna Aj reálná. Určeme bázi ei,..., en prostoru Vn tak, že pro jednonásobný kořen \t je et jednotkový vlastní vektor příslušný k \. Pro /c-násobný kořen charakteristické rovnice {k > 2) můžeme podle Věty 10.2 vybrat v prostoru vlastních vektorů příslušných tomuto kořeni k jednotkových na sebe kolmých vektorů (např. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem). Takto sestrojená báze ei,..., en je podle Věty 10.3 ortonormální. Přitom f(el,eJ) = Al5 pro í = j, a f(el,eJ) = 0, pro i j, í, j = 0, ..., n. Opravdu, z maticového zápisu je /(e«> ei) = (eifAF(ej) = (ei)TAJ-(eJ-) = A^e,, e,-). Má tedy F v bázi ei,..., en kanonické rovnice (10.4). Z Věty 10.4 potom vyplývá, že kanonické rovnice jsou nezávislé na původně zvolené ortonormální bázi. □ Úloha 10.1. V ortonormální bázi na V3 je dána kvadratická forma F. Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy (podle Definice 9.5), ortonormální polární bázi a transformační rovnice, které převádí rovnici formy na kanonický tvar: a) -F(x) = x\ — 2x\ + x\ + 4x1X2 — IOX1X3 + 4x2X3 , b) -F(x) = x\ + x\ + x\ + 4xiX2 + 4x1X3 + 4x2X3 . /I 2 -5\ Řešení: a) Matice formy je I 2 —2 2 1. Její charakteristická rovnice je 1-5 2 !/ A3 — 36A = 0 s kořeny Ax = 6, A2 = —6, A3 = 0. Podle Věty 10.5 je kanonická rovnice F tvaru %y\ — 6y|, a tedy forma je indefinitní. Ortonormální polární báze formy F je dána jednotkovými vektory vlastních směrů. Pro Ai je vlastní směr prostor řešení homogenní soustavy —5iii + 2u2 — 5ii3 = 0 , 2iíi - 8u2 + 2u3 = 0 , —5ui + 2u2 — 5u3 = 0 . 11. Cvičení 40 Prostor řešení je L((1;0;—1)) a jeho jednotkový vektor je ei = (^jjO;^). Podobně pro A2 dostaneme vlastní směr L((l; — 1; 1)) s jednotkovým vektorem e2 = (^; ^). A konečně pro A3 dostaneme vlastní směr L((l;2; 1)) s jednotkovým vektorem 6-3 = (^=; -^=; -^=). Takto sestrojená báze ei, 62,6-3 je podle Věty 10.3 ortonormální a transformační rovnice přechodu k této bázi jsou /l 2 2\ b) Matice formy je 2 1 2 . Její charakteristická rovnice je A3 —3A2 — 9A —5 = V2 2 v 0 s kořeny Ai = 5, A2 = A3 = —1. Kanonická rovnice F je tedy tvaru 5y2 — y\ — y\ a forma je indefinitní. Pro Ai je vlastní směr L((l; 1; 1)) s jednotkovým vektorem ei = (^j^j^)- Pro ^2 = A3 dostaneme dvoudimenzionální podprostor vlastních směrů L((—1;1;0),(—1;0;1)). Ortogonalizačním procesem vybereme ortogonální bázi tvořenou vektory u2 = (—1;1;0) a u3 = (—1; —1; 2), které normujeme na vektory e2 = (^7=; 0) a 63 = ^=). Takto sestrojená báze ei, e% je podle Věty 10.3 ortonormální a transformační rovnice přechodu k této bázi jsou 1 1 1 X\ = 1 1 1 x2 = Ti"- 1 2 x3 = 4 11 Cvičení 11.1. Dokažte, že bilineární formy na Vn tvoří vektorový prostor. Určete jeho dimenzi a pro danou bázi ui,..., u„ ve Vn udejte příklad báze prostoru bilineárních forem. 11.2. Dokažte, že symetrické (antisymetrické) bilineární formy na Vn tvoří vektorový podprostor v prostoru bilineárních forem. Určete jeho dimenzi. 11.3. Nechť jsou f & g dvě bilineární formy na V. Dokažte, že v libovolné bázi na V platí Af+g = Af + Ag a Aaf = aAf. 11. Cvičení 41 11.4. V kanonické bázi na IR3 je dána bilineární forma /. Určete j a a fs- a) /(x, y) = 2x12/1 + 4xxy2 - 2xiy3 + x2y2 - x2y3 + x3y2 + x3y3 , b) /(x, y) = 2xiy2 + 4x2y3 + 6x3yi. { a) f a = 2xxy2 - xiy3 - 2x2yľ + x3y1 + x3y2 - x2y3, f s = 2x1y1 + x2y2 + x3y3 + 2xiy2 - xiy3 + 2x2yi - x3y1: b) f a = xxy2 - x2yx + 2x2y3 - 2x3y2 + 3x3yi - 3xiy3, f s = xiy2 + x2yi + 2x2y3 + 2x3y2 + 3x3yi + 3xiy3 } 11.5. V kanonické bázi na IR3 je dána bilineární forma /(x, y) = xiyi + 2x2y2 + 3x2y3 - x3y3 . Určete rovnice bilineární formy / v bázi Ui = (1; 0; 1), u2 = (0; 1; 1) a u3 = (1; 1; 0). { /(x, y) = -xiy2 + xiy3 + 2x2yi + 4x2y2 + 2x2y3 + 4x3yi + 5x3y2 + 3x3y3 } 11.6. V kanonické bázi na IR3 je dána symetrická bilineární forma a) /(x, y) = xiyi + xiy3 + x2y2 + x2y3 + x3yi + x3y2 + 3x3y3 , b) /(x, y) = 2x1y1 + x2y2 + x3y3 + xiy2 - xiy3 + x2yi - x3yi. Určete podprostor singulárních vektorů. { a) Forma je regulárni, nemá nenulové singulární vektory, b) Forma má hodnost 2 a podprostor singulárních vektorů je generován vektorem (1; —1; 1) } 11.7. Dokazte, že pro bilineární formu fc na definovanou ve Větě 8.3 platí /c(x,y)=7Mx^). 11.8. Dokažte, že kvadratické formy na Vn tvoří vektorový prostor. Určete jeho dimenzi a pro danou bázi Ui,..., u„ ve Vn udejte příklad báze prostoru kvadratických forem. 11.9. Najděte polární bilineární formu / kvadratické formy F, která má v kanonické bázi na IR3 rovnice: a) -F(x) = x\ + 2xix2 + 4xix3 + 2x2 — 6x2x3 + 3x3 , b) -F(x) = 2xix3 — 4x2x3 , c) .F(x) = x\ + x\ — 2x2x3 . { a) /(x, y) = ^íVi + xxy2 + 2xiy3 + x2yx + 2x2y2 -3x2y3 + 2x3yi - 3x3y2 + 3x3y3, b) /(x, y) = xiy3 - 2x2y3 + x3yx - 2x3y2, c) /(x, y) = xxyx + x2y2 - x2y3 - x3y2 } 11. Cvičení 42 11.10. V kanonické bázi na R3 je dána kvadratické forma F. Určete její signaturu a pro singulární formy určete podprostor singulárních vektorů: a) -F(x) = X1X3 , b) -F(x) = x\ + x\ + 3x§ + 4x1X2 + 2x1X3 + 2x2X3 , c) -F(x) = x\ — 2x\ + x\ + 2xix2 + 4xix3 + 2x2x3 . { a) Signatura formy je (1,1), tj. forma je hodnosti 2, podprostor singulárních vektorů je generován vektorem (0;1;0), b) Signatura formy je (2,1), tj. forma je regulární a nemá nenulové singulární vektory, c) Signatura formy je (1,2), tj. forma je regulární a nemá nenulové singulární vektory } 11.11. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru V4 je dána kvadratická forma F. Určete její normovanou polární bázi, normální tvar rovnic, typ formy (podle Definice 9.5) a transformační rovnice přechodu k normované polární bázi: a) -F(x) = x\ + x\ + x\ + x\ + 2xiX2 + 4x1X3 + 2x1X4 + 4x2X3 + 4x2X4 + 3x3X4 , b) -F(x) = 3x| + 2x| + 4xix4 + 4x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4 , c) -F(x) = X1X3 + X1X4 . { a) e-i = (1;0;0;0), e2 = (-2;1;0;1), forma je indefinitní; x\ = yi — 2y2 — 7^2/3 + 2/4, x2 = ~ i73^, x3 = ^y3, x4 = y2- í/4, b) ei = (0;0;0;^), e2 = (^;0;^;0), e3 = (75; o; o; ťš)> e4 = ť§; o); ^ + j/2 - ú - y\\ forma je indefinitní; xx = -^2/2 + -^2/3 ~ 4J5Z/4, X2 = ivfy4' X3 = 73^2 - ^2/4, ^4 = ^2/1 - ^2/3, c) ei = (1;0;1;0), e2 = (0;1;0;1), e3 = (1;0;-1;0), e4 = (0; 1; 0; —1); y\ + y\ — y\ — y\\ forma je indefinitní; xi = yi + 2/3, x2 = 2/2 + 2/4, 2:3 = 2/1 - 2/3, 2:4 = 2/2 - 2/4 } 11.12. Určete charakteristickou rovnici, vlastní čísla a podprostory vlastních směrů matice A: 0N a) A = I -4 4 0 I , b) A = A = -4 5 0 , d) A = r4 -5 2\ 5 -7 3 -9 V /° 2 2 2 3 -1 \2 -1 3 11. Cvičení 43 e) A 2 6 S -2 2 2 5 0 > 0 7 { a) Charakteristická rovnice je A3 — 6A2 + 12A — 8 = 0; vlastní čísla jsou A12í3 = 2; podprostor vlastních směrů je dvoudimenzionální podprostor L((l; 2; 0), (0; 0; 1)), b) A3 — A2 = 0; Ai = 1, A23 = 0; vlastní směr pro \± = 1 je L((l; 1; 1)), pro A2>3 = 0 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((l; 2; 3)), c) A3-5A2+17A-13 = 0; Ai = 1, A2 = 2+3*, A3 = 2-3*; vlastní směr pro Ax = 1 je L((l; 1; 2)), d) A3 - 6A2 + 32 = 0; Ai,2 = 4, A3 = -2; podprostor vlastních směrů pro A12 = 4 je dvoudimenzionální podprostor L((l; 0; 2), (1; 2; 0)), pro A3 = —2 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((—2; 1; 1)), e) A3 - 18A2 + 99A - 162 = 0; Ax = 3, A2 = 6, A3 = 9; podprostor vlastních směrů pro Ai = 3 je jednodimenzionální podprostor L((2; 2; —1)), pro A2 = 6 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((l; —2; —2)), pro A3 = 9 je podprostor vlastních směrů jednodimenzi- 11.13. V ortonormální bázi na euklidovském vektorovém prostoru V3 je dána kvadratická forma F. Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic a typ formy (podle Definice 9.5): a) -F(x) = 2x2 + x\ + 2x| — 2x\x2 + 2x2x3 , b) -F(x) = 7x2 + 6x2 + 5x| — Axix2 — 4:X2x3 , c) -F(x) = x\ — 2x2 + x3 + \x\x2 — 8x^x3 — 4x2x3 , d) -F(x) = x\ + 5x2 + x| + 2xix2 + 6x1X3 + 2x2X3 , e) -F(x) = 2x2 + x2 — 4xix2 — 4x2X3 . { a) 3y2 + 2y2, kladně semidefinitní forma, b) 3y2 + 6y2 + 9y|, kladně definitní forma, c) 6yl — 3y2 — 3y|, indefinitní forma, d) 3y2 + 6y2 — 2y|, indefinitní forma, e) y\ + 4y| — 2y|, indefinitní forma } 11.14. Pro kvadratické formy z Cvičení 11.13 určete ortonormální polární bázi a transformaci souřadnic, která převádí formu do kanonického tvaru. onální L((-2; 1; -2 ))} 11. Cvičení 44 (vl; vi; Xl = + 7=2y2 ~ 7ey3' X2 = 75yi ~ ^2/3, x3 = j-yi + + ^y3, M p = 2. 2\ /_2. _1. 2\ /2. _2. 1\. u/ t-l V31 31 3/1 t;2 V 3) 3) 3/ " ^3 V31 31 3/) xi = \yi - §2/2 + 52/3, 2:2 = 5z/1 - §2/2 - §2/3, 2:3 = §2/1 + §2/2 + 52/3, c) ex = (—|; —|; |), e2 = (^;0;^) a e3 = 3^y3, x* = I2/1 + ^2/2 + ^2/3, d) ei = (Ä;ŤÍ;vf)' 62 = (vl;vÍ;Vl) a 63 = (75; 0; vé); Xl = 73yi+vly2 + 73y3' X2 = "73yi +vly2' X3 = 73yi + vP2 - 7šy3 ' e) ei = (5; 5; —5), e2 = (5; —5; 5) a e3 = (5; 5; 5); Xl = 5^1 + 5j/2 + 5^3, X2 = 3í/i - 3^2 + 5^3, X3 = — §2/i + §222 + §2/3} 11.15. V ortonormální bázi na V4 je dána kvadratická forma -F(x) = 2x1X2 + 2x3X4 . Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy (podle Definice 9.5), ortonormální polární bázi a transformační rovnice, které převádějí rovnici formy na kanonický tvar. { v\ + 2/2 - 2/1 - 2/1; indefinitní forma; ex = (-^=; 0; 0), e2 = (0;0;^;^), e3 = (^;-^;0;0), e4 = (°'0'T^-^ Xl = T2yi + 7šy3' X2 = T2yi ~ T2y^ X3 = T2y2 + 72y4' X4 = 72y2 - 72y4 > Kapitola 4 TEORIE KUŽELOSEČEK V této kapitole budeme studovat analytickou teorii kuželoseček v projektivní rovině a v projektivním rozšíření afinní a euklidovské roviny. 12 Kuželosečky v projektivní rovině Nechť V2 je dvoudimenzionální reálný projektivní prostor s aritmetickým základem V3. Nechť V^c je komplexní rozšíření prostoru V3 definované v Části 1. Projektivní komplexní prostor s aritmetickým základem V^c budeme nazývat komplexním rozšířením projektivního prostoru V2 a označovat V^- Reálnou projektivní rovinu V2 potom můžeme uvažovat jako podmnožinu (ne podprostor) v komplexní projektivní rovině V2, totiž bod X = (x) G V2 právě tehdy, když existuje jeho aritmetický zástupce x G V3 C . Body X ležící v P2 C budeme nazývat reálné body a body z V2 neležící v V2 budeme nazývat imaginární body. Definice 12.1. Nechť F je nenulová kvadratická forma na V3. Množinu bodů X = (x) G V2 takových, že Fc(x) = 0, nazýváme kuželosečkou v projektivní rovině V2 a značíme k. Poznámka 12.1. Musíme ukázat, že naše definice má smysl, tj. že má smysl uvažovat body X = (x) G splňující rovnici Fc(x) = 0. Uvažujme libovolnou kvadratickou formu F na vektorovém prostoru V libovolné dimenze definovaném nad tělesem T reálných či komplexních čísel. Potom F(ax) = a2F(x) pro všechna a G T. Odtud, je-li -F(x) = 0 pro nějaký nenulový vektor x, je F(ax) = 0 pro všechna a, a tedy opravdu rovnice -F(x) = 0 určuje v V2 množinu bodů. <) Poznámka 12.2. Snadno se nahlédne, že dvě reálné nenulové kvadratické formy F a G určují stejnou kuželosečku právě tehdy, když existuje a ^ 0 G R takové, že G = aF. To znamená, že rovnice kuželosečky Fc(x) = 0 je dána až na nenulový násobek. (} 45 12. Kuželosečky v projektivní rovině 46 Uvažujme nyní geometrickou bázi (Oi = (ui), 02 = (u2), 03 = (u3), E = (ui + u2 + u3)) (12.1) prostoru V2. Z definice geometrické báze a vlastností komplexního rozšíření vektorového prostoru vyplývá, že (12.1) je současně i geometrickou bází projektivního prostoru V2 . Přitom bod X je reálný právě tehdy, když jeho projektivní homogenní souřadnice vzhledem ke geometrické bázi (12.1) jsou reálná čísla a je imaginární právě tehdy, když alespoň jedna souřadnice je komplexní číslo s nenulovou imaginární částí. Vyjádřeme nyní rovnici kuželosečky k : Fc(x) = 0 v geometrické bázi (12.1). Nechť bod X má v bázi (12.1) projektivní homogenní souřadnice ( x 1, x2, x3 ). Potom bod X E k právě tehdy, když 3 a%0xtx0 = 0, (12.2) kde A = {oLij) = (/(uj, u^)) je matice kvadratické formy F v bázi Ui, u2, U3 prostoru V3. Dále budeme, kromě rovnice (12.2), používat i zápis k : aiix\ + a22x\ + a33x\ + 2ai2XiX2 + 2ai3XiX3 + 2a23x2x3 = 0 a při označení (X) jako sloupcové matice projektivních homogenních souřadnic, tj. r X\ (X) = I x2 I , můžeme psát nebo zkráceně au a12 a13\ lxx k : {xi x2 x3) \ a12 a22 a23 \x2 \ = 0 ^13 a23 a33/ \x3/ k : (X)TA(X) = 0. Poznámka 12.3. Protože jsme v definici kuželosečky použili komplexní rozšíření reálné kvadratické formy, jsou všechny koeficienty al3 v rovnici (12.2) reálná čísla, zatímco proměnné souřadnice mohou být i čísla komplexní. Při použití libovolné kvadratické formy bychom dostali kuželosečky, jejichž reálná část by neodpovídala kuželosečkám definovaným v syntetické geometrii jako množiny bodů daných vlastností. Je-li k H V2 = 0, tj. k neobsahuje žádný reálný bod, říkáme, že k je formálně reálná nebo imaginární kuželosečka. <) Definice 12.2. Hodností kuželosečky k : Fc(x) = 0 rozumíme hodnost kvadratické formy F, to jest její matice A v libovolné bázi. Matici A budeme nazývat maticí kuželosečky v dané geometrické bázi a determinant \A\ nazýváme diskriminantem kuželosečky. Je-li kvadratická forma F regulární, nazveme kuželosečku k regulární kuželosečkou a je-li F singulární kvadratická forma, nazveme kuželosečku k singulární nebo složenou kuželosečkou. 12. Kuželosečky v projektivní rovině 47 Věta 12.1. Hodnost kuželosečky nezávisí na zvolené geometrické bázi. Důkaz. Věta 12.1 je přímým důsledkem Věty 8.2. □ Věta 12.2. Nechť je dáno pět různých reálných bodů Al = (aj) G V2 , i = 1, • • •, 5, takových, že žádné čtyři z nich neleží na jedné přímce. Pak existuje právě jedna kuželosečka k : Fc(x) = O taková, že A% G k. Důkaz. 1. Existence. V libovolné aritmetické bázi V3 je reálná kvadratická forma F dána 6 koeficienty al3 G IR (plyne ze symetrie matice Ap). Uvažujme soustavu 5 rovnic pro 6 neznámých koeficientů aiy Tato homogenní soustava má vždy nenulové reálné řešení, tj. vždy existuje nenulová kvadratická forma splňující (12.3), a tedy vždy existuje kuželosečka k : Fc(x) = 0 taková, že A% G k, \/i = 1,..., 5. 2. Jednoznačnost. Rovnice kuželosečky jsou dány až na nenulový násobek. Soustava (12.3) tedy bude určovat jednoznačně rovnici kuželosečky, má-li řešení hodnost 1, tj. má-li soustava (12.3) hodnost 5. To ale nastane právě tehdy, když žádné 4 body At neleží na jedné přímce, jak si snadno ukážeme následující úvahou. Předpokládejme, že nějaké 4 body leží na přímce. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že jsou to body A\,..., A4. Potom A3 = a\A\+a2A2, ol1 ^ 0, A4 = 0iAi+/32A2, /3j 7^ 0, a odtud F (as) = 0 je ekvivalentní s f(a±, a2) = 0 a totéž pro F(aA = 0. To vyplývá z 0 = F(a3) = /(a3, a3) = a2F(ai) + 2a1a2f(a1,a2) + a\F(a2) = 2oiia2f(ai,a2) a totéž pro F(aA = 0. Tedy 3. a 4. rovnice v soustavě jsou závislé a soustava má hodnost menší než 5. Leží-li na jedné přímce nejvýše trojice bodů, např. Ai, A2, A3, pak v soustavě (12.3) nahradíme rovnici F(a%) = 0 rovnicí /(ai,a2) = 0, která je s rovnicemi F(ai) = 0 a F(a2) = 0 nezávislá. Rovnice /(ai,a2) = 0 vyjadřuje fakt, že každý bod přímky A\A2 leží na kuželosečce, která je potom singulární. □ Poznámka 12.4. Tvrzení Věty 12.2 se dá zobecnit tak, že kuželosečka je určena 5 nezávislými podmínkami, kde jako podmínku rozumíme takovou informaci o kuželosečce, která v souřadnicích vede na lineární rovnici, kde jako neznámé vystupují koeficienty matice kuželosečky. <) Definice 12.3. Nechť k : Fc(x) = 0 je kuželosečka. Body P = (p), Q = (q) G P2C se nazývají polárně sdružené nebo konjugované vzhledem ke kuželosečce k, jestliže Poznámka 12.5. V Definici 12.3 má smysl hovořit o bodech splňujících podmínku /C(Pi q) = 0, protože pro každé x, y G V3C a a, (5 G C platí fc(ax, f3y) = a/3fc(x, y). 0 Definice 12.4. Bod P nazveme singulárním bodem kuželosečky k, je-li polárně sdružen vzhledem ke k se všemi body roviny. Bod, který leží na kuželosečce k a není jejím singulárním bodem, nazveme regulárním bodem kuželosečky k. F(aA = 0 (12.3) /c(p,q) = 0. 12. Kuželosečky v projektivní rovině 48 Věta 12.3. Nechť k : Fc(x) = O je kuželosečka a P je její singulární bod. Nechť Q E k a Q ^ P. Potom: {l)Bod P leží na k. (2) Všechny body přímky PQ leží na k. Důkaz. (1) Bod P = (p) je singulárním bodem kuželosečky k a je tedy polárně sdružen se všemi body roviny, a tedy i sám se sebou, tj. /c(p, p) = 0, a tedy P G k. (2) Přímka PQ má parametrické vyjádření X = aP + (3Q, (a, j3) ^ (0,0). Potom Fc(x) = /c(x,x) = a2/C(P,P) +2a/3/C(P,q) + /32/C(q, q) = 0, tj. X G k pro libovolné hodnoty a, (3 G C. □ Věta 12.4. Nechť kuželosečka k : Fc(x) = 0 má v nčjaké geometrické bázi v V2 rovnici (12.2), potom bod X je singulárním bodem k právě tehdy, když jsou jeho projektivní homogenní souřadnice (x±, x2, x3) řešením lineární soustavy rovnic CLuXi + 012^2 + 013X3 = 0 , aí2Xi + a22X2 + (223^3 = 0 , (Z13XI + 023^2 + 033^3 = 0 , tj. Fi(x) = 0, F2(x) = 0, F3(x) = 0. Důkaz. Z definice singulárního bodu kuželosečky k vyplývá, že X je singulárním bodem právě tehdy, když libovolný jeho aritmetický zástupce x je singulárním vektorem kvadratické formy Fc, tj. polární bilineární formy fc. Naše tvrzení nyní vyplývá z (9.1). □ Věta 12.5. Regulární kuželosečka nemá singulární body, singulární kuželosečka hodnosti 2 má právě jeden reálný singulární bod a singulární kuželosečka hodnosti 1 má reálnou přímku singulárních bodů. Důkaz. Důkaz vyplývá z počtu řešení soustavy homogenních lineárních rovnic z Věty 12.4. □ Věta 12.6. Nechť k : Fc(x) = 0 je kuželosečka a P = (p) je bod, který není singulárním bodem k. Množina všech bodů X = (x) polárně sdružených s bodem P je přímka s rovnicí p : /c(p,x) = 0. Důkaz. Protože P není singulární bod k, není rovnice /c(p,x) = 0 splněna identicky a pro pevně zvolené p je /c(p,x) nenulová lineární forma na V3C a množina vektorů, které ji nulují, je vektorový podprostor dimenze 2. Tento podprostor je aritmetickým základem přímky p. □ Definice 12.5. Přímku p z Věty 12.6 budeme nazývat polárou bodu P vzhledem ke kuželosečce k a naopak bod P budeme nazývat pólem přímky p. 12. Kuželosečky v projektivní rovině 49 Poznámka 12.6. Nechť má kuželosečka k rovnici (12.2). Potom rovnice poláry bodu P = (pi,P2,Ps) vzhledem ke k je P ■ {anPi + 012^2 + 013^3)^1 + («i2Pi + «22^2 + 023^3)^2+ + (ai3Pl + «23^2 + 033^3)3:3 = O nebo zkráceně P ■ F1(p)x1 + F2(p)x2 + F3(p)x3 = O . Věta 12.7. Nechť k : Fc(x) = O je kuželosečka. Leží-li nesingulární bod P = (p) na poláře nesingulárního bodu Q = (q), pak bod Q leží na poláře bodu P. Důkaz. Je-li Fc(x) = O rovnice k, je podle Věty 12.6 rovnice poláry bodu P přímka P '■ /C(Pix) = O, a tedy Q G p <í=>- /c(p,q) = 0. Ze symetrie bilineární formy / je potom /c(q, p) = O, což znamená, že P leží na poláře bodu Q. □ Poznámka 12.7. Pro regulární kuželosečku k je přiřazení pólu a poláry vzájemně jednoznačné zobrazení množiny bodů na množinu přímek. Opravdu, je-li p : a\X\ + a2x2 + 03X3 = O obecné vyjádření nějaké přímky p, potom souřadnice jejího pólu splňují soustavu rovnic -ři(p) = crai, ^(p) = oia2, -řs(p) = cra3, kde a ^ O je číslo. Tato soustava lineárních rovnic pro neznámé souřadnice bodu P má jednopa-rametrické řešení (závislé na parametru a) právě tehdy, když je matice A regulární. Vztah mezi pólem a polární přímkou je projevem obecnější zákonitosti, která se nazývá princip duality. <) Věta 12.8. Nechť k je kuželosečka a p je přímka. Potom buď p je podmnožina k, nebo p a k mají společné právě dva body. Přitom pro reálnou přímku jsou tyto body reálné různé, nebo komplexně sdružené, nebo reálné splývající a pro imaginární přímku jsou imaginární různé, nebo imaginární splývající. Důkaz. Nechť p je určena body A = (a), B = (b), A ^ B, tj. p : X = aA + j3B, (a, 0) 7^ (O, 0). Předpokládejme, že bod X = (x) leží v průniku pak. Potom musí být splněna rovnice a2f(a, a) + 2a/3/c(a, b) + (32f€(h, b) = 0 . (12.4) Je-li /c(a, a) = /c(a, b) = /c(b,b) = 0 (A, B G k a, A, B jsou polárně sdruženy vzhledem ke k), je rovnice (12.4) splněna identicky a přímka p je podmnožinou k. Je-li /c(a,a) -f 0 (podobně pro /c(b,b) ^ 0), je f3 ^ 0 (a ^ 0) a rovnice (12.4) je kvadratickou rovnicí pro ^ (£). Pro reálnou přímku uvažujeme body A, B reálné a kvadratická rovnice (12.4) má reálné koeficienty Dvojice reálných různých průsečíků potom odpovídá dvěma reálným různým kořenům této rovnice, dvojice komplexně sdružených průsečíků odpovídá dvěma komplexně sdruženým kořenům a splývající reálné průsečíky odpovídají dvojnásobnému kořenu. Je-li p imaginární 12. Kuželosečky v projektivní rovině 50 přímka, musí být minimálně jeden z bodů A, B imaginární a kvadratická rovnice (12.4) má komplexní koeficienty. Dvojici různých kořenů potom odpovídají dva různé imaginární průsečíky a dvojnásobnému kořenu odpovídají splývající imaginární průsečíky. Konečně, je-li /c(a, a) = /c(b, b) = 0 a /c(a, b) ^ 0, dostaneme a/3 = 0, tj. a = 0 a (3 0 nebo (3 = 0 a a ^ 0, což odpovídá případu, kdy právě body A, B leží Definice 12.6. Přímku p, která není přímkou singulárních bodů kuželosečky k, nazýváme tečnou kuželosečky k právě když platí buď p c k, nebo p protíná k v dvojnásobném (regulárním) bodě. Regulární bod, který je průnikem kuželosečky a její tečny, se nazývá bodem dotyku. Věta 12.9. NechťP je regulární bod kuželosečky k : Fc(x) = 0. Potom polára bodu P je tečnou kuželosečky k s bodem dotyku P. Naopak každá tečna kuželosečky k, na níž leží alespoň jeden bod, který není singulárním bodem k, je polárou nějakého regulárního bodu k ležícího na p. Důkaz. Nechť P = (p) g k je regulární bod a p : /c(p,x) = 0 je jeho polára vzhledem ke k. Potom P g p, protože /c(p,p) = 0, a tedy P g p p k. Hledejme další body průniku p p k. Nechť Q = (q) g p, P 7^ Q. Potom p : X = aP + (3Q, (a, j3) (0, 0). X g p p k právě tehdy, když což je ekvivalentní s /32/c(q, q) = 0. Je-li (3 = 0, je X = aP a jediným bodem průniku je bod P. Je-li /c(q, q) = 0, je X g p p k pro libovolné a, (3, a tedy p c k. Ukázali jsme tedy, že polára regulárního bodu kuželosečky k je tečnou s bodem dotyku v P. Nechť nyní t je tečna kuželosečky k taková, že na ní leží alespoň jeden bod, který není singulárním bodem k. Z definice tečny vyplývá, že existuje regulární bod P g p p k. Nechť Q g t, Q ^ P, je libovolný bod a t : X = aP + f3Q, (a, j3) 7^ (0, 0). Musíme ukázat, že Q je polárně sdružen s P vzhledem ke k. Nechť nejdříve t G k. Rovnice (12.5) se v tomto případě redukuje v a/3fc(p, q) = 0 a musí být splněna pro všechna a, (3. Odtud /c(p, q) = 0, a tedy Q leží na poláře P. Dále nechť p p k je jediný dvojnásobný bod P. Potom se rovnice (12.5) redukuje v rovnici 2a[3fc(p, q) + /32/c(q, q) = 0, a ^ 0, která musí mít dvojnásobný kořen pro -. To je možné jen v případě, že /c(p, q) = 0, tj. Q leží na poláře bodu P. □ Poznámka 12.8. Geometrická interpretace poláry pro regulární kuželosečky nyní vyplývá z Věty 12.7. Je-li bod P nesingulární bod, který neleží na kuželosečce, potom polára bodu P vzhledem ke kuželosečce k je spojnice bodů dotyku tečen, sestrojených ke kuželosečce z bodu P. Tato vlastnost poláry se dá velice výhodně využít pro určování rovnic tečen kuželosečky procházejících daným bodem (viz následující Úloha 12.3). Pro singulární kuželosečky obsahuje polára libovolného (nesin-gulárního) bodu všechny singulární body kuželosečky. <) v průniku pak. a2/c(p, p) + 2a/3/c(p, q) + /32/c(q, q) = 0 (12.5) 12. Kuželosečky v projektivní rovině 51 Úloha 12.1. V dané geometrické bázi je dána kuželosečka k : Ax\ — x\ + 3x§ + 2xix2 + 3xix3 + 2x2x3 = 0 a bod P = (—3; 5; 1). Určete poláru bodu P vzhledem ke kuželosečce k. Řešení: Podle Věty 12.6 pro poláru bodu P platí /c(p,x) = 0 a z Poznámky 12.6 plyne p : — yxi — 7x2 + |x3 = 0, což upravíme na tvar p : llxi + 14x2 — = 0. Úloha 12.2. V dané geometrické bázi je dána kuželosečka k : ?>x\ + 5x2 + 10x| — 6x1X2 — 4x1X3 — 6x2X3 = 0 a přímka p : x\ — 6x2 + 8x3 = 0. Určete pól P přímky p vzhledem ke kuželosečce k. Řešení: Podle Poznámky 12.7 jsou souřadnice pólu P přímky p řešením soustavy lineárních rovnic a tedy x\ = a, x2 = 0, X3 = a,. Volbou a = 1 dostaneme souřadnice pólu P = a bod P = (3; 4; 1). Sestrojte tečny kuželosečky k, které procházejí bodem P. Řešení: I. metoda: Předpokládejme, že bod T = (ti, t2; t%) je bodem dotyku hledané tečny, tj. T E k a P leží na poláře bodu T. Podmínka T E k má v souřadnicích vyjádření 2í? + t\ - 3í§ - 4íií2 - 2íií3 + 6í2í3 = 0 a podmínka, aby P ležel na poláře bodu T, tj. (T)TA(P) = 0, vede na rovnici -3íi + í2 + 6ŕ3 = 0 . Dosazením ŕ2 = 3ŕi — 6Í3 do první rovnice dostaneme -t\ - 3í§ + 4íií3 = 0 . Ověříme, že £3 = 0 nevede na řešení naší úlohy, a upravíme na (|)2-4fi + 3 = 0. 3xi — 3x2 — 2x3 = a , -3xi + 5x2 — 3x3 = —6 2xi — 3x2 + IOX3 = 8a Potom a odtud Ti 1 (3;3;1) a T2 = (1; 3; 1). Hledané tečny jsou potom poláry t\\ x\ — 3x3 = 0 t2 : 7xi — 2x2 — 13x3 = 0. 12. Kuželosečky v projektivní rovině 52 II. metoda: Předpokládejme, že má tečna obecnou rovnici t : a\X\ + a2x2 + a'ix'i = 0. Z předpokladu, že P E t, dostaneme 3a± + 4a2 + 03 = 0, tj. a3 = — 3a± — 4a2. Tedy t : a\X\ + a2x2 ~~ (3ai + 402)^3 = 0. Protože P ^ k, je podmínka, že t je tečna kuželosečky k, ekvivalentní tomu, že t n k je dvojnásobný bod. Vyjádříme-li z rovnice tečny x\ a dosadíme do rovnice kuželosečky, dostaneme (a\ + 4aia2 + 203)^2 + (9a? + 40aia2 + 32a^)x| + (—6a? — 2$a\a2 — \%a^)x2x3 = 0. t je tečnou k právě tehdy, když diskriminant této kvadratické rovnice pro ^ je roven nule, tj. D = 8aia2 + 28a^ = 0. Odtud dostáváme dvě řešení. První řešení je a2 = 0 a a± libovolné, pak a3 = — 3a± a volbou a± = 1 dostaneme tečnu ri : xi — 3x3 = 0. Druhé řešení je ai = 7 a a2 = —2, pak a3 = —13 a dostaneme tečnu t2 : 7xi — 2x2 — 13x3 = 0 . III. metoda: Podle Poznámky 12.8 prochází polára bodu P body dotyku hledaných tečen. Polára bodu P je p : —3xi + x2 + 6x3 = 0. p n k vede na kvadratickou rovnici (viz I. metoda) (£1)2 _ 4x1 + 3 = q . r3 Dostaneme (^) = < a odtud T\ = (3; 3; 1) a T2 = (1; —3; 1). Tečny jsou potom poláry bodů T\ a T2, tj. ri : xi — 3x3 = 0 a t2 : 7xi — 2x2 — 13x3 = 0. Úloha 12.4. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A\ = (1; 1; 0), A2 = (0; 1; 1), A3 = (1; 0; 1), A4 = (1; -1; l)aA5= (1; -1; -1). Řešení: Do obecné rovnice kuželosečky /c : anx? + a22^2 + «33^3 + 2a12x1x2 + 2ai3XiX3 + 2a23x2x3 = 0 dosadíme postupně souřadnice bodů At a dostaneme soustavu pěti lineárních homogenních rovnic pro koeficienty kuželosečky au + a22 + 2ai2 = 0, 022 + 033 + 2a23 = 0 , an + a33 + 2qi3 = 0, Qii + 022 + 033 - 2ai2 + 2ai3 - 2a23 = 0, Qii + 022 + 033 - 2ai2 - 2ai3 + 2a23 = 0. Zvolíme-li volnou neznámou a23 = §1 dostaneme k : x\ + x\ — 4x| — 2xiX2 + 3x1X3 + 3x2X3 = 0 . 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 53 Úloha 12.5. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A\ = (0; 0; 1), A2 = (0; — 1; 1), A3 = (—1;0;3) a dotýká se přímky t : 4xx + 3x2 + 2x3 = 0 v bodě T= (1;-2;1). Řešení: Do obecné rovnice kuželosečky /c : anx2 + a22x\ + ÍZ33X3 + 2a12x1x2 + 2ai3xix3 + 2a23^2^3 = 0 dosadíme postupně souřadnice bodů At a dostaneme soustavu tří lineárních homogenních rovnic pro koeficienty kuželosečky «33 = 0, «22 + «33 - 2a23 = 0 , au + 9a33 - 6ai3 = 0 . Podmínka, že T je bod dotyku tečny t, tj. pól přímky t, vede na soustavu tří lineárních nehomogenních rovnic (viz Poznámka 12.6 a Poznámka 12.7, kde volíme a = 1) an - 2a12 + a13 = 4, —2a22 + «12 + «23 = 3 , a33 - 2ai3 + a23 = 2 . Řešením všech rovnic dostaneme rovnici kuželosečky k : 6x^ — x\ + 3x\x2 + 2x1X3 — X2X3 = 0 . 13 Projektivní klasifikace kuželoseček Věta 13.1. Singulární kuželosečka hodnosti 1 je tvořena jednou reálnou (dvojnásobnou) přímkou. Důkaz. Kuželosečka hodnosti 1 má reálnou přímku p singulárních bodů (viz Věta 12.5). Kuželosečka již potom nemůže obsahovat žádný jiný bod. Kdyby byl totiž bod Y ^ p dalším bodem kuželosečky, patřily by všechny body přímek XY, X E p, kuželosečce (Věta 12.3), což by znamenalo, že každý Obr. 13.1 bod roviny by byl bodem kuželosečky, a to je spor s Definicí 12.1. Kuželosečka tedy obsahuje pouze body přímky p. □ Věta 13.2. Singulární kuželosečka hodnosti 2 je složena ze dvou přímek, které jsou buií komplexné sdružené nebo reálné různé. Důkaz. Kuželosečka hodnosti 2 má právě jeden reálný singulární bod S (viz Věta 12.5). Uvažujme reálnou přímku p, která neobsahuje singulární bod S. Přímka p 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 54 nemůže být částí kuželosečky, protože v tom případě by podle Věty 12.3 ležely na kuželosečce všechny přímky spojující singulární bod s libovolným bodem na p, a tedy celá rovina by byla součástí kuželosečky, což je ve sporu s Definicí 12.1. Také možnost, že průnik p a kuželosečky je dvojnásobný bod, je vyloučena. Pokud by byl dvojnásobný bod singulárním bodem kuželosečky, dostali bychom se do sporu s počtem singulárních bodů. Pokud by byl dvojnásobný bod regulárním bodem kuželosečky, byla by přímka p tečnou kuželosečky v tomto bodě a podle Poznámky 12.8 by musela přímka p procházet bodem S, což je ve sporu s předpokladem. Podle Věty 12.8 je tedy průnik kuželosečky a přímky p dvojice bodů, které jsou buď komplexně sdružené (na Obr. 13.2 a) jsou označeny jako A, A), nebo reálné různé, (na Obr. 13.2 b) jsou průsečíky označeny A, B). Spojnice singulárního bodu s těmito průsečíky leží podle Věty 12.3 na kuželosečce a jsou to buď dvě komplexně sdružené přímky, nebo dvě reálné různé přímky. Žádný jiný bod již na kuželosečce neleží. Kdyby totiž existoval bod X, který leží na kuželosečce a neleží na žádné z výše popsaných přímek, potom by přímka SX ležela na kuželosečce a průnik SX n jo by byl třetí průsečík kuželosečky a přímky p, což je ve sporu s Větou 12.8. □ Definice 13.1. Přímky, které tvoří singulární kuželosečku, se nazývají tvořícími přímkami kuželosečky. Věta 13.3. (Projektivní klasifikace kuželoseček) Ke každé kuželosečce k : Fc(x) = 0 existuje taková reálná geometrická báze prostoru , že v této bázi má kuželosečka k právě jednu z následujících rovnic Obr. 13.2 2 , 2 , 2 X~\~ X^ ~t~ 2,2 2 v * _l_ > * _ v * Jb-^ \~ Jb 2 3 2 , 2 X~\~ Xq o o o (Pki) (Pk2) (Pk3) (Pk4) (Pk5) 0 0. 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 55 Důkaz. F je nenulová kvadratická forma na V3. Podle Věty 9.2 k ní existuje polární báze e/l,e/2,e/3. Položme Ol = (e^). Potom v geometrické bázi Oi, 02,03, E' = (Y^=i eí) má kuželosečka k kanonickou rovnici k : Y^=i aiix1 = Oj kde = F(e'i). Změňme pořadí bodů Ol tak, aby v kanonických rovnicích byly nejdříve koeficienty kladné, potom záporné a nakonec nuly. Pokud je mezi koeficienty více záporných znamének než kladných, vynásobíme nejdříve rovnici kuželosečky -1 (to znamená, že od kvadratické formy F přejdeme ke kvadratické formě —F). Nenulové koeficienty nakonec normujeme změnou jednotkového bodu E tak, že změníme aritmetické zástupce bodů 0% následujícím způsobem: ej = i—e'. Potom v bázi Vla«l (Oi = (ei),02 = (e2),03 = (e3),E = (Y^i=i e*)) m^ kuželosečka k požadovanou rovnici. □ Definice 13.2. Rovnici kuželosečky k z Věty 13.3 nazýváme normální rovnicí kuželosečky. Geometrickou bázi, ve které nabývá rovnice kuželosečky normální tvar, nazýváme normovaná polární báze kuželosečky k. Poznámka 13.1. V praxi je většinou kuželosečka zadána v souřadnicích vzhledem k nějaké geometrické bázi. Určit normální tvar rovnice potom znamená převést určující kvadratickou formu na normální tvar algoritmem popsaným v Části 9 a příslušnou polární bázi potom poznáme z tvaru transformačních rovnic, které převádějí danou kvadratickou formu na normální tvar. <) Obr. 13.3 Poznámka 13.2. V polární bázi kuželosečky k jsou libovolné dva různé základní body polárně sdružené vzhledem ke k. Tyto body tvoří takzvaný polární trojúhelník kuželosečky k. Pro regulární kuželosečku leží každá strana polárního trojúhelníka na poláře protějšího vrcholu (viz Obr. 13.3). Pro singulární kuželosečku hodnosti dva je vždy jeden vrchol polárního trojúhelníka singulární bod kuželosečky a pro singulární kuželosečku hodnosti jedna jsou vždy dva vrcholy polárního trojúhelníka singulární body kuželosečky. <) Poznámka 13.3. Snadno se vidí, že kuželosečka určená rovnicí (Pkl) je regulární kuželosečka, která neobsahuje žádný reálný bod. Jedná se tedy o imaginární regulární kuželosečku. (Pk2) určuje reálnou regulární kuželosečku. (Pk3) a (Pk4) určují 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 56 singulární kuželosečky hodnosti 2, které jsou tvořeny dvojicí tvořících přímek. Přitom pro (Pk3) jsou tyto přímky komplexně sdružené a pro (Pk4) reálné. (Pk3) obsahuje jediný reálný bod, a to průsečík komplexně sdružených tvořících přímek. (Pk5) je singulární kuželosečka hodnosti 1, která je tvořena jednou (reálnou) dvojnásobnou tvořící přímkou. <) Úloha 13.1. V dané geometrické bázi (0±, 02, 03, E) je dána kuželosečka k : x\ — x\ + 2x\X-A + 4x2X3 = 0 . Určete normovanou polární bázi kuželosečky k, normální tvar rovnice, typ kuželosečky (viz Poznámka 13.3) a transformační rovnice, které převádějí rovnici k na normální tvar. Řešení: I. metoda: Postupujeme podle důkazu Věty 13.3. Protože 0\ = (ei) neleží na k, zvolíme jej jako první základní bod 0[ do nové báze. Určíme poláru o'ľ bodu 0[, o'ľ : X1+X3 = 0. Bod 0'2 vybíráme na o[. Zvolme 0'2 = (1;0;—1) ^ k. Určíme poláru o2 bodu 0'2, o2 : —2x2 + ^3 = 0. Poslední základní bod 0'3 musí být průsečík o[ n o2, tj. 0'3 = (-2; 1; 2). V geometrické bázi {0[, 0'2, 0'3, E'), kde E' = {e[ + e'2 + e3 = (0; 1; 1)), bude mít kuželosečka kanonickou rovnici Tuto polární bázi nyní znormujeme tak, že vyměníme nejdříve pořadí bodů 02 a 03 a změníme vektor, který určuje 0'3 na 0'3 = ((—-^=; ^))- V geometrické bázi {0[, 0'3, 0'21 E"), kde nový jednotkový bod E" = {e[+e2+±;e3 = (^; ^; 2-=fi)), bude mít kuželosečka normální rovnici t. . „112 i / /2 _ „/ /2 _ n Kuželosečka je tedy reálná regulární. Ze souřadnicového vyjádření základních bodů poznáme tvar transformačních rovnic. Protože 0[ = ((1; 0; 0)), 0'3 = ((—^)) a 02 = ((1;0;— 1)) (pozor na pořadí bodů v bázi), jsou příslušné transformační rovnice ve tvaru 9 Xi — X-i ^Xo ~p Xo , 73 á x2 = 1 ■—=Q 2 x3 — + ^/_x2 x3 . II. metoda: Levou stranu rovnice kuželosečky v původní bázi upravíme na tvar xí ~ X2 + 2x\x3 + 4x2x3 = (x\ + x3)2 — x\ — x\ + 4x2x3 = = (xi + x3)2 - (x2 - 2x2)2 + 3x|. 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 57 Potom transformace souřadnic x1 = X\ + X3 , / _ X2 — T S3, -x2 — 2x 3 převede rovnici k na kanonický tvar Kanonickou rovnici znormujeme transformací / _ / / X — X-j^ , x3 — +x3 na konečný normálni tvar t. . „/12 , / /2 _ /12 _ n Složením dvou dílčích transformací souřadnic dostaneme celkové transformační rovnice Xi x-^ —^=x2 , 9 X2 — -t-^_x2 -h x3 , Z transformačních rovnic se potom určí odpovídající normovaná geometrická báze kuželosečky 0[ = <(1; 0; 0)), 0'2 = ((-^; ^; ^)), 02 = ((0; 1; 0)), £" = (e^ + e'2 + J_p/ _ /V^-l vl+2. J_\\ Poznámka 13.4. Všimněme si, že v předchozí úloze jsme dostali v obou metodách různé normované polární báze a různé transformační rovnice. Výsledný normální tvar rovnic kuželosečky je ale v obou metodách shodný. 14 Afinní vlastnosti kuželoseček V této a další části uvažujeme A2 reálnou afinní rovinu, A2 její komplexní rozšíření a A2 projektivní rozšíření A2. Jako kuželosečku v A2 potom rozumíme kuželosečku vAj. Uvažujme na A2 afinní souřadnou soustavu určenou afinním repérem (0;ei,e2) (14.1) 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 58 V indukovaných afinních homogenních souřadnicích (xi, x2, x3) má kuželosečka v A2 rovnici 3 k : dijXiXj = 0, (14.2) G R, což píšeme maticově jako (Qii Qi2 Qi3\ /^A Qi2 a22 a23\ x2 = 0 Qi3 «23 033/ V^/ /xA a zkráceně, při označení (X) = x2 , pouze (X)TA(X) = 0. W Při přechodu k nehomogenním souřadnicím pro vlastní body [xi; x2], x\ = —, x2 = —, můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru ^3 2 2 /c : ^ a^-x^- + 2 ^ aí3Xj + a33 = 0 , i,j=l i=l nebo, při obvyklejším označení nehomogenních souřadnic X = [x;y], k : anx2 + 2a12xy + a22y2 + 2ai3x + 2a23y + a33 = 0. (14.3) Maticově, při označení matice nehomogenních souřadnic bodu X jako (X) = ^ * (z :::)©+20, (3) kuželosečka k má jeden dvojnásobný reálný nevlastní bod právě tehdy, když \A\ = o. Důkaz. Jestliže nevlastní přímka není součástí kuželosečky k, je matice A nenulová (vzhledem k libovolnému afinnímu repéru (14.1)). Určit nevlastní body kuželosečky k znamená vyřešit v afinních homogenních souřadnicích soustavu rovnic danou rovnicí kuželosečky (14.2) a rovnicí nevlastní přímky x3 = 0. Dostaneme rovnici aiix\ + 2aí2xiX2 + (222^2 = 0 • (14.8) Je-li al% = 0, i = 1, 2, je a\i 7^ 0 a \A\ < 0. Naše rovnice má potom dvě reálná řešení (1;0) a (0;1), tj. kuželosečka má dva nevlastní body (1;0;0) a (0;1;0). Je-li (Zjj 7^ 0, i = 1, 2, pro nějaké i, vydělíme rovnici (14.8) souřadnicí Xj, ! / j, j = 1,2. Pro ^ dostaneme kvadratickou rovnici, jejíž diskriminant je D = 4(a?2 — Q11Q22) = — 4|^4|. Odtud vyplývá tvrzení věty. □ Obr. 14.2 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 62 Úloha 14.1. Určete středy kuželosečky k a) k :3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0, b) k : x2 — 2xy + y2 — Ax — 6y + 3 = 0, c) k : x2 + 6xy + 9y2 + 4x + 12y - 5 = 0 . 3 - Řešení: a) Matice kuželosečky je 1—13 2 I a podle (14.7) je soustava pro výpočet vlastních středů 3ši — š2 -ši + 3s2 Tato soustava má jediné řešení š± = —1, s2 = —1 a kuželosečka má jediný vlastní střed S = [-1;-1]. b) Soustava pro výpočet vlastních středů je ši - s2 - 2 = 0, —ši + s2 — 3 = 0 . Tato soustava nemá řešení, kuželosečka tedy nemá vlastní střed. Soustavu převedeme do homogenních souřadnic si — s2 — 2s3 = 0, si + s2 - 3s3 = 0 . Tato soustava má jednodimenzionální podprostor řešení generovaný vektorem (1;1;0). Kuželosečka má tedy jeden nevlastní střed ve směru vektoru (1;1). c) Soustava pro výpočet vlastních středů je ši + 3s2 + 2 = 0 , 3ši + 9s2 + 6 = 0 . Tato soustava má hodnost jedna a určuje přímku o obecné rovnici x + 3y + 2 = 0, která je přímkou středů dané kuželosečky. Úloha 14.2. Určete dvojici sdružených průměrů kuželosečky k :3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0, z nichž jeden prochází bodem A = [1; —2]. Řešení: Určíme střed S kuželosečky k, S = [—1; —1]. Přímka p = AS je průměrem kuželosečky, který prochází bodem A; p : x + 2y + 3 = 0. Nevlastní bod Q přímky p (určený směrovým vektorem přímky p) je Q = (2; —1;0). Polára q bodu Q je průměrem sdruženým s průměrem p; q : 7x — 5y + 2 = 0. Úloha 14.3. Určete nevlastní body a asymptoty kuželosečky k : 3x2 + 2xy - y2 + 8x + 10y + 14 = 0 . 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 63 Řešení: Určíme rovnici kuželosečky v afinních homogenních souřadnicích: k : ?>x\ + 2xix2 — x\ + 8x^x3 + 10x2x3 + 14x| = 0. Položíme X3 = 0 a pro nevlastní body kuželosečky dostaneme rovnici 3x2 + 2xix2 — x2 = 0 , kterou řešíme pro podíl souřadnic Dostaneme = —1 a {^)2 = §• Nevlastní body kuželosečky jsou body A\ = (—1; 1; 0) a A2 = (1; 3; 0). Asymptoty jsou potom poláry bodů A\ a A2, tj. aľ : 2x + 2y — 1 = 0 a a2 : 6x — 2y + 19 = 0. 15 Afinní klasifikace kuželoseček Definice 15.1. Kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva komplexně sdružené body, budeme nazývat kuželosečkou eliptického typu. Kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva reálné různé body, budeme nazývat kuželosečkou hyperbolického typu a kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společný právě jeden dvojnásobný bod, budeme nazývat kuželosečkou parabolického typu. Regulární kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva komplexně sdružené body, budeme nazývat elipsou. Regulární kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva reálné různé body, budeme nazývat hyperbolou a regulární kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společný právě jeden dvojnásobný bod, budeme nazývat parabolou. Poznámka 15.1. Aplikujeme-li nyní Definici 15.1 na projektivní typy kuželoseček (viz Poznámka 13.3), dostaneme následující afinní typy kuželoseček: Formálně reálná regulární kuželosečka nemá žádný reálný nevlastní bod a je to tedy elipsa, kterou budeme nazývat imaginární elipsou. Reálná regulární kuželosečka se nyní rozdělí na tři typy podle počtu a druhu nevlastních bodů. Bude to (reálná) elipsa, hyperbola a parabola. Elipsa a hyperbola jsou kuželosečky středové, zatímco parabola je nestředová. Hyperbola má dvě reálné asymptoty. Asymptoty elipsy jsou komplexně sdružené přímky a parabola má jednu nevlastní asymptotu. Reálná elipsa, hyperbola a parabola se tedy liší pouze tím, že elipsa neprotíná reálně nevlastní přímku, hyperbola ji reálně protíná ve dvojici různých bodů a parabola se nevlastní přímky dotýká. U kuželosečky, která je složena ze dvou reálných různých přímek, mohou nastat tři případy. Buď je jedna z tvořících přímek nevlastní (takovou kuželosečku nelze zadat v nehomogenních souřadnicích), nebo jsou obě tvořící přímky vlastní. V tomto případě může být jejich společný bod vlastní (různoběžné přímky - kuželosečka hyperbolického typu), nebo nevlastní (rovnoběžky - kuželosečka parabolického typu). U kuželosečky, která je složena ze dvou komplexně sdružených přímek, rozlišujeme dvě možnosti. Společný reálný bod těchto dvou přímek je buď vlastní (komplexně sdružené různoběžky - kuželosečka eliptického typu), nebo nevlastní (komplexně sdružené rovnoběžky - kuželosečka parabolického typu). 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 64 Kuželosečka, která je tvořena jedinou dvojnásobnou tvořící přímkou, je buď nevlastní (nedá se v nehomogenních souřadnicích vyjádřit), nebo vlastní (kuželosečka parabolického typu). <) Věta 15.1. Nechť kuželosečka k, která neobsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku, je v nějaké afinní souřadné soustavě zadána rovnicí (14.2). Pak k je (1) imaginární elipsou, právě když \ A\ ^ 0, \A\ > 0 a na k neexistují reálné body, (2) (reálnou) elipsou, právě když \ A\ ^ 0, \A\ > 0 a na k existují reálné body, (3) hyperbolou, právě když \A\ ^ 0 a \A\ < 0, (4) parabolou, právě když |^4|^0a|^4| = 0. Důkaz. Podmínka, že kuželosečka je regulární je v souřadnicích ekvivalentní tomu, že diskriminant kuželosečky je nenulový, tj \A\ ^ 0. Pro určení typu kuželosečky stačí zjistit počet a typ nevlastních bodů, které na kuželosečce leží. Věta 15.1 nyní vyplývá z Věty 14.5. Při \A\ > 0 musíme ještě navíc rozlišovat, zda se jedná o imaginární nebo reálnou elipsu. □ Věta 15.2. Kuželosečka k, která neobsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku, je složena (1) ze dvou reálných různoběžných přímek, právě když h(A) = 2 a \A\ < 0, (2) ze dvou komplexně sdružených různoběžných přímek, právě když h(A) = 2 a \A\ > 0, (3) ze dvou reálných rovnoběžných přímek, právě když h(A) = 2, \A\ = 0 a existují reálné body ležící na k, (4) ze dvou komplexně sdružených rovnoběžných přímek, právě když h(A) = 2, \A\ =0 a neexistují reálné vlastní body ležící na k, (5) z jedné dvojnásobné přímky, právě když h(A) = 1. Důkaz. Tato věta vyplývá z Poznámky 15.1 a Věty 14.5. □ Poznámka 15.2. Z předchozích dvou vět vyplývá, že k určení typu kuželosečky, která neobsahuje jako svou tvořící přímku nevlastní přímku, stačí znát hodnost kuželosečky a znaménko determinantu matice A. Jisté problémy nastanou pouze v případě elipsy a rovnoběžných přímek, kdy musíme ještě navíc rozlišit reálné a imaginární případy. <) Věta 15.3. Ke každé kuželosečce k existuje nejméně jedna dvojice různých nevlastních bodů, které jsou vzhledem ke k polárně sdruženy. Důkaz. Nechť nejdříve k obsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku. Potom libovolná dvojice nevlastních bodů v obecné poloze splňuje podmínky věty. Nechť nyní nevlastní přímka není součástí k. Zvolme libovolný nevlastní bod 0±, který neleží na k, a označme o\ jeho poláru. Označme 02 nevlastní bod o±. Potom Oi, 02, Oi 02, je dvojice nevlastních bodů v obecné poloze, které jsou polárně sdruženy vzhledem ke k. □ 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 65 Věta 15.4. Nechť (0;ei,e2) je takový afinní repér, že vektory e± a e2 určují dva nevlastní body polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce k. Potom vzhledem k tomuto afinnímu repéru je v rovnici kuželosečky k a\2 = 0. Důkaz. V afinních homogenních souřadnicích je 0\ = (ei) = (1;0;0) a 02 = (e2) = (0; 1; 0). Podmínka polární sdruženosti je (Oi)T A(02) = 0, což je ekvivalentní a12 = 0. □ Věta 15.5. Je-li počátek afinního repéru vlastním středem kuželosečky k, je v rovnici k vzhledem k tomuto afinnímu repéru a±3 = a23 = 0. Důkaz. Nechť je počátek O afinního repéru vlastním středem kuželosečky k. V afinních homogenních souřadnicích je O = (0;0;1). O je polárně sdružen se všemi nevlastními body, a tedy i s body 0% = (e-j), i = 1,2. Protože 0\ = (1;0;0) a 02 = (0; 1; 0), dostaneme z podmínky (0)TA(Oi) = 0 tvrzení Věty 15.5. □ Důsledek 15.1. Zvolíme-li nyní afinní repér tak, že počátek je středem kuželosečky a osy souřadné jsou sdružené průměry (viz Obr. 15.2), má vzhledem k tomuto afinnímu repéru kuželosečka k kanonickou rovnici Věta 15.6. Jestliže regulární kuželosečka k nemá žádný vlastní střed, můžeme zvolit afinní repér {O; el5 e2) tak, že O leží na kuželosečce, ei je směrový vektor tečny ke k v bodě O a e2 je vektor určující nevlastní střed k. Potom vzhledem k tomuto afinnímu repéru má k homogenní rovnici tvaru Obr. 15.2 k : aiix\ + a22x\ + 033X3 = 0. x\ + 2px2x3 = 0 tj. nehomogenní rovnici x2 + 2py = 0 . (15.3) 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 66 Obr. 15.3 Důkaz. Nechť je afinní repér zvolen podle Věty 15.6 (viz Obr 15.3). Protože O G k, O = (0;0;1), je 033 = 0. O je polárně sdružen s nevlastním bodem 0\ = (ei), protože Oi je bodem tečny sestrojené v O. Odtud 013 = 0. Body 0\ a O2 = (e2) jsou polárně sdruženy protože O2 je střed k. Odtud a\i = 0. Matice kuželosečky je tedy au 0 0 \ 0 (Z22 ď23 ■ Podmínka, že kuželosečka nemá vlastní střed, je ekvivalentní o a23 o y tomu, že nehomogenní soustava rovnic a\\x = 0, 0222/ + 023 = 0 nemá řešení, a to je možné právě tehdy, když 022 = 0, au ^ 0 / 023- Celkově tedy k : anx2 + 2a23Ž/ = 0 a vydělením rovnice koeficientem au při označení P = ^ dostaneme tvrzení Věty 15.6. □ Definice 15.2. Rovnici (15.1) nebo (15.2) kuželosečky k budeme nazývat afinní kanonickou rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kuželosečka k kanonickou rovnici, budeme nazývat polární afinní repér kuželosečky k. Věta 15.7. (Afinní klasifikace kuželoseček) Ke každé kuželosečce k existuje ta- 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 67 kovy afinní repér, že vzhledem k němu má k jednu z následujících rovnic: (homogenní souřadnice) X~\~ X^ ~\~ — O •> 2 i 2 2 _ r\ X~\~ Xq — ^ j 2 _ 2 _ 2 _ n X"^2 — ' x\ + 2x2x3 = O , (nehomogenní souřa< x2 + y2 + 1 = O , x2 + y2 — 1 = O , x2 — y2 — 1 = O , x2 + 2y = O , x2 + y2 = O , x2 - y2 = O , x2 + 1 = O, x2 - 1 = O , ne/ze vyjádřit, x2 = O, ne/ze vyjádřit. .dnice ) (Akl) (Ak2) (Ak3) (Ak4) (Ak5) (Ak6) (Ak7) (Ak8) (Ak9) (AklO) (Akll) X~\~ X^2 — O X"^2 — ^ X~\~ Xr^ — O X*^3 — ^ xix3 = O Důkaz. Nechť je nejdříve kuželosečka k středová. Podle Důsledku 15.1 můžeme zvolit afinní repér (14.1) tak, že vzhledem k němu má k rovnici a\\x\+a22x\+a33x2 = 0. Je-li (Z33 7^ 0, vydělíme tuto rovnici k číslem 10331 a výslednou rovnici znormujeme vhodnou volbou násobků směrových vektorů, konkrétně pro nenulový koeficient au volíme Uj = y Jj|22l e, av afinním repéru, kde směrové vektory jsou vektory Ui, u2, jsou v rovnici k jako koeficienty pouze 0, 1 nebo -1. Případnou výměnou souřadných směrů nebo vynásobením -1 dostaneme jednu z rovnic (Akl) - (Ak3), (Ak7) - (Ak8) nebo (Akll). Je-li 033 = 0, normujeme výše popsaným způsobem rovnici přímo a dostaneme (Ak5) - (Ak6) nebo (AklO). Pro regulární nestředovou kuželosečku můžeme podle Věty 15.6 zvolit afinní repér tak, že v něm má k rovnici x2 + 2py = 0, p 7^ 0 G IR. Vyměníme-li vektor e2 jeho 4 násobkem, dostaneme v novém afinním repéru rovnici k ve tvaru (Ak4). Obsahuje-li k jako svou tvořící přímku nevlastní přímku a je hodnosti 2, můžeme zvolit afinní repér tak, že vlastní tvořící přímka je druhá souřadná osa, potom má k homogenní rovnici (Ak9). Je-li k tvořena dvojnásobnou nevlastní přímkou, má v libovolném afinním repéru rovnici (Akll). □ Definice 15.3. Rovnici kuželosečky k z Věty 15.7 budeme nazývat afinní normální rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kuželosečka k normální rovnici, budeme nazývat normovaný polární afinní repér kuželosečky k. Poznámka 15.3. Snadno se vidí, že kuželosečka (Akl) je imaginární elipsa, (Ak2) je reálná elipsa, (Ak3) je hyperbola, (Ak4) parabola, (Ak5) je dvojice komplexně sdružených tvořících různoběžných přímek, (Ak6) je dvojice reálných různoběžných 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 68 přímek, (Ak7) je dvojice komplexně sdružených rovnoběžných přímek, (Ak8) je dvojice reálných rovnoběžných přímek, (Ak9) je tvořena jednou vlastní a jednou nevlastní tvořící přímkou, (AklO) je dvojnásobná vlastní tvořící přímka a (Akll) je dvojnásobná nevlastní tvořící přímka. <) Poznámka 15.4. V praxi je kuželosečka většinou zadána svou rovnicí v nehomogenních souřadnicích. Pro určení normální rovnice máme dvě metody. První je založena na hledání normovaného polárního afinního repéru kuželosečky tak, jak je to popsáno ve Větách 15.4 - 15.6. Transformační rovnice přechodu k polárnímu repéru potom převedou rovnici kuželosečky na jeden z tvarů Věty 15.7. Druhá metoda je založena na postupné úpravě rovnice kuželosečky. V afinních nehomogenních souřadnicích je levá strana rovnice kuželosečky součtem kvadratické části (s maticí A), lineární části a konstanty. Nejdříve převedeme kvadratickou část do kanonického tvaru postupem popsaným v Části 5. To odpovídá přechodu k afinnímu repéru, kde počátek se nemění a směry souřadné jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce. Potom odstraníme lineární členy (pokud to lze) přechodem na druhou mocninu dvoj-členu. To odpovídá posunu počátku souřadného repéru. Nakonec výslednou kanonickou rovnici normujeme vhodným vynásobením směrových vektorů. Složením dílčích transformací dostaneme výslednou transformaci, která převádí rovnici kuželosečky do normálního tvaru (nebo jeho násobku) a z transformačních rovnic poznáme, jaký je normovaný polární afinní repér kuželosečky. Konkrétní způsob bude jasný z řešené Úlohy 15.2. 0 Úloha 15.1. Určete afinní typ kuželosečky k (viz Poznámka 15.1) a) k :3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0 , b) k : x2 — 2xy + y2 — Ax — 6y + 3 = 0, c) k : x2 + 2xy + y2 — x — y = 0 . Řešení: a) Determinant matice kuželosečky je \A\ = —64 ^ 0. Kuželosečka je tedy regulární. Determinant \A\ = 8 > 0 a podle Věty 15.1 se jedná o elipsu. Protože např. reálný bod [-2;0] splňuje rovnici kuželosečky, je elipsa reálná. b) Determinant matice kuželosečky je \A\ = —25 ^ 0. Kuželosečka je tedy regulární. Determinant \A\ = 0 a podle Věty 15.1 se jedná o parabolu. b) Determinant matice kuželosečky je \A\ = 0. Kuželosečka je tedy singulární a její hodnost je h(A) = 2. Determinant \A\ = 0 a podle Věty 15.2 se jedná o dvojici rovnoběžných přímek. Protože [0;0] leží na k, jsou to reálné rovnoběžky. Úloha 15.2. Pomocí afinních transformací souřadnic určete normální tvar rovnic kuželoseček z Úlohy 15.1 Řešení: I. metoda (hledání polárního afinního repéru, viz Věty 15.4 - 15.6): a) Kuželosečka má vlastní střed S = [—1; — 1]. Směry určené vektory ei = (1; 0) a e2 = (1; 3) jsou polárně sdružené vzhledem ke k. Transformační rovnice přechodu 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 69 k novému afinnímu repéru {S; e±, 62) jsou x = x + y — 1, V = 3y - 1. Jejich dosazením do rovnice kuželosečky dostaneme kanonický tvar rovnice k : 3x'2 + 24y'2 -8 = 0. Tuto rovnici nejdříve vydělíme 8 a transformací x' = ^/§x", y' = ~~j%v" íy převedeme na normální tvar k : {x")2 + {y")2 -1 = 0. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 2\/2 „ 1 „ x = ——x H--—v — 1, 3 „ 1 která převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Odpovídající normovaný polární afinní repér je tvořen bodem S = [—1; —1] a vektory = (^P; 0), b) Kuželosečka nemá vlastní střed. Nevlastní střed je určen směrem e2 = (1; 1). Jako počátek zvolíme libovolný bod kuželosečky např. bod O = [3; 0]. Tečna v tomto bodě má rovnici o : x — 6y — 3 = 0 a její směrový vektor je ei = (6; 1). Transformační rovnice přechodu k repéru {O; el5 e2) jsou tedy x = 6x' + y + 3 , y = x + y' ■ Jejich dosazením do rovnice kuželosečky dostaneme kanonický tvar rovnice k : 25x'2 - 10y' = 0. Tuto rovnici nejdříve vydělíme 25 a transformací x' = x", y' = 5y" ji převedeme na normální tvar k : (x")2 - 2y" = 0 . Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru x = Qx" + 5y" + 3 , y = x" + 5y" , která převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Odpovídající normovaný polární afinní repér je tvořen bodem O = [3; 0] a vektory = (6;1), e'2 = (5;5). c) Kuželosečka má vlastní přímku středů 2x + 2y — 1 = 0. Zvolíme za počátek libovolný z nich, např. S = [1/2; 0]. Směry určené vektory ei = (1; 0) a e2 = (1; —1) 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 70 jsou polárně sdružené vzhledem ke k. Transformační rovnice přechodu k novému afinnímu repéru {S; el5 e2) jsou x = x + y + - , y = -y ■ Jejich dosazením do rovnice kuželosečky dostaneme kanonický tvar rovnic k : x'2 - \ = 0 . Tuto rovnici nejdříve vynásobíme 4 a transformací x' = \x", y' = y" ji převedeme na normální tvar k : {x")2 -1 = 0. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 1 „ , „ , 1 x = -x + y H— , 2 y 2 ' // y = -y , která převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Odpovídající normovaný polární afinní repér je tvořen bodem S = [|;0] a vektory = (|;0), e'2 = (l;-l). II. metoda (úprava rovnic): a) Rovnici kuželosečky upravíme na tvar k:3(x- \yf + fy2 + 4x + 4y - 4 = 0. Potom transformace x = x H—y , y = y' převede rovnici kuželosečky na tvar k : 3x'2 + fy'2 + 4x' + f y' - 4 = 0 . Tuto rovnici upravíme na tvar A;:3(x/ + |)2 + |(y/ + l)2-8 = 0. Transformace 2 3 ' y = y - i převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru A;:3(x,,)2 + f(y,,)2-8 = 0 , 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 71 který nejdříve vydělíme 8 a transformací „ = 2\/2 y" = ^>y převedeme do konečného normálního tvaru k : x2 + y2 - 1 = 0 . Složením postupných transformací dostaneme výslednou transformaci souřadnic 2^2 1 _ x = —-=-x H---=y — 1, y = ^>y -1, která převádí rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Z transformačních rovnic vidíme, že příslušný normovaný polární afinní repér má počátek S = [—1; — 1] a směrové vektory ei = (^P; 0), e2 = (^=; \/3). b) Rovnici kuželosečky upravíme na tvar k : (x - y)2 - 4x - 6y + 3 = 0. Potom transformace x = x + y , převede rovnici kuželosečky na tvar k : x'2 — Ax' - 10y' + 3 = 0. Tuto rovnici upravíme na tvar k:(x'- 2)2 - (10y' + 1) = 0 . Transformace III i o x = x + 2 , I " _ 1 y 5y 10 převede rovnici kuželosečky do normálního tvaru k : {x")2 - 2y" = 0 . Složením postupných transformací dostaneme výslednou transformaci souřadnic 1 19 II : ^ II ÍU x = x H—y--, 5y 10 ' 1 „ 1 y = -y--1 y 5 10 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 72 která převádí rovnici kuželosečky do normálního tvaru. Z transformačních rovnic vidíme, že příslušný normovaný polární afinní repér má počátek S = [—— y^] a směrové vektory ei = (1; 0), e2 = (|; |). c) Rovnici kuželosečky upravíme na tvar k : (x + y)2 — x — y = 0 . Potom transformace x = x — y , y = y' převede rovnici kuželosečky na tvar k : x'2 - x' = 0 . Tuto rovnici upravíme na tvar k:(x'-l)2-l = 0. Transformace , 1 „ , 1 x = -x H— 2 2 / // y = y převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru k:\(x")2-\ = 0. Složením postupných transformací dostaneme výslednou transformaci souřadnic 1 „ „ 1 x = —x —y H— , 2 y 2 ' // y = y , která převádí rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Z transformačních rovnic vidíme, že příslušný normovaný polární afinní repér má počátek S = [|;0] a směrové vektory ei = (|; 0), e2 = (—1; 1). 16 Metrické vlastnosti kuželoseček Ve zbytku této kapitoly uvažujeme £2 reálnou euklidovskou rovinu, S2 její komplexní rozšíření a £iF projektivní rozšíření E2- Jako kuželosečku v £2 potom rozumíme kuželosečku v £2 . Uvažujme na £2 kartézskou souřadnou soustavu určenou ortonormálním (kartézským) repérem <0;ei,e2). (16.1) 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 73 V indukovaných kartézských homogenních souřadnicích v £2 má kuželosečka k obvyklou rovnici 3 k : dijXiXj = 0, (16.2) M = l a v nehomogenních kartézských souřadnicích (při častějším označení nehomogenních souřadnic X = [x;y]) má kuželosečka k rovnici £)(y)+2(fl* -)e)+-=°' (i6-3) tj. /c : anx2 + 2a12xy + a22Ž/2 + 2ai3x + 2a23Ž/ + ^33 = 0. (16.4) Maticově, při stejném označení jako v Části 14, k : (X)TA(X) + 2(a)T(X) + a = 0. (16.5) Úmluva. V praxi se setkáváme téměř výhradně s kuželosečkami, jejichž rovnice jsou zadány v nehomogenních souřadnicích. Takto se nedají bez dalšího upřesnění zadat kuželosečky, jejichž součástí je nevlastní přímka. Dále tedy budeme předpokládat, že žádná kuželosečka nemá za svou tvořící přímku nevlastní přímku. V souřadnicovém vyjádření to znamená, že matice A je nenulová. Definice 16.1. Směr určený nenulovým reálným vektorem u se nazývá hlavním směrem kuželosečky k, je-li vzhledem ke k polárně sdružen s kolmým směrem. Poznámka 16.1. Z Definice 16.1 vyplývá, že směr určující nevlastní singulární bod kuželosečky nebo nevlastní střed kuželosečky je hlavním směrem kuželosečky. Věta 16.1. Ke každé kuželosečce existují alespoň dva na sebe navzájem kolmé hlavní směry. Má-li kuželosečka k vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru souřadnicovou rovnici (16.5), jsou hlavní směry kuželosečky vlastními směry matice A = a-ii a-12 j ^ ^ nenu\ový vektor u = (ui, u2) určuje hlavní směr kuželosečky k právě a12 a22 J tehdy, když pro nějaké A G IR platí (au - A)iíi + a12u2 = 0, (16.6) auui + (Q22 — A)ií2 = 0. 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 74 Důkaz. 1. Nechť u = («1,1*2) 7^ o určuje singulární nevlastní bod P^ = (u) kuželosečky k. Potom (Fi(u), -ř2(u)) = 0 = Ou, což je soustava (16.6) pro A = 0. 2. Nechť u = (ui, u2) 7^ o je hlavní směr kuželosečky k a nevlastní bod P^ = (u) není singulárním bodem k. Předpokládejme nejdříve, že P^ je nevlastním středem (který není singulárním bodem) kuželosečky. Potom polára bodu P^ je nevlastní přímka (viz Poznámka 14.1), tj. (Fi(u), F2(u)) = o a podobně jako pro singulární bod dostáváme, že u je řešením soustavy (16.6) pro A = 0. Nyní nechť P^ = (u) není středem k. Potom vlastní polára bodu P^ má rovnici p : F1(u)x1 + F2(u)x2 + F3(u)x3 = 0 , (Fi(u), F2(u)) + o, a vektor u je polárně sdružen se směrovým vektorem přímky p. Z předpokladu, že u určuje hlavní směr, vyplývá, že u je kolmý na p, a tedy nenulové vektory (.Fi(u), -ř2(u)) a u Jsou lineárně závislé, tj. existuje A ^ 0 takové, že (Fi(u), i<2(u)) = Au, což je po rozepsání soustava aUul + CLi2U2 = Xui , aí2ui + a22u2 = \u2 , která je ekvivalentní soustavě (16.6). Charakteristická rovnice soustavy (16.6) je A2 — (au + (222)A + (011022 — a\2) = 0, (16.7) jejíž diskriminant je D = (au — a22)2 + 4a22 ^ 0. To znamená, že charakteristická rovnice má vždy reálná řešení (to je obecná vlastnost všech symetrických matic, viz Věta 10.1). Charakteristická rovnice má dvojnásobný nenulový kořen právě tehdy, když ai2 = 0, a au = (Z22 7^ 0. Potom au je dvojnásobným kořenem a soustava (16.6) je splněna identicky, tj. každý směr je hlavním směrem kuželosečky a můžeme si mezi nimi vybrat libovolnou dvojici na sebe kolmých hlavních směrů. Je-li D > 0, pak má charakteristická rovnice dvojici reálných různých kořenů Ai a A2. Označme jako Uj vlastní vektor, který odpovídá Al5 tj. souřadnice Uj jsou řešením soustavy (16.6). Potom Uj = (—012; au — Aj) a (111,112) = a\2 + a^ — an(Ai + A2) + A1A2. Použitím kořenových vztahů pro kořeny charakteristické rovnice dostaneme (ui, 112) = 0, tj. Ui a 112 jsou na sebe kolmé. □ Poznámka 16.2. Z důkazu předchozí věty vyplývá, že směr, který určuje nevlastní střed, je i hlavním směrem, který odpovídá hlavnímu číslu A = 0. Opravdu z (14.7) vyplývá, že kuželosečka má nevlastní střed právě tehdy, je-li \A\ = 0 a z tvaru charakteristické rovnice (16.7) pak vyplývá, že jedním hlavním číslem musí být 0. Z (14.6) a (16.6) pak vyplývá, že soustavy pro výpočet nevlastního středu a hlavního směru jsou totožné. <) 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 75 V předchozí větě jsme použili souřadnicového vyjádření kuželosečky v nějakém kartézském repéru. Ukážeme si, že je důkaz nezávislý na zvoleném repéru. Zvolme jiný ortonormální repér (O'je'^e^) a označme (X) = Q(X') + (O') maticový zápis transformace souřadnic při přechodu od prvního repéru k druhému. Bude-li vzhledem k novému repéru maticová rovnice kuželosečky (X'fB(X') + 2(b)T(X') + b = 0, dostaneme přímým dosazením B = QTÄQ. Věta 16.2. Nechť je rovnice kuželosečky k vzhledem ke zvolenému ortonormálnímu repéru (16.1) dána (16.5). Potom \A — XE2\ se nezmění při přechodu k novému ortonormálnímu repéru. Důkaz. Při přechodu k novému ortonormálnímu repéru je matice B = QTAQ, kde Q je matice přechodu. Protože Q je ortonormální matice, je podle Věty 10.4 \B - XE2\ = \Ä - XE2\. □ Rovnice \A — XE2\ = 0 je tedy nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru a budeme ji nazývat charakteristická rovnice kuželosečky k. Podobně také její kořeny Ai a A2 jsou na zvoleném kartézském repéru nezávislé a budeme je nazývat hlavní čísla kuželosečky k. Definice 16.2. Je-li P nevlastní nesingulární bod určený hlavním směrem kuželosečky k, pak poláru bodu P, pokud je to vlastní přímka, nazýváme osou kuželosečky k. Je-li nevlastní bod hlavního směru kuželosečky nevlastním singulárním bodem kuželosečky, pak definujeme jako osu kuželosečky libovolnou vlastní přímku, která je kolmá na tento hlavní směr. Vlastní průsečík kuželosečky s její osou se nazývá vrchol kuželosečky. Poznámka 16.3. Kuželosečka je osově (kolmo) symetrická podle každé své osy. Toto tvrzení je důsledkem šikmé symetrie kuželosečky podle svého průměru ve směru polárně sdruženého průměru (viz Poznámka 14.3). <) Poznámka 16.4. V případě, že každý směr je hlavním směrem kuželosečky, má kuželosečka nekonečně mnoho os. V tomto případě má kuželosečka právě jeden vlastní střed. To vyplývá z toho, že charakteristická rovnice má dvojnásobný nenulový kořen, tj. \A\ 0, a tedy soustava (14.7) pro výpočet vlastních středů má právě jedno řešení. Potom každá reálná přímka procházející středem je osou symetrie kuželosečky, která má tedy nekonečně mnoho os symetrie. Takovéto kuželosečky budeme nazývat zobecněné kružnice a v následující Části 17 uvidíme, které kuželosečky to jsou. Z definice osy kuželosečky vyplývá, že každá osa, která je polárou nesingulárního nevlastního bodu (který není nevlastním středem kuželosečky), obsahuje všechny středy kuželosečky. 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 76 Regulární kuželosečka, která není zobecněnou kružnicí, může mít jednu osu (nevlastní přímka se dotýká kuželosečky - jde o parabolu), nebo dvě osy. Singulární kuželosečka, která má právě jeden vlastní střed (dvojice různoběžných přímek reálných nebo komplexně sdružených), má vždy dvě osy. V případě, že má kuželosečka přímku vlastních středů (dvojice rovnoběžných přímek nebo dvojnásobná přímka), je jedna osa přímka středů a druhá osa je libovolná kolmice na přímku středů. V tomto případě má tedy kuželosečka také nekonečně mnoho os symetrie. <) Poznámka 16.5. Pokud není osa součástí kuželosečky (dvojnásobná vlastní přímka), leží na každé ose nejvýše dva vrcholy, které mohou být reálné různé, komplexně sdružené, nebo mohou splývat do jediného bodu (různoběžné přímky). V některých případech jsou průsečíky osy a kuželosečky nevlastní body, které za vrcholy nepočítáme. U paraboly je to jednonásobný nevlastní průsečík, u rovnoběžných přímek protíná osa, která je tvořena přímkou středů, nevlastní přímku v dvojnásobném singulárním bodě. <) Úloha 16.1. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kuželosečky k : Axy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0. Řešeni: Matice Ä = \ \ ) a její charakteristická rovnice \A — \E\ = 0 je 2 3y -A 2 ^ g ^ = 0, tj. A2 — 3A — 4 = 0. Hlavní čísla jsou kořeny charakteristické rovnice, tj. Ai = —1 a A2 = 4. Hlavní směr určený kořenem Ai = —1 je určen vektorem, jehož souřadnice jsou řešením soustavy rovnic (viz (16.6)) ui + 2u2 = 0 , 2ui + Au2 = 0 , tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu \i = —1 je určen vektorem U! = (—2; 1). Podobně pro hlavní směry určené hlavním číslem A2 = 4 dostaneme soustavu -4-ui + 2-u2 = 0 , 2u\ — u2 = 0 , tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu A2 = 4 je určen vektorem u2 = (1; 2). Úloha 16.2. Určete osy a vrcholy kuželosečky z Úlohy 16.1. Řešení: Osy kuželosečky jsou poláry nevlastních bodů hlavních směrů. Pro hlavní směr Ui = (—2; 1) tak dostaneme osu oi : 2x - y - 10 = 0 , 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 77 a pro hlavní směr u2 = (1; 2) tak dostaneme osu o2 : x + 2y + 5 = 0 . Vrcholy kuželosečky jsou její průsečíky s osami. Z rovnice osy o\ vyjádříme y = 2x — 10 a dosadíme do rovnice kuželosečky. Dostaneme kvadratickou rovnici 5x2 - 30x + 36 = 0, ze které vyplývá, že na ose o\ leží reálné vrcholy A = [3 + —4 + ^=?] a, B = [3 - -2-- -4 - -5-1 Podobně pro osu o2 dostaneme kvadratickou rovnici 5y2 + 40x + 116 = 0, ze které vyplývá, že na ose o2 leží komplexně sdružené vrcholy 17 Metrická klasifikace kuželoseček Afinní vlastnosti a klasifikace kuželoseček zůstávají zachovány i v euklidovské rovině. Při převodu rovnic kuželoseček do jednoduššího kanonického tvaru, ze kterého se nejlépe pozná, o jakou kuželosečku se jedná, nemůžeme provést poslední krok - normování koeficientů v rovnici kuželosečky. To je dáno tím, že směrové vektory ortonormálního repéru musí být jednotkové a nemůžeme je tedy násobit. V následujících dvou větách je popsán způsob, jak zvolit polární ortonormální repér tak, aby měla kuželosečka nejjednodušší možnou rovnici. Věta 17.1. Nechť má kuželosečka k alespoň jeden vlastní střed. Potom v kartézském repéru, jehož počátek je vlastním středem a směrové vektory jsou jednotkové vektory hlavních směrů kuželosečky k, má k rovnici tvaru k : \lX2 + \2y2 + a33 = 0 , (17.1) kde Aj, i = 1,2, jsou hlavní čísla kuželosečky. Důkaz. Protože směry souřadných os jsou polárně sdružené vzhledem ke k, je «12 = 0 (viz Věta 15.4). Protože počátek souřadné soustavy je vlastním středem kuželosečky, je a13 = a23 = 0 (viz Věta 15.5) a dohromady tak dostáváme rovnici k ve tvaru k : aiix2 + a22y2 + a33 = 0. Protože je charakteristická rovnice kuželosečky nezávislá na ortonormálním repéru, je charakteristická rovnice kuželosečky (au — A)(a22 — A) = 0 a její kořeny jsou Ai = au, A2 = a22. □ Věta 17.2. Nechť regulární kuželosečka k nemá vlastní střed (parabola). Potom volíme počátek kartézské souřadné soustavy jako průsečík k s její osou a směrové vektory jako jednotkové vektory hlavních směrů kuželosečky k. V této kartézské souřadné soustavě má k rovnici tvaru k : x2 + 2py = 0. 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 78 Důkaz. Jeden hlavní směr je směr nevlastního středu a druhý hlavní směr je směr vrcholové tečny (tečna v jediném vrcholu paraboly je kolmá na osu paraboly což vyplývá ze symetrie paraboly podle osy). Potom podle důkazu Věty 15.6 má kuželosečka rovnici ve tvaru \ix2+2a23Ž/ = 0, kde Ai 7^ 0 je nenulový kořen charakteristické rovnice a 023 7^ 0. Vydělením koeficientem Ai při označení p = ^ dostaneme požadovaný tvar. □ Věta 17.3. (Metrická klasifikace kuželoseček) Ke každé kuželosečce k, která neobsahuje jako svou část nevlastní přímku, existuje takový ortonormální repér, že vzhledem k němu má k jednu z následujících rovnic: 2 xz 2 xA 2 xz + 1 - 1 „,2 y - 1 b2 x2 + 2py 2 2 X 1 y az ~ b2 2 2 x y ~ b2 2 2 x ■ -f c 2 2 x ■ — C x2 a>0, b > 0, (Ekl) a>0, 6 > 0, (Ek2) a>0, 6 > 0, (Ek3) p^O, (Ek4) a > 0, b > 0, (Ek5) a > 0, 6 > 0, (Ek6) O 0, (Ek7) c> 0, (Ek8) (Ek9) = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, kde a, b, c, p jsou reálná čísla. Důkaz. Nechť má nejdříve kuželosečka právě jeden vlastní střed. Potom podle Věty 17.1 existuje takový ortonormální repér, že má kuželosečka vzhledem k němu rovnici (17.1), kde Ai 7^ 0 7^ A2. Je-li 033 7^ 0, vydělíme rovnici |a331 a při označení a2 = -j^-j, b2 = j0 dostaneme (případně až na násobek -1) rovnice (Ekl) - (Ek3). Je-li a33 = 0, označíme přímo a2 = j^j, b2 = a dostaneme (případně až na násobek -1) rovnice (Ek5) a (Ek6). Nechť má nyní kuželosečka právě přímku vlastních středů. Potom opět podle Věty 17.1 existuje takový ortonormální repér, že má kuželosečka vzhledem k němu rovnici (17.1), kde Ai 7^ 0 a A2 = 0 (to vyplývá z toho, že jeden kořen charakteristické rovnice kuželosečky, která má nevlastní střed, je nulový a druhý nenulový). Pro a33 7^ 0 vydělíme rovnici Ai a při označení c = -y^-j dostaneme rovnice (Ek7) a (Ek8). Pro 033 = 0 vydělíme rovnici číslem Ai a dostaneme rovnici (Ek9). Konečně nechť nemá kuželosečka vlastní střed. Potom má podle Věty 17.2 rovnici (Ek4). □ 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 79 Poznámka 17.1. Kladná čísla a, b v rovnicích (Ekl) - (Ek3) elipsy (imaginárni i reálné) a hyperboly se nazývají délky poloos a pro osy kuželosečky na kterých leží reálné vrcholy udávají vzdálenost vrcholů od středu kuželosečky Pro reálnou elipsu jsou všechny vrcholy reálné a větší z čísel a, b se nazývá délkou hlavní poloosy, menší se nazývá délkou vedlejší poloosy. Vrcholy elipsy jejichž vzdálenost od středu elipsy je rovna délce hlavní poloosy se nazývají hlavní vrcholy elipsy, vrcholy elipsy jejichž vzdálenost od středu elipsy je rovna délce vedlejší poloosy, se nazývají vedlejší vrcholy elipsy. Pro hyperbolu s rovnicí (Ek3) jsou vrcholy na ose x reálné a nazývají se hlavní vrcholy hyperboly, číslo a > 0 se nazývá délka hlavní poloosy. Vrcholy na ose y jsou komplexně sdružené. Reálné body na ose y, jejichž vzdálenost od počátku (středu hyperboly) je rovna b, jsou reální zástupci vrcholů a nazývají se vedlejší vrcholy, číslo b se nazývá délka vedlejší poloosy. Vedlejší vrcholy si můžeme snadno představit jako body, které jsou hlavními vrcholy takzvané doplňkové hyperboly, což je hyperbola, která má stejné osy i asymptoty a hlavní osa původní hyperboly je vedlejší osou doplňkové hyperboly. Má-li původní hyperbola rovnici (Ek3), potom doplňková hyperbola má rovnici 2 2 xz yz --fš+ 1 = 0. Případ, kdy a = b v rovnicích (Ekl) - (Ek2) a (Ek5), nastává při Ai = A2, tj. pro zobecněnou kružnici. Potom (Ekl) je rovnice imaginární kružnice, (Ek2) je rovnice reálné kružnice a (Ek5) je rovnice takzvané nulové kružnice (reálná kružnice s nulovým poloměrem). Je-li a = b v rovnici (Ek3), což nastává v případě, kdy Ai = —A2 ^ 0, nazývá se příslušná hyperbola rovnoosá. V tomto případě je doplňková hyperbola shodná s původní (otočená kolem středu o 7r/2). Pro a = b v rovnici (Ek6) dostáváme dvě kolmé různoběžné reálné přímky. Číslo 2 c v rovnici (Ek8) udává vzdálenost rovnoběžných přímek, které jsou tvořícími přímkami kuželosečky. Číslo p v rovnici (Ek4) paraboly se nazývá parametr paraboly. Jeho geometrický význam si ukážeme v následující Části 18. <) Věty 17.1 a 17.2 popisují, jak zvolit polární ortonormální repér, vzhledem ke kterému má kuželosečka jednoduchou kanonickou rovnici, ze které můžeme snadno vyčíst všechny potřebné údaje o kuželosečce. V řadě případů nás zajímá pouze kanonická rovnice kuželosečky; transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky (zadanou v libovolném ortonormálním repéru) na kanonický tvar, nás nezajímají. Postup, který spočívá v nalezení příslušného ortonormálního repéru (podle Vět 17.1 a 17.2) a transformace daných rovnic do kanonického tvaru, je zbytečně zdlouhavý a pracný (zvláště pro parabolu, kde musíme hledat její vrchol). Ukážeme si proto dvě metody hledání kanonických rovnic kuželosečky, které jsou mnohem praktičtější. 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 80 I. metoda. Tato metoda je založena na přímém hledání ortonormálních transformací, které převedou rovnici kuželosečky do kanonického tvaru. Předpokládejme nejdříve, že hlavní směry kuželosečky nejsou rovnoběžné s osami kartézských souřadnic (viz Obr. 17.1), to znamená, že v rovnici kuželosečky je a12 7^ 0. Je-li (Z12 = 0, vynecháme tento krok a pokračujeme postupem popsaným dále. Předpokládejme, že a G (0,7r/2) je velikost úhlu, který je určen některou z os kuželosečky a osou x. Transformační rovnice otočení souřadné soustavy kolem počátku o úhel velikosti a jsou x = x cos(a) — y sin(a) y = x sin(a) + y cos(a) Tyto transformační rovnice dosadíme do rovnice kuželosečky v původních kartézských souřadnicích, tj. do rovnice (17.2) k : anx2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 a dostaneme (au cos2(a) + 2ai2 cos(a) sin(a) + a22 sin2(a))x/2+ 2(a12(cos2(a) — sin2(a)) + (a22 — au) cos(a) sin(a))x/y/+ (au sin2(a) — 2ai2 cos(a) sin(a) + 022 cos2(a))y/2+ (17.3) 2(ai3 cos(a) + 023 sin(a))x'+ 2(-a13 sin(a) + a23 cos(a))y + a33 = 0 . Položíme roven nule koeficient u x'y' a dostaneme rovnici —(Z12 sin2(a) + (a22 — au) cos(a) sin(a) + a\2 cos2(a) = 0 . (17-4) Protože a 7^ 7r/2, je cos(a) 7^ 0 a vydělením cos2(a) dostaneme kvadratickou rovnici pro tan(a) a±2 tan (a) + (au — 022) tan(a) — a\2 = 0 . Z a\2 7^ 0 je diskriminant této kvadratické rovnice D = (a22 — au)2 -r -±u,12 (17.5) 4a?0 > 0, tj. vždy existují dvě hodnoty a±:2, vyhovující rovnici (17.4) (to odpovídá tomu, že do polohy rovnoběžné s osou x můžeme otočit jeden nebo druhý hlavní směr kuželosečky). Z kořenových vztahů pro rovnici (17.5) je tan(ai). tan(«2) = —1, tj. oíi + a2 = 7r/2. Vybereme si jednu hodnotu tan(ctj) a použitím vztahů 1 tan(a) cos « = y/l + tan2 (a)' sin a = y/l + tan2 (a) 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 81 dostaneme po dosazení do (17.3) rovnici kuželosečky v nových kartézských souřadnicích ve tvaru k : bnx'2 + b22y'2 + 2bí3x' + 2b23y' + a33 = 0 . (17.6) V nových kartézských souřadnicích jsou hlavní směry kuželosečky rovnoběžné s osami souřadnými, tj. koeficient u x'y' je roven nule. Budeme dále upravovat rovnici (17.6). Nechť nejdříve platí 6u / 0 / b22. Potom rovnici (17.6) upravíme na tvar k:bu(x'+b^)2 + b22(y'+b^)2 + a33-b^-bf = 0. »11 »22 »11 »22 Transformace kartézských souřadnic x" = x' + y" = y' + která odpovídá změně počátku ortonormálního repéru, převede rovnici kuželosečky do tvaru k:bll{x")2 + b22{y")2 + b33 = Q, (17.7) kde b33 = a33 — ^ — j^. Rovnici (17.7) potom postupem popsaným v důkazu Věty 17.3 převedeme na jednu z rovnic (Ekl) - (Ek3) nebo (Ek5) a (Ek6). Je-li jeden z koeficientů bn v rovnici (17.6) nulový, můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že je to b22 (závisí to na tom, kterou hodnotu si vybereme). Potom rovnici (17.6) upravíme na tvar k : bn(x' + ^)2 + 2b23y' + a33 - = 0. (17.8) Transformace souřadnic x" = x' + y" = y' potom převede rovnici kuželosečky na tvar k:b11(x"')2 + 2b23y" + b33 = 0, (17.9) b2 kde ^33 = Q33 — f2-- Je-li v rovnici (17.9) b23 = 0, dostaneme po vydělení číslem bu jednu z rovnic (Ek7) - (Ek9). Je-li v rovnici (17.9) b23 ^ 0, provedeme ještě li transformaci souřadnic x = x", y = y" + která po vydělení rovnice číslem b převede rovnici na tvar (Ek4). Postupnými transformacemi kartézských souřadnic jsme tak převedli rovnici libovolné kuželosečky na jednu z kanonických rovnic z Věty 17.3. Pokud nás zajímá také polární ortonormální repér a transformace souřadnic, která převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru, složíme dílčí transformace a z tvaru výsledných transformačních rovnic určíme polární ortonormální repér kuželosečky. II. metoda (metoda invariantů). Tato metoda je založena na tom, že některé číselné hodnoty, které jsou přiřazeny koeficientům matice kuželosečky, nezávisí na zvoleném souřadnicovém repéru. Takováto čísla se nazývají invarianty kuželosečky. 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 82 Definice 17.1. Nechť k je kuželosečka o rovnici (16.1). Reálná funkce Ka^) se nazývá invariantem kuželosečky k, jsou-li její hodnoty nezávislé na zvoleném souřadnicovém repéru. Řekneme, že invariant I{a,ij) je stupnč l, je-li /(aa^) = alI(ai:j). Pro / = 0 hovoříme o absolutním invariantu. Poznámka 17.2. V předchozích úvahách jsme se již s několika invarianty kuželosečky setkali. Např. hodnost kuželosečky nezávisí na libovolných použitých souřadnicích. Je to tedy invariant kuželosečky v projektivní, afinní i euklidovské rovině. Navíc je tento invariant absolutní. Podobně hodnost matice A je absolutní invariant v afinní rovině. Všude dále, pokud budeme hovořit o invariantech, budeme mít na mysli invarianty v euklidovské rovině, tj. uvažované souřadnicové repéry budou ortonormální. <) Poznámka 17.3. Stupeň invariantu určuje, jak se jeho hodnota mění při změně určující kvadratické formy. Je-li I hodnota invariantu při použití určující kvadratické formy F, pak alI je hodnota téhož invariantu stupně / při použití kvadratické formy aF. 0 Poznámka 17.4. V Části 16 jsme dokázali, že charakteristická rovnice je nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru. To ovšem znamená, že její kořeny i koeficienty jsou (euklidovské) invarianty kuželosečky. Koeficienty charakteristické rovnice jsou čísla au + a22 a \A\. Je tedy I{olíj) = au + a22 invariantem stupně 1 a I{olíj) = \A\ je invariantem stupně 2. Podobně hlavní čísla kuželosečky jsou invarianty stupně 1. Pro určování kanonických rovnic kuželosečky budeme potřebovat mimo invariantů z Poznámky 17.4 ještě další invarianty. První z nich je diskriminant kuželosečky. Věta 17.4. Determinant matice kuželosečky (diskriminant kuželosečky) je jejím invariantem stupnč 3. Důkaz. Mějme dány dva ortonormální repéry. Nechť má kuželosečka vzhledem k jednomu repéru matici A a vzhledem ke druhému matici B. Nechť (X) = Q(X') + (O') je transformace kartézských souřadnic při přechodu od jednoho repéru k druhému, tj. Q je ortonormální matice. Odpovídající projektivní homogenní souřadnice uvažujme v normovaném tvaru, tj. poslední souřadnice je 0 pro nevlastní body a 1 pro vlastní body. Transformační matice pro takovéto projektivní homogenní souřad- Q (O') (o)T 1 ortonormální). Zde o je nulový vektor. Protože B = QTAQ, je odtud \B\ = \A\. Stupeň invariantu \A\ plyne z toho, že A je řádu 3 a \aA\ = a3\A\. □ nice jsou potom dány maticí Q = , jejíž determinant je ±1 [Q není 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 83 Věta 17.5. Nechť k je kuželosečka, která má právě jeden vlastní střed a vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru má rovnici (16.3). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má k rovnici k:\1x2 + \2y2 + \A\ = 0, (17.10) 1^1 kde Aj, i = 1,2, jsou hlavní čísla kuželosečky. Důkaz. Podmínka, že k má právě jeden střed, je ekvivalentní tomu, že hodnost matice Ä je 2 (viz podmínky řešitelnosti soustavy (14.7)), tj. všechna hlavní čísla jsou nenulová (viz kořenové vztahy pro charakteristickou rovnici (16.7)). Potom podle Věty 17.1 má k v nějakém kartézském repéru rovnici k : Aix2 + A2y2 + b33 = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských repérů, je \A\ = \i\2b33 a odtud b33 = |^4|/|Ä|, protože z kořenových vztahů pro charakteristickou rovnici je \A\ = AiA2. □ Věta 17.6. Nechť k je regulární nestředová kuželosečka, která má vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru rovnici (16.3). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má k rovnici k : Aix2 ±2 W-V V = °> (17.11) kde Ai je nenulové hlavní číslo kuželosečky. Důkaz. Je-li k nestředová regulární kuželosečka, je \A\ ^ 0 a A má hodnost 1, tj. charakteristická rovnice pro matici A má právě jeden nenulový kořen Ai. Potom podle důkazu Věty 17.2 má k v nějakém kartézském repéru rovnici k : Aix2 + 2b23y = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských repérů, je \A\ = — \ib23 a odtud = ±yp§- □ Poznámka 17.5. Předchozí dvě věty se tedy dají použít k rychlému určení kanonických rovnic pro všechny regulární kuželosečky a singulární kuželosečky hodnosti 2, které mají právě jeden střed (různoběžné přímky). Z devíti typů kuželoseček se tedy dají použít v šesti případech. V případě kuželosečky hodnosti jedna je vždy kanonická rovnice tvaru k : A^2 = 0. Ve zbývajících dvou případech (rovnoběžné přímky reálné nebo komplexně sdružené) musíme definovat ještě další invarianty. <) 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 84 Uvažujme rovnici (16.5) kuželosečky k. Definujme polynom r(A) = «13 «23 «; = r0A2 - riA + r2, «n - A a12 a13 «12 «22 — A a23 «13 «23 «33 Ä-XE (a) (17.12) (a)T «33 kde To — «33 , Ti = (211(233 — a23 + (222a33 — «23 , T2 = \A\. (17.13) Věta 17.7. Funkce T(A) je invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Důkaz. Uvažujme transformační rovnice přechodu k novému ortonormálnímu repéru, který má stejný počátek jako původní repér, tj. (X) = Q(X'), kde Q je ortonormální matice. V novém repéru je k : (X')TQTÄQ(X') + 2(a)TQ(X') + a33 = 0 a potom r'(A) = TÄQ-XE QT(a) (a)Tg Q33 QT(A - \E)Q QT(a) (a)Tg Q33 o)\ (A - \E U\ o)T 1 protože o ' loj )T 1 A-XE (a) (a)T a33 = ±1. Q33 Q (o; o)T 1 r(A), □ Věta 17.8. Nechť k je kuželosečka hodnosti 2 parabolického typu. Pak koeficient T± funkce T(A) je invariant kuželosečky k. Důkaz. Ve Větě 17.7 jsme dokázali, že T± je invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Musíme tedy ještě dokázat, že T± je invariantní při posunutí ortonormálního repéru do nového počátku. Transformační rovnice při změně počátku jsou tvaru (X) = E(X) + (P), 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 85 kde P = [pi,p2] je nový počátek. Potom k : {X')TÄ{X') + 2(Ä(P) + (a)f(X') + (P)TÄ(P) + 2(a)T(P) + a33 = 0 kde Potom r'(A) = au - A a12 F1(P) ai2 cl22 — A F2(P) F1(P) F2(P) F (P) -Fi(P) = anpi + 012^2 + a13 , F2(P) = a12pi + a22ř>2 + a23 , F (P) = anpl + 2a12pľp2 + a22p\ + 2a13pľ + 2023^2 + ^33 • rí = an(anpl + 2a12pxp2 + a22ř>2 + 2013^1 + 2a23ř>2 + 033)- - (anPi + 012^2 + a13)2+ + 022(011^? + 2012^1^2 + 022^2 + 2013^1 + 2023^2 + 033) - (ai2ř>i + 022^2 + a23)2 = = (Pi + Pl)(ana22 - a\2) + 2p1(a13a22 - a12a23) + 2p2(ana23 ~ «12013) + 2 2 + 011^33 — al3 + ^22^33 — a23 • Pro kuželosečku hodnosti 2, která je parabolického typu, je hodnost matice / au a12 a13\ \a12 a22 a23 J menší než 2 a odtud (011022 — 012) = O, (013^22 ~~ ai2Q23) = O a (011023 ~~ ai2Qi3) = 0. To ovšem znamená, že = T±. □ Věta 17.9. Nechť k je kuželosečka hodnosti 2 parabolického typu, která má souřadnicové vyjádření (16.5). Potom v polárním ortonormálním repéru má k kanonickou rovnici k : Aix2 + ^i = 0, (17.14) Ai kde Ai je nenulový kořen charakteristické rovnice kuželosečky. Důkaz. Kuželosečka parabolického typu hodnosti dva má právě jeden nenulový kořen charakteristické rovnice a přímku středů. Podle Věty 17.1 má k rovnici k : Aix2 + b33 = O . Podle Věty 17.8 je Ti = A1&33 a odtud plyne tvrzení Věty 17.9. □ 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 86 Poznámka 17.6. Máme-li tedy dánu rovnici kuželosečky (16.3), můžeme pouze užitím invariantů \A\, \A\, Ti a nenulových hlavních čísel kuželosečky \, i = 1,2, snadno napsat přímo kanonickou rovnici kuželosečky. Výsledky můžeme shrnout do následující tabulky: h(A) h(A) kanonická rovnice typ kuželosečky h(A) = 3 h{A) = 2 AlX2 + X2y2 + H| = o elipsy, hyperbola h(A) = l A1x2 + 2A/__My = 0 parabola h(A) = 2 h{A) = 2 Aix2 + A2y2 = 0 různoběžné přímky h(A) = l AlX2 _ ri = o rovnoběžné přímky h(A) = 0 neexistuje vlastní přímka a nevlastní přímka h{A) = 1 h(A) = l Aix2 = 0 dvojnásobná vlastní přímka h(Ä) = o neexistuje dvojnásobná nevlastní přímka Úloha 17.1. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete ortonormální polární repér a kanonickou rovnici (viz Věta 17.3) kuželosečky k. Určete také transformaci kartézských souřadnic, která převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru a) k : Axy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0, b) k : x2 + 6xy + 9y2 - 12x + 24y + 15 = 0, c) k : x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 . Řešení: I. metoda: a) Do rovnice kuželosečky dosadíme transformační rovnice (17.2) pro otočení souřadného repéru o úhel a kolem počátku. Koeficient u x'y' položíme roven nule a dostaneme pro a kvadratickou rovnici (17.5) ve tvaru 2 tan2 a — 3 tan a — 2 = 0 . Tato rovnice má kořeny tan cti = 2 a tana2 = —\. Vybereme si první kořen, potom sincti = -"Jjr a coscti = Dosazením do transformačních rovnic (17.2) dostaneme transformaci souřadnic \/5 75 1 7! y , y , 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 87 která převede rovnici kuželosečky do tvaru y = y V5 v5 Tuto rovnici upravíme na tvar ^ 1D ^:4(x' + -|)2-(y' + ^)2-36 = 0. Potom transformace souřadnic _5_ 75' 1_0 7!' která odpovídá posunu počátku souřadnicového repéru do středu kuželosečky převede rovnici kuželosečky do výsledného kanonického tvaru k : 4(x")2 - (y")2 - 36 = 0. Tuto rovnici můžeme vydělit 36 a dostaneme . O*")2 (y")2 ľ '9 36 tj. kuželosečka je hyperbola s délkou hlavní poloosy 3 a vedlejší poloosy 6. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 1 2 X — ._X ._1J I o . VE VE 2 1 y = —H--=y — 4 . VE VE Z transformačních rovnic se snadno vidí, že ortonormální polární repér je dán novým počátkem S = [3; —4] (středem hyperboly) a novými směrovými vektory el = (75'v%)ae2 = ^;75)- b) Do rovnice kuželosečky dosadíme transformační rovnice (17.2). Pro a dostaneme kvadratickou rovnici (17.5) ve tvaru 3 tan2 a — 8 tan a — 3 = 0 . Tato rovnice má kořeny tanai = 3 a tana2 = — |. Vybereme si druhý kořen, potom sin «2 = — ^t= a cos «2 = Dosazením do transformačních rovnic (17.2) dostaneme transformaci souřadnic 3,1, x = —=x H---=y , Vw Vw 1,3, y =--i=x H—i=y , Vw Vw 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 88 která převede rovnici kuželosečky do tvaru J2 60 , 60 , k : 10y" + —=x' + —=y' + 15 = 0. v/lÖ vTö Tuto rovnici upravíme na tvar k : 10(y' + ^L)2 + -^={x' + -^L) = 0. 10 vio vio Potom transformace souřadnic y = y i 10 3 10 která odpovídá posunu počátku souřadnicového repéru do vrcholu kuželosečky převede rovnici kuželosečky do výsledného kanonického tvaru (po vydělení 10) k : (y")2 + -^=x" = 0 , vTô tj. kuželosečka je parabola s parametrem p — 3 /To' Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 3 // 1 // x = ,_x H---=y , Vw vTô 1 // , 3 // 1 y =--i=x H---=y — 1. vTô Vw Z transformačních rovnic se snadno vidí, že ortonormální polární repér je dán novým počátkem S = [0; —1] (vrchol paraboly) a novými směrovými vektory ei = c) Do rovnice kuželosečky dosadíme transformační rovnice (17.2). Pro a dostaneme kvadratickou rovnici (17.5) ve tvaru tan2 a — 1 = 0 . Tato rovnice má kořeny tanai = 1 a tana^ = — 1- Pro první kořen je potom sinai = -j= a cos cti = -^=. Dosazením do transformačních rovnic (17.2) dostaneme transformaci souřadnic -1. >-A- ' X V2X V2V ' 1,1, y = —^x H---=y , V2 y/T 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 89 která převede rovnici kuželosečky do tvaru J2 4 _, k : 2xz--r=x' -3 = 0. Tuto rovnici upravíme na tvar k : 2(x--\=)2 — 4 = 0. V2 Potom transformace souřadnic 1 y = y , která odpovídá posunu počátku souřadnicového repéru do středu kuželosečky převede rovnici kuželosečky do výsledného kanonického tvaru (po vydělení 2) k : (x")2 -2 = 0, tj. kuželosečka je dvojice reálných rovnoběžných přímek. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru i x V2X V2y r i „ i „ i V = —i=x H---=y H— . U V2 V2y 2 Z transformačních rovnic se snadno vidí, že ortonormální polární repér je dán novým počátkem S = [|; |] (jeden ze středů kuželosečky) a novými směrovými vektory ei = (75; 75) a e2 = ("Ti; 73)-II. metoda: /O 2 8 \ a) Matice kuželosečky A = 2 3 6 a \A\ = 144, tj. kuželosečka je re- \8 6 -36/ gulární. Dále \A\ = —4, tj. kuželosečka je středová a podle Věty 15.1 se jedná o hyperbolu. Střed je bod S = [3;—4]. Charakteristická rovnice kuželosečky je A2 — 3A — 4 = 0 s hlavními čísly Ai = —1, A2 = 4. Potom podle Věty 17.5 má k rovnici — x'2 + 4y/2 — 36 = 0, což upravíme na tvar z Věty 17.3 vydělením číslem —36. Dostaneme k:X--y- + l = ^ 36 9 a tedy k je hyperbola s délkou hlavní poloosy 3 a vedlejší poloosy 6. Pro Ai = —1 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru ei = (^|j^) a Pro 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 90 A2 = 4 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru e2 = (^jfi^jf)-Ortonormální polární báze je potom dána {S; ei,e2) s transformačními rovnicemi 2 , 1 / x =---=x H---=y + 3, VE Vš y= VĚx + VĚy~A- íl 3 -6\ b) Matice kuželosečky 4=3 9 12 a \A\ = —900, tj. kuželosečka je \-6 12 15 / regulární. Dále \Ä\ = 0, tj. kuželosečka je nestředová a podle Věty 15.1 se jedná o parabolu. Charakteristická rovnice kuželosečky je A2 — 10A = 0 s hlavními čísly Ai = 10, A2 = 0. Potom podle Věty 17.6 má k rovnici 10x/2 + 2\/9Čh/ = 0, což upravíme na tvar z Věty 17.3 vydělením číslem 10. Dostaneme k : x'2 H--== y' = 0 , Vw a tedy k má parametr p = -^=. Pro Ai = 10 dostaneme jednotkový vektor přísluš- ného hlavního směru e! = (-7=;-^=) a pro A2 = 0 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru e2 = ^fg)- Osa paraboly je polára nevlastního bodu směru ei, tj. o : x + 3y + 3 = 0. Vrchol paraboly je V = [0; —1]. Ortonormální polární báze je potom dána (V; el5 e2) s transformačními rovnicemi 1,3, x = _x H--7=y 1 10 V1(T 3 , 1 , 1 y = —-=x---=y — 1. Vw Vw 1 1 -1\ c) Matice kuželosečky A = \ 1 1 -1 a \A\ = 0, h(A) = 2, tj. kuželo- -1 -1 -3/ sečka je singulární hodnosti 2. Charakteristická rovnice kuželosečky je A2 — 2A = 0 s hlavními čísly Ai = 2, A2 = 0, tj. kuželosečka je parabolického typu (rovnoběžné přímky). Vypočteme Ti = 8 a podle Věty 17.9 má k kanonickou rovnici (po vydělení 2) k: x2 -2 = 0, jedná se tedy o dvě reálné rovnoběžné přímky. Pro Ai = 2 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru ei = ("73' "Ti) a Pro ^2 = 0 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru e2 = (^7=; ^7=). Kuželosečka má přímku středů x + y — l = 0aza nový počátek ortonormálního repéru zvolíme libovolný střed, např. P = [1;0], potom ortonormální 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 91 polární báze kuželosečky k je {P; ei, s transformačními rovnicemi x y —=x H---=y . V2 V2 Poznámka 17.7. Porovnáme-li výsledky I. a II. metody v Úloze 17.1, vidíme, že výsledné kanonické rovnice, ortonormální polární báze, a tím i transformační rovnice, nemusí být v obou metodách úplně totožné. Kanonické rovnice se mohou lišit o záměnu koeficientů u druhých mocnin souřadnic - pořadí kořenů v charakteristické rovnici kuželosečky, které určují, která souřadná osa splyne s jakou osou kuželosečky. Tomu odpovídá v I. metodě, kterou hodnotu c^, i = 1,2, používáme v dalších výpočtech. V případě a) jsme zvolili v I. metodě osu x souřadného repéru jako hlavní osu hyperboly, zatímco v II. metodě je osa x vedlejší osou hyperboly. Kanonické rovnice respektive ortonormální polární repéry, a tím i transformační rovnice, se proto v obou metodách liší pořadím koeficientů u x2 a y2 v kanonické rovnici, respektive pořadím směrových vektorů v ortonormálním polárním repéru. V případě b) jsme zvolili jako osu paraboly v I. metodě osu x a ve druhé metodě osu y. Proto se kanonické rovnice paraboly liší o záměnu souřadnic x a y. Také ortonormální polární repér se v tomto případě liší o pořadí směrových vektorů. V případě kuželoseček, které mají přímku vlastních středů, můžeme jako počátek ortonormálního repéru zvolit libovolný vlastní střed. Proto se mohou transformační rovnice lišit v absolutních členech, jak je vidět v případě c). <) 18 Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností Na střední škole se pracuje pouze s reálnou euklidovskou rovinou. Kuželosečky se definují jako množiny bodů, které splňují jisté vlastnosti. V této části skript si ukážeme, že středoškolské definice kuželoseček určují opravdu reálné části kuželoseček v našem pojetí. Věta 18.1. Nechť F a G jsou dva různé body v £2 a označme \FG\ = 2e. Nechť reálné číslo a je takové, že a > e. Potom množina bodů X v £2 takových, že \FX\ + \GX\ = 2a, je reálná část (reálné) elipsy s délkami poloos a a b = \/a2 — e2. Důkaz. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 92 Zvolme ortonormální repér tak, že body F 'á G leží na ose x a jejich souřadnice jsou F = [—e;0], G = [e;0]. Uvažujme bod X = [x;y], který splňuje podmínku \FX\ + \GX\ = 2a. V souřadnicích je tedy ytfyx + e)2 + y2 + v/(^-e)2 + y2 = 2a a umocněním dostaneme po jednoduché úpravě Obr. 18.1 \J {x2 + y2 + e2)2 — Ae2x2 2a2 {x2 +y2 + e2). Tuto rovnici opět umocníme a po úpravě dostaneme 2/2 2\ i 2 2 2/ 2 2\ x (a — e ) + a y = a (a — e ) . Po dosazení b2 = a2 — e2 a vydělení a2b2 dostaneme, že souřadnice bodů splňujících podmínky naší věty vyhovují rovnici tj. leží na reálné elipse s délkami poloos a, b. Naopak uvažujme reálný bod X, který leží na elipse o rovnici (18.1), tj. jeho reálné souřadnice [x;y] splňují rovnici (18.1). Snadno se přesvědčíme, že \FX\ + \GX\ = 2a, kde F = [—e;0], G = [e;0], tj. reálné body elipsy splňují podmínky naší věty, a tedy množina bodů v £2 určená podmínkou \FX\ + \GX\ = 2a je právě reálná část (reálné) elipsy. □ Poznámka 18.1. Body F, G z předchozí věty se nazývají ohniska elipsy. Číslo e se nazývá délková excentricita (výstřednost) elipsy. <) Věta 18.2. Nechť F a G jsou dva různé body v £2 a označme \FG\ = 2e. Nechť reálné číslo a je takové, že a < e. Potom množina bodů X v £2 takových, že \ \FX\ — \GX\\ = 2a, je reálná část hyperboly s délkou hlavní poloosy a a délkou vedlejší poloosy b = \/e2 — a2. 1 (18.1) a2 b2 Důkaz. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 93 Podobně jako v důkazu Věty 18.1 zvolme ortonormální repér tak, že body F a G leží na ose x a jejich souřadnice jsou F = [—e;0], G = [e; 0]. Uvažujme bod X = [x;y], který splňuje podmínku V souřadnicích je tedy = 2a. V2\ = 2a a umocněním dostaneme po jednoduché úpravě Obr. 18.2 ) - 2a2 . (x" + y2 + e2)2 — 4e2x2 = ix + y + e\ Tuto rovnici opět umocníme a po úpravě dostaneme 2/2 2\ i 2 2 2/ 2 2\ x (a — e ) + a y = a (a — e ) . Po dosazení b2 = e2 — a2 a vydělení a2b2 dostaneme, že souřadnice bodů splňujících podmínky naší věty vyhovují rovnici 2 2 xz yz a" b2 (18.2) tj. leží na hyperbole s délkami poloos a, b. Naopak uvažujme reálný bod X, který leží na hyperbole o rovnici (18.2), tj. jeho souřadnice [x;y] splňují rovnici (18.2). Snadno se přesvědčíme, že — = 2a, kde F = [—e;0], G = [e;0], tj. reálné body hyperboly splňují podmínky naší věty, a tedy množina bodů v £2 určená podmínkou — = 2a je právě reálná část hyperboly. □ Poznámka 18.2. Body F, G z předchozí věty se nazývají ohniska hyperboly. Číslo e se nazývá délková excentricita (výstřednost) hyperboly. <) Věta 18.3. Nechť F je bod a d je přímka v £2 taková, že F ^ d, v(F,d) = p. Potom množina bodů X v £2 takových, že \FX\ = v(X,d), je reálná část paraboly s parametrem p. Důkaz. Zvolme ortonormální repér tak, že bod F leží na ose y a přímka d je rovnoběžná s osou x a F = [0; —p/2], d : y + p/2 = 0. Uvažujme bod X = [x; y], který splňuje podmínku \FX\ = v(X, d). V souřadnicích je tedy x* = \y -l 21 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 94 a umocněním dostaneme po jednoduché úpravě x2 = -2py , (18.3) tj. bod X leží na parabole s parametrem p. Naopak uvažujme reálný bod X, který leží na parabole o rovnici (18.3), tj. jeho souřadnice [x;y] splňují rovnici (18.3). Snadno se přesvědčíme, že \FX\ = v(X,d), kde F = [0; —p/2] a d : y = p/2, tj. reálné body paraboly splňují podmínky naší věty, a tedy množina bodů v £2 určená podmínkou \FX\ = v(X, d) je právě reálná část paraboly. □ Poznámka 18.3. Bod F z předchozí věty se nazývá ohnisko paraboly a přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Číslo p = v(F, d) je parametr paraboly. <) Věta 18.4. Nechť F je bod a d je přímka v £2 a nechť k > 0 je reálné číslo. Potom množina bodů X v £2 takových, že \FX\ = kv(X, d), je reálná část kuželosečky, která je a) reálnou elipsou, jestliže F ^ d a k < 1, b) parabolou, jestliže F ^ d a k = 1, c) hyperbolou, jestliže F ^ d a k > 1, d) komplexně sdruženými různoběžkami, jestliže F e d a k < 1, e) dvojnásobnou přímkou, jestliže F e d a k = 1, f) dvojicí reálných různoběžek, jestliže F e d a k > 1. Důkaz. Zvolme ortonormální repér tak, že bod F leží na ose x a přímka d je rovnoběžná s osou y a F = [e; 0], d : x — c = 0, e > c. Uvažujme bod X = [x; y], který splňuje podmínku \FX\ = kv(X, d). V souřadnicích je tedy \/(x — e)2 + y2 = k \x — c\ a umocněním dostaneme po úpravě x2(l - k2) - 2(e - k2c)x + e2 - k2c2 + y2 = 0 , (18.4) což je rovnice kuželosečky, a tedy množina bodů, které jsou určeny podmínkami naší věty, je podmnožinou reálné části kuželosečky. A) Nechť nejdříve F G d a zvolme počátek souřadnic do bodu F, tj. e = c = 0. Potom (18.4) má tvar x2(l - k2) +y2 = 0. (18.5) Pro k < 1 je (18.5) rovnicí komplexně sdružených různoběžných přímek, které mají jediný reálný bod F. Pro k > 1 je (18.5) rovnicí reálných různoběžných přímek, které se protínají v bodě F. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 95 Pro k = 1 je (18.5) rovnicí reálné dvojnásobné přímky y = 0, která prochází bodem F. B) Nechť F ^ d. Z tvaru rovnic (18.4) je zřejmé, že množina bodů určená naší větou je symetrická podle souřadné osy x, tj. tato množina je podmnožinou reálné části kuželosečky, jejíž jedna osa leží na ose x. Zvolme nejdříve jako počátek souřadné soustavy průsečík kuželosečky (18.4) s osou x, tj. vrchol kuželosečky. To nastává právě tehdy, když e2 = k2c2. Označme jako p = e — c. Potom při naší volbě je jo > 0. Volme e = — kc a po dosazení do (18.4) dostaneme rovnici y2 = 2kpx + (k2 - l)x2. (18.6) Z (18.6) snadno vidíme, že pro k = 1 je kuželosečka parabolou s parametrem p. Zvolme nyní počátek souřadné soustavy tak, aby rovnice (18.4) neobsahovala lineární člen x. To lze pouze za předpokladu, že k ^ 1 použitím posunutí počátku souřadné soustavy ve směru osy x s transformací i G k c i x+i~¥^ y = y- Potom má kuželosečka rovnici x'2(l-k2) + y'2 = ^-^. (18.7) Snadno se vidí, že pro k < 1 určuje rovnice (18.7) reálnou elipsu a pro k > 1 hyperbolu. Podobně jako v předchozích větách se dokáže, že reálné body kuželoseček o rovnicích (18.5) - (18.7) splňují podmínky naší věty. □ Poznámka 18.4. Je-li F ^ d, nazývá se bod F z předchozí věty ohnisko kuželosečky a přímka d se nazývá řídící přímka kuželosečky. V kanonických souřadnicích se snadno vidí, že řídící přímka je polárou příslušného ohniska. Číslo p = v(F, d) se nazývá parametr kuželosečky. Číslo k se nazývá číselnou excentricitou (výstředností) kuželosečky. <) Poznámka 18.5. V důkazu Věty 18.4 jsme použili různých tvarů rovnic regulární kuželosečky. Rovnice (18.7) se nazývá středová rovnice kuželosečky (počátek souřadnicového repéru je středem kuželosečky), která se dá použít jen pro středové kuželosečky. Rovnice (18.6) se nazývá vrcholová rovnice kuželosečky (počátek souřadnicového repéru je vrcholem kuželosečky), která se běžně používá pro paraboly. Z tvaru rovnice (18.4) můžeme snadno odvodit také ohniskovou rovnici kuželosečky (počátek souřadnicového repéru je ohniskem kuželosečky). Tuto rovnici dostaneme z (18.4) při e = 0, tj. x2 +y2 = k2{x+p)2 . 19. Cvičení 96 19 Cvičení V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k dané geometrické bázi projektivní roviny. 19.1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : ?>x\ — 2x\X2 + 3x2, + 2x1X3 — 4x2X3 + x\ = 0 , b) k : x\ + x\ + x\ + 2xxx3 = 0 , c) k : Ax\ + x\ + x\ — 4xix2 + 4xix3 — 2x2x3 = 0, d) k : x\ + 4x2 — 3x| + 4xix2 — 2x1X3 — 4x2X3 = 0. { a) regulární, b) singulární hodnosti 2, c) singulární hodnosti 1, d) singulární hodnosti 2 } 19.2. Vypočtěte společné body přímky p a kuželosečky k: a) p : x\ + 2x2 — X3 = 0, k : x\ + x2 — 4x| — 2xix2 + 3x1X3 + 3x2X3 = 0, b) p : 5xi — x2 — 5x3 = 0, k : x\ — 3x2 + 3x| — 2xix2 — 4x1X3 — 6x2X3 = 0. {a)Pi = (l;0;l), P2 = (-l;l;l), b) Pi = (l;0;l), P2 = (l;-5;2)} 19.3. Určete vzájemnou polohu přímky zadané body A = (2; —1;3), B = (0; 0; 1) a kuželosečky k : x\ — 2x2 + xix2 + 3xix3 + 6x2x3 = 0 . { Přímka je tvořící přímkou kuželosečky } 19.4. Určete singulární body kuželoseček ze cvičení 19.1. { a) nemá singulární body, b) (—1; 0; 1), c) přímka singulárních bodů 2xi — x2 + X3 = 0, d) (-2;1;0) } 19.5. Ukažte, že body A = (4; 0; 1) a B = (4; —3; 1) jsou polárně sdružené (konju-gované) vzhledem ke kuželosečce k : 9xj + 16x^ - 144x1 = 0. 19.6. Na přímcep : xi + 3x2+X3 = 0 najděte bod polárně sdružený s bodem (5; 1; 1) vzhledem ke kuželosečce k : 6x1 + 9x2 — 7x| — 6xix2 — 12x1X3 + 14x2X3 = 0. {(-7;2;1)} 19.7. Určete rovnice tečen kuželosečky k : ?>x\ + 2x2 + 2xix2 + 3x1X3 — 4x2X3 = 0 v bodech Tx = (-2; 1; 1) a T2 = (-2; 3; 1). { íi : 7xi + 4x2 + 10x3 = 0, í2 : 3xi - 4x2 + 18x3 = 0 } 19. Cvičení 97 19.8. Ukažte, že přímka t je tečnou kuželosečky k a určete bod dotyku: a) t : 4xi + x2 — x3 = 0, k : 3x? — x2, — 3x§ + 2xiX2 + 6x1X3 + 4x2X3 = 0, b) t : 7xi + 4x2 + IOX3 = 0, k : 3x? + 2x\ + 2xiX2 + 3x1X3 — 4x2X3 = 0. {a)T = (0;l;l);b)T = (2;-l;-l)} 19.9. Určete podmínku, aby přímka t : x\ + x2 + ax3 = 0 byla tečnou kuželosečky k : x\ + x\ — 3x| + xix2 + 2xix3 + 3x2x3 = 0 . { 3a2 - 10a - 13 = 0 } 19.10. Určete rovnici spojnice bodů dotyku tečen vedených z bodu (3; 1; 1) ke kuželosečce k : 3x? + 3x2 — 4x| — 2xiX2 + 4x1X3 + 4x2X3 = 0. { Hledaná spojnice bodů dotyku je polárou daného bodu, tj. 5xi + X2 + 2x3 = 0 } 19.11. Pomocí transformace projektivních homogenních souřadnic určete normální rovnice a projektivní typ kuželosečky k ze cvičení 19.1. Určete transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky do normálního tvaru. { a) y\ + y\ — y\ = 0; reálná regulární kuželosečka; x\ = x2 = -fyy-i + y3, x3 = ^-y1 +y2 + 2y3, b) 2/1 + 2/1 = Oj dvojice komplexně sdružených přímek; xi=yi- y3, x2 = y2, x3 = y3, c) y\ = 0; dvojnásobná přímka; x\ = y2, x2 = yi + 2y2 + 2/3, x3 = y3, d) y\~y\ = 0; dvojice reálných přímek; x\ = yi + ^y2 — 2y3, x2 = 2y3, x3 = y2 } V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému afinnímu repéru v afinní rovině. 19.12. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A = [0;0], B = [0;3], C = [6;0], D = [2; 2], E = [-2;1]. { k : x2 + 4xy + 4y2 - 6x - 12y = 0 } 19.13. Určete průnik kuželosečky k : x2 - 2xy - 3y2 - 4x - 6y + 3 = 0 s přímkou p: ěl) p : 5x — y — 5 = 0, b) p : x + 3y = 0 , c) p : x + Ay — 1 = 0, d) p : x — 3y = 0. 19. Cvičení 98 { a) dva reálné různé body [1; 0], [|; — |] b) dva komplexně sdružené body 3 L4(l±ix/3)' 4(l±iV^)J' c) dvojnásobný bod [1;0], d) [|; |], druhý průsečík je nevlastní bod směru ((3; 1)) } 19.14. Určete singulární body kuželosečky k: a) k : 2x2 — xy — y2 — 15x + 3y — 18 = 0 , b) k : x2 + xy — y — 1 = 0, c) k : x2 — 2xy + y2 + x + y = 0. { a) nemá singulární body b) [1; —2], c) nevlastní singulární bod směru ((1; 1)) } 19.15. Určete poláru p bodu P vzhledem ke kuželosečce k: a) P = [-2; 1], k : 2x2 — xy — y2 — 15x + 3y — 18 = 0, b) P = [1;-1], k: 9x2 - Axy + 6y2 + 6x - 8y + 2 = 0, c) P je nevlastní bod určený směrem ((—1; 1)), k : 5x2 + 4xy + 8y2 - 32x - 56y + 80 = 0. { a) p : 24x - 3y + 3 = 0, b) p : 14x - 12y + 9 = 0, c) p : x - 2y + A = 0 } 19.16. Bodem M veďte tečny ke kuželosečce k. Určete také souřadnice bodů dotyku: a) M = [0; 0], k : 3x2 + 7xy + 5y2 + Ax + 5y + 1 = 0, b) M = [3; 4], k : 2x2 - Axy + y2 - 2x + 6y - 3 = 0 , c) M = [-2; 1], k : 3x2 + 2xy + 2y2 + 3x - Ay = 0 . { a) íi : 2x + 5y = 0, Ti = [-1; §]; t2 : 2x + y = 0, T2 = [|; -§]) b) íi : 7x - 2y - 13 = 0, Tx = [1; -3]; í2 : x - 3 = 0, T2 = [-9;-l], c) M G k, proto má úloha jediné řešení t : 7x + 4y + 10 = 0 a bod dotyku je bod M } 19.17. Určete rovnice tečen kuželosečky k : x2 + xy + y2 + 2x + 3y - 3 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou 3x + 3y — 5 = 0. Určete také souřadnice bodů dotyku. { íx : x + y - 1 = 0, Tx = [1; 0]; í2 : 3x + 3y + 13 = 0, r2 = [-§;-!]} 19.18. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází počátkem souřadné soustavy dotýká se přímky 4x + 3y + 2 = 0 v bodě [l;-2] a přímky x — y — 1 = 0 v bodě [0;-l]. 19. Cvičení 99 { k : 6x2 + 3xy — y2 + 2x — y = 0} 19.19. Určete střed kuželosečky k: a) k : x2 - 2xy + 2y2 - Ax - 6y + 3 = 0, b) k : 4x2 + lOxy + 5y2 - 2x - 4y + 3 = 0, c) /c : x2 — 2xy + y2 — 4x — 6y + 3 = 0 , d) k : x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 4 = 0 . { a) [7;5], b) [1; — |], c) nemá vlastní střed, nevlastní střed je určen směrem vektoru (1; 1), d) přímka středů x+y+l=0} 19.20. Určete asymptoty kuželosečky k: a) k : 3x2 + lOxy + 7y2 + 4x + 2y + 1 = 0, b) k : lOxy - 2y2 + 6x + 4y - 21 = 0 , c) k :2x2 - 3xy - x + 3y + 4 = 0. { a) ai : 6x + 14y + 11 = 0, a2 : 2x + 2y - 1 = 0, b) ai : 5y + 3 = 0, a2 : 25x - 5y + 13 = 0 , c) ai : 2x — 3y + 1 = 0, a2 : x — 1 = 0 } 19.21. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází bodem A = [3; 0], směry určené vektory (3; 2) a (1; —1) jsou směry asymptot a kuželosečka má střed v bodě [0; — 1]. { k : 2x2 — xy — 3y2 — x — 6y — 15 = 0} 19.22. Určete průměr kuželosečky k a) procházející bodem M = [1; —2], k : 3x2 — 2xy + 3y2 + Ax + 4y — 4 = 0, b) rovnoběžný s přímkou 2x — y + 5 = 0, k : 2x2 + 4xy + 5y2 — 8x + 6 = 0 . {a)x + 2y + 3 = 0, b)2x-y-8 = 0} 19.23. Určete společný průměr dvou kuželoseček k\ : x2 — xy — y2 — x — y = 0 , k2 : x2 + 2xy + y2—x + y = 0. { 5x + 5y + 2 = 0 } 19.24. Pro kuželosečky ze cvičení 19.19 určete normální tvar rovnic, afinní typ, normovaný polární afinní repér a transformace afinních nehomogenních souřadnic, které převádějí danou rovnici kuželosečky do normálního tvaru. 19. Cvičení 100 { a) x'2 + y'2 — 1 = 0; reálná elipsa; (P;ei,e2), kde P = [7; 5], ex = (y/26; 0), e2 = (y/26; \/26); x = x/26x' + v^y' + 7, y = v^6y' + 5, b) x'2 - y'2 + 1 = 0; hyperbola; (P;ei,e2), kde P = [IHW =3(0;f), e2 = (^;-§); x = ^ + 1, y = c) x'2 — 2y' = 0; parabola; {P; ei, e2), kde P = [^j-; ei = (1; 0), e2 = (±; i); x = x' + ±y' + ±§, y = ±y' - |, d) x/2 — 1 = 0; dvojice reálnych rovnoběžných přímek; (P; ei, e2), kde P = [-1; 0], ei = (y/E; 0), e2 = (-1; 1); x = \/5x' — y' — 1, y = y' } V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému ortonormálnímu repéru v euklidovské rovině. 19.25. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kuželosečky k: a) k : 3x2 + 4xy + 5y2 + 2x - y + 7 = 0 , b) k : x2 + 6xy — 7y2 + x = 0, c) k : x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 3y = 0 , d) k : x2 + y2 - 4x + 6y - 2 = 0. { a) A2 - 8A + 11 = 0; Ai = 4 + \/5 odpovídá ux = (2; 1 + v/5), A2 = 4 - odpovídá ux = (2; 1 - y/E), b) A2 + 6A - 16 = 0; Ai = 2 odpovídá ux = (3;1), A2 = —8 odpovídá ux = (—1; 3), c) A2 - 5A = 0; Ai = 5 odpovídá ux = (1;2), A2 = 0 odpovídá Ui = (2; —1), d) A2 — 2A + 1 = 0; A12 = 1 a každý směr je hlavní } 19.26. Určete odchylku danou hlavními směry kuželosečky k a směry os daného ortonormálního repéru: a) k : 32x2 + 52xy - 7y2 + 180 = 0, b) k : 5x2 + 6xy + 5y2 - 32 = 0 , c) k : 5x2 — 6xy + 5y2 + 8 = 0, d) k : 17x2 - 12xy + 8y2 = 0, e) k : 5x2 + 24xy - 5y2 = 0. { a) tan(a) = -2, b) a = 45°, c) a = 45°, d) tan(a) = 2, e) tan(a) = | } 19.27. Určete osy kuželosečky k: a) k : 5x2 + 24xy + 75y2 - 36x + 6y + 1 = 0, b) k : 7x2 + 26xy + 7y2 + 42x = 0 . 19. Cvičení 101 { a) oi : x + 6y = 0, o2 : 6x — y — 37 = 0, b) oi : 20x + 20y + 21 = 0, o2 : 2x - 2y - 7 = 0 } 19.28. Určete osy a vrcholy kuželosečky k: a) k : x2 — 3xy + y2 + 1 = 0 , b) k : 3x2 + 2xy + 3y2 + 6x - 2y - 5 = 0 , c) k : x2 + 4xy + 4y2 — 6x — 2y + 1 = 0 , d) /c : 3y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . { a) oi : x-y = 0, K = [1; 1], ^ = [-1; -1]; o2 : x + y b) oi : 2x + 2y + 1 = 0, V1 = [=^M; ^^}, V2 = "4-) -4-J) °2 y _ r-5-vT9. 3—Vl9i ^38-±3-^38]. G2 :x_y + l = 0,^3= [_l±il9; Ml r-5-vT9. 3-M = L-4 , - 4 j; c) jediná osa o : x + 2y — 1 = 0, jediný vrchol F = [|; |], d) jediná osa o : y — 1 = 0, jediný vrchol F = [—1; 1] } 19.29. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ a kanonickou rovnici (viz Věta 17.3) kuželosečky k. Určete také transformaci kartézských souřadnic, která převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru: a) k : 3x2 + lOxy + 3y2 - 2x - Uy - 13 = 0 , b) k : 25x2 - 14xy + 25y2 + 64x - 64y - 224 = 0, c) k : 4xy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0 , d) k:7x2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 28 = 0, e) k : 19x2 + 6xy + lly2 + 38x + 6y + 29 = 0 , f) k : 5x2 — 2xy + 5y2 - Ax + 20y + 20 = 0 , g) k : 9x2 - 24xy + 16y2 - 20x + 110y - 50 = 0, h) k : 9x2 + 12xy + 4y2 - 24x - 16y + 3 = 0 , i) k : 16x2 - 24xy + 9y2 - 160x + 120y + 425 = 0. 19. Cvičení 102 { a) hyperbola; x'2-y-^ = 1; x = ^f + 2, y = ^f-l, ,.'2 b) elipsa; ^ + ^ = l;x = ^-l, y = ^ + l, c) hyperbola; f - ^ = 1; x = ^ + 3, y = 2-^f -4; d) dvojice různoběžných přímek; x'2 — Ay'2 = 0; x = x'+3y' _ o _ -'ix'+y' VTô L' y ~ VTÔ ' e) imaginárni elipsa; x'2 + 2y'2 = —1; x = — 1, _ -3s'+y' f) komplexně sdružené různoběžky; 2x'2 + 3y'2 = 0; x = x'—y' xf+yf o g) parabola; y'2 = 2x'; x = ~4x,+v-3, y = ^^/+2, h) dvojice reálnych rovnoběžek; x'2 = 1; x = 3xyžj|y + _J_ „ _ 2s'+3y' i) dvojice komplexně sdružených rovnoběžek; y/2 = —1; x=3x^V5 y=4x^V _4} 19.30. Metodou invariantů určete typ středové kuželosečky k a délky jejích poloos: a) k : 41x2 + 24xy + 9y2 + 24x + 18y - 36 = 0, b) k :8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y - 28 = 0, c) k : 4x2 + 24xy + Íly2 + 64x + 42y + 51 = 0, d) k : 12x2 + 26xy + 12y2 - 52x - 48y + 73 = 0 . { a) elipsa o poloosách délky 3 a 1, b) elipsa o poloosách délky 3 a 2, c) hyperbola o poloosách délky 2 a 1, d) hyperbola o poloosách délky 5 a 1 } 19.31. Metodou invariantů ověřte, že kuželosečka k je parabolou a určete její parametr: a) k:9x2 + 2Axy + 16y2 - 120x + 90y = 0 , b) k:9x2- 2Axy + 16y2 - 54x - 178y + 181 = 0, c) k : x2 - 2xy + y2 + 6x - 14y + 29 = 0, d) k:9x2- 6xy + y2 - 50x + 50y - 275 = 0 . { a) parabola s parametrem 3, b) parabola s parametrem 3, c) parabola s parametrem y/2, d) parabola s parametrem ^ } 19.32. Určete průnik kuželoseček k\ a k2. a) kx : 2x2 + 2xy + y2 - 6x + 2y - 8 = 0 , 19. Cvičení 103 k2 : x2 - llxy - y2 + 27x - 11y + 26 = 0, b) h : 2x2 - 3xy + 2y2 - 2x - 2y = 0 , &2 : 5x2 + 16xy + 5y2 — 5x — 5y = 0 , c) &i : 4x2 - 12xy + 9y2 + 4x - 6y + 1 = 0 , k2 : 2x2 + xy — 6y2 — 5x + 11y — 3 = 0, d) &i : x2 — y2 = 0, /c2 : xy — 1 = 0. { a) Kuželosečky mají dva dvojnásobné průsečíky (mají v těchto bodech společnou tečnu) [0; 2], [—1; 0], b) dvojnásobný průsečík [0;0], a dva jednonásobné reálné průsečíky [0; 1], [1; 0], c) přímka p : 2x — 3y + 1 = 0 , d) čtyři různé jednonásobné průsečíky, z toho dva reálné [1; 1], [—1; —1] a dva komplexně sdružené [i; —i], [—í',í] } 19.33. Je dána elipsa e : 25x2 + 4y2 — 100 = 0 a kružnice k : x2 + y2 = r2. Určete, pro která r se elipsa s kružnicí a) protínají ve čtyřech reálných různých bodech, b) dotýkají, c) protínají ve čtyřech imaginárních bodech . { a) r < 2 kružnice leží uvnitř elipsy, r > 5 elipsa leží uvnitř kružnice, b) r = 2 a r = 5 , c) r G (2; 5) } 19.34. Pro jaké c vytíná kuželosečka k : 2x2 — 3xy + y2 — 7x + cy + 4 = 0 na ose y tětivu délky 3. { Ai = 5, A2 = -5 } 19.35. Mostní oblouk má tvar oblouku paraboly Jeho délka je 48 m a výška 12 m. Určete parametr této paraboly. { P = "24 } 19.36. Dokažte, že tečna paraboly v libovolném bodě svírá stejný úhel s osou paraboly, jako se spojnicí ohniska a bodu dotyku. 19.37. Je dána hyperbola h : b2x2 — a2y2 = 1 a její bod M[x;y]. Vypočtěte plošný obsah rovnoběžníka, kterého dvě strany leží na asymptotách hyperboly a jedním jeho vrcholem je bod M. { Plošný obsah nezávisí na volbě bodu M a je roven 2 s Kapitola 5 TEORIE KVADRIK 20 Kvadriky v projektivním prostoru Nechť V3 je 3-rozměrný reálný projektivní prostor s aritmetickým základem V4. Nechť V± je komplexní rozšíření prostoru V4 definované v Části 1. Projektivní komplexní prostor s aritmetickým základem budeme nazývat komplexním rozšířením projektivního prostoru V3 a označovat V3. Reálný projektivní prostor V3 potom můžeme uvažovat jako podmnožinu (ne podprostor) v komplexním projektivním prostoru V3, totiž bod X = (x) G V3 právě tehdy, když existuje jeho aritmetický zástupce x G V4 C V±. Body X ležící v P3 C V3 budeme nazývat reálné body a body z V3 neležící v V3 budeme nazývat imaginární body. Podprostor v V3, který vznikne jako komplexní rozšíření podprostoru v V3, budeme nazývat reálný podprostor a podprostor v V3, který nevznikne jako komplexní rozříření podprostoru v V3, budeme nazývat imaginární podprostor v V3. Definice 20.1. Nechť F je nenulová kvadratická forma na V4 a F je její komplexní rozšíření. Množinu bodů X = (x) G V3 takových, že Fc(x) = 0, nazýváme kvadrikou v projektivním prostoru V3 a značíme K : Fc(x) = 0. Poznámka 20.1. Podobnou úvahou jako v Poznámce 12.1 ukážeme, že naše definice má smysl. <) Poznámka 20.2. Snadno se nahlédne, že dvě nenulové kvadratické formy F a G určují tutéž kvadriku K právě tehdy, když existuje nenulové a takové, že G = aF. 4 = k , Pi + 3jo2 = 2k , —P3 +Pá = —3/c, -2pi +P3+P4 = k. Soustavu vyřešíme v závislosti na parametru k. Dostaneme p\ = p2 = \k, Pz = Ifk, p4 = \k a volbou k = 4 dostaneme pól P = (5; 1; 13; 1). Úloha 20.4. Určete průsečíky kvadriky K : x| + X1X2 — X2X3 — 5x1X4 = 0 s přímkou p = AB, A = (0; 5; 10; 1), B = (-1; 3; 7; 0). Řešení: Parametrická rovnice přímky p je p : X = aA + (3B, kde alespoň jedno z čísel a, /3 je nenulové, tj. X = (—/3; 5a + 3/3; 10a + 7/3; a). Dosazením do rovnice kvadriky dostaneme po úpravě kvadratickou rovnici 2(f)"+s(f) + 1-°- s řešením (^j = —|, (^j = —1. Pro a± = l,/3i = —2 dostaneme průsečík Pi = (2; —1; —4; 1) a pro a2 = 1, fit = —1 dostaneme průsečík P2 = (1; 2; 3; 1). Úloha 20.5. Určete přímku polárně sdruženou s přímkou p vzhledem ke kvadrice K, kde p a, K jsou zadány v Úloze 20.4. Řešení: Polárně sdružená přímka q je osou svazku rovin určeného polárními rovinami bodů A, B. Tj. q : 2x2 — 3x3 = 0, 3xi — 8x2 + llx3 + 5x + 4 = 0. Úloha 20.6. Určete průnik kvadriky K s rovinou p: a) K : 2x\ — x\ + 2x\ + X1X2 + X1X3 — 4x1X4 + X2X3 — X2X4 — X3X4 = 0; p : x\ + X2 — X4 = 0 , b) K : x\ + x\ — 2xix2 + X1X3 — X1X4 + 5x2x3 + 3x2x4 — x3x4 = 0; p : x2 = 0. Řešení: a) Z rovnice roviny je X4 = x\ + xi. Dosazením do rovnice kvadriky ověříme, že všechny body p vyhovují rovnici kvadriky K, a tedy p C K. b) Dosadíme do rovnice kvadriky X2 = 0 a dostaneme rovnici x\ + X1X3 — X1X4 — X3X4 = 0 , kterou upravíme na tvar (xi + x%){x\ — x 4) = 0. Průnikem je potom singulární kuželosečka v rovině p, která je tvořena přímkami Pi '■ x2 = 0, x\ — x3 = 0 a P2 : x2 = 0, x\ — x4 = 0. 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 111 21 Projektivní klasifikace kvadrik Věta 21.1. Kvadrika hodnosti 1 je tvořena jedinou reálnou dvojnásobnou rovinou. Důkaz. Kvadrika hodnosti 1 má podle Důsledku 20.1 právě reálnou rovinu a singulárních bodů. Žádný další bod již na kvadrice nemůže ležet. Pokud by totiž bod X ležel na kvadrice a X ^ a, pak podle Věty 20.2 by přímky určené bodem X a libovolným singulárním bodem Y E a ležely na kvadrice (viz Obr. 21.1). To by ovšem znamenalo, že všechny body prostoru leží na kvadrice, a to je ve sporu s Definicí 20.1. □ Věta 21.2. Kvadrika hodnosti 2 je tvořena dvojicí rovin, které jsou bud'komplexně sdružené, nebo reálné různé. Důkaz. Kvadrika hodnosti 2 má podle Důsledku 20.1 právě reálnou přímku p singulárních bodů. Uvažujme reálnou přímku q, která nemá s p žádný společný bod. Podle Věty 20.10 je průnik kvadriky a přímky q dvojice různých bodů, které jsou reálné různé, nebo komplexně sdružené. Označme je A, A. Potom podle Věty 20.2 jsou roviny určené přímkou p a body A, A součástí kvadriky. Žádný další bod již na kvadrice neleží. Pokud by bod X byl bodem kvadriky a neležel v žádné z rovin (p, A), (p, A), byla by i rovina (p, X) součástí kvadriky a její průsečík Y s přímkou q by byl třetí bod průniku q a kvadriky. To je ovšem ve sporu s Větou 20.10. □ Obr. 21.1 Obr. 21.2 Definice 21.1. Nechť k je regulární kuželosečka v reálné rovině a C V3 a nechť V E V3 je reálný bod, který neleží v a. Množina bodů, které leží na spojnicích bodu V se všemi body kuželosečky k, se nazývá kuželová plocha. Bod V se nazývá vrchol kuželové plochy a kuželosečka k se nazývá řídící kuželosečka kuželové plochy. Je-li k reálná regulární kuželosečka, hovoříme o reálné kuželové ploše, je-li k imaginární regulární kuželosečka, hovoříme o imaginární kuželové ploše. Věta 21.3. Kvadrika hodnosti 3 je kuželová plocha, která je buď imaginární, nebo reálná. 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 112 Obr. 21.3 Důkaz. Kvadrika hodnosti 3 má podle Důsledku 20.1 právě jeden singulární bod, označme ho V. Uvažujme reálnou rovinu a, která neobsahuje bod V. Podle Věty 20.8 je průnikem a a kvadriky regulární kuželosečka k. Potom podle Věty 20.2 je kuželová plocha určená řídící kuželosečkou k a bodem V součástí kvadriky. Žádný další bod již na kvadrice neleží. Pokud by bod X byl bodem kvadriky a neležel na této kuželové ploše, byla by i přímka (V, X) součástí kvadriky a její průsečík Y ^ k s rovinou a by byl bod průniku a a kvadriky, (viz Obr. 21.3). To je ovšem ve sporu s Větou 20.8. Pokud je k reálná kuželosečka, je kuželová plocha reálná. Pokud je k imaginární kuželosečka, je kuželová plocha imaginární (jejím jediným reálným bodem je vrchol V). □ Ve Větách 21.1 a 21.2 jsme dokázali, že kvadriky hodnosti jedna a dvě obsahují jako své podmnožiny roviny. Kvadriky hodnosti tři obsahují jako své podmnožiny přímky. Obecně budeme podprostor maximální dimenze, který je součástí kvadriky, nazývat tvořícím podprostorem kvadriky. K tomu, abychom mohli rozhodnout, zda i regulární kvadrika má reálný tvořící podprostor dimenze větší než nula, musíme dokázat následující pomocnou větu. Věta 21.4. Nechť má kvadrika K normální rovnici tvaru K : x\ H-----h x\ - x2p+1 - ... - x\ = 0, 2p > h, kde h < 4 je hodnost K. Pak 1. (p — 1) je největší číslo takové, že existuje reálný (p — l)-rozměrný podprostor p v P3 , který nemá s K společný reálný bod. 2. (3 — p) je největší číslo takové, že existuje reálný (3 — p)-rozměrný podprostor a v P3, který je částí K. Důkaz. Existence: 1) Uvažujme reálný podprostor p určený obecnými rovnicemi Xp+i = 0, . . . , X4 = 0. Potom dimp = (p — 1) a K n p : x\ + • • • + x2 = 0, xp+i = 0,..., x4 = 0. Tedy K n p neobsahuje žádný reálný bod. Tím jsme dokázali existenci hledaného prostoru. 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 113 2) Uvažujme reálný podprostor o : x\ = xp+i, ..., xu-p = Xh, xu-p+i = 0,. .., xp = 0. Potom dim<7=(3 — p) a a C K, což dokazuje existenci hledaného prostoru. Maximálnost dimenzí: 1) Nechť p' je libovolný reálný podprostor takový, že dim// > p. Pak dim(//ner) = - dim(//+er) + dim// + dimu > 0. Protože a C K, obsahuje p'P\K reálný podprostor dimenze > 0, tj. alespoň reálný bod, a tedy (p — 1) je maximální dimenzí hledaných podprostorů. 2) Nechť a' je libovolný reálný podprostor takový, že dimcr' > (4 — p). Pak dim((j/ n p)=-dim((j/ + p)+dim<7/+dimp > 0, a tedy (o' Pl p) obsahuje alespoň jeden reálný bod. Protože ale p nemá s K žádný společný reálný bod, nemůže být a' podmnožinou K, a tedy dimenze (3 — p) je maximální dimenzí hledaných podprostorů. □ Rovnice kvadriky v projektivních homogenních souřadnicích je dána souřadnicovým vyjádřením (20.2). Známá věta o převodu kvadratické formy na normální tvar má nyní následující geometrickou podobu: Věta 21.5. (Projektivní klasifikace kvadrik) Ke každé kvadrice K v V3 existuje taková geometrická báze V3, že v ní má K jednu z následujících rovnic: 2 i 2 X ~\~ Xq ~\~ x^ ~\~ x^ —0 j (PK1) 2 1 2 X\~ Xq ~\~ «2^3 X ^ —0 j (PK2) 2 1 2 X\~ Xq Xr^ —0 . (PK3) X + x\ + x\ =0 , (PK4) X ~~\~ X^2 —0 f (PK5) X~\~ X^2 —0 . (PK6) X^2 —^ ' (PK7) x\ =0. (PK8) Důkaz. Tato věta je přímým důsledkem Věty 9.2 a dokáže se obdobně jako Věta 13.3. □ Definice 21.2. Rovnice kvadriky z Věty 21.5 se nazývá normální rovnice kvadriky. Geometrická báze, ve které má kvadrika normální rovnici, se nazývá polární normovaná báze kvadriky. Poznámka 21.1. Kvadrika o rovnici (PK1) je regulární kvadrika. Z Věty 21.4 vyplývá, že neobsahuje žádný reálný bod a jedná se tedy o imaginární regulární kvadriku. Kvadrika s rovnicí (PK2) je regulární kvadrika, která podle Věty 21.4 obsahuje jako reálné tvořící podprostory pouze body. Tuto kvadriku budeme nazývat regulární nepřímkovou kvadrikou. Rovnice (PK3) určuje regulární kvadriku, která má podle Věty 21.4 reálné tvořící přímky, a proto se nazývá regulární přímková kvadrika. Kvadriky určené rovnicemi (PK4) a (PK5) jsou singulární kvadriky hodnosti 3 a podle Věty 21.3 se jedná o kuželové plochy. Přitom pro (PK4) obsahuje tato 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 114 kuželová plocha podle Věty 21.4 jediný reálný bod - vrchol - a všechny ostatní body jsou imaginární. Proto se (PK4) nazývá imaginární kuželová plocha. (PK5) obsahuje podle Věty 21.4 reálné tvořící přímky a jedná se tedy o reálnou kuželovou plochu. Kvadriky určené rovnicemi (PK6) a (PK7) jsou singulární kvadriky hodnosti 2, které jsou podle Věty 21.2 tvořeny dvojicí tvořících rovin. Přitom pro (PK6) jsou tyto roviny imaginárně sdružené a pro (PK7) reálné. Podle Věty 21.4 obsahuje (PK6) přímku reálných bodů, a to průsečnici imaginárně sdružených tvořících rovin. Kvadrika určená rovnicí (PK8) je singulární kvadrika hodnosti 1, která je podle Věty 21.1 tvořena jednou reálnou dvojnásobnou tvořící rovinou. Úloha 21.1. Určete normální rovnici a typ (viz Poznámka 21.1) kvadriky K a nalezněte její polární normovanou bázi: a) K : x2 + 3x2, — x\ + x\ + 2xix2 — 4xiX4 + 2x3X4 = 0 , b) K : x\ + 3x2 + 8x| + 6x2 + 2xix2 + 8x2X3 — 4x1X4 + 8x3X4 = 0 . Řešení: Použijeme obdobnou metodu jako při převodu kvadratické formy na normální tvar. a) Rovnici kvadriky upravíme na tvar (xi + x2 — 2X4)2 + 2(x2 + X4)2 — (X3 — X4)2 — 4x2 = 0 . Potom transformace X-j^ = X\ -\- x2 — 2X4 1 x2 = \PlX2 + \/2x4, X^ — X3 X4 , X4 - 2X4 převede rovnici kvadriky na tvar K:(x;)2 + (x2)2-(x3)2-(x4)2 = 0, což je normální rovnice regulární přímkové kvadriky. Z inverzní transformace _ / X\ — X-j^ x2 = x3 = X4 = potom určíme polární normovanou bázi základními body 0\ = (1;0;0;0), 02 = 1 , -CO + 2 4 1 , 1 , 1 , 2^4 22. Tečná rovina 115 b) Rovnici kvadriky upravíme na tvar (xi + X2 — 2X4)2 + 2(^2 + 2x3 + X4)2 = 0. Potom transformace X-j^ = X\ -\- X2 — 2x4 , x2 = \/2x2 + 2\/2x3 + \/2x4 , x3 — X3 , X4 převede rovnici kvadriky na tvar K:(x;)2 + (x2)2 = 0, což je normální rovnice singulární kvadriky hodnosti 2, která je tvořena dvojicí komplexně sdružených rovin. Z inverzní transformace v2 _ X / Q / / X2 — ~^—Xí2 3 ^4 , x3 = x'3, _ / X4 - X A potom určíme polární normovanou bázi základními body 0\ = (1;0;0;0), O2 = 22 Tečná rovina V Definici 12.6 jsme definovali tečnu kuželosečky jako nesingulární přímku, která je buď tvořící přímkou kuželosečky, nebo ji protíná v regulárním dvojnásobném bodě. Podobným způsobem můžeme definovat i tečnu kvadriky. Definice 22.1. Nechť K je kvadrika a t je přímka, která není přímkou singulárních bodů K. Řekneme, že t je tečnou K, jestliže buď t C K, nebo tP\K je dvojnásobný regulární bod kvadriky K. Regulární bod t n K se nazývá bodem dotyku tečny t. Poznámka 22.1. Tečnu definujeme jen pro kvadriky hodnosti větší než jedna. <) Věta 22.1. Nechť K je kvadrika a T je její regulární bod. Potom všechny tečny kvadriky K s bodem dotyku T leží v polární rovině bodu T. Naopak, libovolná přímka, která leží v polární rovině bodu T a prochází bodem T, je tečnou kvadriky s bodem dotyku T. 22. Tečná rovina 116 Důkaz. Nechť t je libovolná tečna kvadriky K : Fc(x) = 0 s bodem dotyku T. Nechť R G t, R ^ T, je libovolný bod. Potom t : X = (3T + jR. Bod X je bodem průniku t D K, jestliže 2/37/c(t,r)+72/c(r,r) = 0. (22.1) Z definice tečny vyplývá, že buď je rovnice 22.1 splněna identicky (ŕ C K), nebo T je jediný dvojnásobný bod průniku. V prvním případě musí být /c(r, r) = /c(t, r) = 0, ve druhém musí mít 22.1 dvojnásobný kořen 7 = 0, to je ale možné pouze tehdy, když /c(t, r) = 0. V obou případech tedy /c(t, r) = 0 a T a R jsou polárně sdruženy, tj. R leží v polární rovině T. Protože přímku t a bod R jsme zvolili libovolně, je první část tvrzení dokázána. Naopak, nechť t je přímka, která leží v polární rovině bodu T a T G ŕ. Nechť R G t, R 7^ T, je libovolný bod, tj. t : X = j3T + jR. Protože R je v polární rovině bodu T, je /c(t, r) = 0 a t n K má vyjádření 72/c(r,r) = 0. (22.2) Pro /c(r, r) = 0 je R G K a (22.2) je splněna identicky, tj. t C K. Pro /c(r, r) ^ 0 je 7 = 0 dvojnásobný kořen 22.2, a tedy T je dvojnásobný bod t íl K. Tedy t je tečna K s bodem dotyku T. □ Předchozí věta nás nyní opravňuje definovat tečnou rovinu kvadriky následujícím způsobem. Definice 22.2. Nechť K je kvadrika a T je její regulární bod. Polární rovinu r bodu T budeme nazývat tečnou rovinou kvadriky K. Bod T budeme nazývat bodem dotyku roviny r a kvadriky K. Věta 22.2. Nechť K je kvadrika a T je její reálný regulární bod. Potom pro tečnou rovinu t s bodem dotyku T platí buď t C K, nebo r n K je singulární kuželosečka v t, a navíc T je singulárním bodem této kuželosečky. Důkaz. Zvolme libovolné reálné body Ri, R2 tak, že leží v tečné rovině r (s bodem dotyku T) kvadriky K. Potom má tato tečná rovina parametrické vyjádření X = aT + /3ii?i + (32R2- Nechť K : Fc(x) = 0. Potom r n K má vyjádření (Pi)2ŕ(n, n) + 2/WC(ri, r2) + (/32)2/C(r2, r2) = 0 . Je-li /c(ri,ri) = /c(ri,r2) = /c(r2,r2) = 0 (body Ri,R2 leží na K a jsou polárně sdruženy), je předchozí rovnice splněna identicky arciř. Je-li alespoň jedno z čísel /c(rl,r:r) nenulové, je předchozí rovnice souřadnicovým vyjádřením kuželosečky v rovině r vzhledem ke geometrické bázi v r se základními body T,Ri,R2. Protože /c(t,x) = 0 pro každý bod X = (x) G r, je T singulárním bodem této kuželosečky. □ 23. Afínní vlastnosti kvadrik 117 Poznámka 22.2. Rozdíl mezi regulární přímkovou kvadrikou a regulární nepřím-kovou kvadrikou je dobře patrný z toho, jak vypadá singulární kuželosečka v reálné tečné rovině. Pro nepřímkovou kvadriku je to dvojice komplexně sdružených přímek, které mají společný reálný bod - bod dotyku. Pro přímkovou kvadriku je to dvojice reálných přímek, které se protínají v bodě dotyku. Intuitivní představě dotyku tedy odpovídá nepřímkový případ. <) Úloha 22.1. Ke kvadrice K : x§ + x\x2 — X2X3 — 5x1X4 = 0 veďte tečné roviny, které obsahují přímku jo = PQ, P = (—1; 3; 2; 1), Q = (—5; 0; 0; 3). Řešení: Podobně jako v Úloze 12.3 bychom mohli i tuto úlohu řešit trojím způsobem. Podle první metody hledáme ve svazku rovin s osou p tu rovinu, která se dané kvadriky dotýká - protíná ji v singulární kuželosečce. Ve druhé metodě určíme tečnou rovinu v libovolném bodě kvadriky a určíme podmínky, aby tečná rovina obsahovala body P, Q. Třetí metoda je založena na vlastnostech polární sdruženosti. Podle Poznámky 20.6 jsou totiž průsečíky kvadriky s polárně sdruženou přímkou k přímce p body dotyku hledaných tečných rovin. Úlohu vyřešíme pouze třetí metodou, zbývající dvě metody ponecháme na čtenáři. Určíme polární roviny bodů P, Q: ir : (X)TA(P) = -2xi - 3x2 + x3 + 5x4 = 0, p : (X)TA(Q) = 3xi + x2 - 5x4 = 0 . Průsečnice q = tt n p je polárně sdružená přímka k přímce p a má parametrické vyjádření q : X = (t; -3í + 5s; -7t + lOs; s). Průsečíky q n K jsou tedy body dotyku hledaných rovin. Dosazením do rovnice kvadriky dostaneme po úpravě (t - 2s)(t - s) = 0 a odtud, při volbě s = 1, dostaneme body dotyku T\ = (2; —1; —4; 1) a T2 = (1; 2; 3; 1). Tečná rovina bodu T\ je Ti : 6x1 — 6x2 + 7x3 + IOX4 = 0 a tečná rovina bodu T2 je r2 : 3xi + 2x2 — 4x3 + 5x4 = 0. 23 Afinní vlastnosti kvadrik V této části uvažujeme As reálný afinní prostor, A^ jeho komplexní rozšíření a A^ projektivní rozšíření A%. Jako kvadriku v As potom rozumíme kvadriku v A%. Uvažujme na As afinní souřadnou soustavu určenou repérem (0;ei,e3,e3). (23.1) 23. Afínní vlastnosti kvadrik 118 V indukovaných afinních homogenních souřadnicích má kvadrika v A3 rovnici 4 K : dijXiXj = 0, (23.2) G R, což píšeme maticově jako (X)TA(X) = 0. Při přechodu k nehomogenním souřadnicím můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru 3 3 K : ^2 ai]x%x] + 2 ^2 al4xl + 044 = 0, (23.3) i,j = l i=l nebo zkráceně při označení sloupcové matice nehomogenních souřadnic bodu X jako (a14\ (Z24 a a = a44 budeme psát maticově Q34/ K : (X)TA(X) + 2(a)T(X) + a = 0. (23.4) Nehomogenní afinní souřadnice bodu X budeme obvykle označovat [x; y; z]. Uvědomme si, že rovnice (23.3) a (23.4) určují pouze vlastní body kvadriky. Pokud budeme pracovat s nevlastními body, musíme použít afinních homogenních souřadnic a rovnici (23.2). Definice 23.1. Bod S nazýváme středem kvadriky K, je-li vzhledem ke K polárně sdružen se všemi nevlastními body. Poznámka 23.1. Každý singulární bod kvadriky K je jejím středem. Střed, který není singulárním bodem, má za svou polární rovinu nevlastní rovinu. Věta 23.1. Nechť kvadrika K má v afinním repéru (23.1) v homogenních souřadnicích rovnici K : (X)TA(X) = 0. Bod S = (si;.. . ; S4) je středem kvadriky K právě tehdy, když platí QiiSi H----+ (Z14S4 = 0 , ai2Si H----+a24S4 = 0, (23.5) ÍJ13S1 H-----h 034^4 = 0, tj. Fx(s) = 0, F2(s) = 0 a F3(s) = 0. Důkaz. Nechť S je středem K, tj. je polárně sdružen se všemi nevlastními body. Označme Rt nevlastní bod, jehož afinní homogenní souřadnice mají na ž-tém místě jedničku a jinak nuly, i = 1,... ,3. Potom podmínka, že S a Rt jsou polárně sdruženy, je (S)TA(Ri) = 0, což je a^si + • • • + a^s^ = 0. Naopak nechť afinní homogenní souřadnice S splňují soustavu (23.5). Je-li navíc F4(s) = ÍZ41S1 + • • • + (Z44S4 = 0, je S singulárním bodem K, a tedy středem. Je-li F4(s) 7^ 0, je polární rovina bodu S dána obecnou rovnicí ^(s):^ = 0, a to je rovnice nevlastní roviny. Tedy S je polárně sdružen se všemi nevlastními body. □ 23. Afínní vlastnosti kvadrik 119 Poznámka 23.2. Soustava (23.5) má v homogenních souřadnicích vždy nenulové reálné řešení. Podle počtu řešení soustavy (23.5) může mít kvadrika právě jeden střed, přímku středů, rovinu středů nebo každý bod je středem. Poslední možnost nastává pouze tehdy, když je kvadrika tvořena dvojnásobnou nevlastní rovinou. <) Přepsáním soustavy (23.5) do nehomogenních souřadnic dostaneme soustavu pro výpočet vlastních středů kvadriky K kterou maticově zapisujeme A(S) + (a) = (o). Nehomogenní soustava (23.6) nemusí mít řešení, tj. kvadrika K nemusí mít vlastní střed. Definice 23.2. Kvadrika, která má alespoň jeden vlastní střed, se nazývá středová kvadrika. Kvadrika, která nemá vlastní střed, se nazývá nestředová kvadrika. Věta 23.2. Jestliže střed kvadriky K je vlastním bodem, potom je kvadrika K podle něj středově symetrická. Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 14.2. □ Definice 23.3. Nechť K je kvadrika a P je nevlastní bod, který není bodem kvadriky K. Polární rovinu bodu P budeme nazývat průměrovou rovinou kvadriky K. Věta 23.3. Je-li rovina průměrovou rovinou kvadriky K, pak obsahuje všechny její středy. Důkaz. Tato věta je důsledkem Věty 20.5. □ Poznámka 23.3. Geometrický význam průměrové roviny je následující. Je-li nevlastní bod P, který neleží na kvadrice K, určen nenulovým vektorem u, je průměrová rovina určená bodem P vlastní a kvadrika je šikmo symetrická podle této průměrové roviny ve směru vektoru u. <) Definice 23.4. Říkáme, že dva směry jsou polárně sdruženy vzhledem ke kvadrice K právě tehdy, jsou-li vzhledem ke K polárně sdruženy nevlastní body určené těmito směry. Definice 23.5. Tečnou rovinu v nevlastním regulárním bodě kvadriky K nazýváme asymptotickou rovinou kvadriky K. ansi + a12š2 + (Z13S3 + aM «12^1 + (Í22S2 + (Z23S3 + a24 ai3Š1 + a23š2 + (Z33S3 + a34 0 0 (23.6) 0 23. Afínní vlastnosti kvadrik 120 Úloha 23.1. Určete všechny středy kvadriky K: a) K : 4x2 + 2y2 + 12z2 - Axy + 8yz + 12xz + 14x - 10y + 7 = 0, b) K :5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - 6xz + 12x - 36z = 0, c) K : 5x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - Ayz + 2xz - Ay - Az + A = 0 . Řešení: a) Soustava pro výpočet vlastních středů je Ax - 2y + 6z + 7 = 0, -2x + 2y + 4z-5 = 0, 6x + Ay + 12z = 0, která má jediné řešení S = [—1; |; 0]. b) Soustava pro výpočet vlastních středů 5x — 6y — 3z + 6 = 0, —6x + 9y = 0 , -3x + 9z - 18 = 0 má jednodimenzionální řešení, tj. kvadrika má přímku středů s : 2x — 3y = 0, x — 3z + 6 = 0. c) Soustava pro výpočet vlastních středů 5x — y + z = 0 , -x + 2y - 2z - 2 = 0 , x-2y + 2z-2 = 0 nemá řešení, tj. kvadrika je nestředová. Příslušná homogenní soustava pro výpočet nevlastního středu je 5xi — X2 + x% = 0 , —X\ + 2x2 — 2x3 — 2x4 = 0 , X\ — 2X2 + 2x3 — 2x4 = 0 a podprostor řešení je L((0; 1; 1; 0)). Kvadrika má tedy nevlastní střed ve směru vektoru u = (0; 1; 1). Úloha 23.2. Určete průměrovou rovinu kvadriky K : x2 +y2 — 3z2 — 2xy — 6xz — 6yz + 2x + 2y + Az = 0 , polárně sdruženou s nevlastním bodem bodem N = (1; —2; —1; 0). Řešení: N ^ K a průměrová rovina bodu N je jeho polární rovina u. V homogenních souřadnicích u : 2x\ + 2x3 — x4 = 0, a v nehomogenních souřadnicích v : 2x + 2z - 1 = 0 . 24. Afínní klasifíkace kvadrik 121 Úloha 23.3. Určete průměrovou rovinu kvadriky K : 4x2 + 6y2 + 4z2 + Axz - 8x - 4z + 3 = 0 , která prochází počátkem a bodem [3; 6; 2]. Řešení: Průměrová rovina prochází všemi středy kvadriky K. K má vlastní střed S = [1; 0; 0] a hledaná rovina je určena třemi body [0; 0; 0], [3; 6; 2] a [1; 0; 0], tj. p : 2y + 3z = 0. Úloha 23.4. Pro kvadriku z Úlohy 23.2 určete její asymptotickou rovinu v nevlastním bodě určeném směrem vektoru u = (1; 1; 0). Řešení: Asymptotická rovina je polární rovina v nevlastním bodě. Daný bod opravdu leží na kvadrice a jeho polární rovina je a : 3z — 1 = 0 . 24 Afinní klasifikace kvadrik Definice 24.1. Kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou imaginární regulární kuželosečku, budeme nazývat kvadrikou eliptického typu. Kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou reálnou regulární kuželosečku, budeme nazývat kvadrikou hyperbolického typu a kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou singulární kuželosečku, budeme nazývat kvadrikou parabolického typu. Regulární kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou imaginární regulární kuželosečku, budeme nazývat elipsoidem. Regulární kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou reálnou regulární kuželosečku, budeme nazývat hyperboloidem a regulární kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou singulární kuželosečku, budeme nazývat paraboloidem. Aplikujme nyní Definici 24.1 na projektivní typy kvadrik z Části 21. Podle toho, jaký je průnik kvadriky s nevlastní rovinou, dostaneme následující afinní typy kvadrik: Formálně reálná regulární kvadrika nemá žádný reálný nevlastní bod a je to tedy elipsoid, který budeme nazývat imaginárním elipsoidem. Reálná regulární nepřímková kvadrika se nyní rozdělí na tři typy podle průniku s nevlastní rovinou. Bude to reálný elipsoid, nepřímkový hyperboloid a nepřímkový paraboloid. Všimněme si, jak budou vypadat na těchto nepřímkových regulárních kvadrikách rovinné řezy reálnými vlastními rovinami. Protože nevlastní kuželosečka reálného elipsoidu je imaginární, má každá vlastní rovina řezu na řezné kuželosečce dva komplexně sdružené nevlastní body. To ale znamená, že každá vlastní reálná rovina řeže elipsoid v kuželosečce eliptického typu (viz Obr. 24.1). Řezem tedy může být reálná elipsa, imaginární elipsa (rovina elipsoid reálně neprotíná) nebo dvojice komplexně sdružených přímek (tečná rovina). 24. Afínní klasifíkace kvadrik 122 Obr. 24.1 Nepřímkový hyperboloid má za svou nevlastní kuželosečku regulární reálnou kuželosečku. Nevlastní přímka řezné roviny může tuto kuželosečku protnout ve dvojici reálných bodů, nebo ve dvojici komplexně sdružených bodů, nebo se jí dotknout v dvojnásobném bodě. To ovšem znamená, že řezem může být kuželosečka všech typů. Parabolické řezy odpovídají řezům rovinami, které jsou rovnoběžné s asymptotickými rovinami. Samotná asymptotická rovina řeže nepřímkový hyperboloid ve dvojici komplexně sdružených rovnoběžek. Protože některé eliptické řezy mohou být imaginární elipsy a body hyperboloidu přitom leží v obou poloprostorech určených řeznou rovinou, nazývá se nepřímkový hyperboloid dvojdílným hyperboloidem. Na Obr. 24.2 jsou zakresleny pouze hyperbolické řezy. Obr. 24.2 Obr. 24.3 Nepřímkový paraboloid má podle Poznámky 22.2 nevlastní kuželosečku složenou ze dvou komplexně sdružených přímek. Potom každá reálná řezná rovina, která obsahuje jediný reálný nevlastní bod paraboloidu, jej řeže v parabole. Všechny zbývající roviny, které neobsahují reálný nevlastní bod paraboloidu, musí mít řezy eliptického typu. Proto se nepřímkový paraboloid nazývá eliptickým paraboloidem. Na Obr. 24.3 jsou zakresleny pouze parabolické řezy. 24. Afínní klasifíkace kvadrik 123 Regulární přímková kvadrika nemůže být eliptického typu, protože nevlastní bod každé reálné tvořící přímky je reálným bodem nevlastní kuželosečky kvadriky. Regulární přímkovou kvadriku hyperbolického typu budeme nazývat přímkovým hyperboloidem a regulární přímkovou kvadriku parabolického typu budeme nazývat přímkovým paraboloidem. Obr. 24.4 Obr. 24.5 Přímkový hyperboloid má za svou nevlastní kuželosečku regulární reálnou kuželosečku. Nevlastní přímka řezné roviny může tuto kuželosečku protnout ve dvojici reálných bodů, nebo ve dvojici komplexně sdružených bodů, nebo se jí dotknout v dvojnásobném bodě. To ovšem znamená, že řezem může být kuželosečka všech typů. Parabolické řezy odpovídají řezům rovinami, které jsou rovnoběžné s asymptotickými rovinami. Samotná asymptotická rovina řeže přímkový hyperboloid ve dvojici reálných rovnoběžek. Všechny eliptické řezy jsou reálné elipsy a body hyperboloidu přitom leží v obou poloprostorech určených řeznou rovinou. Přímkový hyperboloid se nazývá jednodílným hyperboloidem. Na Obr. 24.4 jsou zakresleny eliptické a hyperbolické řezy. Tečné roviny protínají jednodílný hyperboloid ve dvojici různoběžných přímek. Tečné roviny v bodech jedné tvořící přímky protínají kvadriku v této přímce a osnově navzájem mimoběžných přímek. Na jednodílném hyperboloidu tak máme dvě osnovy přímek takových, že přímky jedné osnovy jsou navzájem mimoběžné a přímky patřící do různých osnov jsou různoběžné. Na Obr. 24.5 je několik přímek jedné osnovy a pouze jedna přímka druhé osnovy. 24. Afínní klasifíkace kvadrik 124 Obr. 24.6 Přímkový paraboloid má podle Poznámky 22.2 nevlastní kuželosečku složenou ze dvou reálných přímek. Potom každá reálná řezná rovina, která obsahuje reálný průsečík těchto přímek, jej řeže v parabole. Všechny zbývající roviny, které neobsahují tento průsečík, musí mít řezy hyperbolického typu. Proto se nepřímkový paraboloid nazývá hyperbolickým paraboloidem. Na Obr. 24.6 jsou zakresleny pouze parabolické řezy. B Obr. 24.7 Uvažujme dvě roviny, které mají za nevlastní přímky tvořící přímky nevlastní kuželosečky hyperbolického paraboloidu. Každá přímka ležící na paraboloidu potom musí být rovnoběžná s jednou z těchto rovin. Máme tedy na hyperbolickém paraboloidu dvě soustavy přímek. Přímky jedné soustavy jsou rovnoběžné s jednou rovinou a přímky druhé soustavy jsou rovnoběžné s druhou rovinou. Dvě přímky z různých 24. Afínní klasifíkace kvadrik 125 soustav jsou různoběžné a určují tečnou rovinu ve svém průsečíku. Hyperbolický paraboloid potom vzniká tak, že vybereme libovolné mimoběžné přímky jako dvě tvořící přímky patřící do jedné soustavy a body všech příček těchto mimoběžek, které jsou rovnoběžné s nějakou rovinou (nerovnoběžnou s žádnou z vybraných mimoběžek), potom vytvoří hyperbolický paraboloid. Na Obr. 24.7 je část hyperbolického paraboloidu s dvěmi soustavami tvořících přímek. Přímky jedné soustavy jsou rovnoběžné s rovinou se zaměřením L(A~É, CD) a jsou příčkami mimoběžek AD a BC. Přímky druhé soustavy jsou rovnoběžné s rovinou se zaměřením l(ÄĎ,bÔ) a jsou příčkami mimoběžek AB a CD. Obr. 24.8 Poznámka 24.1. Přímkové regulární kvadriky mají velký význam v technické praxi. Jednodílné hyperboloidy se dříve používaly místo ozubených kol pro přenos rotací se vzájemně mimoběžnými osami (schéma viz Obr. 24.8) a dnes se s nimi často setkáváme u chladících věží elektráren nebo na jiných stavebních konstrukcích (vodojemy, rozhledny a pod.), viz. strana 166. Hyperbolický paraboloid se v technické praxi nazývá sedlo. Používá se často ve stavební praxi na skořepiny střech. Na obrázcích na straně 165 je ukázka využití hyperbolického paraboloidu k zastřešení benzínové pumpy (Markham Moor, Velká Británie) a autobusové zastávky (Varšava, Polsko). Kvadriky hodnosti 3 jsou podle Věty 21.3 kuželové plochy. Uvažujme nejdříve imaginární kuželovou plochu, která má jediný reálný bod - vrchol. Je-li vrchol vlastní bod, budeme i v afinním případě hovořit o imaginární kuželové ploše. Je-li vrchol nevlastní bod, budeme kvadriku nazývat imaginární válcovou plochou. Všechny nevrcholové vlastní roviny (neobsahují singulární bod kvadriky) mají jako nevlastní body řezu dvojici komplexně sdružených bodů (tedy řez je eliptický) a řez nemůže mít reálné body, je tedy řezem imaginární elipsa, a proto budeme používat název imaginární eliptická válcová plocha. 24. Afínní klasifíkace kvadrik 126 Obr. 24.9 Obr. 24.10 Uvažujme nyní reálnou kuželovou plochu. Je-li její vrchol vlastní bod, budeme i v afinním prostoru používat název (reálná) kuželová plocha. Reálná kuželová plocha má reálnou regulární nevlastní kuželosečku. Podobně jako u hyperboloidů ji tedy mohou reálné vlastní roviny protínat v kuželosečkách všech typů. Eliptické řezy dostaneme pro roviny, které jsou rovnoběžné s vrcholovými rovinami protínajícími kuželovou plochu v jediném reálném bodě - vrcholu. Parabolické řezy dostaneme v rovinách, které jsou rovnoběžné s vrcholovými rovinami dotýkajícími se kuželové plochy podél jedné tvořící přímky. Konečně hyperbolické řezy dostaneme v rovinách, které jsou rovnoběžné s vrcholovými rovinami protínajícími kuželovou plochu ve dvou tvořících přímkách. Řídící regulární reálná kuželosečka reálné kuželové plochy tedy může být všech tří typů, a proto nemůžeme nikdy hovořit o eliptické, hyperbolické, či parabolické kuželové ploše. Na Obr. 24.9 je soustava eliptických řezů a soustava tvořících přímek. Obr. 24.11 Obr. 24.12 Uvažujme nyní reálnou kuželovou plochu, jejíž vrchol je nevlastní bod. Takovou 24. Afínní klasifíkace kvadrik 127 kvadriku budeme nazývat reálnou válcovou plochou. Nevlastní rovina je vrcholovou rovinou a ta vždy protíná kuželovou plochu v singulární kuželosečce. Nechť je nejdříve nevlastní singulární kuželosečka tvořena dvojicí komplexně sdružených přímek. Potom každá vlastní nevrcholová rovina protíná plochu v reálné elipse. Hovoříme proto o reálné eliptické válcové ploše (viz Obr. 24.10). Nechť je nevlastní singulární kuželosečka reálné válcové plochy tvořena dvojicí různých reálných přímek. Potom každá vlastní nevrcholová rovina protíná plochu v hyperbole. Hovoříme proto o hyperbolické válcové ploše (viz Obr. 24.11). Konečně nechť je nevlastní singulární kuželosečka reálné válcové plochy tvořena dvojnásobnou reálnou přímkou (válcová plocha se dotýká nevlastní roviny). Potom každá vlastní nevrcholová rovina protíná plochu v parabole. Hovoříme proto o parabolické válcové ploše (viz Obr. 24.12). Poznámka 24.2. V předchozích úvahách jsme viděli, že jako řezy na kuželových plochách, kam zahrnujeme i válcové plochy, dostaneme všechny afinní typy kuželoseček. Název kuželosečky je tedy oprávněný. <) Kvadriky hodnosti 2 jsou podle Věty 21.2 dvojice rovin a jsou parabolického typu. Uvažujme nejdříve komplexně sdružené roviny. Je-li společná reálná přímka těchto rovin vlastní, hovoříme o dvojici komplexně sdružených různoběžných rovin. Je-li společná reálná přímka tvořících rovin nevlastní, hovoříme o dvojici komplexně sdružených rovnoběžných rovin. ■ Obr. 24.13 a) Obr. 24.13 b) Nechť je kvadrika složena ze dvou reálných tvořících rovin. Mohou nastat tyto možnosti. Tvořící roviny jsou vlastní různoběžné (Obr. 24.13 a)), vlastní rovnoběžné (Obr. 24.13 b)), nebo je jedna z nich vlastní a jedna nevlastní. Konečně kvadrika hodnosti 1 je podle Věty 21.1 tvořena jedinou dvojnásobnou reálnou rovinou. Ta může být buď vlastní nebo nevlastní. Celkem tedy máme 19 afinních typů kvadrik. 24. Afínní klasifíkace kvadrik 128 Obr. 24.14 Poznámka 24.3. (Reálná) kuželová plocha, která má s daným hyperboloidem stejnou nevlastní kuželosečku a jejím vrcholem je střed hyperboloidu, se nazývá asymptotická kuželová plocha hyperboloidu. (Pro elipsoidy by byla asymptotická kuželová plocha imaginární). Asymptotické kuželové plochy se dotýkají všechny asymptotické roviny hyperboloidu. Na Obr. 24.14 je část jednodílného hyperboloidu s asymptotickou kuželovou plochou. <) Věta 24.1. Ke každé kvadrice K v A% existují 3 lineárně nezávislé směry, které jsou navzájem polárně sdruženy vzhledem ke K. Důkaz. Musíme vlastně dokázat, že existují 3 nevlastní body v obecné poloze, které jsou navzájem polárně sdruženy vzhledem ke K. Nechť nejdříve K obsahuje nevlastní rovinu jako svou tvořící rovinu. Potom libovolná trojice nevlastních bodů v obecné poloze splňuje podmínky věty. Nechť nyní nevlastní rovina není součástí K. Zvolme libovolný nevlastní bod Oi, který neleží na K, a označme loi jeho polární rovinu. Je-li nevlastní přímka loi součástí K, doplníme 0\ na trojici bodů v obecné poloze libovolnými nevlastními body z uj\. Není-li nevlastní přímka uj\ součástí K, vybereme na ní O2 tak, aby neležel na K. Označme ĹO2 jeho polární rovinu. Potom nevlastní bod ĺoi n L02 doplní Oi, O2 na trojici polárně sdružených nevlastních bodů v obecné poloze. □ Věta 24.2. Nechť (0,ei,e2,e3) je takový afinní repér v A3, že vektory ei,e2,e3 určují směry navzájem polárně sdružené vzhledem ke kvadrice K. Potom v rovnici kvadriky K vzhledem k tomuto repéru je al3 = 0, pro všechna i ^ j, í, j = 1, 2, 3. Důkaz. Označme jako Ol = (eA, i = 1,2,3. Potom afinní homogenní souřadnice bodů Oj mají nenulovou souřadnici pouze na i-tém místě a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že je to jednička. Z podmínky polární sdruženosti bodů Ol pak dostaneme 0 = (Ol)TA(0-ŕ) = a%], i, j = 1,2,3, i ^ j. □ 24. Afínní klasifíkace kvadrik 129 Věta 24.3. Je-li počátek afinního repéru vlastním středem kvadriky K, je v rovnici K vzhledem k tomuto afinnímu repéru al4 = O, i = 1, 2, 3. Důkaz. Nechť O je vlastní střed kvadriky K. Zvolme ho za počátek afinního repéru. Pak O má afinní homogenní souřadnice (0;0;0;1). Protože O je středem, je polárně sdružen se všemi nevlastními body, a tedy i s body Ol = (e^, i = 1,2, 3, které mají v afinních homogenních souřadnicích jedinou nenulovou souřadnici na ž-tém místě. Potom 0 = (0)TA[Oi) = al4. □ Důsledek 24.1. Zvolíme-li nyní afinní repér tak, že počátek je vlastním středem kvadriky a směry souřadných os jsou polárně sdruženy vzhledem ke kvadrice, má kvadrika K vzhledem k tomuto afinnímu repéru kanonickou rovnici OOOO / \ K : a11x1 + a22x2 + 033^3 + 044^4 = O (24.1) a pro kvadriku, která neobsahuje nevlastní rovinu, je příslušná nehomogenní rovnice K : aux2 + a22y2 + a33z2 + au = O . (24.2) Věta 24.4. Nechť K je nestředová kvadrika v A3. Pak existuje afinní repér {O; e±, e2, e3) takový, že vzhledem k němu má K rovnici K : aux\ + a22x\ + 2034X3X4 = O, (24.3) kde 034 7^ 0. V nehomogenních souřadnicích, pokud K neobsahuje jako tvořící rovinu nevlastní rovinu, K : aux2 + Q22Ž/2 + 2a34^ = O ; (24.4) tuto rovnici můžeme použít pouze je-li hodnost kvadriky alespoň 3. Důkaz. Jestliže regulární kvadrika K nemá žádný vlastní střed, pak hodnost této kvadriky je nejméně dvě a můžeme zvolit afinní repér (O; ei, 62,63) tak, že O je regulární bod kvadriky, e3 je vektor určující nevlastní střed K a el5 e2 jsou vektory ze zaměření tečné roviny ke K v bodě dotyku O, které určují polárně sdružené směry. Existence takovýchto polárně sdružených směrů v zaměření tečné roviny v bodě dotyku O se prokáže stejně jako u Věty 24.1. Při naší volbě afinního repéru je v homogenních souřadnicích O = (0,0,0,1), Ol = (e^ = (0,.., 1, ..,0), kde 1 je na ž-tém místě, i = 1,2, 3. Potom O E K implikuje 044 = 0, 0\ je polárně sdruženo s 02, proto a12 = 0, a konečně z podmínky, že e3 určuje nevlastní střed, je al4 = 0, i = 1,2. Je tedy matice K v tomto repéru tvaru /au 0 0 0 \ A= 0 a22 0 0 0 0 a33 a34 V 0 0 a34 0 / Soustava pro výpočet vlastního středu má nyní podobu a\\x = 0, 022y = 0, a33z+ 034 = 0 a protože podle předpokladu K nemá vlastní střed, je tato soustava neřešitelná. To lze pouze pro 033 = 0 a 034 7^ 0. □ 24. Afínní klasifíkace kvadrik 130 Definice 24.2. Rovnici (24.2) nebo (24.4) kvadriky K budeme nazývat afinní kanonickou rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kvadrika K kanonickou rovnici, budeme nazývat polární afinní repér kvadriky K. Věta 24.5. (Afinní klasifikace kvadrik) Ke každé kvadrice K existuje takový afinní repér, že vzhledem k němu má K jednu z následujících rovnic: (hom. souřadnice) (nehom. souřadnice) (AK1) x\ + x2 + x<^ ~\~ x^ — 0 j 2 xz + y2 + z2 + 1 = 0 , (AK2) x\ + x2 + 2 2 ryť ryť it *:> it = 0, xz + y2 + z2 -1 = 0, (AK3) x\ + 2 ryť x2 2 2 ryť ry,^ it *:> it = 0, x2 + y2 -z2-l = 0, (AK4) x\ + ry 2 x2 — 2 1 ,.T, 2 X3 -j- x 4 = 0, 2 X^ + y2 - z2 + 1 = 0, (AK5) o ryť Ju -y + x22 + 2X3X4 = 0, x2 4 - y2 + 2z = 0 , (AK6) 2 ryť Ju -y 2 ryť x2 + 2X3X4 = 0, x^ - - y2 + 2z = 0 , (AK7) x\ + ry 2 I /y.2 x2 ~r x3 = 0, x2 - h y2 + z2 = 0 , (AK8) x\ + 2 2 = 0, x2 H - y2 - z2 = 0 , (AK9) x\ + ryť* I /y.2 -^2 "T" ^4 = 0, xz + y2 +1 = 0, (AK10) x\ + 2 2 it 2 it ^ = 0, 2 xz + y2 - 1 = 0 , (AK11) 2 X -y 2 2 •y ^ _ ryť it 2 it ^ = 0, 2 xz -y2-l = 0, (AK12) 2 ry^ Ju -y + 2x3x4 = 0, x2 - 2z = 0 , (AK13) ŕy.2 I ry 2 it "p it 2 = 0, x2 + y2 = 0 , (AK14) 2 2 /y>^ ryť 1 2 = 0, x2 — y2 = 0 , (AK15) ŕy.2 I -y 2 iL^ ~r ^4 = 0, x2 + 1 = 0, (AK16) 2 2 Jlj ~y Jlj ^ = 0, x2 - 1 = 0 , (AK17) X y X 4 = 0, nelze určit, (AK18) 2 Ju -y = 0, x2 = 0, (AK19) 2 X4 = 0, nelze určit. Důkaz. Tato věta je přímým důsledkem Důsledku 24.1 a Věty 24.4. Rovnici (24.1) středové kvadriky znormujeme stejným způsobem jako ve Větě 15.7. Rovnici (24.3) nestředové kvadriky nejdříve vydělíme a34 a potom znormujeme nenulové koeficienty u druhých mocnin souřadnic stejně jako ve středovém případě. □ Definice 24.3. Rovnici kvadriky K z Věty 24.5 budeme nazývat afinní normální rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kvadrika K normální rovnici, budeme nazývat normovaný polární afinní repér kvadriky K. Poznámka 24.4. Kvadrika určená rovnicí (AK1) je imaginární elipsoid, (AK2) je reálný elipsoid, (AK3) je jednodílný hyperboloid, (AK4) je dvoudílný hyperboloid, (AK5) je eliptický paraboloid, (AK6) určuje hyperbolický paraboloid, (AK7) určuje imaginární kuželovou plochu, (AK8) je reálná kuželová plocha, (AK9) je imaginární eliptická válcová plocha, (AK10) je reálná eliptická válcová plocha, (AK11) je hyperbolická válcová plocha, (AK12) je parabolická válcová plocha, (AK13) je dvojice komplexně sdružených tvořících různoběžných rovin, (AK14) je dvojice reálných různoběžných tvořících rovin, (AK15) je dvojice komplexně sdružených 24. Afínní klasifíkace kvadrik 131 rovnoběžných rovin, (AK16) je dvojice reálných rovnoběžných rovin, (AK17) je tvořena jednou vlastní a jednou nevlastní tvořící rovinou, (AK18) je dvojnásobná vlastní tvořící rovina a (AK19) je dvojnásobná nevlastní tvořící rovina. <) Poznámka 24.5. Při praktickém výpočtu máme většinou kvadriku zadánu souřadnicovou rovnicí v nehomogenních souřadnicích. K určení jejích normálních rovnic máme dvě metody. První z nich je založena na nalezení polárního afinního repéru tak, jak je popsáno ve Větách 24.2 - 24.4. Druhý způsob je založen na přímém hledání transformace souřadnic, která převede rovnici kvadriky do normálního tvaru. Nalezneme nejdříve transformaci afinních souřadnic, která převede do kanonického tvaru kvadratickou část rovnice kvadriky (viz Část 9). Geometricky to znamená, že jsme převedli rovnici kvadriky do souřadnic vzhledem k afinnímu repéru, kde jsou směry souřadných os polárně sdruženy vzhledem ke kvadrice. Přechodem na druhé mocniny dvoj členu potom posuneme počátek afinního repéru tak, že dostaneme jednu z rovnic (24.2) nebo (24.4). Rovnice potom ještě normujeme vhodnými násobky směrových vektorů. Podrobnosti budou zřejmé z následující Úlohy 24.1. <) Úloha 24.1. Určete afinní typ kvadriky K, její normální rovnice, afinní normovaný polární repér a transformační rovnice, které převedou rovnici kvadriky do normálního tvaru: a) K : 3x2 + y2 - z2 + 6xz - 4y = 0 , b) K : Ax2 — 9z2 + 2xz - 8x - 4y + 36z - 32 = 0. Rešenŕ. I. medoda: a) Určíme nejdříve, zdaje kvadrika středová nebo nestředová. K má jediný vlastní střed S = [0;2;0]. Protože au 0, není nevlastní bod směru (e^ = (1;0;0)) bodem kvadriky, ponecháme potom jako první směrový vektor nového afinního repéru. V zaměření polární roviny uj\ : x + z = 0 nevlastního bodu (e^) vybereme směr, který určuje bod neležící na kvadrice. Např. (e'2 = (0; 1; 0)). Třetí směrový vektor polárního afinního repéru je potom směrový vektor průniku zaměření polárních rovin uj\ a w2 : y — 2 = 0 (polární rovina nevlastního bodu směru (e2)), tj. e3 = (—1; 0; 1). V polárním repéru {S; e'ľ, e'2, e3) má kvadrika rovnici K:3(x,)2 + (y,)2-4(^,)2-4 = 0, kterou nejdříve vydělíme 4 a znormujeme volbou nových směrových vektorů e" = ^e^, e"2 = 2e2, e'3 = e3. Afinní repér (S;e"l,e"2,e"3) je polární normovaný afinní repér kvadriky a kvadrika v něm má rovnici K : (x")2 + (y")2 - (z")2 -1 = 0. Kvadrika je tedy jednodílný hyperboloid. Transformační rovnice přechodu k nor- 24. Afínní klasifíkace kvadrik 132 movanému polárními repéru jsou 9 y/Ž y= 2y" +2, // z = z . b) Určíme nejdříve, zda je kvadrika středová, nebo nestředová. K je nestředová a nevlastní střed je určen směrem (e3 = (0; 1; 0)). Určíme libovolný bod ležící na kvadrice, např. P = [0; — 8;0]. V tečné rovině tt : 2x + y — 9z + 8 = 0 bodu P určíme směr, který neurčuje nevlastní bod kvadriky, např. (e^ = (1; — 2;0)), a poslední směrový vektor je určen směrem průniku zaměření roviny tt a polární roviny Ax + z = 0 nevlastního bodu směru (e^), tj. (e'2 = (1; —38; —4)). Afinní repér (P; e'l5 e'2, e3) je polární afinní repér kvadriky a kvadrika v něm má rovnici K : 4(x')2 - 148(y')2 - 4z' = 0, kterou nejdříve vydělíme 2 a znormujeme volbou nových směrových vektorů e" = ^e'l5 e"2 = ^je2, e'3 = e3. Afinní repér (P; e", e"2, e"3) je polární normovaný afinní repér kvadriky a kvadrika v něm má rovnici K : (x"f - {y"f-2z" = 0. Kvadrika je tedy hyperbolický paraboloid. Transformační rovnice přechodu k normovanému polárními repéru jsou 1 „ , 1 „ x = —=x H---=y , V2 VŤÄ 2 // 38 n a 0 y =---j=x--7=y +z — 8, V2 Vul 4 y ■ II. metoda: a) Rovnici kvadriky upravíme na K : 3(x + z)2 + y2 - Az2 - Ay = 0 . Potom transformace z , y = y', i z = z převede rovnici kvadriky do tvaru K : 3(x')2 + (y7)2 - 4(^')2 - V = 0, který upravíme na tvar 24. Afínní klasifíkace kvadrik 133 K : 3(:r')2 + (y' - 2)2 - A(z')2 -4 = 0. Po vydělení 4 transformace 9 x ~ vf ' y= 2y" +2, z = z převede rovnici kvadriky do normálního tvaru (viz I. metoda). Výsledné transformační rovnice i odpovídající normovaný polární repér jsou stejné jako v I. metodě. b) Rovnici kvadriky upravíme na K : 4(x + \zf - f z2 - 8:r - 4y + 36z - 32 = 0 . Potom transformace , 1 , x = x--y , y = z' < z = y převede rovnici kvadriky do tvaru K : 4(x')2 - f (y7)2 - 8a;' + 38y' - 4z' - 32 = 0 , který upravíme na tvar X:4(:r'-l)2-f(y'-If)2-4--^ = 0. Transformace x = —x + 1, 2 „ 76 V= 7TfV +37' 1 „ , 28 2Z +37 převede rovnici kvadriky normálního tvaru (viz I. metoda). Výsledné transformační rovnice jsou potom , 1 „ 1 „ 18 x = -x---=y + — , 2 2^37 37 1 „ , 28 V= 2Z + 3Ť 2 y// + 76 37' z nichž určíme snadno příslušný normovaný polární repér. 25. Metrické vlastnosti kvadrik 134 Úloha 24.2. Pro hyperboloid z Úlohy 24.1 a) určete asymptotickou kuželovou plochu. Řešení: Asymptotická kuželová plocha má stejnou nevlastní kuželosečku jako daný hyperboloid, tj. matice A je totožná pro asymptotickou kuželovou plochu i hyperboloid. Potom má asymptotická kuželová plocha matici /3 0 3 a\ 0 1 0 b 3 0 -1 c \a b c d J bod asymptotické kuželové plochy, vede na soustavu lineárních rovnic A = . Podmínka, že střed hyperboloidu S = [0; 2; 0] je singulární F1(S) = a = 0, F2(S) = b + 2 = 0, F3(S) = c = 0, F4(S) = 2b + d = 0, což znamená, že asymptotická kuželová plocha má rovnici K : 3x2 + y2 - z2 + 6xz - 4y + 4 = 0 . 25 Metrické vlastnosti kvadrik V této kapitole uvažujeme £3 reálný euklidovský prostor, £^ jeho komplexní rozšíření a £3 projektivní rozšíření £3 . Jako kvadriku v £3 potom rozumíme kvadriku v £3 . Uvažujme na £3 kartézskou souřadnou soustavu určenou ortonormálním repérem <0;ei,e2,e3). (25.1) V indukovaných homogenních souřadnicích má kvadrika K v £3 obvyklou rovnici (viz Část 23) 4 K : dijXiXj = 0, (25.2) a v nehomogenních souřadnicích má kvadrika rovnici 3 3 K : ^2 ai]x%x] + 2 ^2 (íiax1 + (Z44 = 0, (25.3) i,j = l i=l nebo K : {X)TA{X) +2(a)T(X) + a = 0. (25.4) Při častějším označení nehomogenních souřadnic bodu X = [x; y; z] máme K : aux2 + a22y2 + 033^ + 2a12xy + 2a13xz + 2a23y^+ lnr rX (25.5) +2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 . 25. Metrické vlastnosti kvadrik 135 Úmluva. V praxi se setkáváme téměř výhradně s kvadrikami, jejichž rovnice jsou zadány v nehomogenních souřadnicích. Takto se nedají bez dalšího upřesnění zadat kvadriky, jejichž součástí je nevlastní rovina. Dále tedy budeme předpokládat, že žádná kvadrika nemá za svou tvořící rovinu nevlastní rovinu. V souřadnicovém vyjádření to znamená, že matice A je nenulová. Definice 25.1. Směr určený nenulovým vektorem u se nazývá hlavním směrem kvadriky K, je-li vzhledem ke K polárně sdružen se všemi k němu kolmými směry. Poznámka 25.1. Z definice středu kvadriky je zřejmé, že směr, který určuje nevlastní střed kvadriky, je hlavním směrem kvadriky (platí to tedy i pro směr, který určuje nevlastní singulární bod kvadriky). <) Věta 25.1. Ke každé kvadrice existují alespoň 3 na sebe navzájem kolmé hlavní směry. Má-li K v nějakém ortonormálním repéru matici A, jsou hlavní směry K vlastními směry submatice A. Důkaz. 1. Nechť u = (ui, -u2; u3) ^ o určuje singulární nevlastní bod P^ = (u) kvadriky K. Potom (Fi(u); -F2(u); -£3(11)) = o = Ou, což znamená, že u je vlastním vektorem matice A pro A = 0. 2. Nechť u = iui] -u2; u3) 7^ o je hlavní směr kvadriky K a nevlastní bod P^ = (u) není singulárním bodem K. Předpokládejme nejdříve, že P^ je nevlastním středem (který není singulárním bodem) kvadriky. Potom polární rovina bodu P^ je nevlastní rovina, tj. (Fx(u); F2(u); F3(u)) = o a podobně jako pro singulární bod dostáváme, že u je vlastním vektorem matice A pro A = 0. Nyní nechť P^ = (u) není středem K. Potom vlastní polární rovina bodu P^ má rovnici 7T : Fi(u)xi + F2{u)x2 + F3(u)x3 + F4(u)x4 = 0 , (Fi(u); F2(u); F3(u)) 7= o a vektor u je polárně sdružen se všemi vektory ze zaměření roviny tt. Z předpokladu, že u určuje hlavní směr, vyplývá, že u je kolmý na tt, a tedy nenulové vektory (Fx(u); F2(u); F3(u)) a u jsou lineárně závislé, tj. existuje A / 0 takové, že (.Fi(u); F2(u); -F3(u)) = Au, což je po rozepsání soustava pro vlastní vektory matice A (viz (10.1)). Zbývající část tvrzení je důsledkem vlastností symetrických matic (viz Věty 10.1 - 10.3). □ Poznámka 25.2. Podobně jako v případě kuželoseček (viz Věta 16.2) se snadno dokáže, že charakteristická rovnice \A — \E\ = 0 je nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru a budeme ji nazývat charakteristická rovnice kvadriky K. Podobně také její kořeny Ai, A2 a A3 jsou na zvoleném kartézském repéru nezávislé a budeme je nazývat hlavní čísla kvadriky K. Důkaz předchozí věty tedy není závislý na použitém ortonormálním repéru. 25. Metrické vlastnosti kvadrik 136 Definice 25.2. Je-li P nevlastní nesingulární bod určený hlavním směrem kvadriky K, pak polární rovinu bodu P, pokud je to vlastní rovina, nazýváme hlavní nebo osovou rovinou kvadriky K. Je-li nevlastní bod hlavního směru kvadriky nevlastním singulárním bodem kvadriky, pak definujeme jako osovou rovinu kvadriky libovolnou vlastní rovinu, která je kolmá na tento hlavní směr. Průsečnici dvou osových rovin kvadriky nazveme osou kvadriky. Vlastní průsečík kvadriky s její osou se nazývá vrchol kvadriky. Poznámka 25.3. Jako důsledek Poznámky 23.3 a definice osové roviny dostáváme, že kvadrika je (kolmo) souměrná podle každé své osové roviny a je souměrná podle každé osy, kde jako souměrnost podle přímky chápeme otočení podle přímky o 180 stupňů. <) Poznámka 25.4. Z Vět 10.1 - 10.3 vyplývá, že má-li charakteristická rovnice kvadriky trojnásobný kořen (který musí být nenulový z podmínky, že kvadrika neobsahuje nevlastní rovinu), je každý směr hlavním směrem kvadriky. Takovéto kvadriky jsou souměrné podle každé průměrové roviny a nazývají se zobecněné kulové plochy. Později - v Části 26 - si ukážeme, které kvadriky to jsou. Má-li charakteristická rovnice kvadriky dvojnásobný kořen, odpovídá mu dvou-dimenzionální podprostor hlavních směrů kvadriky. Tento dvoudimenzionální pod-prostor hlavních směrů určuje nevlastní přímku a přímka s ní polárně sdružená je osou kvadriky. Kvadrika je potom symetrická podle každé roviny, která obsahuje takovouto osu kvadriky. Takovéto kvadriky se nazývají rotační kvadriky. Jejich vytvoření si popíšeme v Části 26. 0 Úloha 25.1. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kvadriky K: a) K : x2 - 4y2 + z2 + 6xz + 4x + 16y - 4z - 16 = 0 , b) K : x2 + 2y2 + z2 - 2xz - 2x - 2z + 4 = 0 . Řešení: a) Matice A = \A-\E\ = 0 je 1 — A 0 3 1 0 3\ 0 —4 0 a její charakteristická rovnice 3 0 1/ 0 3 -4-A 0 = 0, tj. -A3 - 2 A2 + 16A + 32 = 0. Hlavní 0 1 - A čísla jsou kořeny charakteristické rovnice, tj. Ai = —2, A2 = 4 a A3 = —4. Hlavní směr určený kořenem Ai = —2 je určen vektorem, jehož souřadnice jsou řešením soustavy rovnic (viz (16.6)) 3-ui + 3ii3 = 0 , -2u2 = 0, 3-ui + 3-113 = 0 , 25. Metrické vlastnosti kvadrik 137 tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu Ai = —2 je určen vektorem Ui = (1; 0; — 1). Pro hlavní směr určený hlavním číslem A2 = 4 dostaneme soustavu —3ui + 3ií3 = 0, -8u2 = 0, Sui — 3ii3 = 0, tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu \2 = 4 je určen vektorem u2 = (1; 0; 1). Konečně pro hlavní směr určený hlavním číslem \2 = —4 dostaneme soustavu 5ui 3-ui 3ii3 = 0, 0 = 0, 5ií3 = 0, tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu \2 = —4 je určen vektorem U3 = (0; 1; 0). / 1 0 -1\ b) Matice A = 0 2 0 a její charakteristická rovnice U o 1 j 1-A 0 -1 \A-XE\ = 0)e 0 2-A 0 = 0, tj. -A3 + 4A2 - 4A = 0. Hlavní čísla jsou -1 0 1-A kořeny charakteristické rovnice, tj. A12 = 2 a A3 = 0. Podprostor hlavních směrů určených dvojnásobným kořenem Ai^ = 2 je řešením soustavy rovnic (viz (16.6)) -Ui -Ui u3 = 0, 0 = 0, u3 = 0, tj. hlavní směry odpovídající hlavnímu číslu Ai^ = 2 tvoří podprostor L(ui = (1; 0; —1), u2 = (0; 1; 0)). Pro hlavní směr určený hlavním číslem A3 = 0 dostaneme soustavu ui — u3 = 0 , 2u2 = 0, —ui + u3 = 0 , tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu A3 = 0 je určen vektorem U3 = (1; 0; 1). Poznámka: Protože je naše kvadrika regulární, je hlavní směr určený nulovým hlavním číslem směrem nevlastního středu kvadriky. Úloha 25.2. Určete hlavní roviny a osy kvadrik z Úlohy 25.1. Řešení: a) I. metoda: 25. Metrické vlastnosti kvadrik 138 Hlavní roviny jsou polární roviny nevlastních bodů určených hlavními směry Nevlastní bod XJ\ = (ux) = (1;0;—1;0) má polární rovinu lji : x — z — 2 = 0, nevlastní bod U2 = (u2) = (1; 0; 1; 0) má polární rovinu lo2 : x + z = 0 a nevlastní bod r73 = (113) = (0; 1; 0; 0) má polární rovinu u)% : y — 2 = 0. Osy jsou potom společné přímky dvou hlavních rovin, tj. o\\ x — z — 2 =0, o2 : x — z — 2 =0, 03 : x + z =0, x + z = 0, y-2 =0, y-2 =0. II. metoda: Osa je parametricky určena vlastním středem a hlavním směrem. Naše kvadrika má jediný vlastní střed S = [1; 2; —1]. Potom o1:X = [l;2 o2:X = [l;2 03 :X = [1;2 -1] + Í(0;1;0), -1] + Í(1;0;1), -l] + í(l;0;-i; b) Polární rovina nevlastního bodu určeného hlavním směrem odpovídajícím nulovému hlavnímu číslu je nevlastní a podle Definice 25.2 to není hlavní rovina. Dvoudimenzionální podprostor hlavních směrů, který je určen dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, určuje nevlastní přímku. Všechny polární roviny nevlastních bodů ležících na této přímce tvoří svazek hlavních rovin a osa tohoto svazku rovin je jedinou osou kvadriky. Je určena např. polárními rovinami nevlastního bodu Ui = (ui) = (1; 0; —1; 0), tj. loi : x — z = 0, a polární rovinou nevlastního bodu U2 = (u2) = (0; 1; 0; 0), tj. uj2 : y = 0. Potom o : x — z = 0 , y =0. Protože kvadrika K nemá vlastní střed, nemůžeme určit přímo parametrickou rovnici osy jako v případě a). Úloha 25.3. Určete vrcholy kvadrik K z Úlohy 25.1. Řešení: a) Z parametrického vyjádření osy o\ dosadíme do rovnice kvadriky a pro parametr t dostaneme kvadratickou rovnici t2 — 1 = 0. Potom vrcholy, které leží na ose 01, jsou dva reálné body A = [1; 3; —1], B = [1; 1; —1]. Podobně z parametrického vyjádření osy o2 dostaneme kvadratickou rovnici 2r2 + 1 = 0. Potom vrcholy, které leží na ose o2, jsou dva komplexně sdružené body E = [1 + ^i- 2; -1 + ^i], Ě = [1 - ^i- 2; -1 - Konečně pro osu o3 dostaneme kvadratickou rovnici ť2 — 1 = 0, a tedy vrcholy, které leží na ose 03, jsou dva reálné body C = [2; 2; —2], D = [0; 2; 0]. b) Z obecných rovnic osy o dosadíme do rovnice kvadriky y = 0, z = x. Dostaneme lineární rovnici x — 1 = 0. Tedy kvadrika má jediný vrchol V = [1; 0; 1]. Poznámka: Rovnice pro výpočet průniku osy o a kvadriky K je lineární proto, že druhý průsečík je nevlastní bod osy o (střed kvadriky K). 26. Metrická klasifíkace kvadrik 139 26 Metrická klasifikace kvadrik Všechny afinní vlastnosti a afinní klasifikace kvadrik zůstávají zachovány i v euklidovském prostoru. V této části skript si ukážeme, jak zvolit ortonormální polární repér kvadriky a rychle určit kanonické rovnice kvadriky, ze kterých se nejlépe pozná, o jakou kvadriku se jedná, a vyčteme z nich všechny informace o kvadrice. V následujících dvou větách je popsán způsob, jak zvolit polární ortonormální repér tak, aby měla kvadrika nejjednodušší možnou rovnici. Věta 26.1. Nech» K je středová kvadrika. Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : \lX2 + \2y2 + A3z2 + a44 = 0, (26.1) kde Aj, i = 1,2, 3, jsou hlavní čísla kvadriky a (Z44 G IR. Důkaz. Zvolme vlastní střed kvadriky za počátek ortonormálního repéru a jednotkové vektory hlavních směrů kvadriky za základní směrové vektory ortonormálního repéru. Potom podle Důsledku 24.1 má K rovnici K : anx2 + a22y2 + a33z2 + a44 = 0 . Charakteristická rovnice kvadriky má v těchto souřadnicích tvar (an - A)(a22 - A)(a33 - A) = 0 a odtud plyne tvrzení. □ Věta 26.2. Nechť K je nestředová kvadrika hodnosti > 3. Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : Axx2 + A2y2 + 2a34z = 0, (26.2) kde Aj, i = 1,2, jsou hlavní čísla kvadriky a a34 G IR a a34 7^ 0. Důkaz. Zvolme za počátek ortonormálního repéru vrchol kvadriky a jednotkové vektory hlavních směrů kvadriky za základní směrové vektory ortonormálního repéru. Potom podle Věty 24.4 má K rovnici K : anx2 + a22y2 + 2a34z = 0 . Charakteristická rovnice v těchto souřadnicích má tvar -(an-A)(a22-A)A = 0 a odtud plyne tvrzení. □ 26. Metrická klasifíkace kvadrik 140 x x x Poznámka 26.1. Všimněme si, že v případě nestředové kvadriky je vždy alespoň jeden kořen charakteristické rovnice roven nule, v našem označení A3 = 0. Ze zbývajících kořenů musí být alespoň jeden kořen nenulový, což vyplývá z podmínky pro hodnost kvadriky Pokud by byly oba kořeny Al5 A2 nulové, byla by rovnice (26.2) lineární a kvadrika by obsahovala jako tvořící rovinu nevlastní rovinu. <) Věta 26.3. (Metrická klasifikace kvadrik) Ke každé kvadrice K, která neobsahuje jako svou část nevlastní rovinu, existuje takový ortonormální repér, že vzhledem k němu má K jednu z následujících rovnic: (EK1) (EK2) (EK3) (EK4) (EK5) (EK6) (EK7) (EK8) (EK9) (EK10) (EK11) (EK12) (EK13) (EK14) b2 z2 + -cz + 1 = o, a > 0, 6 > 0, c> 0 b2 z2 + -cz - 1 = o, a > 0, 6 > 0, c > 0 b2 z2 ~ c2 - 1 = o, a > 0, 6 > 0, c > 0 b2 z2 c2 + 1 = o, a > 0, b > 0, c > 0 xz — 4 y2 - — 4 -2z = o, P > o, g > 0 p q 2 xz y2 - — 4 -2z = o, P > o, g > 0 P q 2 xz az y2 - — -+ b2 z2 ' c2 = o, a > 0, 6 > 0, c > 0 xz — 4 az y2 b2 z2 c2 = o, a > 0, b > 0, c > 0 2 xz ~a~2 + «-b2 + 1 = o, a > 0, 6 > 0 xz ~a~2 + y-b2 -1 = o, a > 0, 6 > 0 xz Ir y2 b2 -1 = o, a > 0, 6 > 0 2 xz — 4 -2z = o, p > 0 P 2 xz — 4 az y2 b2 = o, a > 0, b > 0 2 xz y2 b2 = o, a > 0, 6 > 0 26. Metrická klasifíkace kvadrik 141 O, a>0, (EK15) O, a>0, (EK16) O, (EK17) Důkaz. Důkaz se provede stejně jako ve Větě 17.3 úpravou rovnic (26.1) a (26.2). □ Poznámka 26.2. Kladná čísla a,b,cv rovnicích (EK1) - (EK4) elipsoidů a hyperboloidů se nazývají délky poloos. Pro osy kvadriky na kterých leží reálné vrcholy kvadriky udávají tato čísla vzdálenosti vrcholů od středu kvadriky. Čísla p,q v rovnicích (EK5) - (EK6) paraboloidů jsou parametry parabol, ve kterých protínají paraboloid všechny roviny rovnoběžné s jednou ze dvou hlavních rovin paraboloidu. Rovnice (EK7) (respektive (EK8)) určuje imaginární (respektive reálnou) kuželovou plochu. Čísla a, b jsou délky poloos řídící kuželosečky - imaginární (respektive reálné) elipsy. Přitom je osa kuželové plochy kolmá na rovinu řídící kuželosečky. Čísla a, b v rovnicích (EK9) - (EK11) jsou délky poloos řídící kuželosečky (imaginární elipsy, respektive reálné elipsy, respektive hyperboly) imaginární eliptické, respektive reálné eliptické, respektive hyperbolické válcové plochy. Přitom je osa válcové plochy kolmá na rovinu řídící kuželosečky. Číslo p v rovnici (EK12) je parametr řídící kuželosečky (paraboly) parabolické válcové plochy. Přitom jsou tvořící přímky kolmé na rovinu řídící paraboly. Rovnice (EK13) (respektive (EK14)) určuje dvojici komplexně sdružených (respektive reálných) různoběžných rovin, které se protínají v ose z. Rovnice (EK15) (respektive (EK16)) určuje dvojici komplexně sdružených (respektive reálných) rovnoběžných rovin, které jsou rovnoběžné s rovinou x = 0. Konečně rovnice (EK17) je rovnicí dvojnásobné roviny x = 0. <) Poznámka 26.3. Má-li charakteristická rovnice kvadriky trojnásobný nenulový kořen, je příslušná kvadrika zobecněná kulová plocha. V kanonických rovnicích tomu odpovídají rovnice (EK1), (EK2) a (EK7), kde a = b = c = r. (EK1) má potom tvar x2 + y2 + z2 = -r2 , r^O, a určuje imaginární kulovou plochu. (EK2) má potom tvar x2 + y2 + z2 = r2 , r^O, a určuje (reálnou) kulovou plochu o poloměru r. x ^7 + 1 - 1 = x2 = kde a, b, c, p, q jsou reálná čísla. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 142 (EK7) má potom tvar x2 + y2 + z2 = 0 a určuje nulovou kulovou plochu (reálná kulová plocha s nulovým poloměrem). <) Poznámka 26.4. Má-li charakteristická rovnice kvadriky dvojnásobný nenulový kořen, je příslušná kvadrika rotační a vzniká rotací kuželosečky kolem některé její osy. Všimněme si, jak vznikají reálné rotační kvadriky. Rotací reálné elipsy v rovině x = 0 o rovnici 2 2 fe:|C + 4-l = 0 b2 c 2 kolem souřadné osy z vznikne rotační elipsoid o rovnici 2 2 2 xz yz zz *:j»+F + ?-1 = 0- Je-li přitom b > c, nazývá se tento elipsoid zploštělý a je-li b < c, nazývá se tento elipsoid protáhlý. Na Obr. 26.1 a) je zploštělý elipsoid o rovnici K : ^- + \ + z2 = 1 proťatý souřadnými rovinami a na Obr. 26.1 b) je protáhlý elipsoid o rovnici K : x2 + y2 + ^- = 1 proťatý souřadnými rovinami. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 143 kolem osy z (vedlejší osa hyperboly) vzniká rotační jednodílný hyperboloid o rovnici 2 2 2 xA yA zA *=äí+&-?-l=°- Naopak rotací kolem osy y (hlavní osa hyperboly) vzniká rotační dvojdílný hyperboloid o rovnici 2 2 2 ^ xA yA zA ^ c2 b2 c2 Asymptoty hyperboly vytvoří při této rotaci asymptotickou kuželovou plochu hyperboloidu. Rotací paraboly v rovině x = 0 o rovnici V2 k : — + 2z = 0 Q kolem osy z (osa paraboly) vzniká rotační paraboloid o rovnici 2 2 xA yA K :— + — + 2z = 0. q q Rotací dvojice reálných různoběžných přímek v rovině x = 0 o rovnici 2 2 , V Z kolem jedné z os y nebo z (osy této singulární kuželosečky) vzniká rotační (reálná) kuželová plocha. Konečně rotací dvojice (reálných) rovnoběžných přímek v rovině x = 0 o rovnici , v' kolem osy z (osa této singulární kuželosečky) vzniká rotační (reálná) válcová plocha. Věty 26.1 a 26.2 popisují, jak zvolit ortonormální repér tak, aby měla kvadrika kanonické rovnice, ze kterých snadno určíme všechny informace o kvadrice. Je-li tedy kvadrika zadána rovnicí (25.5), musíme určit hlavní směry kvadriky, střed, či vrchol kvadriky a napsat transformační rovnice přechodu k ortonormálnímu repéru popsanému ve Větách 26.1 a 26.2. Dosazením takovýchto transformačních rovnic do původní rovnice kvadriky potom dostaneme kanonickou rovnici (26.1) nebo (26.2). Tento postup je ovšem velice zdlouhavý a pracný. Podobně jako v případě kuželoseček existuje způsob, jak velice rychle určit kanonické rovnice kvadriky bez hledání příslušných transformačních rovnic. Tato metoda se nazývá metoda invariantů. Metoda úpravy rovnic pomocí otáčení souřadnicového repéru kolem počátku a posunování počátku je sice teoreticky také možná, ale velice pracná. Proto se u kvadrik nepoužívá. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 144 Podobně jako v teorii kuželoseček definujeme invariant kvadriky jako reálné číslo, které je přiřazeno koeficientům matice kvadriky a nezávisí na zvoleném souřadnicovém repéru. Stejným způsobem se definuje také stupeň invariantu kvadriky a absolutní invariant kvadriky. Stejně jako v teorii kuželoseček je hodnost kvadriky absolutní invariant, který je projektivní. Hodnost matice A je afinním absolutním invariantem. Všechny další invarianty kvadriky jsou euklidovské. Protože charakteristická rovnice kvadriky je nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru, jsou její kořeny i koeficienty invarianty kvadriky. Koeficienty charakteristické rovnice jsou čísla I\ = a I3 = \A\. Potom I\ je all a12 _^ all a13 _|_ a22 a23 (Zl2 (222 Ql3 a33 a23 a33 invariant stupně 1, I2 je invariant stupně 2 a ^3 je invariant stupně 3. Další invariant kvadriky stupně 4 je determinant matice A. Důkaz tohoto tvrzení je totožný s důkazem Věty 17.4. Hlavní čísla kvadriky jsou potom invarianty stupně 1. Pomocí těchto invariantů můžeme nyní snadno určit kanonické rovnice některých kvadrik. Věta 26.4. Nechť K je kvadrika, která má právě jeden vlastní střed, a v nějakém kartézském repéru má rovnici (25.5). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : Aix2 + A2y2 \A\ (26.3) kde Aj i = 1, 2, 3, jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. Důkaz. Podmínka, že K má právě jeden střed, je ekvivalentní tomu, že hodnost matice A je 3, tj. všechna hlavní čísla jsou nenulová (vyplývá z kořenových vztahů pro charakteristickou rovnici). Potom podle Věty 26.1 má K v nějakém kartézském repéru rovnici K : Aix2 + A2y2 + A3z2 + bu = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských souřadnic, je \A\ = = A1A2A3&44 a odtud &44 = |^4|/|Ä|, protože z kořenových vztahů pro charakteristickou rovnici je \A\ = AiA2A3. □ Věta 26.5. Nechť K je regulární nestředová kvadrika, která má v nějakém kartézském repéru rovnici (25.5). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : \lX2 + A2y2 ± 2 A1A2 z = 0, (26.4) kde Aj i = 1, 2, jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. Důkaz. Je-li K nestředová regulární kvadrika, je \A\ 7^ 0 a A má hodnost 2, tj. charakteristická rovnice pro matici A má 2 nenulové kořeny. Potom podle Věty 26.2 má K v nějakém kartézském repéru rovnici K : Aix2 + A2y2 + 2b34z = 0. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 145 Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských souřadnic, je \A\ a odtud &34 = ±1 -\i\2(b. '34) .JáL a1a2' □ Poznámka 26.5. Předchozí dvě věty se tedy dají použít k rychlému nalezení kanonických rovnic pro všechny regulární kvadriky a singulární kvadriky hodnosti 3, které mají právě jeden vlastní střed (kuželové plochy). V ostatních případech budeme potřebovat ještě další invarianty. <) Uvažujme rovnici (25.5) kvadriky K. Definujme polynom «n - A «12 «13 «14 A — \E (a)T a44 r(A) = «12 (222 — A «23 «24 fa a13 a14 «23 a24 033 — A 034 (Z34 (Z44 = -r0Aá + r1A^-r2A + r3 kde To — 044, r2 = on au + Q22 Q24 Q33 034 au a44 1 Q24 a44 1 034 a44 r, = au au au \A\. au Q22 Q24 a14 Q24 (Z44 au Qi3 a1A Qi3 Q33 034 au 034 (Z44 Q22 Q23 Q24 Q23 Q33 034 Q24 034 (Z44 Věta 26.6. Funkce Y{X) je invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 17.7. □ Věta 26.7. Nechť K je kvadrika hodnosti 3 parabolického typu. Pak koeficient T2 funkce T (A) je invariant kvadriky K. Důkaz. Podle Věty 26.6 je T2 invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Musíme tedy ještě dokázat, že T2 je invariantní při posunutí ortonormálního repéru do nového počátku. Nechť K má v nějakém ortonormálním repéru rovnici (25.5) a nechť P = [pi; p2; p3] je nový počátek souřadnicového repéru. Potom v novém souřadnicovém repéru dostaneme V -12 — au au Fi(P) «12 «22 F(P) 022 023 F2(P) 023 Q33 F3(P) F2(P) F3(P) F(P) au Ol3 Fi(P) «13 «33 Fs(P) Fi(P) FÁP) F(P) 26. Metrická klasifíkace kvadrik 146 kde -Fi(P) = a11p1 + a12p2 + 013^3 + Pi4 , F2(P) = a12P! + a22p2 + ^23^3 + ^24 , F3(P) = a13pľ + a23p2 + 033^3 + PU , 3 F (P) = ^ aijPiPj + 2014^1 + 2a24ř>2 + 2a34ř>3 + a44 Přímým výpočtem dostaneme r'2 = (pl+p22+PÍ) au ai2 ai3 a12 a22 a23 Ql3 a23 a33 2pi di2 (213 Ol4 a22 a23 a24 Q23 a33 a34 2^2 au ai3 ai4 Ql2 Q23 a24 Ql3 a33 a34 2fô au ai2 ai4 ai2 022 Q24 Ql3 a23 a34 To. au ai2 ai3 ai4 Pro kvadriku hodnosti 3, která je parabolického typu, je hodnost matice | ai2 022 ^23 ^24 ,Ql3 a23 a33 a34, menší než 3 a odtud T2 = T2. Věta 26.8. Nechť K je kvadrika hodnosti 3 parabolického typu, která má souřadnicové vyjádření (25.5). Potom v polárním ortonormálním repéru má K jednu z kanonických rovnic K : Aix2 + A2y2 + To AiA = O, 1^2 K : Aix2 ± 2 z = O, (26.5) (26.6) kde Ai, A2 jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. Důkaz. Kvadrika parabolického typu hodnosti 3 je válcová plocha, která může být eliptická, hyperbolická nebo parabolická. Eliptická nebo hyperbolická válcová plocha má vlastní přímku středů a podle Věty 26.1 má rovnici K : Aix2 + A2y2 + b44 = O. Podle Věty 26.7 je T2 = \i\2b44 a odtud plyne rovnice (26.5). Parabolická válcová plocha nemá žádný vlastní střed a podle Věty 26.2 má rovnici K : Aix2 + 2b34z = O . Podle Věty 26.7 je r 2 = — Aiž»§4 a odtud plyne rovnice (26.6). □ 26. Metrická klasifíkace kvadrik 147 Předchozí věty nám umožňují určit kanonické rovnice pro všechny kvadriky hodnosti větší nebo rovny třem. Protože pro kvadriku hodnosti jedna je vždy kanonická rovnice rovna K : Aix2 = 0, musíme ještě prodiskutovat situaci pro kvadriky hodnosti dva, tj. pro dvojici rovin. V případě, že jsou roviny různoběžné, má kvadrika přímku vlastních středů a charakteristická rovnice musí mít dva nenulové kořeny. Podle Věty 26.1 musí mít tedy kvadrika kanonickou rovnici Aix2 + A2y2 = 0 . Zbývá nám tedy jen případ rovnoběžných rovin. Věta 26.9. Nechť K je kvadrika tvořená rovnoběžnými rovinami. Pak koeficient T± funkce T (A) je invariant kvadriky K. Důkaz. Stejně jako ve Větě 26.7 stačí dokázat, že T± je invariantní při posunutí ortonormálního repéru do nového počátku. Při stejném označení jako ve Větě 26.7 je v novém souřadnicovém repéru «ii Fi(P) F1(P) F(P) p\ p\ 2ř>2ř>3 2^2 «n a12 «12 «22 au a13 «13 «33 «12 «23 022 ^2 OP) au a13 «13 «33 F2{P) F(P) 033 F(P) Pl «22 «23 «23 «33 «13 «14 «33 «34 2ř>lř>2 2p au a12 «12 «22 ai2 ai3 «23 «33 «12 «14 «22 «24 «22 «23 «23 «33 + 2piP3 «22 «23 Ql2 Ql3 «11 «14 «12 «24 «33 «34 «23 «24 2^3 «11 «14 «13 «34 «22 «34 «23 «24 Ti- Pro kvadriku hodnosti 2, která je tvořena rovnoběžnými rovinami, je hodnost «11 «12 «13 «14 «22 «23 «24 I rovna jedné a odtud = IV □ matice | aí2 i«13 «23 «33 «34, Věta 26.10. Nechť K je kvadrika tvořená rovnoběžnými rovinami, která má souřadnicové vyjádření (25.5). Potom v polárním ortonormálním repéru má K kanonickou rovnici Ti Aix Ai = 0, (26.7) kde \i je nenulové hlavní číslo kvadriky. Důkaz. Podle Věty 26.1 má K rovnici AiX2 + &44 = 0 . Podle Věty 26.9 je Ti = A1&44 a odtud plyne tvrzení. □ 26. Metrická klasifíkace kvadrik 148 Poznámka 26.6. Metodu invariantů tedy můžeme shrnout do následující tabulky, kde Aj jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. h(A) h(A) kanonická rovnice typ kvadriky h(A) = 4 h(A) = 3 Aix2 + A2y2 + A3z2 + H = o elipsoidy, hyperboloidy h(A) = 2 AlX2 + A2y2 + 2y_J^_z = 0 paraboloidy h(A) = 3 h(A) = 3 Aix2 + A2y2 + A3z2 = 0 kuželové plochy h(A) = 2 Aix2 + A2y2 + T^t = 0 eliptické a hyperbolické válcové plochy h(A) = l Aix2 + 2^J-^z = 0 parabolická válcová plocha h{A) = 2 h(A) = 2 Aix2 + A2y2 = 0 různoběžné roviny h(A) = l Aix2 + g = 0 rovnoběžné roviny h(A) = 0 neexistuje vlastní rovina a nevlastní rovina h{A) = 1 h(A) = l Axx2 = 0 dvojnásobná vlastní rovina h(A) = 0 neexistuje dvojnásobná nevlastní rovina Úloha 26.1. Určete transformaci ortonormálních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky K do kanonického tvaru. Určete také kanonickou rovnici a typ kvadriky: a) K : x2 - 4y2 + z2 + 6xz + 4x + 16y - 4z - 16 = 0 , b) K : x2 + 2y2 + z2 - 2xz - 2x - 2z + 4 = 0 . Řešení: a) Z Úlohy 25.1 a) máme jednotkové vektory hlavních směrů ei = (0; 1; 0), e2 = (^=; 0; — a e3 = (^=; 0; ^=). Kvadrika je středová s jediným vlastním středem S = [1; 2; —1]. Otronormální repér {S; e±, e2, e3) je tedy polární ortonormální repér kvadriky a transformační rovnice, které převádí danou rovnici kvadriky do kanonického tvaru, jsou 1 , 1 , V2 V2 + 2, 1 , 1 , \/2 V2 x = y = X = 26. Metrická klasifíkace kvadrik 149 Dosazením do původní rovnice kvadriky dostaneme kanonickou rovnici K : -4x'2 - 2y'2 + 4z'2 + 4 = 0, kterou vydělením —4 upravíme na tvar K : x'2 + -y'2 -z'2 -1 = 0. 2y Jedná se tedy o jednodílný hyperboloid. b) Z Úlohy 25.1 b) máme jednotkové vektory hlavních směrů ei = = (^; 0; — -^), e2 = (0; 1;0) a 6-3 = (^^; 0; ^=). Kvadrika je nestředová a podle Úlohy 25.3 b) má jediný vlastní vrchol V = [1; 0; 1]. Ortonormální repér (V; e±, e2, 63) je tedy polární ortonormální repér kvadriky a transformační rovnice, které převádějí danou rovnici kvadriky do kanonického tvaru, jsou 1 / , 1 y/2 V2 z' + l, y= v ■ z =---=x 1 / , 1 -W +1. y/2 V2 Dosazením do původní rovnice kvadriky dostaneme kanonickou rovnici K : 2x'2 + 2y/2 + \pl z' = 0, kterou vydělením 2 upravíme na tvar K : x'2 + y'2 - — z' = 0 . y 2 Kvadrika je tedy eliptický (rotační) paraboloid. Úloha 26.2. Metodou invariantů určete kanonickou rovnici a typ kvadriky: a) K : x2 - 4y2 + z2 + 6xz + 4x + 16y - 4z - 16 = 0 , b) K : x2 + 2y2 + z2 - 2xz - 2x - 2z + 4 = 0 , c) K : x2 + y2 + 3z2 + 10xy + 6xz + 6yz - lOx - 2y - 6z + 37 = 0 , d) K :2x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy - 2xz + 2yz - 6x + 18y + 24z = 0 , e) K : x2 + 4y2 + z2 + Axy — 2xz — Ayz + x + 2y — z = 0 . Řešení: a) Určíme det(A) = 128 a det(Ä) = 32, tj. kvadrika je regulární středová. Z Úlohy 25.1 a) jsou kořeny charakteristické rovnice Ai = —4, A2 = —2 a A3 = 4. Podle Věty 26.4 má kvadrika kanonickou rovnici K : -4x'2 - 2y'2 + 4z'2 + 4 = 0, kterou vydělením —4 upravíme na tvar K : x'2 + -y'2 -z'2 -1 = 0. 2y Jde o jednodílný hyperboloid. b) Určíme det(A) = —8 a det(Ä) = 0, tj. kvadrika je regulární nestředová (paraboloid). Z Úlohy 25.1 b) jsou kořeny charakteristické rovnice Ai = A2 = 2 a A3 = 0. Podle Věty 26.5 má kvadrika kanonickou rovnici 27. Cvičení 150 K : 2x'2 + 2y'2 + y/2 z' = 0, kterou vydělením 2 upravíme na tvar K : x'2 + y'2 — — z' = 0 . y 2 Jedná se tedy o rotační paraboloid. c) Určíme det(Ä) = 0 a hodnost A je 3, tj. kvadrika je singulární hodnosti 3. Dále det(Ä) = 0 a hodnost A je 2, tj. kvadrika je parabolického typu (válcová plocha). Charakteristická rovnice kvadriky je A3 — 5A2 — 36A = 0 s kořeny Ai = 9, A2 = —4 a A3 = 0. Určíme r2 = —1296 a podle Věty 26.8 má kvadrika kanonickou rovnici K : 9x2 — 4y2 + 36 = 0, kterou vydělením 36 upravíme na tvar 2 2 xz yz K: —-7T + 1 = 0. 4 9 Jedná se tedy o hyperbolickou válcovou plochu. d) Určíme det(A) = 0 a hodnost A je 3, tj. kvadrika je singulární hodnosti 3. Dále det(Ä) = 0 a hodnost Ä je 2, tj. kvadrika je parabolického typu (válcová plocha). Charakteristická rovnice kvadriky je A3 —6A2 + 9A = 0 s kořeny Ai = A2 = 3 a A3 = 0. Určíme T2 = —702 a podle Věty 26.8 má kvadrika kanonickou rovnici K : 3x2 + 3y2 — 78 = 0, kterou vydělením 3 upravíme na tvar K : x2 + y2 - 26 = 0. Jedná se tedy o rotační válcovou plochu poloměru \/26. e) Určíme det(Ä) = 0 a hodnost A je 2, tj. kvadrika je složena z dvojice rovin. Dále det(Ä) = 0 a hodnost A je 1, tj. tvořící roviny jsou rovnoběžné. Charakteristická rovnice kvadriky je A3 — 6A2 = 0 s kořeny Ai = 6, A2 = A3 = 0. Určíme Ti = —3/2 a podle Věty 26.10 má kvadrika kanonickou rovnici K : 6x2 — - = 0. 4 Jedná se tedy o reálné rovnoběžné roviny. Poznámka: Opravdu, původní rovnici kvadriky můžeme rozložit na K : (x + 2y - z) (x + 2y - z + 1) = 0 . Kvadrika je tedy tvořena dvojicí reálných rovnoběžných rovin, jejichž obecné rovnice v původních souřadnicích jsou a : x + 2y — z = 0a/3:x + 2y — z + 1 = 0. 27 Cvičení V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k dané geometrické bázi projektivního prostoru. 27. Cvičení 151 27.1. Určete hodnost kvadriky K : 2x\ + 4x2 — x§ — 8xix2 + 8x1X4 — 8x2x4 + 4x| = 0. Je-li K singulární, určete její singulární body { Hodnost kvadriky je 3, singulární bod(0; 1; 0; 1) } 27.2. Rozhodněte, zda kvadrika K je regulární nebo singulární: a) K : x\ — Ax\x2 — 2x2. — 8x1X3 + 6x1X4 — 5x| = 0 , b) K : x\ + 2x2, + 3x| — 6x3x4 + 3x| = 0, c) K : x\ + 2xix2 — 4xiX4 + 3x2 + 8x2X3 + 8x\ + 8x3X4 + 6x2 = 0. { a) Regulární, b) singulární hodnosti 3, c) singulární hodnosti 2 } 27.3. Je dána kvadrika K : x\ + 2xix2 — 4x1X4 + x2 — x\ + 2x3X4 + x\ = 0. a) Určete polární rovinu bodu P = (1; 2; —1; 1) vzhledem ke kvadrice. b) Určete pól roviny tt : 2xi + x2 + 2x3 — 3x4 = 0 vzhledem ke kvadrice. { a) 7T : xi + 3x2 + 2x3 - 2x4 = 0, b) P = (0; 2; -5; -1) } 27.4. Je dána kvadrika K : x\ — 2x\x2 + X1X3 — X1X4 + x2 + 5x2X3 + 3x2X4 — X3X4 = 0 . a) Určete tečnou rovinu kvadriky v bodě T = (1; —1; —1; 1). b) Ukažte, že rovina x2 = 0 je tečnou rovinou kvadriky a určete její bod dotyk { a) 2xi - 6x2 - 5x3 - 3x4 = 0, b) T = (1; 0; -1; 1) } 27.5. Určete hodnost, normální rovnici a projektivní typ kvadriky K: a) K : 9x2+12xix2—6xiX3+30xiX4+4x2—4x2x3+20x2X4+x|—IOX3X4+25X4 = b) K : 2x\ + 2xix2 + 6x1X3 + 2x1X4 — x2 + 8x2X3 + 4x2X4 + 7x| — 2x3X4 + 7x\ = c) K : 3x2 + 8xix2 + 8x1X4 + 4x2X3 — 4x2X4 + x| + I6X3X4 + llx2 = 0 , d) K : 3x2—2xix2—2x1X3+22x1X4—5x2+6x2X3—42x2X4—x|+10x3X4 —16x| = { a) h(K) = 1; y\ = 0; dvojnásobná tvořící rovina; v původních souřadnicích má tvořící rovina rovnici 3xi + 2x2 — X3 + 5x4 = 0, b) h(K) = 4; y2 +y2 +y| — y| = 0; nepřímková regulární kvadrika, c) h(K) = 3; y\ + y\ — y\ = 0; reálná kuželová plocha, d) h(K) = 2;y\ — y\ = 0; dvojice reálných rovin } 27. Cvičení 152 27.6. Pro kvadriky z Cvičení 27.5 určete normovanou polární geometrickou bázi a transformaci projektivních homogenních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky do normálního tvaru. { a) Například d = (±; 0; 0; 0), 02 = (2; -3; 0; 0), 03 = (1; 0; 3; 0), 0A = (5; 0; 0; —3), E = (f; -3; 3; -3), x1 = |yi + 2y2 + i/3 + 5i/4, x2 = -3i/2, x3 = 3i/3, x4 = -3i/4, b) Například d = (-^-; 0; 0; 0), 02 ^ 2\/2' 2\/2' U' 2^2h °3 = (~i7%; °)' °4 = (^; 0; 0), ^ 2vHČ> ' 2vHČ> ' 2vT5' 2V2~'' 272^ + i7T5y3 " 76y4' X3 = i7Í5y3' X4 = i73y2' c) Například Oí = (--}-; 0; 0; 0), 02 = (0; 0; --^), °3 = (-^;^;^;0), 04 = (4;-5;-6;2), p _ / ^/35-4^/3+4^/l(j5 . ^/7+3^/3-5^/lÔ5 . l-6y^5. -l+2^\ ^ VIÔ5 ' VW5 ' y/Ě> ' y/TE Xl = 73^-^3 + 4^4, X2 = -±=y2 + -2=y3-5y4l x3 = ~ 6y4, x4 = ~-^y2 + 2y4 , d) Například 01 = (-jg; 0; 0; 0), 02 = (0; ^; 0), 03 = (1;1;2;0), 04 = (-3; 0; 13; 2), F _ /1-2V3. 1+2V3. -1+30V^. _ J_ , _ o ^ _ ^ ' 2VŠ ' 2VŠ ' ^' 1 ~ Všyi + 2/3 áy4' X2 = iTS^2 + 2/3' X3 = -avl^2 + 2ž/3 + 13ž/4, ^4 = 2y4 } 27.7. Dokažte, že kvadrika K : 3x2 + 8xix2 + 2xix4 + 4x2^3 — 16x2x4 + x\ + 14^3X4 — 9x2 = 0 je kuželová plocha a určete její vrchol. {U = (6;-5;-4;2)} V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému afinnímu repéru v afinním prostoru. 27.8. Určete průnik kvadriky K : 3y2 + 4z2 + 24x + I2y - 72z + 360 = 0 s rovinou a : x — y + z = 1. { Reálná elipsa } 27. Cvičení 153 27.9. Je dána kvadrika K : x2 + 4y2 + 4z2 + Axy - lOyz - 6x - 2y + 2z + 3 = O a rovina a : x + ay + z = 0. Určete parametr a tak, aby a P\ K byla: a) kuželosečka eliptického typu, b) kuželosečka hyperbolického typu, c) kuželosečka parabolického typu, d) elipsa, e) hyperbola, f) parabola. { a) a G (-oo; ^f^) U (^f^; oo) b) fl £ (13^; 13+^) ^ d) a G (-oo; U (^±^; oo), e) ae(^;f)U(f;2)U(2;^), f) fle{1^.13M}} 27.10. Ukažte, že přímka p = X = [0; 0; 4] + í(3; 2; 1) je tvořící přímka kvadriky K :5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - 6xz + 12x - 36z = 0 . 27.11. Ukažte, že přímka q = x = 1 + 4í, y = 2 + 2í, z = 0 je tečnou kvadriky K : x2 — 2y2 + z2 — 2xy + Axz — yz + 3x — 5z = 0 a určete její bod dotyku. {T=[-3;0;0]} 27.12. Určete středy kvadriky K: a) K :3x2 + 2y2 - 2xz + 4yz - Ax - 8z - 8 = 0 , b) K : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy - 12x + 6y - 9 = 0 , c) K :5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - 6xz + 18y - 36z = 0 , d) K : 4x2 + y2 + 9z2 - 4xy + 12xz - 6yz + 8x - 4y + 12z - 5 = 0 . { a) Jediný vlastní střed S = [0; 2; —2], b) jediný nevlastní střed S = (—2; 1; 0; 0), c) vlastní přímka středů X = [0; —1; 6] + í(3; 2; —7), d) vlastní rovina středů 2x — y + 3z + 2 = 0} 27.13. Určete rovnici kvadriky K, znáte-li jeden její bod M = [2; 0; — 1], střed S = [0; 0; —1] a její průnik s rovinou z = 0 je kuželosečka k : x2 — Axy — 1 = 0. { K : x2 + 3z2 — Axy + 6z — 1 = 0 } 27. Cvičení 154 27.14. Je dána kvadrika K : 2x2 — 3y2 - z2 + Axy + 6xz — 8yz + 2x — 8y — liz — 2 = 0. Určete průměrovou rovinu: a) Sdruženou se směrem ((1; —3; 2)). b) Procházející body Pi = [0; 0; 1], P2 = [3; —1; 1]. Určete také směr s ní sdružený. c) Rovnoběžnou s rovinou p : 2x — y + 3z + 7 = 0. d) Obsahující přímku p : X = [3; 0; —1] + í(2; 5; 3). { a) cr : 2x + 3y + 13z + 2 = 0, b) a : 2x + 6y - 5z + 5 = 0, ((91; 156; -136)), c) a : 2x - y + 3z - 2 = 0, d) a : 16x - 19y + 21z - 27 = 0 } 27.15. Určete přímku g polárně sdruženou s přímkou p vzhledem ke kvadrice K : x2 + 4y2 - 9z2 + 2x - 8y - 31 = 0 : 'á) p : x — y — 7 = 0, y — 3z + 8 = 0, b) jo : x + 2y - 1 = 0, 4y + 3z + 2 = 0, c) p : x - 2y - 3z - 3 = 0, 2y + 3z - 2 = 0 . { a) q : x + 18y + 16 — 0, x — 32y — 3z — 3 = 0, přímky jo a q jsou mimoběžné, b) q : x — 2y — 3z — 3 = 0, x — 2y + 3z — 15 = 0, q a jo se protínají v bodě T = [5; —2; 2] ležícím na kvadrice, c) p je tvořící přímka K a je proto polárně sdružená sama se sebou } 27.16. Ukažte, že přímka p = X = [4; —2; 0] + í(6; 3; 2) má vzhledem ke kvadrice K : x2 — 4xy + 6yz + 2x — 5 = 0 asymptotický směr, tj. p protíná K v jejím nevlastním bodě. { V homogenních souřadnicích zjistíme, že průnikem přímky p a kvadriky K je vlastní bod (54; —75; —34; 12) a nevlastní bod (6; 3; 2; 0) } 27.17. Určete asymptotickou kuželovou plochu kvadriky K: a) K : x2 + y2 + z2 + 2xy + 6xz — 2yz + 2x — 6y — 2z = 0, b) K : 9x2 + 36y2 + 4z2 - 72x + 24z - 144 = 0 , c) K : 2x2 + 6y2 + 2z2 + 8xz - 4x - 8y + 3 = 0 . { a) Reálná kuželová plocha x2 + y2 + z2 + 2xy + 6xz — 2yz + 2x - 6y - 2z + 1 = 0, b) imaginární kuželová plocha 9x2 + 36y2 + 4z2 — 72x + 24z - 180 = 0, c) reálná kuželová plocha x2+3y2+z2+4xz—2x—4y+l = 0} 27. Cvičení 155 27.18. Ukažte, že kuželosečka p : x2 + 4y2 + Axy — 6x — 2y + 3 = 0 v rovině z = 0 je parabola, kuželosečka /i : 4y2 + 4z2 — 10yz — 2y + 2z + 3 = 0v rovině x = 0 je hyperbola a kuželosečka e : x2 + 4z2 — 6x + 2z + 3 = 0v rovině y = 0 je elipsa. Dokažte, že tyto kuželosečky leží na kuželové ploše s vrcholem V = [1; 1; 1]. Určete rovnici této kuželové plochy. { K : x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy - 10yz - 6x - 2y + 2z + 3 = 0 } 27.19. Určete afinní typ a normálni rovnici kvadriky K: a) K : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy - 12x + 6y - 9 = 0, b) K :9x2 - 4y2 - 91z2 + 18xz - AOyz - 36 = 0 , c) K : x2 - 2y2 + z2 - Axz + 6yz - 8x + 10y = 0 , d) K : x2 + 25y2 + 9z2 - lOxy + 6xz - 30yz - 2x - 2y = 0 . { a) eliptický paraboloid, x'2 + y'2 + 2z' = 0, b) reálná eliptická válcová plocha, x'2 — y'2 — 1 = 0, c) jednodílný hyperboloid, x'2 — y'2 — z'2 + 1 = 0, d) parabolická válcová plocha, x'2 + 2y' = 0 } 27.20. Pro kvadriky z Cvičení 27.19 určete normovaný polární afinní repér a transformaci afinních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky do normálního tvaru. { a) Například P = [3;f;0], ex = (1;0;0), e2 = (0;0;-y, e3 = (-h i; °)>x = x' - y + 3> y = y + f >z = b) Například P = [0;0;0], ex = (2;0;0), e2 = (0;3;0), e3 = (1;5;-1), x = 2x' - y = 3y' + 15 y! y _ 3 y! c) Například P = [^; 3; §], ei = {^f; 0; ^p), eo - (2Vii. VE. Vil) e„ - ro-O-^S) x - ^x' 2vTl„,/ i 14 _ VIT,/ i q _ 2yTl / i \/ll„./ i VŤl i 1 y + 3 ' y - VŠ V Z _ V3 X + ^y + V3 Z +3' d) Například P = [0;0;0], ex = (±;-±;0), e2 = (-IH;o), ^-3 ( 2i 2i 1)) g-^ gž/ 2Z ' 2/ 6*^ 6^/ 2Z ' Z = z' } V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému ortonormálnímu repéru v euklidovském prostoru. 27.21. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kvadriky K: a) K :2x2 + 2y2 - 5z2 + 2xy - 2x - 2y - Az + 2 = 0 , 27. Cvičení b) K : 7x2 + 6y2 + 5z2 - Axy - Ayz - 6x - 24y + 18z + 30 = O , c) K : x2 + y2 + 5z2 — 6xy — 2xz + 2yz — 6x + 6y — 6z + 9 = O, d) K : x2 + y2 - 3z2 - 2xy - 6xz - 6yz + 2x + 2y + 4z = O, e) K : 5x2 + 8y2 + 5z2 + 4xy - 8xz + 4yz — 27 = O , f) K : 6x2 - 2y2 + 6z2 + Axz + 8x - 4y - 8z + 1 = O , g) K : 4x2 + 5y2 + 6z2 - 4xy • ly: • Ir • (iy • 1: 27 0. h) K : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy — 12x + 6y — 9 = O . { a) A3 + A2 - 17A + 15 = 0; Ai = 1 odpovídá ux = (1; —1; 0), A2 = 3 odpovídá U2 = (1; 1; 0), A3 = —5 odpovídá u3 = (0;0;1), b) A3 - 18A2 - 99A - 162 = 0; X1 = 3 odpovídá ui = (1; 2; 2), A2 = 6 odpovídá u2 = (2; 1; -2), A3 = 9 odpovídá u3 = (-2; 2;-1), c) A3 - 7A2 + 36 = 0; X1 = 3 odpovídá ux = (1; -1; 1), A2 = 6 odpovídá U2 = (—1; 1; 2), A3 = —2 odpovídá u3 = (1;1;0), d) A3 + A2 - 24A + 36 = 0; Ai = 2 odpovídá ux = (1; —1;0), A2 = 3 odpovídá u2 = (—1; — 1; 1), A3 = —6 odpovídá u3 = (1;1;2), e) A3 — 18A2 + 81A = 0; Ai^ = 9 odpovídá dvoudimenzi-onální podprostor hlavních směrů L((l; 2; 0), (—4; 2; 5)), A3 = 0 odpovídá U3 = (—2; 1; —2), f) A3-10A2+8A+64 = 0; X1 = 8 odpovídá ^ = (1; 0; 1), A2 = 4 odpovídá U2 = (1;0;—1), A3 = —2 odpovídá u3 = (0;1;0), g) A3 - 15A2 + 66A - 80 = 0; Ai = 8 odpovídá ux = (1; -2; -2), A2 = 5 odpovídá u2 = (-2; 1; -2), A3 = 2 odpovídá u3 = (-2;-2; 1), h) A3 — 10A2 + 25A = 0; Ai^ = 5 odpovídá dvoudimen-zionální podprostor hlavních směrů L((l; 2; 0), (0; 0; 1)), A3 = 0 odpovídá U3 = (—2; 1; 0) } 27.22. Určete hlavní roviny kvadrik ze cvičení 27.21. { a) x - y = 0, 3x + 3y - 2 = 0, 5z + 2 = 0, b) x+2y+2z-3 = 0, 2x+y-2z-6 = 0, 2x-2y+z+3 = 0, 27. Cvičení 157 c) x — y + z — 3 = 0, x — y — 2z = 0, x + y = 0, d) x — y = 0, x + y — z = 0, x + y + 2z — 1 = 0, e) dvojnásobnému hlavnímu číslu odpovídá svazek hlavních rovin se základními rovinami x + 2y = 0, 4x — 2y — 5z = 0, nulovému hlavnímu číslu odpovídá nevlastní singulární bod kvadriky a odpovídající hlavní roviny jsou 2x - y - 2z + c = 0, kde c G R í) x + z = 0, x- z + 2 = 0, y+ 1 = 0, g) x-2y-2z-l = 0, 2x-y+2z+l = 0, 2x+2y-z+4 = 0, h) dvojnásobnému hlavnímu číslu odpovídá svazek hlavních rovin se základními rovinami x + 2y = 0, z = 0, polární rovina nevlastního bodu směru ((—2; 1;0)) je nevlastní } 27.23. Určete parametrické rovnice os kvadrik ze cvičení 27.21. { a) Oi : x = |, y = |, z = t — |, o2 : x = | + í, y = §+í, z = — |, 03 : x = | + í, y = |— t, z = — |, b) oi : x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = -1 + 2t, o2 : x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = -1 - 2t, o3 : x = 1 - 2t, y = 2 + 2í, z = -1 - t, c) oi : x = 1 + t, y = —1 — t, z = 1 + t, o2 : x = 1 — t, y = -1 + t, z = l + 2t, o3 : x = 1+t, y = -1 + t, z = 1, d) o\ : x = t, y = t, z = 2t, o2 : x = t, y = t, z = | — t, 03 : x = I — t, y = t, z = |, e) osa svazku hlavních rovin odpovídajících dvojnásobnému hlavnímu číslu kvadriky je osa kvadriky o : x = 2t, y = —t, z = 2t, dále je osou kvadriky (osou symetrie) každá přímka, která kolmo protíná osu o f) Oi : x = —1, y = —1 +1, z = 1, o2 : x = —1 + t, y = —1, z = 1 + t, 03 : x = —1 + t, y = —1, z = 1 — t, g) Oi : x = — 1 — 2t, y = — 1 — 2t, z = t, o2 : x = 1 — 2t, y = t, z = -2 - 2í, o3 : x = -1 -1, y = -1 + 2í, z = 2í, h) jediná osa o : x = —2í, y = í, z = 0 } 27.24. Určete souřadnice vrcholů kvadrik ze cvičení 27.21. { a) Dva reálné vrcholy A = [|; |; B = ~4 a dvě dvojice komplexně sdružených vrcholů C = p^jái; ^Af; -§], C = r V5-4i. Vf^ái. _2] L 3VŠ ' 3a/5 ' 5J' 7-) _ ľ i 1 4i . 1 _ Ai . _2] 7-) _ \1 _ _4i_. 1 1 4i . _2] ~ L3 Vl5' 3 VTŠ' 5J' _ L3 ^'3^715' 5J' 27. Cvičení 158 b) šest reálnych různých vrcholů V\ = \3+V2. 6+2V2. -3+2^1 y \3-V2. 6-2V2. -3-2V2"] i 3 ' 3 ' 3 J' ^2 L 3 ' 3 ' 3 J' V3 = [f; 5;-f], = [5; §;-§], ^5 r3y^J+2^. 6VŠ-2V2. -3V3+V21 L 3vH ' 3vH ' 3vH J' t/ _ r3\/3-2\/2. 6^+2^. -3V^-\/2i ^6 L 3^/3 ^ 3^/3 3v^ J) c) jediný vrchol (singulární bod) V = [1; —1; 1], L 6 ' 6 ' 3J y _ ri-aya. i+aya. 11 y _ rl—2\/3. I;_._. . y2 — [ g , g i 3j1 v3 — [ g > g 1 3 . V4 = [1+g^3~; 1+2v^; ^% a jedna dvojice komplexně sdružených vrcholů V5 = [±±|^; ±±|^; ±±3^], T? — rl-ň/5. l-n/Ši e) každý vlastní bod kvadriky může být považován za její vrchol, f) čtyři různé reálné vrcholy V\ = [~4^^; —1; 4+^], V2 = [=±&; -1; U3 = [=^; -1; y^ _ j- -4-V1Ô. 4+v/iôj^ a jec[na dvojice komplexně sdružených vrcholů V5 = [-1; ~2+2^; 1]; y5 = [-1;^±°;1], g) šest reálných různých vrcholů Vi = [—|; — |; |], d) čtyři různé reálné vrcholy V\ = [1+3^■ L^/Ř- II -i-3\/3. i+3yj. 11 t/ _ 1I-2VŠ. 1-2VŠ. 1+yjši T/ — ľ8. 8. 4n t/ _ r-15-8V10. -15+4V10. -8VIO1 V2 - [3, 3, -3J, Yä - L-15-' -15-' "TŠ-J> t/ _ r-15+8vTÔ. -15-4yTÔ. 8VTÔ1 t/ _ r 5. 1. 4l ^ - L iš , iš , —J, ^6 - [-3, 3, 3J, h) jediný vrchol V = [-JL;JL;0]} 27.25. Určete kanonické rovnice kvadrik ze cvičení 27.21 a určete jejich typ. { a) x2 + 3y2 — 5z2 + f§ = 0; dvojdílný hyperboloid, b) 3x2 + 6y2 + 9z2 — 6 = 0; reálný elipsoid, c) 3x2 + 6y2 — 2z2 = 0; reálná kuželová plocha, d) 2x2 + 3y2 — 6z2 — 3 = 0; jednodílný hyperboloid, e) x2 + y2 — 3 = 0; reálná eliptická válcová plocha (rotační), f) 8x2 + 4y2 — 2z2 — 5 = 0; jednodílný hyperboloid, g) 8x2 + 5y2 + 2z2 — 32 = 0; reálný elipsoid, h) 5x2 + 5y2 + 6\/5 z = 0; eliptický (rotační) paraboloid } 27.26. Určete ortogonální transformace, které převádějí rovnice kvadrik ze cvičení 27.21 na kanonický tvar. 27. Cvičení 27'.27'. Určete tečné roviny jednodílného hyperboloidu 2 2 2 xz yz zz 36 + 9" ~ T ~ ' které obsahují přímku p. Určete také body dotyku: a) p : x — y — 9 = 0, y — 3z + 9 = 0 , b) p : x + 2y = 0, 4y + 3z + 6 = 0, c) p : x — 2y — 3z — 6 = 0, 2y + 3z = 0 . { a) n : 3x - 2y - 3z - 18 = 0; Tx = [6; -1; §], r2 x — 3z = 0 je asymptotická rovina, T2 je nevlastní bod směru ((3; 0; 1)), b) p se dotýká kvadriky v bodě T = [6;—3; 2], tečná rovina v bodě T je r : x — 2y — 3z — 6 = 0, c) p je tvořící přímka K a tečné roviny v bodech p tvoří svazek rovin s osou p } 27. Cvičení 160 27.28. Určete rovnici kuželové plochy s vrcholem V = [1;0; —1] a řídící kuželoseč- 2 2 2 x y z kou, která je průnikem kvadriky K : — + — —-— 1 = 0 s rovinou p : x + y = 0. { 180x2 + 155y2 + 36z2 + 360xy + 72xz + 72yz - 288x -288y + 144 = 0 } Seznam použité literatury 161 Seznam použité literatury 1. B. T. Ba3biJieB, CôopuuK 3adan no zeoMempuu, MocKBa 1980. 2. M. Berger, Geometrie 1-5, Paris 1977. 3. L. Bican, Lineární algebra, SNTL, Praha 1979. 4. B. Bydžovský, Úvod do analytické geometrie, Praha 1956. 5. O. H. IlyôepômiJiep, 3adanu u ynpaotcHeHUH no auajiumuHecKou zeo- Mempuu, MocKBa 1957. 6. P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, skriptum MU, Brno 1997. 7. A. B. KjieTemiK, CôopuuK 3adan no auajiumuHecKou zeoMempuu, Moc- KBa 1986. 8. A. T. Kypoiii, Kype eucmeu ajizeôpu, MocKBa 1959. 9. A. H. MajibH,eB, Ochogu jiuueuHou ajizeôpu, MocKBa 1948. 10. C. JI. neB3Hep, Mneapuaumu u KanoHunecKue ypaetieHiur zunepno-eepxHocmu emopoeo nopsrd'na e n-MepuoM eeKJiudoeoM npo-cmpaHcmee, Publications de ľlnstitut Mathématique, Nouvelle série, 55(69), Beograd 1994, 75-88. 11. H. B. npocKypHKOB, CôopuuK 3ad(iH no AuneuHou a.ňze6pe, MocKBa 1978. 12. M. Sekanina a kol., Geometrie I, Praha 1986. 13. M. Sekanina a kol., Geometrie II, Praha 1988. Rejstřík absolutní invariant kuželosečky, 82 afinní nehomogenní souřadnice, 21 afinní homogenní souřadnice, 21 afinní kanonická rovnice kvadriky, 130 afinní normálni rovnice kuželosečky, 66 afinní normálni rovnice kvadriky, 130 aritmenický základ, 12 aritmetická báze projektivního prostoru, 13 aritmetický nosič, 12 aritmetický zástupce bodu, 12 asymptota kuželosečky, 61 asymptotická rovina, 120 bod dotyku, 50 bod dotyku tečné roviny kvadriky, 116 bod dotyku tečny kvadriky, 115 body v obecné poloze, 13 číselná excentricita kuželosečky, 95 délka hlavní poloosy, 79 délka vedlejší poloosy, 79 délková excentricita elipsy, 92 délková excentricita hyperboly, 93 délky poloos, 79 délky poloos kvadriky, 141 doplňková hyperbola, 79 dvojdílný hyperboloid, 122 dvojice komplexně sdružených různoběž-ných rovin, 127 dvojice komplexně sdružených rovnoběžných rovin, 127 elipsa, 63 elipsoid, 121 eliptický paraboloid, 122 formálně reálná kvadrika, 105 geometrická báze projektivního prostoru, 13 hlavní čísla kvadriky, 135 hlavní čísla kuželosečky, 75 hlavní směr kuželosečky, 73 hlavní směr kvadriky, 135 hlavní vrchol elipsy, 79 hlavní vrchol hyperboly, 79 hlavni rovina kvadriky, 136 hodnost bilineární formy, 26 hodnost kvadratické formy, 30 hodnost kvadriky, 105 hyperbola, 63 hyperbolická válcová plocha, 127 hyperbolický paraboloid, 124 hyperboloid, 121 charakteristická rovnice kvadriky, 135 charakteristická čísla kvadratické formy, 39 charakteristická rovnice kuželosečky, 75 charakteristická rovnice kvadratické formy, 39 charakteristická rovnice matice, 38 ž-tá lineární forma přidružená (asociovaná) k F, 30 imaginární kuželová plocha, 111 imaginární kružnice, 79 imaginární kuželová plocha, 125 imaginární část vektoru, 2 imaginární elipsa, 63 imaginární elipsoid, 121 imaginární eliptická válcová plocha, 125 162 REJSTŘÍK 163 imaginární kulová plocha, 141 imaginární kvadrika, 105 imaginární regulární kuželosečka, 56 invarianty kuželosečky, 81 invarianty kvadriky, 144 jednodílný hyperboloid, 123 komplexní rozšíření, 1 komplexní rozšíření kvadratické formy, 33 komplexní rozšíření reále bilineární formy, 27 komplexní rozšíření reálného afinního pod-prostoru, 7 komplexní rozšíření reálného afinního prostoru, 7 komplexní rozšíření reálného afinního zobrazení, 8 komplexní rozšíření reálného lineárního zobrazení, 5 komplexní rozšíření reálného projektivního prostoru, 104 komplexně sdružený vektor, 3 komplexně sdružený vektorový podpros-tor, 3 kuželosečka singulární, 46 kuželosečka složená, 46 kuželosečka eliptického typu, 63 kuželosečka hyperbolického typu, 63 kuželosečka parabolického typu, 63 kuželosečka regulární, 46 kvadrika, 104 kvadrika eliptického typu, 121 kvadrika hyperbolického typu, 121 kvadrika parabolického typu, 121 lineárně nezávislé body, matice bilineární formy, 25 nepřímkový hyperboloid, 121 nepřímkový paraboloid, 121 nestředová kuželosečka, 59 nestředová kvadrika, 119 nevlastní bod, 20 normální rovnice kuželosečky, 55 normální tvar kvadratické formy, 33 normovaná polární báze, 33 normovaná polární báze kuželosečky, 55 normovaný polární afinní repér, 66 normovaný polární afinní repér kvadriky, 130 nulová bilineární forma, 24 nulová kružnice, 79 nulová kulová plocha, 142 obecné vyjádření podprostorů, 16 ohniska elipsy, 92 ohniska hyperboly, 93 ohniska kuželosečky, 95 ohnisko paraboly, 94 ohnisková rovnice kuželosečky, 95 osa kuželosečky, 75 osa kvadriky, 136 osová rovina kvadriky, 136 parabola, 63 parabolická válcová plocha, 127 paraboloid, 121 parametr kuželosečky, 95 parametr paraboly, 79, 94 parametrické vyjádření podprostorů, 15 pól přímky, 48 pól roviny, 107 polára bodu, 48 polární afinní repér kvadriky, 130 polární rovina, 107 polární rovina, pól roviny, 111 polární trojúhelník kuželosečky, 55 polárně sdružené (konjugované) body vzhledem ke kvadrice, 106 polárně sdružené body vzhledem ke kuželosečce, 47 polárně sdružené přímky vzhledem ke kvadrice, 108 polárně sdružené směry, 119 polárni normovaná báze kvadriky, 113 průměr kuželosečky, 60 průměrová rovina kvadriky, 119 REJSTŘÍK 164 princip duality, 49 singulární vektor bilineární formy, 26 projektivní homogenní souřadnice, 14 singulární vektor kvadratické formy, 30 projektivní prostor, 12 součet (spojení) projektivních podprostorů, projektivní repér, 13 15 projektivní rozšíření reálného afinního pros-střed kuželosečky, 58 toru, protáhlý elipsoid, 142 přímková regulární kvadrika, 114 reálná část vektoru, 2 reálná afinní souřadná soustava, 7 reálná báze, 3 reálná eliptická válcová plocha, 127 reálná kružnice, 79 reálná kuželová plocha, 111 reálná kulová plocha, 141 (reálná) kuželová plocha, 126 reálná regulární kuželosečka, 56 reálná válcová plocha, 127 reálný afinní podprostor, 7 reálný elipsoid, 121 reálný podprostor, 3 reálný zástupce imaginárního vrcholu hyperboly, 79 regulární bilineární forma, 26 regulární bod kuželosečky, 47 regulární bod kvadriky, 106 regulární kvadratická forma, 30 regulární kvadrika, 105 rotační kvadriky, 136 rovnoosá hyperbola, 79 řídící kuželosečka kuželové plochy, 111 řídící přímka kuželosečky, 95 řídící přímka paraboly, 94 sdružené průměry kuželosečky, 60 sedlo, 125 signatura kvadratické formy, 33 singulární bilineární forma, 25 singulární bod kuželosečky, 47 singulární bod kvadriky, 106 singulární kvadratická forma, 30 singulární kvadrika, 105 střed kvadriky, 118 středová kuželosečka, 59 středová kvadrika, 119 středová rovnice kuželosečky, 95 stupeň invariantu kuželosečky, 82 tečná rovina kvadriky, 116 tečna kuželosečky, 50 tečna kvadriky, 115 tvořící přímka kuželosečky, 54 tvořící podprostor kvadriky, 112 vedlejší vrchol elipsy, 79 vedlejší vrchol hyperboly, 79 vlastní bod, 20 vlastní charakteristická hodnota (číslo) matice, 38 vlastní směr matice, 38 vlastní vektor matice, 38 vrchol kuželosečky, 75 vrchol kuželové plochy, 111 vrchol kvadriky, 136 vrcholová rovnice kuželosečky, 95 výstřednost elipsy, 92 výstřednost hyperboly, 93 výstřednost kuželosečky, 95 zobecněná kulová plocha, 141 zobecněné kružnice, 75 zobecněné kulové plochy, 136 zploštělý elipsiod, 142 Autobusová zastávka, Varšava, Polsko Ukázka využití rotačního jednodílného hyperboloidu. Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENI PROSTORU i 1 Komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru .......... 1 2 Komplexní rozšíření reálného afinního prostoru............. 6 3 Cvičení................................... 10 2 PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU 12 4 Projektivní prostory ........................... 12 5 Přechod od projektivního prostoru k afinnímu............. 19 6 Projektivní rozšíření afinního prostoru ................. 20 7 Cvičení................................... 22 3 BILINEÁRNl A KVADRATICKÉ FORMY 23 8 Bilineární formy.............................. 23 9 Kvadratické formy............................. 29 10 Ortogonální transformace kvadratické formy.............. 37 11 Cvičení................................... 40 4 TEORIE KUŽELOSEČEK 45 12 Kuželosečky v projektivní rovině..................... 45 13 Projektivní klasifikace kuželoseček.................... 53 14 Afinní vlastnosti kuželoseček....................... 57 15 Afinní klasifikace kuželoseček ...................... 63 16 Metrické vlastnosti kuželoseček ..................... 72 17 Metrická klasifikace kuželoseček..................... 77 18 Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností............................. 91 19 Cvičení................................... 96 167 OBSAH 168 5 TEORIE KVADRIK 104 20 Kvadriky v projektivním prostoru....................104 21 Projektivní klasifikace kvadrik......................111 22 Tečná rovina................................115 23 Afinní vlastnosti kvadrik.........................117 24 Afinní klasifikace kvadrik.........................121 25 Metrické vlastnosti kvadrik........................134 26 Metrická klasifikace kvadrik.......................139 27 Cvičení...................................150 Seznam použité literatury 161 Rejstřík 162