Příklady k procvičení 1
2. října 2017
1 Rovnice se separovatelnými proměnnými
Řešte následující diferenciální rovnice, nejprve nalezněte obecné řešení, a poté řešení vyhovující
počáteční podmínce. Vždy je y závisle proměnná a x nezávisle proměnná.
Příklad 1.
y = 6y2
x y(1) =
1
25
Řešení 1. Obecné řešení: y = c
1−3cx2 =, c ∈ R
Partikulární řešení: y = 1
28−3x2
Příklad 2.
sin y
cos x
dy = −x dx y(0) = π
Řešení 2. Obecné řešení: cos y = x sin x + cos x + c, c ∈ R
Partikulární řešení: cos y = x sin x + cos x − 2
Příklad 3.
e−y
(1 + y ) = 1 y(0) = 1
Řešení 3. Obecné řešení: y = ln( 1
1+cx ), c ∈ R
Partikulární řešení: y = ln 1
1+( 1
e −1)ex
2 Homogenní rovnice
Mají tvar y = f(y
x ). Pomocí substituce u = y
x , y = u x + u je převedeme na separovatelnou
rovnici. Zadání je totožné jako v předchozích případech.
Příklad 4.
(x2
− y2
) + xyy = 0 y(e) = e2
Řešení 4. Obecné řešení: y2
= 2x2
ln c
x , c ∈ R \ {0}
Partikulární řešení: y2
= 2x2
ln e
3
2
x
Příklad 5.
xy sin
y
x
= y sin
y
x
− x y(e) = 0
Řešení 5. Obecné řešení: x = cecos y
x , c ∈ R
Partikulární řešení: x = ecos y
x .
1