M6520 Jméno:
16.1.2017 - skupina A
Hodnocení				Sem.	
					
					
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Minimum (včetně semestrální písemky) je 30 bodů. Na práci máte 90 minut.
1. (6krát ±1 bod — správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne   Libovolná binomická kongruence xn = — 1 (mod m), kde n je liché, má vždy alespoň jedno řešení.
(b) ano — ne Lineární kongruence ax = b (mod m), kde a, b £ Z, m £ N, má vždy řešení modulo m, platí-li a | b.
(c) ano — ne Libovolná redukovaná soustava zbytků modulo přirozené číslo m obsahuje stejný počet kvadratických zbytků a nezbytků.
(d) ano — ne Pro všechna přirozená čísla n > 1 platí Y2d\n M*^) = 0 (/^ z(^e označuje Môbiovu funkci).
(e) ano — ne Libovolná polynomiální kongruence f(x) = 0 (mod m), kde m G N, má nejvýše st(/) řešení modulo m.
(f) ano — ne Je-li m G N, pak pro každé přirozené číslo d takové, že d \ </?(m), existuje x G Z řádu d modulo m.
2. (10 bodů) Řešte kongruenci 20x2 + 83x + 120 = 0 (mod 437). (Nápověda: Modul není prvočíslo.)
3. (6 bodů) Dokažte, že rovnice x2 — 2y2 + 8z = 3 nemá řešení v oboru celých čísel.
4. (6 bodů) Řešte diofantickou rovnici x4 = 1040 + y4.
5. (8 bodů) Rozhodněte, pro která přirozená čísla n platí 2n = n (mod 7). Je řešení této kongruence nekonečně mnoho? A jak to dopadne v případě, kdy nahradíme 7 libovolným lichým prvočíslem p (pokuste se popsat, jak bude vypadat obecné řešení, primárně ale vyřešte případ p = 7).
6. (4 body) Určete počet přirozených čísel menších než 500, která jsou nesoudělná s 24.
M6520 Jméno:
16.1. 2017 - skupina B
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Minimum (včetně semestrální písemky) je 30 bodů. Na práci máte 90 minut.
Hodnocení				Sem.	
					
					
1. (6krát ±1 bod — správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Platí-li pro každé přirozené číslo a, které je se nesoudělné s n, že n | an — a, pak je n prvočíslo.
(b) ano — ne Rovnice x2 + y2 = 0 má v oboru celých čísel nekonečně mnoho řešení.
(c) ano — ne  Diofantická rovnice xn + yn = zn s neznámými x,y,z G N nemá pro parametr 2 < n G N žádné řešení.
(d) ano — ne  Jsou-li p, q lichá prvočísla taková, že platí p = 3 (mod 4) nebo q = 3 (mod 4), P-k (?) = "(§)•
(e) ano — ne Mezi čísly 1 až 64 existuje y?(y?(64)) = 16 primitivních kořenů modulo 64.
(f) ano — ne  Binomická kongruence xn = a (mod p), kde a,n G N a p je prvočíslo splňující n\p — 1, má vždy řešení modulo p.
2. (10 bodů) Řešte kongruenci 30x2 + 7x + 180 = 0 (mod 473). (Nápověda: Modul není prvočíslo.)
3. (6 bodů) Rozhodněte, pro která přirozená čísla n platí 65 | 4n + 1. Své tvrzení dokažte.
4. (6 bodů) Řešte diofantickou rovnici x4 = 544 + y4.
5. (8 bodů) Dokažte, že uvedené diofantické rovnice nemají řešení v N:
(a) x3 + x = 3y4 + 1,
(b) x4 + 3y4 = 9z4.
(Nápověda: uvažte vhodný modul, resp. metodu nekonečného sestupu.)
6. (4 bodů) Určete počet přirozených čísel menších než 600, která jsou nesoudělná s 54.