Obsah
Prolog 1
I Obyčejné diferenciální rovnice 11
1 Základní pojmy 13
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exkurs: geometrický přístup a elementární metody řešení diferenciálnch rovnic 17
1.2 Systémy diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1 Vektorové a maticové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2 Vektorová rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Skalární rovnice n-tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Obecné vlastnosti diferenciálních rovnic 29
2.1 Existence a jednoznačnost řešení skalární ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Eulerovy polygony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Frobeniova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Picardova posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Lineární rovnice a systémy 39
4 Autonomní rovnice a systémy 41
II Aplikace 43
5 Makroekonomické modely 45
i
ii OBSAH
Jako základní studijní literaturu k předmětu M5858 lze používat:
1. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001 (druhé vydání), 212
stran.
Teorie obyčejných diferenciálních rovnic probraná důkladněji, než je v sylabu předmětu
M5858.
2. J. Diblík, M. Růžičková: Obyčajné diferenciálne rovnice. EDIS, 2008.
Úvod do studia základů teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Podrobně jsou probírány
zejména lineární rovnice a systémy.
3. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1998, 96 stran.
Popis některých elementárních metod řešení explicitních obyčejných diferenciálních rov-
nic.
4. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, 29
stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Jako doplňující literaturu lze doporučit
• P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney,
1964.
Klasická monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• L. Perko: Differential Equations and Dynamical szstems. Springer, New York-BerlinHedelberg,
2001.
Moderněji pojatá monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• J. R. Brannan, W. E. Boyce: Differential Equations. An Introduction to Modern Methods
and Applications. Wiley&Sons, 2015.
Moderní učebnice s mnoha řešenými příklady.
• J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Je obsáhlejší než
skripta 3
• E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche
Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
• J. Kalas, Z. Pospíšil: Spojité modely v biologii. MU, Brno 2001, 265 stran.
Doplňky k teorii autonomních systémů, aplikace diferenciálních rovnic především v populační
dynamice a teorii šíření epidemií.
• P. N. V. Tu; Dynamical Systems: An Introduction with Applications in Economics and
Biology. Springer, 1995.
Monografie o dynamických systémech (autonomní diferenciální a diferenční rovnice)
s aplikacemi.
OBSAH iii
• N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer, London-Berlin-Heidelberg-New
York-Hong Kong-Milan-Paris-Tokio, 2003 (second printing).
Učebnice deterministických modelů v biologii; první tři kapitoly obsahují aplikace probírané
v rámci předmětu M5858.
• G. Gandolfo: Economic Dynamic. Springer, 2010.
Obsahuje rozmanité matematické metody použitelné v dynamickou ekonomii, nejen diferenciální
rovnice.
• R. J. Barro, X. Sala-i-Martin: Economic growth. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts-London,
England, 1999.
Aplikace obyčejných diferenciálních rovnic v ekonomii vykládané jiným způsobem než
v předchozí monografii.
Prolog
Nejprve se podíváme na několik zjednodušených modelů nějakých reálných procesů. Na nich
potom ukážeme, čím se tento text, a tedy předmět M5858, zabývá.
Samočištění jezera
Představme si jezero, do kterého přitéká a ze kterého odtéká voda tak, že se jeho objem
nemění. Přitom proudění je dostatečně rychlé, aby voda byla stále dokonale promíchaná.
Odpařování vody z jezera a déšť mají na množství vody v jezeře zanedbatelný vliv.
V jistém okamžiku se do jezera dostane nějaké znečištění. Znečisťující látka (polutant)
je ve vodě rozpustná nebo je tvořena malými částicemi, které mají zhruba stejnou hustotu
jako voda. Za takové situace se látka v jezeře rovnoměrně rozptýlí, její koncentrace bude
v každém okamžiku konstantní a postupně se z jezera odplaví. Chceme tento proces popsat
kvantitativně.
Označme V objem jezera a v rychlost přítoku a odtoku vody; objem V budeme vyjadřovat
v objemových jednotkách (např. m3), rychlost v v objemových jednotkách za jednotku času
(např. m3 / den). Předpokládejme, že na počátku, tj. v čase t = 0, se do jezera dostal polutant
o celkové hmotnosti m; vyjádříme ji v nějakých jednotkách hmotnosti (např. g).
Dále označme x(t) koncentraci polutantu v jezeře v čase t od okamžiku znečištění; koncentraci
budeme vyjadřovat v jednotkách hmotnosti na jednotku objemu vody (tedy např.
g / m3), čas vyjadřujeme ve stejných jednotkách, k nimž je vztažena rychlost v (tedy např. ve
dnech).
Chceme znát koncentraci polutantu v libovolném čase od vzniku znečištění, hledáme tedy
neznámou funkci x nezávisle proměnné t. Koncentrace polutantu na počátku procesu je rovna
x(0) =
m
V
. (1)
Zvolme časový interval tak krátký, že se během něho koncentrace polutantu prakticky nezmění.
Označme délku tohoto časového intervalu ∆t. Za čas ∆t od okamžiku t bude množství
polutantu v jezeře rovno V x(t+∆t). Toto množství se rovná množství polutantu, které, které
bylo v jezeře v čase t, tj. V x(t), zmenšené o množství, které za časový interval délky ∆t odteklo.
Za tento interval z jezera odteče voda o objemu v∆t a v něm bylo zhruba (v∆t)x(t)
polutantu. Celkem dostáváme
V x(t + ∆t) = V x(t) − vx(t)∆t, (2)
nebo po snadné úpravě
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
=
v
V
x(t).
1
2 OBSAH
Za předpokladu, že funkce x je diferencovatelná, můžeme v této rovnosti provést limitní
přechod ∆t → 0 a dostaneme
x′
(t) =
v
V
x(t). (3)
Hledaná funkce x tedy splňuje rovnici (3), v níž je vázána hodnota neznámé funkce a její
derivace. Dále funkce splňuje podmínku (1), v níž je dána hodnota funkce x na počátku
procesu. Nyní můžeme snadno přímým výpočtem ověřit, že funkce daná předpisem
x(t) =
m
V
e− v
V
t
splňuje rovnici (3) i podmínku (1). Je to klesající funkce, pro kterou platí
lim
t→∞
x(t) = 0.
Koncentrace znečisťující látky v jezeře tedy exponenciálně klesá; v libovolném čase od znečištění
je však polutant v jezeře stále přítomný.
Růst populace
Představme si populaci nějakých organismů. Všechny jedince budeme považovat za stejné; je
tedy přiměřenější si představovat bakterie než například obratlovce. Tyto organismy jednak
umírají, jednak dávají vznik novým jedincům. Velikost populace v nějakém okamžiku, na
počátku pozorování, považujeme za známou a budeme se snažit popsat, jak se její velikost
vyvíjí v průběhu času.
Označme tedy x(t) velikost populace v čase t. Tuto velikost můžeme vyjadřovat třeba
v počtu jedinců, v počtu jedinců vztaženém k jednotkové ploše nebo objemu živného média
(tedy jako populační hustotu) a podobně. Časová jednotka může být libovolná, je však vhodné
ji volit tak, aby byla menší než délka života jedince z uvažované populace, ale řádově s ní
srovnatelná. Zvolme nyní časový interval délky ∆t tak krátký, že jedinec, který během něho
vznikl (narodil se, oddělil se od jedince rodičovského), přežije jeho konec; dobu ∆t tedy
považujeme za mnohem kratší, než je doba života jedince. Velikost populace x(t + ∆t) za
časový interval délky ∆t od okamžiku t bude rovna velikosti populace v čase t zmenšené
o uhynulé jedince a zvětšené o jedince nově vzniklé.
Je přirozené předpokládat, že že množství uhynulých jedinců za jednotku času je úměrné
velikosti populace. Koeficient úměrnosti označíme d a nazveme ho úmrtnost (death rate).
Tento koeficient lze také interpretovat, jako klasickou pravděpodobnost, že jedinec během
jednotkového intervalu zemře; platí tedy 0 < d < 1. Za časový interval délky ∆t uhyne část
populace o velikosti dx(t)∆t.
Poněvadž všechny jedince považujeme za stejné, předpokládáme také, že každý jedinec
během jednotkového času vyprodukuje stejný počet potomků. To znamená, že množství nově
vzniklých jedinců za jednotku času je úměrné velikosti populace. Příslušný koeficient úměrnosti
označíme b a nazveme porodnost (birth rate). V živé populaci nějací noví jedinci vznikají,
proto je b > 0. Velikost části populace tvořené jedinci, kteří nově vznikli v časovém intervalu
délky ∆t, vyjádříme tedy součinem bx(t)∆t.
Provedenými úvahami jsme dospěli k rovnosti
x(t + ∆t) = x(t) + bx(t)∆t − dx(t)∆t,
OBSAH 3
kterou můžeme upravit na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= (b − d)x(t).
Budeme předpokládat, že funkce x je diferencovatelná. Tento předpoklad není realistický,
funkce x nabývá hodnot celočíselných (pokud je velikost populace vyjádřena v počtech jedinců)
nebo racionálních (pokud je velikost populace vyjádřena jako populační hustota). Pokud
je ale populace „dostatečně velká , lze diferencovatelnou funkci považovat za přijatelnou
aproximaci velikosti populace měnící se v čase. Za tohoto předpokladu v předchozí rovnosti
provedeme limitní přechod ∆t → 0 a dostaneme rovnici
x′
(t) = (b − d)x(t). (4)
Hledaná funkce tedy opět splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota její derivace.
Na počátku, v čase t = 0, můžeme velikost populace považovat za známou; označíme ji x0, tj.
x(0) = x0. (5)
Opět se snadno přímým výpočtem přesvědčíme, že funkce daná předpisem
x(t) = x0e(b−d)t
splňuje rovnici (4) i podmínku (5). Tato funkce je pro b > d (porodnost větší než úmrtnost)
rostoucí, pro b < d klesající a pro b = d konstantní. Dále platí
lim
t→∞
x(t) =



∞, b > d,
x0, b = d,
0, b < d.
To znamená, že v případě b > d velikost populace exponenciálně roste nade všechny meze1.
Pokud je b < d, populace vymírá a jedině v mezním případě b = d se velikost populace
nemění, zůstává (dynamicky) stálá.
Růst populace v omezeném prostředí
Model růstu populace (4) má v případě b > d (porodnost větší než úmrtnost) řešení, které
exponenciálně roste do nekonečna. To není v konečném světě možné, populace musí narazit na
nějaké „meze růstu . Tyto meze si však nemusíme představovat jako nějakou tvrdou hranici,
na kterou populace při svém růstu narazí. Spíše se jedná o vliv prostředí, o dostupnost zdrojů,
které v něm jsou a podobně. Růst populace se tomuto prostředí nějak přizpůsobuje.
Rovnice (4) přepíšeme ve tvaru
x′(t)
x(t)
= b − d. (6)
Poněvadž derivace funkce x (velikosti populace) vyjadřuje její změnu, můžeme levou stranu
předchozí rovnosti interpretovat jako relativní změnu velikosti populace. A ta je rovna rozdílu
1
Tento výsledek zpopularizoval Thomas Malthus ve své slavné Eseji o principu populace z roku 1798.
Nezískal ho však předvedeným výpočtem, ale empiricky — vyhodnocením údajů o velikosti osídlení nových
území v Severní Americe.
4 OBSAH
porodnosti a úmrtnosti. V prostředí, které považujeme za neomezené, tj. v němž má každý
jedinec dostatek zdrojů pro svůj život a reprodukci, jsou porodnost i úmrtnost konstantní,
jedná se o vnitřní fyziologické charakteristiky populace.
V prostředí, v němž jsou některé zdroje vzácné, mohou porodnost i úmrtnost záviset na
dostupnosti těchto zdrojů. A dostupnost zdrojů závisí na velikosti populace — čím je populace
větší, tím je pravděpodobnost, že se jedinec dostane ke zdroji menší. Porodnost a úmrtnost
populace budou tedy záviset na její velikosti, b = b(x), d = d(x). Označme g(x) = b(x)−d(x).
Pak rovnice (6) přejde na tvar
x′(t)
x(t)
= g x(t) ,
neboli
x′
(t) = x(t)g x(t) . (7)
Výraz g(x) vyjadřuje relativní přírůstek populace o velikosti x. Nazývá se růstový koeficient.
Je-li populace malá, zdrojů prostředí na jedince je dostatek a jedinec má dost energie pro
reprodukci; porodnost je tedy velká. Je-li populace velká, zdrojů na jedince je málo a ten
je proto schopen vyprodukovat jen málo potomků, pokud vůbec nějaké; porodnost je malá.
Navíc velká populace produkuje mnoho zplodin svého metabolismu, tyto odpadní produkty
bývají pro jedince toxické, proto je úmrtnost velká, může být i větší než porodnost. Z těchto
úvah můžeme učinit závěr, že růstový koeficient malé populace je malý, dokonce záporný.
Přesněji řečeno, funkce g definovaná na intervalu [0, ∞) by měla mít vlastnosti
g(0) = r > 0, lim
x→∞
g(x) < 0.
Budeme-li funkci g navíc považovat za spojitou a monotonní, bude existovat taková hodnota
K > 0, že g(K) = 0 a (x − K)g(x) < 0 (funkce g je na intervalu [0, K) kladná a na intervalu
(K, ∞) záporná).
Nejjednodušší funkce, která má tyto vlastnosti je funkce lineární
g(x) = r 1 −
x
K
.
Rovnice (7) tak získá konkrétní tvar
x′
(t) = rx(t) 1 −
x(t)
K
. (8)
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce x daná předpisem
x(t) =
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
vyhovuje rovnici (8) i podmínce (5). Pokud je x0 < 1
2K, pak funkce x v pravém okolí nuly
roste a je konvexní. V jistém čase t1 populace dosáhne velikosti 1
2K a její růst se zpomalí, tj.
funkce x bude na intervalu (t1, ∞) konkávní.
Pokud je x0 > K, pak funkce x je konvexní a klesající. V případě x0 = K je funkce x
konstantní. V každém případě platí
lim
t→∞
x(t) = lim
t→∞
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
= K;
velikost populace se v průběhu času ustálí na hodnotě K, pokud tuto hodnotu nemá již od
začátku. Veličinu K můžeme nazvat kapacita nebo úživnost prostředí.
OBSAH 5
Růst majetku
Představme si naivního člověka, který má nějaký majetek v penězích. Jeho naivita se projevuje
představou, že v bance se budou jeho peníze nějak samovolně množit, proto je uloží. Úrok
(podle reklamních materiálů výhodný) je stanovován podle aktuálního ceníku banky. Budeme
chtít popsat, jak se v průběhu času hodnota uvažovaného majetku mění.
Označme proto x = x(t) velikost majetku v čase t. Ta je vyjádřena v nějaké peněžní
jednotce, čas budeme udávat v rocích. Počáteční velikost majetku označíme x0, tedy
x(0) = x0. (9)
K uložené částce banka připisuje úrok. Jeho nominální velikost se mění, je určena aktuální
situací na trhu bankovních služeb a úrokovou sazbou centrální banky, tedy výkonností ekonomiky.
Reálná velikost úroku je oproti nominální menší o inflaci a bankovní poplatky. Označme
reálnou úrokovou míru v čase t symbolem p(t). Tato veličina bývá vyjádřena v procentech za
rok. Úroková míra se nemění plynule, k její změně dochází jen v určitých časových okamžicích.
Proto budeme funkci p nezávisle proměnné t považovat za funkci po částech konstantní. V bodech
skoku funkce r nemusí být definována, z technických důvodů ji však budeme definovat
tak, aby byla spojitá zprava v každém bodě svého definičního oboru, tj. intervalu [0, ∞).
Po uplynutí časového intervalu s levým krajním bodem t, který má délku ∆t tak malou,
že se v jeho průběhu úroková míra nezmění, bude hodnota majetku rovna její hodnotě na
začátku tohoto intervalu změněná o hodnotu reálného (nikoliv připsaného) úroku za tento
časový interval, tj.
x(t + ∆t) = x(t) +
p(t)
100
x(t)∆t.
Tuto rovnost upravíme na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= 1
100p(t)x(t)
a provedeme limitní přechod ∆t → 0. Dostaneme rovnici
x′
(t) = 1
100p(t)x(t), (10)
v níž je vázána hodnota derivace hledané funkce x a hodnota této funkce.
Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že funkce x splňující rovnici (10) a podmínku
(9) je dána výrazem
x(t) = x0e
1
100
t
0
p(τ)dτ
.
Ještě poznamenejme, že funkce po částech spojitá je integrabilní a tedy funkce x je zadána
korektně.
Z vyjádření majetku x v čase t od začátku (od uložení do banky) vidíme, že za tento čas
se majetek zvětší, resp. zmenší, pokud platí nerovnost
t
0
p(τ)dτ > 0, resp.
t
0
p(τ)dτ < 0,
tj. pokud nominální úroková míra je v průběhu času převážně větší, resp. menší, než inflace
a poplatky; v reálné ekonomice patrně nastane druhý případ.
6 OBSAH
Chladnutí kávy
V místnosti je pokojová teplota. Uvaříme si kávu a nalijeme ji do hrnku, nebo v hrnku zalijeme
mletou kávu vroucí vodou. Hrnek má tepelně izolované stěny i dno, neprobíhá přes ně žádná
výměna tepla. Hrnek nemá žádnou pokličku, hladina kávy není od okolního prostředí nijak
izolovaná. Za takové situace lze očekávat, že káva v hrnku bude chladnout. Navíc teplá káva (a
kapalina obecně) má menší hustotu, než chladná a to znamená, že ochlazená káva od hladiny
klesá a teplá káva ze dna stoupá k hladině. Tímto procesem se káva v hrnku promíchává,
takže její teplotu můžeme považovat za stejnou v celém objemu.
Chceme popsat vývoj teploty kávy v průběhu času. Za tímto účelem označíme x = x(t)
teplotu kávy v čase t; čas je vhodné uvádět v minutách, teplotu ve stupních Celsia. Teplotu
v místnosti označíme T a také ji budeme uvádět ve ◦C. Výměna tepla mezi kávou a prostředím
probíhá přes hladinu. Označíme její obsah S; můžeme ho vyjádřit v cm2.
Experimentálně byl ověřen Newtonův zákon chladnutí: zmenšení teploty za krátký časový
interval je úměrné rozdílu teplot, obsahu plochy přes kterou výměna tepla probíhá a času, po
který chladnutí probíhá. Příslušný koeficient označíme κ; při zvolených jednotkách bude mít
rozměr cm−2min−1. Označíme-li délku časového intervalu ∆t, bude mít tento zákon tvar
x(t + ∆t) − x(t) = κS x(t) − T ∆t.
Po vydělení výrazem ∆t a limitním přechodu ∆t → 0 dostaneme rovnici
x′
(t) = κS x(t) − T . (11)
Opět se jedná o rovnici vyjadřující vztah funkční hodnoty a derivace hledané funkce.
Na začátku děje byla káva vařící, její teplota byla 100◦C, tj.
x(0) = 100. (12)
Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že funkce daná předpisem
x(t) = T + (100 − T)e−κSt
vyhovuje rovnici (11) i podmínce (12). Jedná se o funkci, která exponenciálně klesá od hodnoty
100◦C k pokojové teplotě T. Teplota kávy se „velice rychle vyrovnává s teplotou místnosti,
v konečném čase ale až na tuto teploty neklesne.
Dynamika mezd a zaměstnanosti
Richard M. Goodwin sestavil ve druhé polovině šedesátých let minulého století matematický
model třídního boje. S použitím méně ideologické terminologie se jedná o model časového
vývoje mezd a zaměstnanosti, ve kterém lze pozorovat vznik hospodářských cyklů. Jeho podrobné
odvození bude uvedeno v kapitole 5, zde pouze naznačíme výsledek.
Jedna makroekonomická charakteristika, která v modelu vystupuje je relativní zaměstnanost
l (práce, labor) vyjádřená jako podíl zaměstnaných v celkovém množství práceschopného
obyvatelstva; jedná se tedy o bezrozměrnou veličinu. Druhá je průměrná mzda w (wage) vyjádřená
v peněžních jednotkách. Obě tyto veličiny se v čase mění, tedy l = l(t), w = w(t);
tyto funkce budeme považovat za diferencovatelné. Časová změna zaměstnanosti mezd je pak
vyjádřena jako derivace těchto funkcí.
OBSAH 7
Jedním „ekonomickým zákonem je skutečnost, že při vysoké mzdě (tj. při vysoké garantované
minimální mzdě) zaměstnanost klesá (zaměstnavatelům se nevyplatí zaměstnávat
drahé pracovníky); naopak, při nízké průměrné mzdě zaměstnanost roste. Odtud plyne, že
existuje nějaká „rovnovážná úroveň mezd, při níž se zaměstnanost nemění. Tuto myšlenku
vyjádříme přesněji.
Za „změnu zaměstnanosti budeme považovat relativní změnu zaměstnanosti l, tedy hodnotu
l′(t)/l(t). Její pokles s růstem hladiny mezd budeme specifikovat zjednodušujícím předpokladem,
že tato hodnota závisí na průměrné mzdě lineárně, přičemž tato lineární funkce je
klesající, tedy
l′(t)
l(t)
= γ − σw(t), (13)
kde γ a σ jsou kladné parametry; σ vyjadřuje „citlivost změny zaměstnanosti na růst mezd,
γ vyjadřuje relativní růst zaměstnanosti při hypoteticky nulové mzdě. Parametr γ má rozměr
1/čas, parametr σ má rozměr 1/(čas · peněžní jednotka), hodnota γ/σ je „rovnovážná
hladina mezd.
William Phillips na základě údajů o nominální mzdě a zaměstnanosti v Británii v letech
1861–1957 vypozoroval závislost změny průměrné mzdy na zaměstnanosti; tato závislost není
lineární, je vyjádřena známou Phillipsovou křivkou. S rostoucí zaměstnaností roste mzda (pokud
chce hospodář při téměř úplné zaměstnanosti najít mezi práceschopným obyvatelstvem
nějakého práceochotného, musí ho přeplatit), naopak při malé zaměstnanosti mzda klesá (mezi
hladovějícími nezaměstnanými jsou lidé ochotní pracovat za alespoň nějakou mzdu). Přesněji,
za změnu mzdy budeme považovat změnu relativní a vyjádříme ji rovností
w′(t)
w(t)
= ϕ l(t) − α, (14)
kde ϕ je rostoucí spojitá funkce definovaná na intervalu (0, 1), která má vlastnost
lim
l→0+
ϕ(l) < 0, lim
l→1−
ϕ(l) > 0;
limity připouštíme i nevlastní. Parametr α vyjadřuje hodnotu Phillipsovy křivky při „rovnovážné
úrovni mezd. Veličiny α i ϕ mají rozměr „čas−1 .
Rovnice (13) a (14) můžeme přepsat ve tvaru systému
l′(t) = l(t) γ − σw(t) ,
w′(t) = w(t) ϕ (l(t) − α ,
(15)
v němž jsou vzájemně provázány hodnoty derivace neznámých funkcí l, w a jejich funkční
hodnoty.
Zákon síly
Isaac Newton definoval sílu pomocí jejího účinku na pohyb tělesa, její velikost zavedl jako
součin hmotnosti tělesa a uděleného zrychlení. Tento postulát budeme precizovat pro velice
jednoduchou situaci. Místo tělesa si budeme představovat abstraktní „hmotný bod , tj. těleso
o stejné nenulové hmotnosti m ale o nulovém objemu. Dále si budeme představovat, že tento
hmotný bod se může pohybovat pouze po přímce. Tuto přímku prohlásíme za souřadnou
osu, tj. zvolíme na ní počátek a orientaci. Polohu hmotného bodu pak vyjádříme jako jeho
8 OBSAH
souřadnici x; přitom je x reálné číslo. Poněvadž hmotný bod se pohybuje, jeho poloha je
v každém okamžiku jiná, souřadnice závisí na čase, x = x(t). Rychlost pohybu je ve fyzice
definována jako relativní změna polohy vztažená k času. Změnu polohy za krátký časový
interval délky ∆t vyjádříme rozdílem x(t + ∆t) − x(t), tedy rychlost v uvažovaném časovém
intervalu je zhruba rovna
v(t) ≈
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 dostaneme přesně v(t) = x′(t).
Zrychlení je analogicky definováno jako relativní změna rychlosti vzhledem k času, tedy
zrychlení v uvažovaném krátkém časovém intervalu je zhruba rovno
a(t) ≈
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 přesně a(t) = v′(t) = x′′(t).
Na hmotný bod působí síla F, která nemusí být stejná v každém místě. Její velikost tedy
závisí na poloze, tj. na souřadnici bodu, F = F(x) nebo podrobněji F = F x(t) . Postulovaný
vztah mezi hmotností m hmotného bodu, jeho zrychlením a a působící silou F je
F = ma,
se zahrnutím času
F x(t) = ma(t) = mx′′
(t),
takže
x′′
(t) =
1
m
F x(t) . (16)
Časově proměnná poloha bodu tedy splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota
její druhé derivace.
Shrnutí
Všechny matematické modely, které jsme výše sestavili, měly dvě společné vlastnosti:
• Ve všech jsme předpokládali, že čas plyne spojitě, je neomezeně dělitelný. Techničtěji
vyjádřeno, časový okamžik t je prvkem intervalem [0, ∞) ⊆ R a je možné provádět
limitní přechod ∆t → 0; přitom ∆t reprezentuje časový krok, délku krátkého časového
intervalu. Okamžik t = 0 v modelech označoval začátek procesu a v tomto okamžiku
většinou byl znám stav procesu (1), (5), (9), (12); výjimkou jsou poslední dva modely,
u kterých jsme však nenašli (ani nehledali) žádné řešení.
• Modelovaný proces byl vyjádřen nebo aproximován nějakou diferencovatelnou funkcí
času x = x(t) (v případě modelu změn mezd a zaměstnanosti dvojicí diferencovatelných
funkcí l = l(t), w = w(t)). Model představovala rovnice (nebo soustava rovnic) ve které
byla vázána hodnota derivace hledané funkce (hledaných funkcí) podle času v jednom
časovém okamžiku a její funkční hodnota v témže okamžiku; v modelech (3), (4), (7),
(8), (10), (11), (15) byla derivace první, v modelu (16) druhá.
OBSAH 9
Rovnice, v nichž vystupuje neznámá funkce jedné reálné proměnné a její derivace, se
nazývají diferenciální, podrobněji obyčejné diferenciální rovnice. Budou základním objektem,
kterým se budeme zabývat. Jak ukazuje ekonomický model (15) nevystačíme s jednou rovnicí,
a jak ukazuje fyzikální model (16) můžeme potřebovat i vyšší derivace, než první.
Název „diferenciální rovnice má původ v tradiční symbolice. Např. rovnici (2) můžeme
přepsat ve tvaru
V x(t + ∆t) − x(t) = −vx(t)∆t,
neboli
V ∆x(t) = −vx(t)∆t,
v níž vystupuje konečný přírůstek hledané funkce x a přírůstek nezávisle proměnné t. Pokud
přírůstky budeme považovat za infinitesimální, tj. za „nekonečně malé , poslední rovnice
dostane tvar
V dx(t) = −vx(t)dt,
což je rovnice, v níž vystupují diferenciály dx a dt hledané funkce a její nezávisle proměnné.
Ještě můžeme připomenout, že obyčejnou derivaci v tradiční symbolice zapisujeme
x′
(t) =
dx
dt
(t) nebo stručně x′
=
dx
dt
;
tento způsob zápisu je výhodný zejména v situacích, kdy ve formulích vystupuje hledaná
funkce x, nikoliv její funkční hodnota x(t) (což bude často), nezávisle proměnná v nich není
explicitně uvedena, a přitom potřebujeme nějak označit nezávisle proměnnou.
Máme-li diferenciální rovnici, chceme znát její řešení, nejlépe v explicitním tvaru. Pro
rovnice (3), (4), (8), (10) a (11) jsme takové řešení napsali. Hledání explicitních řešení diferenciálních
rovnic je věnován exkurs v sekci SecODR1r a v rámci předmětu M5858 také
samostatný text.
Řešení v explicitním tvaru však nelze nalézt vždy, u systémů rovnic jsou dokonce explicitní
řešení dosti vzácná. V takovém případě chceme alespoň znát, zda řešení dané nebo sestavené
rovnice existuje, zda je jediné nebo jich je víc, případně na jakém intervalu je řešení definováno.
Pokud rovnice má modelovat nějaký skutečný proces, nemůžeme znát úplně přesně hodnoty
všech parametrů rovnice, stav procesu na počátku a podobně. V takovém případě je dobré
vědět, zda drobná chyba v parametrech nebo počáteční podmínce řešení neznehodnotí. O této
problematice pojednává kapitola 2.
V obecném modelu růstu populace v omezeném prostředí (7) neznáme konkrétní tvar
pravé strany, postulujeme jen nějaké vlastnosti funkce g. Podobně u ekonomického modelu
(15) také neznáme přesný tvar pravé strany druhé rovnice, známe jen nějaké vlastnosti funkce
ϕ, která na ní vystupuje. A přesto potřebujeme i v těchto případech něco o průběhu řešení
vědět. Nelze očekávat, že z „neurčité rovnice získáme přesné kvantitativní informace, ale
můžeme se dozvědět alespoň nějaké vlastnosti řešení vyjádřené kvalitativně, např. zda je
funkce x rostoucí, klesající, ohraničená, má limitu v nevlastním bodě a podobně. Některé
základní poznatky z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic jsou uvedeny v kapitole 4.
Podívejme se ještě jednou na rovnice (3), (4), (10) a (11). Všechny čtyři lze zapsat v jednotném
tvaru
x′
(t) = a(t)x(t) + c(t); (17)
v rovnici (3) je funkce a(t) ≡ r/V , v rovnici (4) je a(t) ≡ b−d, v rovnici (10) je a(t) = 1
100 p(t) a
v rovnici (11) je a(t) ≡ κS, v rovnici (11) je c(t) ≡ κST, v rovnicích (3), (4) a (10) je c(t) ≡ 0.
10 OBSAH
Rovnice tvaru (17) se nazývají lineární. V rovnici (11) člen c(t) = κST vyjadřoval vliv
okolního prostředí na popisovaný proces (teplotu místnosti, v níž probíhá chladnutí kávy), ve
zbývajících modelech jsme žádné „okolí popisovaného procesu neuvažovali. Proto se lineární
rovnice s c ≡ 0 nazývají homogenní (stejnorodé; celý proces se „rodí z jednoho „zdroje , nic
vnějšího nebo cizího ho neovlivňuje), rovnice s nenulovým členem c se nazývá nehomogenní.
Ve všech uvedených řešeních se vyskytovala přirozená exponenciální funkce. Později uvidíme,
že množina řešení lineární rovnice (nebo systému lineárních rovnic) má také „pěkné
algebraické vlastnosti — může tvořit konečněrozměrný vektorový prostor. Navíc se lineární
rovnice často vyskytují v aplikacích, nebo bývají prvním přiblížením se k modelu zkoumaného
procesu. Z těchto důvodů se lineárními rovnicemi zabývá samostatná kapitola 3.
Část I
Obyčejné diferenciální rovnice
11
Kapitola 1
Základní pojmy
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu
Převážně budeme pracovat s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, kterou označíme t;
v dynamických modelech totiž nezávisle proměnná bývá interpretována jako čas (latinsky
tempus). Je-li x : R → R, budeme psát x = x(t) nebo x = x( · ). Obyčejnou derivaci funkce x
v bodě t (v čase t) značíme x′(t) nebo jako podíl diferenciálů, tedy
x′
(t) =
dx(t)
dt
.
Zápis x′ =
dx
dt
označuje derivaci funkce x v obecném bodě. Můžeme tedy psát ′ =
d
dt
a obecně
pro n-tou derivaci
x(n)
=
dnx
dtn
nebo stručně (n) =
dn
dtn
.
Diferenciální rovnice (podrobněji obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu) je rovnice,
v níž vystupuje neznámá funkce x = x(t), její první derivace x′ = x′(t) a hodnota nezávisle
proměnné t, tedy
F(t, x, x′
) = 0,
kde F je nějaká funkce tří proměnných. Řešením rovnice je funkce x, která ji splňuje; podrobněji
diferencovatelná funkce x definovaná na nějakém intervalu J, přičemž pro každé t ∈ J je
t, x(t), x′(t) v definičním oboru funkce F a platí F t, x(t), x′(t) = 0.
Uvedená rovnice se nazývá implicitní nebo nerozřešená vzhledem k derivaci. Pokud se
podaří derivaci x′ z rovnice vyjádřit, dostaneme explicitní rovnici nebo rovnici rozřešenou
vzhledem k derivaci.
Definice 1. Buď G ⊆ R2 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x′
= f(t, x) (1.1)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci.
Řešením této rovnice na nedegenerovaném intervalu J ⊆ R se rozumí diferencovatelná
funkce x : J → R, která splňuje podmínky
t, x(t) ∈ G, x′
(t) = f t, x(t) pro každé t ∈ J;
13
14 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
pokud některý krajní bod patří do intervalu J, je v podmínkách příslušná jednostranná deri-
vace.
Graf řešení rovnice (1.1) se nazývá integrální křivka.
Příklad: G = {(t, x) ∈ R2 : t = 0}, f(t, x) =
x
t
.
Funkce x(t) = Ct, kde C ∈ R, je řešením rovnice
x′
=
x
t
(1.2)
na jakémkoliv z intervalů (tα, tω) ⊆ (0, ∞) nebo (tα, tω) ⊆ (−∞, 0). Přestože je tato funkce x
definována na celé množině R, není řešením dané rovnice na žádném intervalu, který obsahuje
nulu, poněvadž bod 0, x(0) = (0, 0) není prvkem množiny G.
Tento příklad ukazuje, že diferenciální rovnice může mít více řešení. Tato nejednoznačnost
je způsobena možností volby intervalu, na kterém řešení uvažujeme, nebo tím, že více funkcí
definovaných na stejném intervalu je řešením dané rovnice.
Definice 2. Nechť x = x(t) je řešením rovnice (1.1) na intervalu J a ˜x = ˜x(t) je řešením
rovnice (1.1) na intervalu ˜J. Jestliže ˜J ⊆ J a pro každé t ∈ ˜J je x(t) = ˜x(t), řekneme, že
řešení x = x(t) je prodloužením řešení ˜x = ˜x(t) a že řešení ˜x = ˜x(t) je zúžením (restrikcí)
řešení x = x(t). Jestliže řešení x = x(t) rovnice (1.1) není zúžením žádného jiného řešení této
rovnice, řekneme, že x = x(t) je úplným (neprodlužitelným) řešením rovnice (1.1), (1.3).
Nadále v této kapitole budeme pod pojmem „řešení rozumět úplné řešení.
Definice 3. Nechť G, f mají stejný význam jako v definici 1 a nechť (t0, ξ) ∈ G je libovolný
bod. Úloha najít řešení rovnice (1.1), které splňuje podmínku
x(t0) = ξ (1.3)
se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka (1.3) se nazývá počáteční nebo Cauchyova
podmínka.
Řešení počáteční úlohy (1.1), (1.3) se nazývá partikulární řešení rovnice (1.1).
Příklad: Nechť t0 = 0, ξ ∈ R. Funkce x(t) =
ξ
t0
t je řešením úlohy (1.2), (1.3). Toto řešení je
definováno na intervalu
J =
(0, ∞), t0 > 0,
(−∞, 0), t0 < 0.
Definice 4. Nechť g = g(t, C) je funkce dvou proměnných taková, že ke každému (t0, x0) ∈ G
existuje C0 ∈ R takové, že funkce x = x(t) = g(t, C0) je řešením počáteční úlohy (1.1), (1.3).
Pak se funkce g nazývá obecné řešení rovnice (1.1).
Proměnnou t funkce g v předchozí definici považujeme za nezávisle proměnnou reálné
funkce g( · , C) jedné reálné proměnné; proměnnou C považujeme za parametr.
Množina funkcí g( · , C) takových, že C ∈ R a g je obecné řešení rovnice (1.1) nemusí
obsahovat všechna řešení této rovnice.
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 15
Definice 5. Nechť M je množina všech řešení rovnice (1.1), g je obecné řešení této rovnice
a N je množina funkcí jedné proměnné definovaná jako
N = {g( · , C) : C ∈ R} .
Řešení x∗ ∈ M N rovnice (1.1) definované na intervalu J a takové, že ke každému
t0 ∈ J existuje C0 ∈ R, že g(t0, C0) = x∗(t0), se nazývá singulární. (Názorněji řečeno: každým
bodem grafu singulárního řešení prochází integrální křivka nějakého partikulárního řešení,
které není singulárním. Nebo: v každém bodě singulárního řešení je porušena jednoznačnost
řešení počáteční úlohy.)
Řešení ˜x ∈ M N rovnice (1.1) které není singulární, se nazývá výjimečné.
Příklad: Nechť G = {(t, x) : t ∈ R, x ≥ 0}, f(t, x) = 2
√
x. Funkce g definovaná předpisem
g(t, C) =
0, t < C,
(t − C)2, t ≥ C
je obecným řešením rovnice
x′
= 2
√
x. (1.4)
Vskutku,
dg(t, C)
dt
=
0, t < C,
2(t − C), t ≥ C,
2 g(t, C) =
0, t < C,
2|t − C|, t ≥ C
=
0, t < C,
2(t − C), t ≥ C,
takže každá z funkcí g( · , C) je řešením rovnice (1.4). Pro C = t0 −
√
x0 platí t0 ≥ C, tedy
g(t0, t0 −
√
x0) = (t0 − t0 +
√
x0)2 = x0 při libovolných hodnotách t0 ∈ R a x0 ≥ 0.1
Konstantní funkce x∗, x∗(t) = 0 je evidentně také řešením rovnice (1.4). Pro libovolné
t0 ∈ R platí x∗(t0) = 0 = g(t, t0), takže x∗ je singulárním řešením této rovnice.
Geometrická interpretace diferenciální rovnice
Rovnice (1.1) přiřazuje každému bodu z G právě jednu hodnotu x′ = f(t, x), tedy každému
bodu (t0, x0) ∈ G lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě (t0, x0), tj.
přímky x − x0 = f(t0, x0)(t − t0). Tento vektor má souřadnice 1, f(t0, x0) . To znamená, že
rovnice (1.1) definuje na G vektorové pole2. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice (1.1).
Každá integrální křivka rovnice (1.1) je vektorovou čárou3 směrového pole. Směrové pole
tedy poskytuje představu o průběhu řešení rovnice (1.1).
Vrstevnice funkce f, (tj. křivky zadané rovnicí f(t, x) = c) se nazývají izokliny rovnice
(1.1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
1
Při „mechanickém řešení rovnice (1.4) jakožto rovnice se separovanými proměnnými vyjde x = (t − C)2
,
což by znamenalo, že řešení je pro t < C klesající funkcí. Pravá strana rovnice je však nezáporná, takže řešení
musí být neklesající.
2
Vektorové pole na množině G je zobrazení ϕ množiny G do (konečně rozměrného reálného) vektorového
prostoru, tj. ϕ : G → Rn
; v našem případě je n = 2.
3
Vektorová čára vektorového pole ϕ : G → R2
je křivka v Rn
taková, že vektor ϕ(t, x) je tečným vektorem
k této křivce v bodě (t, x).
16 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
x
t
Obrázek 1.1: Směrové pole rovnice (1.4). Izokliny jsou vyznačeny tečkovanou čarou, integrální
křivky čarou plnou. Integrální křivka odpovídající singulárnímu řešení x∗ ≡ 0 splývá s osou
nezávisle proměnné t.
Příklad: Najdeme směrové pole rovnice (1.4). Její izokliny jsou dány rovnicí
2
√
x = c;
konstanta c je nezáporná, neboť odmocninu v reálném oboru definujeme jako nezápornou
funkci. Po triviální úpravě dostaneme
x = 4c2
.
Izokliny jsou tedy přímky rovnoběžné s osou t; na izoklině splývající s osou t i směrový vektor
s osou t splývá, tj. má nulový sklon, s rostoucí vzdáleností izokliny od osy t roste sklon
směrového vektoru. Situace je znázorněna na Obr. 1.1.
Poznámka k terminologii a symbolice
Rovnice (1.1) se nazývá diferenciální, přestože se v ní žádný diferenciál neobjevuje; v rovnici
vystupují jen nezávisle proměnná, hledaná funkce a její derivace. Terminologie je ale ospravedlněna
skutečností, že derivaci můžeme zapsat jako podíl diferenciálů a rovnici (1.1) přepsat
do tvaru
dx
dt
= f(t, x),
nebo po formální úpravě
f(t, x)dt − dx = 0.
Diferenciální rovnici tedy můžeme zapsat jako rovnici, v níž se vyskytují závisle a nezávisle
proměnná a jejich diferenciály, tedy ve tvaru
Φ(t, x, dt, dx) = 0.
Z tohoto zápisu však není úplně jasné, která z veličin x a t je závisle a která nezávisle proměnná.
To někdy nemusí být nedostatek, ale výhoda. Zejména pokud proměnné x a t interpretujeme
geometricky jako souřadnice bodu, není žádná z nich „privilegovaná .
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 17
Exkurs: geometrický přístup a elementární metody řešení diferenciálnch rovnic
Ke studiu diferenciálních rovnic mimo jiné vedla úloha z analytické geometrie: napsat rovnici křivky
v rovině dané souřadnými osami x a y, pokud známe její tečnu v libovolném bodě; můžeme navíc
požadovat, aby křivka procházela daným bodem.
Diferenciály dx a dy (podrobněji řečeno diferenciály standardních souřadnicových funkcí) si představujeme
jako „nekonečně malé přírůstky křivky ve směru jednotlivých os ; trochu přesněji řečeno,
jako přírůstky naměřené na tečně. Tečný vektor ke křivce v obecném bodě tedy má souřadnice (dx, dy).
V zadání úlohy je, že známe tečný vektor v každém bodě; řekněme, že to jsou vektory τ(x, y). Nemůžeme
ovšem bezprostředně pracovat se vztahem
(dx, dy) = τ(x, y),
neboť na levé straně by byl vektor „nekonečně krátký , vektor „skoro nulové délky , na pravé straně
vektor nenulový; normovat „skoro nulový vektor nedává rozumný smysl. Poněvadž ale známe tečný
vektor, známe také vektor normálový ν(x, y); ten je kolmý na vektor tečný τ(x, y), a tedy také na
infinitezimální vektor (dx, dy). Jinak řečeno, skalární součin vektorů tečného a normálového je nulový.
Pokud tedy normálový vektor v bodě (x, y) rozepsaný do souřadnic je
ν(x, y) = f(x, y), g(x, y) ,
pak musí platit
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0. (1.5)
Rovnice hledané křivky je tedy řešením této diferenciální rovnice v tradičním zápisu pomocí diferenciálů.
Její řešení, tedy hledanou křivku, nazýváme integrální křivkou této rovnice. Požadavku, aby křivka
procházela daným bodem (x0, y0), říkáme Cauchyova podmínka. Můžeme ji také zapsat v některém
z tvarů
y(x0) = y0, nebo x(y0) = x0. (1.6)
Diferenciální rovnici (1.5) spolu s Cauchyovou podmínkou nazýváme Cauchyův problém nebo Cauchyova
úloha.
Slovním spojením „řešit diferenciální rovnici elementárními metodami rozumíme: „úlohu najít
řešení diferenciální rovnice nebo Cauchyovy úlohy převést na nějakou jinou – jednodušší – úlohu .
Přitom za „jednodušší úlohu považujeme takovou, která se objevuje v kursu matematické analýzy
před probíráním diferenciálních rovnic. Často jde o výpočet integrálů, proto se elementárním metodám
řešení také říkává „řešení v kvadraturách .
Při řešení diferenciálních rovnic elementárními metodami bývá užitečné rovnice zapisovat ve tvaru
(1.5) s diferenciály.
Příklad: Najdeme rovnici kružnice se středem v počátku souřadnic, která prochází bodem (1, 2).
Tečna ke kružnici je v každém bodě kolmá k průvodiči (úsečce spojující uvažovaný bod a střed
kružnice), směrový vektor průvodiče v bodě (x, y) je (x, y)−(0, 0) = (x, y). Dostáváme tak diferenciální
rovnici
xdx + ydy = 0,
tedy rovnost diferenciálů
xdx = −ydy.
Z rovnosti diferenciálů plyne rovnost integrálů (až na integrační konstantu). A poněvadž hledaná
kružnice má procházet bodem (1, 2) (můžeme také říci, že křivka z bodu (1, 2) vychází, že bod (1, 2)
je jejím počátečním bodem), dostaneme
x
1
ξdξ = −
y
2
ηdη.
18 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
To znamená, že 1
2 x2
− 1
2 12
= − 1
2 y2
− 1
2 22
, po úpravě
x2
+ y2
= 5.
Tento výsledek zcela odpovídá tomu, co nás naučili na střední škole.
Exaktní rovnice
Jedná se o diferenciální rovnici ve tvaru (1.5), kde funkce f a g splňují identitu
∂f
∂y
(x, y) =
∂g
∂x
(x, y). (1.7)
Výraz na levé straně rovnice (1.5) je za předpokladu (1.7) totálním diferenciálem4
nějaké kmenové
funkce F. Připomeňme si, že kmenová funkce splňuje podmínky
∂F
∂x
(x, y) = f(x, y),
∂F
∂y
(x, y) = g(x, y). (1.8)
Je-li F kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně rovnice (1.5), pak rovnost
F(x, y) = c,
kde c je reálná konstanta, je implicitním vyjádřením řešení rovnice (1.5). O tom se snadno přesvědčíme
přímým dosazením.
Hledání řešení rovnice (1.5) jsme tedy převedli na problém hledání kmenové funkce diferenciálu a
na vyšetřování implicitně zadané funkce.
Spolu s rovnicí (1.5) uvažujme Cauchyovu podmínku (1.6). Bod (x0, y0) musí samozřejmě ležet
v průniku definičních oborů funkcí f a g. Budeme hledat takovou kmenovou funkci F, pro niž platí
F(x0, y0) = 0.
První z podmínek (1.8) splňuje funkce F daná předpisem
F(x, y) =
x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ(y), (1.9)
kde ϕ je nějaká diferencovatelná funkce, pro niž platí ϕ(x0) = 0. Aby byla splněna druhá z podmínek
(1.8), musí platit
∂
∂y


x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ(y)

 =
∂
∂y
x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ′
(y) = g(x, y) ;
symbol ′
nyní označuje obyčejnou derivaci podle proměnné y. Z předchozí rovnosti a z podmínky
ϕ(y0) = 0 plyne
ϕ(y) =
y
y0

g(x, η) −
∂
∂η
x
x0
f(ξ, η)dξ

 dη =
y
y0
g(x, η)dη −
x
x0
f(ξ, y)dξ +
x
x0
f(ξ, y0)dξ.
Dosazením do rovnosti (1.9) dostaneme hledanou kmenovou funkci F. Řešení Cauchyovy úlohy (1.5),
(1.6) je tedy implicitně dáno rovností
x
x0
f(ξ, y0)dξ +
y
y0
g(x, η)dη = 0. (1.10)
4
Viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, kap. 4
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 19
Analogickým postupem (s opačným pořadím integrování) můžeme najít řešení úlohy (1.5), (1.6) v implicitním
tvaru
x
x0
f(ξ, y)dξ +
y
y0
g(x0, η)dη = 0.
Hledání řešení Cauchyovy úlohy (1.5), (1.6) jsme tedy v případě exaktní rovnice převedli na problém
výpočtu integrálů a na vyšetřování implicitně zadané funkce.
Speciální případ: rovnice se separovanými proměnnými.
Jedná se o rovnici tvaru
f(x)dx + g(y)dy = 0, (1.11)
v níž funkce f a g jsou funkcemi právě jedné proměnné. Tato rovnice je evidentně exaktní.
Křivka, která splňuje rovnici (1.11) a prochází bodem (x0, y0) má podle (1.10) obecnou rovnici
x
x0
f(ξ)dξ +
y
y0
g(η)dη = 0.
Obecněji můžeme mluvit o rovnicích se separovatelnými proměnnými, pokud v rovnici (1.5) jsou
funkce f a g součinem dvou funkcí jedné proměnné. Jedná se tedy o rovnice
f1(x)f2(y)dx + g1(x)g2(y)dy = 0. (1.12)
Pokud je příslušná Cauchyova podmínka taková, že f2(y0) = 0 = g1(x0), můžeme rovnici (1.12) vydělit
výrazem f2(y)g1(x) a dostaneme rovnici se separovanými proměnnými
f1(x)
g1(x)
dx +
g2(y)
f2(y)
dy = 0.
Je-li f2(y0) = 0 nebo f1(x0) = 0, ale v ryzím okolí bodu (x0, y0) je f2(y) = 0 = g1(x), provedeme
stejnou úpravu a řešení Cauchyovy úlohy dostaneme v implicitním tvaru
x
x0
f1(ξ)
g1(ξ)
dξ +
y
y0
g2(η)
f2(η)
dη = 0,
pokud oba integrály konvergují. V případě, že f2(y0) = 0 (resp. g1(x0) = 0), je přímka daná rovnicí
y = y0 (resp. x = x0) integrální křivkou rovnice. Řešení y ≡ y0 (resp. x ≡ x0) může být singulárním
řešením této rovnice.
Integrační faktor
Rovnici (1.12), která obecně není exaktní, jsme vynásobili výrazem
̺(x, y) =
1
g1(x)f2(y)
,
a tím ji převedli na rovnici exaktní. Můžeme obecně hledat nenulový výraz ̺ = ̺(x, y) takový, že při
daných funkcích f = f(x, y), g = g(x, y) je rovnice
̺(x, y)f(x, y)dx + ̺(x, y)g(x, y)dy = 0 (1.13)
exaktní. Výraz ̺(x, y) se pak nazývá integrační faktor dané rovnice. V takovém případě musí platit
∂
∂y
̺f =
∂
∂x
̺g, tj.
∂̺
∂y
f + ̺
∂f
∂y
=
∂̺
∂x
g + ̺
∂g
∂x
20 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
(pro stručnost zápisu nepíšeme nezávisle proměnné). Z těchto rovností dostaneme vztah
g
∂̺
∂x
− f
∂̺
∂y
=
∂f
∂y
−
∂g
∂x
̺. (1.14)
To znamená, že funkce ̺ splňuje rovnici, v níž se vyskytují její parciální derivace, tj. funkce ̺ je řešením
parciální diferenciální rovnice. Řešit parciální diferenciální rovnici není „jednodušší úloha , než řešit
obyčejnou diferenciální rovnici. Problém hledání integračního faktoru tedy nemůžeme prohlásit za
vyřešený.
Pokud by však integrační faktor ̺ byl funkcí pouze jedné proměnné x, ̺ = ̺(x), pak by
∂̺
∂y
= 0 a
∂̺
∂x
=
d̺
dx
.
Parciální rovnice (1.14) by tak přešla na rovnici obyčejnou
d̺
dx
=
1
g
∂f
∂y
−
∂g
∂x
̺,
nebo v diferenciálním tvaru
1
̺
d̺ +
1
g
∂g
∂x
−
∂f
∂y
dx = 0. (1.15)
Pokud je výraz před diferenciálem dx funkcí pouze jedné proměnné x, pak je rovnice (1.15) rovnicí se
separovanými proměnnými.
Dostáváme tak závěr: Je-li
∂
∂y
1
g
∂g
∂x
−
∂f
∂y
= 0,
pak existuje integrační faktor ̺ = ̺(x) rovnice (1.5); tento integrační faktor je řešením obyčejné
diferenciální rovnice (1.15).
Analogicky odvodíme: Je-li
∂
∂x
1
f
∂f
∂y
−
∂g
∂x
x = 0,
pak existuje integrační faktor ̺ = ̺(y) rovnice (1.5), který je řešením obyčejné diferenciální rovnice se
separovanými proměnnými
1
̺
d̺ +
1
f
∂f
∂y
−
∂g
∂x
dx = 0.
Rovnice na rovnici exaktní transformovatelné
Některé speciální rovnice lze vhodnou substitucí nebo úpravou (případně kombinací obou postupů) na
rovnici exaktní převést. Jedná se zejména o následující typy rovnic:
(i) Rovnice homogenní.
Nejprve připomeneme definici: Funkce h : R2
→ R se nazývá homogenní řádu k, pokud pro
každou reálnou konstantu κ platí h(κx, κy) = κk
h(x, y).
Homogenní diferenciální rovnice je rovnice tvaru (1.5), v níž obě funkce f a g jsou homogenní
stejného řádu. Takovou rovnici můžeme upravit na tvar
xk
f 1,
y
x
dx + xk
g 1,
y
x
dy = 0
a po vydělení výrazem xk
dostaneme
f 1,
y
x
dx + g 1,
y
x
dy = 0. (1.16)
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 21
Odtud (formálně) plyne
dy
dx
= −
f 1,
y
x
g 1,
y
x
.
Dále zavedeme substituci
u =
y
x
. (1.17)
Pak
dy
dx
= −
f(1, u)
g(1, u)
a dále
du
dx
=
x
dy
dx
− y
x2
=
1
x
dy
dx
−
y
x
= −
1
x
f(1, u)
g(1, u)
+ u .
Z této rovnosti dostaneme
1
x
dx +
g(1, u)
f(1, u) + ug(1, u)
du = 0,
což je rovnice se separovanými proměnnými, tedy speciální případ rovnice exaktní.
Ještě poznamenejme, že při označení ϕ(ξ) = f(1, ξ) a ψ(ξ) = g(1, ξ) můžeme rovnici (1.16)
přepsat na tvar
ϕ
y
x
dx + ψ
y
x
dy = 0;
takové rovnici říkáme homogenní v užším smyslu.
(ii) Rovnice typu
f
ax + by + c
αx + βy + γ
dx + g
ax + by + c
αx + βy + γ
dy = 0. (1.18)
Rozlišíme tři případy:
1. c = γ = 0. Označíme
F(x, y) = f
ax + by
αx + βy
, G(x, y) = g
ax + by
αx + βy
a rovnici přepíšeme jako
F(x, y)dx + G(x, y)dy = 0.
Přitom platí
F(κx, κy) = f
aκx + bκy
ακx + βκy
= f
ax + by
αx + βy
= F(x, y)
a stejným výpočtem G(κx, κy) = G(x, y). Obě funkce F a G jsou homogenní řádu nula.
Rovnice (1.18) je v tomto případě homogenní a můžeme ji řešit substitucí (1.17).
2. α = β = 0. V tomto případě zavedeme substituci
u =
ax + by + c
γ
,
takže rovnici přepíšeme ve tvaru
f(u)dx + g(u)dy = 0
a z ní vyjádříme
dy
dx
= −
f(u)
g(u)
. Dále platí
du
dx
=
1
γ
a + b
dy
dx
=
1
γ
a − b
f(u)
g(u)
=
ag(u) − bf(u)
γg(u)
,
22 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
takže daná rovnice se transformuje na tvar
dx +
γg(u)
ag(u) − bf(u)
du = 0,
což je rovnice se separovanými proměnnými.
3. c2
+ γ2
= 0 = α2
+ β2
. Nejprve výraz
ax + by + c
αx + βy + γ
upravíme.
Pokud α = 0, dostaneme
ax + by + c
αx + βy + γ
=
1
α
a +
(αb − aβ)y + αc − aγ
αx + βy + γ
,
pokud β = 0, dostaneme
ax + by + c
αx + βy + γ
=
1
β
b −
(αb − aβ)y + γb − βc
αx + βy + γ
.
Nyní mohou nastat dvě možnosti:
• αb − aβ = 0. Z předchozího výpočtu pak vidíme, že rovnice je stejného typu, jako v
případě 2.
• αb − aβ = 0. Za tohoto předpokladu existuje jednoznačné řešení m, n soustavy algebraických
lineárních rovnic
am + bn = c,
αm + βn = γ.
S využitím tohoto řešení zavedeme substituce
ξ = x + m, η = y + n. (1.19)
pak dξ = dx,dy = dη a
ax + by + c
αx + βy + γ
=
a(ξ − m) + b(η − n) + c
α(ξ − m) + β(η − n) + γ
=
=
aξ + bη − (am + bn) + c
αξ + βη − (am + bn) + γ
=
aξ + bη
αξ + βη
.
To znamená, že substituce (1.19) převede rovnici (1.18) na rovnici stejného typu, jaký
je v případě 1.
(iii) Rovnice lineární je rovnice, v níž je podíl diferenciálů (derivace) vyjádřen jako výraz lineární
v závisle proměnné, tj.
dy
dx
= a(x)y + b(x), nebo
dx
dy
= a(y)x + b(y),
kde a, b jsou nějaké integrabilní funkce jedné proměnné. Budeme se věnovat první z rovnic ve
tvaru
a(x)y + b(x) dx − dy = 0; (1.20)
druhá rovnice z ní vznikne záměnou proměnných.
Jedná se o rovnici tvaru (1.5), kde f(x, y) = a(x)y + b(x) a g(x, y) = −1. Poněvadž
∂g
∂x
−
∂f
∂y
= −a(x) = 0,
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 23
rovnice není exaktní. Budeme tedy pro ni hledat integrační faktor. Poněvadž
∂
∂y
1
g
∂g
∂x
−
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
a(x) = 0,
existuje integrační faktor tvaru ̺ = ̺(x). Ten je řešením rovnice se separovanými proměnnými
1
̺
d̺ + a(x)dx = 0.
Tato rovnice má podle (1.10) řešení v implicitním tvaru zapsaném rovností
̺
̺0
1
r
dr +
x
x0
a(ξ)dξ = 0, po úpravě ln
̺
̺0
= −
x
x0
a(ξ)dξ.
Volíme ̺0 = 1 (nejde nám totiž o nalezení všech možných integračních faktorů, ale stačí nám
jen jeden) a dostaneme integrační faktor ve tvaru
̺(x) = e
−
x
x0
a(ξ)dξ
.
Rovnici (1.20) vynásobíme tímto integračním faktorem a dostaneme rovnici exaktní
a(x)y + b(x) e
−
x
x0
a(σ)dσ
dx − e
−
x
x0
a(ξ)dξ
dy = 0,
která má podle (1.10) řešení zapsané v implicitním tvaru
x
x0
a(ξ)y0 + b(ξ) e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ −
y
y0
e
−
x
x0
a(σ)dσ
dη = 0. (1.21)
Nyní vypočítáme
x
x0
a(ξ)y0 e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ = −y0
x
x0
d
dξ
e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ = −y0

e
−
x
x0
a(σ)dσ
− 1

 ,
y
y0
e
−
x
x0
a(ξ)dξ
dη = (y − y0)e
−
x
x0
a(ξ)dξ
,
dosadíme do (1.21),
x
x0
b(ξ)e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ + y0 − ye
−
x
x0
a(ξ)dξ
= 0.
Odtud vyjádříme řešení rovnice (1.20) ve tvaru
y = y0e
x
x0
a(ξ)dξ
+
x
x0
b(ξ)e
x
ξ
a(σ)dσ
dξ.
(iv) Rovnice Bernoulliova
dy
dx
= a(x)y + b(x)yr
,
24 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
kde r je nějaká nenulová reálná konstanta.
Zavedeme substituci
u = y1−r
.
Pak
du
dx
= (1 − r)y−r dy
dx
= (1 − r)y−r
a(x)y + b(x)yr
= (1 − r) a(x)y1−r
+ b(x) .
Bernoulliova rovnice se tedy transformuje na rovnici
du
dx
= (1 − r)a(x)u + (1 − r)b(x),
což je rovnice lineární.
1.2 Systémy diferenciálních rovnic
1.2.1 Vektorové a maticové funkce
Reálný n-rozměrný vektor x je prvkem prostoru Rn. Složky (standardní souřadnice) vektoru
x budeme značit x1, x2, . . . , xn nebo (x)1, (x)2, . . . , (x)n.
Matice A o m řádcích a n sloupcích je prvkem prostoru Rmn. Její složku na i-tém řádku
a v j-tém sloupci budeme značit aij nebo (A)ij. Vektor z prostoru Rn budeme chápat jako
matici o n řádcích a jednom sloupci.
Je-li tedy x ∈ Rn a A ∈ Rmn, můžeme psát
x =





x1
x2
...
xn





, (x)i = xi, A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, (A)ij = aij, (Ax)i =
n
k=1
aikxk.
Normy vektorů a matic
Normu vektoru x =





x1
x2
...
xn





, podrobněji vektorovou 1-normu nebo součtovou normu definujeme
předpisem
||x|| = ||x||1 =
n
i=1
|xi|.
Normu matice A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, podrobněji maticovou 1-normu nebo součtovou
normu definujeme předpisem
||A|| = ||A||1 =
m
i=1
n
j=1
|aij|.
1.2. SYSTÉMY DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 25
Na množině vektorů zavádíme metriku ̺(x, y) = ||x − y||, na množině matic zavádíme metriku
̺(A, B) = ||A − B||. Jedná se o součtovou neboli taxíkářskou metrikou, sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iii.
• Platí: ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||. Této vlastnosti se říká, že maticová norma je souhlasná s vektorovou
normou.
Důkaz: Pro libovolné i, k ∈ {1, 2, . . . , n} je |aik| ≤
n
j=1
|aij|. Odtud plyne
||Ax|| =
m
i=1
|(Ax)1| =
m
i=1
n
k=1
aikxk ≤
m
i=1
n
k=1
|aik| |xk| =
=
n
k=1
|xk|
m
i=1
|aik| ≤
n
k=1

|xk|
m
i=1
n
j=1
|aij|

 =
n
k=1
|xk|


m
i=1
n
j=1
|aij|

 .
Spojitost, derivace a integrál vektorových a maticových funkcí
Vektorová funkce, podrobnněji n-vektorová funkce, x = x(t) je zobrazení x : R → Rn,
maticová funkce, podrobněji čtvercová n-rozměrná maticová funkce, A = A(t) je zobrazení
A : R → Rn2
,
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





.
Na množině R uvažujeme přirozenou metriku, na množině Rn, resp. Rn2
, uvažujeme příslušnou
součtovou metriku. Spojitost vektorové, resp. maticové, funkce chápeme jako spojitost
příslušného zobrazení metrických prostorů. Podrobněji: vektorová funkce x (resp. maticová
funkce A) je spojitá v bodě t0 svého definičního oboru, jestliže ke každému kladnému číslu
ε existuje kladné číslo δ tak, že pro všechna t z definičního oboru funkce x z nerovnosti
|t − t0| < δ plyne nerovnost ||x(t) − x(t0)|| < ε (resp. ||A(t) − A(t0)|| < ε). Vektorová (resp.
maticová) funkce je spojitá právě tehdy, když všechny její složky jsou spojité.
Limitu v bodě t0, derivaci v obecném bodě t a integrál v mezích od t do t0 vektorové,
resp. maticové, funkce definujeme vztahy (v uvedeném pořadí)
lim
t→t0
x(t)
i
= lim
t→t0
xi(t),
dx
dt
(t)
i
= x′
(t) 1
= x′
i(t) ,


t
t0
x(s)ds


i
=
t
t0
xi(s)ds,
lim
t→t0
A(t)
ij
= lim
t→t0
aij(t),
dA
dt
(t)
ij
= A′
(t) ij
= a′
ij(t),


t
t0
A(s)ds


ij
=
t
t0
aij(s)ds.
1.2.2 Vektorová rovnice prvního řádu
Definice 6. Buď G ⊆ R1+n množina s neprázdným vnitřkem, f : G → Rn. Rovnice
x′
= f(t, x) (1.22)
26 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
se nazývá systém n obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo n-vektorová obyčejná
diferenciální rovnice prvního řádu.
Rovnice (1.22) se od rovnice (1.1) liší pouze tím, že některé symboly (konkrétně hledaná
funkce x a funkce f na pravé straně) jsou tučné, označují vektorové proměnné. Proto můžeme
zopakovat vše, co je uvedeno v 1.1 mezi Definicí 1 a geometrickou interpretací diferenciální
rovnice. Všechny pojmy vztahující se k diferenciální rovnici (1.1) jsou po příslušné záměně
skalárů za vektory použitelné i na systémy diferenciálních rovnic.
Vektorovou rovnici můžeme rozepsat do složek
x′
1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x′
2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
x′
n = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
Počáteční podmínku x(t0) = ξ k rovnici (1.22) zadáváme pro systém rozepsaný do složek
ve tvaru
x1(t0) = ξ1, x2(t0) = ξ2, . . . , xn(t0) = ξn. (1.23)
Obecné řešení n-rozměrného systému g( · , C) závisí na n-rozměrné konstantě, tedy na n
parametrech.
1.3 Skalární rovnice n-tého řádu
Definice 7. Buď G ⊆ R1+n množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x(n)
= f t, x, x′
, x′′
, . . . , x(n−1)
(1.24)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci.
Řešením této rovnice na nedegenerovaném intervalu J ⊆ R se rozumí n-krát diferencovatelná
funkce x : J → R, která splňuje podmínky
t, x(t), x′
(t), x′′
(t), . . . , x(n−1)
(t) ∈ G, x(n)
(t) = f t, x(t), x′
(t), x′′
(t), . . . , x(n−1)
(t)
pro každé t ∈ J.
Rovnici n-tého řádu lze převést na systém prvního řádu:
• Nechť funkce x je řešením rovnice (1.24). Definujme funkce
x1 = x, xk+1 = x′
k pro k = 1, 2, . . . , n − 1.
Pak
xk+1 = x′
k = x′′
k−1 = x′′′
k−2 = · · · = x
(k)
1 = x(k)
pro k = 2, 3, . . . , n,
x′
= x′
1, x′′
= x3, x′′′
= x4, . . . , x(n−1)
= xn,
takže
x′
n = x(n)
= f t, x, x′
, x′′
, . . . , x(n−1)
= f(t, x1, x2, x3, . . . , xn).
1.3. SKALÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU 27
To znamená, že funkce x1, x2, . . . , xn jsou řešením systému rovnic
x′
1 = x2,
x′
2 = x3,
...
x′
n−1 = xn,
x′
n = f(t, x1, x2, x3, . . . , xn).
(1.25)
• Naopak, nechť vektorová funkce x = (x1, x2, . . . , xn) je řešením systému rovnic (1.25). Pak
pro její složky platí
x2 = x′
1, x3 = x′
2 = x′′
1, x4 = x′
3 = x′′′
1 , . . . , xn = x
(n−1)
1 ,
takže
x
(n)
1 = x′
n = f(t, x1, x2, x3, . . . , xn) = f t, x1, x′
1, x′′
1, . . . , x
(n−1)
1 .
To znamená, že první složka řešení systému (1.25) je řešením rovnice (1.24).
Celkem jsme ukázali, že rovnice (1.24) je ekvivalentní se systémem (1.25). Z této úvahy
také plyne, že počáteční (Cauchyovu) podmínku pro rovnici (1.24) zadáváme ve tvaru
x(t0) = ξ1, x′
(t0) = ξ2, x′′
(t0) = ξ3, . . . , x(n−1)
(t0) = ξn, (1.26)
kde (t0, ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ G.
Úplné řešení, partikulární a obecné řešení rovnice (1.24) definujeme analogicky jako u rovnic
prvního řádu. Obecné řešení rovnice n-tého řádu závisí na n parametrech.
Příklad: Pohyb hmotného bodu o hmotnosti m, který je vázán na přímku a na který působí
síla F závislá na poloze lze popsat skalární rovnicí druhého řádu
x′′
=
1
m
F(x),
kde x = x(t) označuje polohu bodu v čase t, sr. Prolog, str. 7. Stejně dobře ho však lze popsat
systémem dvou rovnic
x′ = v,
v′ =
1
m
F(x);
v = v(t) označuje rychlost bodu v čase t.
28 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
Kapitola 2
Obecné vlastnosti diferenciálních
rovnic
Aby počáteční úloha pro diferenciální rovnici mohla být popisem (modelem) nějakého reálného
procesu, musí mít několik vlastností:
1. Existuje její řešení. Diferenciální rovnici považujeme za vyjádření (nebo alespoň idealizaci
nebo aproximaci) nějakého „zákona (přírodního, ekonomického, sociologického,
. . . ), tj. pravidla vyabstrahovaného metodami příslušné vědní disciplíny. Proces se podle
tohoto pravidla skutečně vyvíjí, tj. řešení počáteční úlohy musí existovat.
2. Řešení počáteční úlohy je jediné. Je-li proces deterministický, ze znalosti počátečního
stavu a pravidla vývoje jednoznačně plyne jeho další vývoj.
3. Řešení musí záviset na parametrech rovnice a počátečních podmínkách spojitě. Všechny
konstanty (parametry modelu) a počáteční hodnoty můžeme změřit jen s omezenou
přesností. A je žádoucí, aby malá chyba měření nezpůsobila velkou změnu řešení v konečném
čase.
4. Řešení musí být definováno v dostatečně dlouhém čase. Modelovaný proces určitě nějakou
dobu probíhá (abychom si ho vůbec povšimli) a nějakou dobu ještě probíhat bude
(aby mělo smysl ho modelovat).
Proto je potřebné se zabývat otázkou, jaké podmínky kladené na pravou stranu rovnice,
zaručí existenci řešení. Jinak řečeno, jak poznáme, že pravidlo vývoje není z procesu vyabstrahováno
naprosto špatně.
Jednoznačně se vyvíjejí procesy studované klasickou (nekvantovou) fyzikou. Procesy komplexnější
(kterým se věnuje např. vývojová a evoluční biologie, ekonomie, sociologie a podobně)
již jednoznačné být nemusí, může dojít k nějakému „větvení procesu. Proto je užitečné
studovat, kdy je řešení rovnice jediné a za jakých podmínek může dojít k nejednoznačnosti
řešení (tj. k nepredikovatelnosti vývoje). Příjemným zjištěním přitom bude, že dostatečné
podmínky pro jednoznačnost řešení počáteční úlohy jsou také dostatečnými podmínkami pro
spojitou závislost řešení na parametrech a počátečních hodnotách. Vývoj deterministických
procesů můžeme pro nepříliš vzdálený časový horizont predikovat dostatečně přesně, pokud
známe deterministické pravidlo vývoje a dostatečně přesně měříme aktuální hodnoty. V této
formulaci zůstaly velice vágní pojmy „dostatečně přesně a „nepříliš vzdálený . Co přesně
znamenají podstatně závisí na charakteru procesu.
29
30 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Udržitelnost bývá důležitou vlastností procesů, proto je dobré mít jasno v tom, do jakého
času řešení počáteční úlohy existuje. Zejména vyjasnit, zda existuje nějaká konečná hranice,
za niž řešení prodloužit nelze, nebo zda je vývoj (potenciálně) nekonečný.
V této kapitole nejprve ukážeme, jak rozhodnout o existenci a jednoznačnosti řešení jedné
skalární rovnice.
2.1 Existence a jednoznačnost řešení skalární ODR
Uvažujme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu ve standardním
tvaru
x′
= f(t, x), x(t0) = ξ. (2.1)
Na rovnost
x′
(t) = f t, x(t)
definující řešení příslušné diferenciální rovnice se můžeme prostě dívat jako na rovnost dvou
funkcí jedné reálné proměnné t. Integrací v mezích od t0 do t dostaneme
x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds,
neboli
x(t) = ξ +
t
t0
f s, x(s) ds. (2.2)
Naopak, derivováním poslední rovnosti podle proměnné t dostaneme x′(t) = f t, x(t) . Navíc,
pro funkci definovanou pravou stranou rovnosti (2.2) platí x(t0) = ξ. Vidíme tedy, že počáteční
úloha pro diferenciální rovnici (2.1) je ekvivalentní s integrální rovnicí (2.2).
K řešení počáteční úlohy (2.1) se budeme snažit přiblížit třemi různými způsoby.
2.1.1 Eulerovy polygony
Řešení úlohy (2.1) se spojitou funkcí f budeme aproximovat funkcí po částech lineární a
spojitou. Jinak řečeno, integrální křivku nahradíme lomenou čarou spojující body (t0, ξ),
(t1, x1), (t2, x2), . . . . Podrobněji: Zvolíme časové okamžiky t1, t2, t3, . . . (body na ose t) tak,
že t0 < t1 < t2 < t3 · · · . Dále položíme x0 = ξ a budeme předpokládat, že známe hodnoty
x1, x2, x3, . . . , xk takové, že „dobře aproximují řešení úlohy v okamžicích t1, t2, t3, . . . , tj.
x1 ≈ x(t1), x2 ≈ x(t2), . . . , xk ≈ x(tk).
Ze spojitosti funkce f plyne, že
f t1, x(t1) ≈ f(t1, x1), f t2, x(t2) ≈ f(t2, x2), . . . , f tk, x(tk) ≈ f(tk, xk).
Podle (2.2) pro hodnotu řešení x dané úlohy platí
x(tk+1) = ξ +
tk+1
t0
f s, x(s) ds.
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 31
Integrál aproximujeme integrálním součtem a využijeme spojitost funkce f. Dostaneme
ξ +
tk+1
t0
f s, x(s) ds ≈ ξ +
k
i=0
(ti+1 − ti)f ti, x(ti) ≈ ξ +
k
i=0
(ti+1 − ti)f(ti, xi).
Poslední výraz vezmeme jako aproximaci hodnoty řešení v bodě tk+1, tj.
xk+1 = ξ +
k
i=0
(ti+1 − ti)f(ti, xi) ≈ x(tk+1).
Z počáteční hodnoty x0 = ξ tímto způsobem postupně získáváme jednotlivé aproximace řešení
x1 = x0 + (t1 − t0)f(t0, x0), x2 = x1 + (t2 − t1)f(t1, x1), x3 = x2 + (t3 − t2)f(t2, x2),
. . . xk+1 = xk + (tk+1 − tk)f(tk, xk), . . .
atd. Výsledek můžeme shrnout:
Eulerův polygon příslušný k úloze (2.1) a dělení D = {t0, t1, t2, . . . , tn = t0 + a} je lomená
čára, spojující body (t0, x0), (t1, x1),. . . , (tn, xn). Přitom hodnoty xi, i = 0, 1, 2, . . . , n jsou
definovány rekurentně vztahy
x0 = ξ, xk+1 = xk + (tk+1 − tk)f(tk, xk), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Eulerův polygon je zkonstruován tak, že aproximuje graf řešení dané úlohy. Lze tedy očekávat,
že se zjemňováním dělení intervalu J (tj. s růstem počtu dělících bodů n a se zmenšováním
normy dělení ν(D) = max {|ti − ti−1| : i = 1, 2, . . . , n}) se bude Eulerův polygon „přibližovat
ke grafu řešení úlohy (2.1), k integrální křivce rovnice.
Provedená úvaha samozřejmě ještě nedokazuje, že posloupnost Eulerových polygonů pro
ν(D) → 0 skutečně konverguje k řešení úlohy. Korektní důkaz je analogií konstrukce Riemannova
integrálu.
Po provedení důkazu lze zformulovat:
Tvrzení 1. Je-li funkce f : [t0, t0 + a] × (−b, b) spojitá a |x0| < b, pak má úloha (2.1) řešení
definované na intervalu [t0, t0 + a].
Pokud chceme skutečně Eulerovým polygonem aproximovat řešení nějaké úlohy, je nutné
zvolit konkrétní interval [t0, t0 + a] na kterém řešení hledáme, a zvolit konkrétní dělení
{t0, t1, t2, . . . , tn = t0 + a} tohoto intervalu. Pro výpočet je nejjednodušší volit konstantní
délku kroku h, tj. vzít dělení takové, že ti+1 − ti = h pro všechna i = 0, 1, 2, . . . , n − 1; takové
dělení se nazývá ekvidistantní. Bývá ovšem účelné délku kroku měnit podle rychlosti změny
hledané funkce, tedy podle velikosti absolutní hodnoty její derivace – s rostoucí hodnotou
f(ti, xi) | zkracovat vzdálenost k následujícímu dělícímu bodu tk+1.
Příklad: Uvažujme počáteční úlohu
x′
= 2t + x2
, x(0) = 0. (2.3)
Zvolíme konstantní délku kroku h. Pak tk = kh a příslušné rekurentní vztahy jsou
x0 = 0, xk+1 = xk + h(2tk + x2
k) = xk + hx2
k + 2kh2
.
32 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
2.1.2 Frobeniova metoda
Předpokládejme, že funkce f na pravé straně diferenciální rovnice v počáteční úloze (2.1) je
analytická v okolí počátečního bodu (t0, ξ), tj. že na jistém okolí bodu (t0, x0) lze funkci f
vyjádřit konvergentní dvojnou mocninnou řadou se středem (t0, ξ),
f(t, x) =
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
(x − ξ)m
. (2.4)
V takovém případě můžeme očekávat, že i řešení úlohy (2.1) bude na nějakém okolí počátečního
času t0 analytickou funkcí.
Řešení úlohy (2.1) formálně zapíšeme jako mocninnou řadu
x(t) =
∞
n=0
an(t − t0)n
. (2.5)
Pak je x(t0) = a0, takže
a0 = ξ. (2.6)
Formální mocninnou řadu (2.5) dosadíme do rovnice v (2.1):
x′
(t) =
∞
n=0
nan(t − t0)n−1
= a1 +
∞
n=1
(n + 1)an+1(t − t0)n
,
f t, x(t) =
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
∞
i=0
ai(t − t0)i
− ξ
m
=
=
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
∞
i=1
ai(t − t0)i
m
=
=
∞
n=0

bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i

 =
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
n=0
∞
m=1
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
∞
n=0
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
∞
n=m
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)n
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
n=1
n
m=1
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)n
=
= b00 +
∞
n=1

bn0 +
n
m=1
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm

 (t − t0)n
=
= b00 +
∞
n=1

bn0 +
n
m=1
n−m
k=0
bkm
j1+···+jm=n−k
aj1 · · · ajm

 (t − t0)n
.
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 33
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin výrazu t − t0 nyní dostaneme
a1 = b00, (2.7)
an+1 =
1
n + 1

bn0 +
n
m=1
n−m
k=0 j1+···+jm=n−k
aj1 · · · ajm bkm

 , n = 1, 2, 3, . . . . (2.8)
Vidíme, že koeficienty a1, a2, a3, . . . formální řady (2.5) lze pomocí tohoto rekurentního vztahu
jednoznačně vypočítat.
Pokud mocninná řada (2.5) získaná tímto způsobem konverguje na nějakém (symetrickém)
okolí bodu t0, pak její součet je řešením počáteční úlohy (2.1). Výsledek opět shrneme:
Tvrzení 2. Je-li pravá strana rovnice v (2.1) v okolí počátečního bodu (t0, ξ) analytickou
funkcí tvaru (2.4) a poloměr konvergence mocninné řady (2.5), jejíž koeficienty jsou dány
výrazy (2.6), (2.7) a (2.8), je nenulový, pak součet této řady je na oboru konvergence řešením
počáteční úlohy (2.1).
Při hledání analytického řešení počáteční úlohy většinou dosadíme formální tvar řešení do
rovnice a pak porovnáme koeficienty; není potřeba si pamatovat a používat uvedené formule.
Součet prvních k členů řady, vypočítaných tímto postupem, lze pro „dostatečně velké k
považovat za přibližné řešení počáteční úlohy.
Příklad: Uvažujme opět počáteční úlohu (2.3). Její řešení budeme hledat ve tvaru mocninné
řady
x(t) =
∞
n=0
antn
. (2.9)
Z počáteční podmínky plyne 0 = x(0) = a0, takže
x′
(t) =
∞
n=1
nantn−1
= a1 + 2a2t +
∞
n=2
(n + 1)an+1tn
,
2t + x(t)2
= 2t +
∞
n=1
antn
2
= 2t +
∞
n=2


n−1
j=1
ajan−j

 tn
.
Porovnáním koeficientů dostaneme
a1 = 0, a2 = 1, an+1 =
1
n + 1
n−1
j=1
ajan−j
Z tohoto vyjádření úplnou indukcí snadno ukážeme, že všechny koeficienty an jsou nejvýše
rovny 1. To znamená, že poloměr konvergence řady (2.9) je alespoň 1.
34 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Koeficienty řady můžeme postupně počítat:
a0 = 0, a9 = 0, a18 = 0,
a1 = 0, a10 = 0, a19 = 0,
a2 = 1, a11 = 7
550 , a20 = 1 107
5 236 000 ,
a3 = 1
3 · 0 · 0 = 0, a12 = 0, a21 = 0,
a4 = 1
4 (0 · 1 + 1 · 0) = 0, a13 = 0, a22 = 0,
a5 = 1
5 (0 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0) = 1
5 , a14 = 1
308 , a23 = 178 677
3 311 770 000,
a6 = 1
6 (0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0) = 0, a15 = 0, a24 = 0,
a7 = 1
7 (1
5 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 + 1 · 0 + 0 · 1
5) = 0, a16 = 0, a25 = 0,
a8 = 1
8 (0 · 0 + 1
5 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 + 1 · 1
5 + 0 · 0) = 1
20 , a17 = 2 169
2 618 000 , a26 = 139 471
10 130 120 000 ,
atd.
2.1.3 Picardova posloupnost
Picardova posloupnost postupných aproximací řešení úlohy (2.1) je posloupnost funkcí definovaná
rekurentně
x0(t) = ξ,
xk+1(t) = ξ +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, . . . .
Pokud Picardova posloupnost stejnoměrně konverguje k funkci x, pak z faktů, že funkce f je
spojitá a interval [t0, t] je konečný, plyne
x(t) = lim
k→∞
xk(t) = lim
k→∞
xk+1(t) = ξ + lim
k→∞
t
t0
f s, xk(s) ds =
= ξ +
t
t0
f s, lim
k→∞
xk(s) ds = ξ +
t
t0
f s, x(s) ds.
Stejnoměrná limita Picardovy posloupnosti je tedy řešením integrální rovnice (2.2), takže je
také řešením počáteční úlohy (2.1). Stačí tedy ukázat, že Picardova posloupnost konverguje
stejnoměrně, případně najít podmínky, za jakých stejnoměrně konverguje.
Stejnoměrnou konvergenci Picardovy posloupnosti zaručí Lipschitzova podmínka: Řekneme,
že funkce f : J × D → R je Lipsichitzovská s konstantou L > 0 vzhledem k druhé
proměnné, pokud pro všechna t ∈ J a všechna x, y ∈ D platí
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ |x − y|.
Předpokládejme nyní, že funkce f v rovnici (2.1) je na množině [t0, t0+a]×R Lipschitzovská
s konstantou L vzhledem k druhé proměnné. Zvolíme libovolné přirozené číslo p a kladné reálné
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 35
číslo α takové, že
α < max
1
L
, a .
Pak platí
αL < 1. (2.10)
Pro libovolná k ∈ N, t ∈ [t0 + α] nyní platí
0 ≤ |xk(t) − xk+p(t)| = ξ +
t
t0
f s, xk−1(s) ds − ξ −
t
t0
f s, xk+p−1(s) ds =
=
t
t0
f s, xk−1(s) − f s, xk+p−1(s) ds ≤
≤
t
t0
f s, xk−1(s) − f s, xk+p−1(s) ds ≤
≤ L
t
t0
|xk−1(s) − xk+p−1(s)| ds ≤ L
t0+α
t0
|xk−1(s) − xk+p−1(s)| ds ≤
≤ Lα max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Proto také
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ Lα max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Analogicky dostaneme
0 ≤ max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ Lα max {|xk−2(t) − xk+p−2(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α}
a tedy
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ (Lα)2
max {|xk−2(t) − xk+p−2(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Po k analogických krocích krocích dostaneme odhad
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ (Lα)k
max {|x0(t) − xp(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Z nerovnosti (2.10) plyne, že limita výrazu na pravé straně je pro k → ∞ rovna nule. Odtud
dále plyne, že Picardova posloupnost funkcí {xk} je stejnoměrně Cauchyovská a tedy stejnoměrně
konvergentní. Ukázali jsme tak, že limita Picardovy posloupnosti je řešením počáteční
úlohy (2.1) na intervalu [t0, t0 + α].
36 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Ještě ukážeme, že toto řešení je jediné. K tomu účelu připusťme, že existuje další řešení
y = y(t) úlohy (2.1) definované na intervalu [t0, t0 + α], které je různé od limity x Picardovy
posloupnosti, tj.
max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} > 0. (2.11)
Poněvadž funkce x a y jsou také řešením integrální rovnice (2.2), platí pro každé t ∈ [t0, t0 +α]
nerovnost
|x(t) − y(t)| = ξ +
t0+α
t0
f s, x(s) ds − ξ −
t0+α
t0
f s, y(s) ds ≤
≤
t0+α
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ≤ L
t0+α
t0
|x(s) − y(s)| ds ≤
≤ Lα max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Z platnosti této nerovnosti pro každé t ∈ [t0, t0 + α] dále plyne nerovnost
max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤ Lα max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α}
a vzhledem k (2.11) také 1 ≤ Lα, což je ve sporu s (2.10).
Provedené úvahy můžeme shrnout:
Tvrzení 3. Je-li funkce f Lipschitzovská vzhledek ke druhé proměnné, pak má počáteční
úloha (2.1) jediné řešení definované na pravém okolí bodu t0.
Poněvadž Picardova posloupnost {xk}∞
k=0 konverguje k řešení x počáteční úlohy (2.1), lze
její člen s „dostatečně velkým indexem k považovat za přibližné řešení této úlohy.
Příklad: Uvažujme znovu počáteční úlohu (2.3). Postupně budeme počítat členy Picardovy
posloupnosti postupných aproximací:
x1(t) = 0 +
t
0
(2s + 02
)ds = t2
,
x2(t) = 0 +
t
0
2s + (s2
)2
ds = t2
+ 1
5 t5,
x3(t) = 0 +
t
0
2s + s2
+ 1
5s5 2
ds =
t
0
2s + s4
+ 2
5 s7 + 1
25s10 ds =
= t2
+ 1
5t5 + 1
20 t8 + 1
275 t11,
x4(t) = 0 +
t
0
2s + s2
+ 1
5s5 + 1
20s8 + 1
275 s11 2
ds =
=
t
0
2s + s4
+ 2
5 s7 + 7
50s10 + 3
110s13 + 87
22 000 s16 + 1
2 750 s19 + 1
75 625 s22 ds =
= t2
+ 1
5t5 + 1
20 t8 + 7
550 t11 + 3
1 540t14 + 87
374 000t17 + 1
55 000 t20 + 1
1 739 375t23,
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 37
atd.
38 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Kapitola 3
Lineární rovnice a systémy
39
40 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Kapitola 4
Autonomní rovnice a systémy
41
42 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Část II
Aplikace
43
Kapitola 5
Makroekonomické modely
45